Nessun titolo diapositiva by PrzR4w

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									1




    1
    COMPUTER               c
               b

a                          d


      e
h                              g
                   f



          i
                       l           2
Nella diapositiva precedente
abbiamo visto delle grandi
invenzioni che hanno cambiato la
vita dell’uomo.
Ordinale secondo un tuo criterio di
importanza


                                      3
      Alcune grandi invenzioni oggi
              sono, per noi, scontate
    (pensa alla ruota, alla stampa...)
    altre ci appaiono più complesse
       (il computer, la televisione…)

Quale invenzione, non solo tra
quelle già elencate, ti affascina
maggiormente?

                                     4
Il Teorema di Pitagora!
La scrittura posizionale dei numeri!
Il logaritmo! Keplero : ”il logaritmo ha allungato
la vita degli astronomi.”
Ti piacerebbe fare i conti usando i numeri
romani? Prova a calcolare in modo
ROMANO e POSIZIONALE a) XVIII+LVII
                             b) XIII•XVII        5
                             RI
                             VO
         Pensa ad un’altra   LU
             grande          ZIO
GRANDE                       NA
          INVENZIONE         RIA
         MATEMATICA


                                   6
Cogito      y
ergo sum!                             u




                •       .    P(x,y)

                         •
            O                         x

                    Sapresti calcolare
                    la distanza tra i
                    punti A(0,3) e
                    B(4,0)?
                                          7
              Nel ‘600 grazie a
        Pierre de Fermat (1601-1665)
                        e
           René Descartes (1596-1650)
                   nasce la


 I punti sono collegati ai numeri, le linee alle
 equazioni, l’algebra e la geometria si
 fondono insieme.
Descartes :”È applicando l’algebra dei
moderni alla geometria degli antichi
che si sono trovati i fondamenti di
una scienza meravigliosa”                        8
Le coordinate cartesiane non esistono
senza un opportuno riferimento cartesiano.
Sai cosa si intende per:
riferimento cartesiano del piano?

                             - Penso di sì
 riferimento cartesiano dello spazio?

                             - Forse sì
 riferimento cartesiano della retta?

                             - Ho dei dubbi   9
                                                                    u

                               La retta cartesiana R
           u                                           z
                   P   .       PR (x)P
                       x
               .                                               .P
                   O                                       O        y
                                        u
                                                x
                           y        P

                               O    x               Lo spazio cartesiano R3
Il piano cartesiano R2
                                                    P R3 (x,y,z)P
P R2 (x,y)P

                                                                        10
                                 2
  Consideriamo l’equazione x -1=0
1 Quanti e quali punti di R
                               …
  soddisfano tale equazione? 0 1 x
                            –1

2 Quanti e quali punti di R
                         2


  soddisfano tale equazione? … y
                                         x= 1
                          x= –1
                             –1      1   x
3 Quanti e quali punti di R3
  soddisfano tale equazione? … z         x=1

                             x= –1

                             x                  y
                                                    11
                            2
 Consideriamo l’equazione x +1=0
1 Quanti e quali punti di R
  soddisfano tale equazione? …
2 Quanti e quali punti di R
                        2


  soddisfano tale equazione? …
3 Quanti e quali punti di R
                        3


  soddisfano tale equazione? …


                                   12
 Sapendo che l’equazione X3+1=0 ha come
    unica soluzione reale x=-1,cosa
 descrive la stessa equazione su R, su
                  2       3
                R e su R ?


R:             R:
                2
                              R:
                               3


1) Ø           1) Ø           1) Ø
2) un punto    2) un punto    2) un piano
3) una retta   3) una retta   3) una retta
4) 3 rette     4) 3 rette     4) 3 rette
                                          13
              La stessa equazione può
              rappresentare luoghi diversi a
              seconda dell’insieme in cui
              cerchiamo le soluzioni!
                     2  2
 Ancora un’esempio: x +y =1 ...
                                                        0

     y         ... non ha senso su R
                                                                z

-1       0 1       ... è una circonferenza su R         2

               x
                       ... è un cilindro su R   3
                                                            0            y


                                                    x               14
                                         2
Da qui in avanti lavoriamo nel piano R
le soluzioni delle equazioni che trattiamo
saranno da ricercarsi nell’insieme delle
coppie di numeri reali (x,y)
                   VERO o
                   FALSO ?


       32                         2  1,42
       A                               C      15
                       prova a leggere
                       le seguenti
                       affermazioni:
a) 3N   b) -2N c) -2Z d) 2/3Z
e) 2/3Q f) 2  Q   g)   2 R   h) R
 i) NZQR l) R-Q
m) NZ=Z    n) N  Z=N




                                         16
                                   
          Ritorniamo al piano
          cartesiano R2 e
          consideriamo l’equazione xy=0
Quale sottoinsieme di R essa rappresenta?
                          2




  Ricorda: Legge di annullamento del prodotto 
  a,bR       ab=0  a=0 oppure b=0

         Ed allora ...

                                                  17
x,y  R   2
                                    2
                                               
                 / xy  0  x, y   R / x  0  x, y   R / y  0
                                                            2
                                                                      
                     Ovvero l’unione degli assi x e y
                     Cosa rappresenta l’equazione: x2-
                            y2=0 ??????????????



                                               b) due rette
                              c) l’origine
                                                                 18
                   In R2
                                                  x  y  0
        consideriamo le soluzioni del             
  sistema:                                        x  y  0
                                                 
  cioè l’insieme      
                      
                       (x, y)R 2 /
                                      
                                         xy0   
                                                  
                                                
                      
                      
                                      
                                         xy0   
                                                  
                                                 
                   2 / x  y  0  (x, y)R 2 / x  y  0
          (x, y)R
           
                                
                                     
                                                           
           
                                    
                                                              

= intersezioni delle due bisettrici= il punto O(0,0)
     N.B: le coppie di                        y
     rette che passano
                                                       x
     per O sono                                   O
     infinite!                                                     19
                È vero che x2+y2=0
                                  2
               rappresenta O in R ?


1) Si: perché è una circonferenza di centro O e raggio 0
2) No:perché    x 2  y 2  0  x  y   0   rappresenta una retta
                                      2



3) Si: perché la somma di due numeri positivi è zero 
sono entrambi nulli
4) Non lo so

                                                               20
             Cosa rappresenta
                        2
               x =0 in R ?
                2




1) 2 rette coincidenti
2) O
3) L’insieme vuoto

4) 1 retta


                                21
Ogni equazione lineare in x e y, ovvero di primo
grado in x e y, RAPPRESENTA in R2 una retta
                                         y


                                         O
    Es:     y-2x+1=0                           (1/2,0) x

                                             (0,-1)

    Cosa rappresenta (x2+y2)(x-1)=0?
    1       2 punti        2       1 retta e 1 punto

        3     3 rette          4        Non lo so
                                                           22
 Un’equazione di secondo grado in x e y
 rappresenta in R2 uno dei seguenti
  a) b) 1 punto
 sottoinsiemi: c) 1 retta d) 2 rette e) 1 circonferenza
  f) 1 ellisse        g) 1 parabola       h) 1 iperbole
                                      Riconosci
Esempi:                               l’iperbole,
a) x2+y2+1=0                        l’ellisse e la
b) x2+y2=0  O (0,0)                  parabola?
c) x2=0  l’asse y contato 2 volte
d) x +y -1 =0  circonferenza
    2    2                         1) 2x2+y2=1
e) x2-y2 =0  2 rette              2) 2x2-y=1
                                      3) 2x2- y2 =1
                                                       23
      y
                                       y=ax2

          F
                   Galileo (1564-1643) scopre
      O       x    che: la traiettoria di una
                   pallina da golf è una
Mediante una       parabola! MA la scoperta è
rotazione ed una   la traiettoria     parabolica o
traslazione        il golf ?
l’equazione di
una parabola può
essere scritta
nella forma                                      24
Fari d’automobile       Antenna
                        Parabolica
                F                    F

          Il punto F è detto fuoco della
                       parabola     Attenzione nel
Biliardo Parabolico                 fuoco può fare
                                    veramente
                 Bel tiro!          caldo!
                                     F
   clack!
                                                25
Mediante una
rotazione ed una
traslazione
l’equazione di una                                y
ellisse può essere                                    (b , 0)
scritta nella forma:
          2     2               (-a , 0)     F1          F2      (a , 0)
         x    y                            (-c , 0)
           2
              2 1                                   O (c , 0) x
         a    b
                                                      (-b , 0)
     Keplero (1609): “Le orbite dei
     pianeti del sistema solare sono                       N.b.:
     ellittiche ed il sole occupa uno                      b2+c2=a2
     dei due fuochi”.
                    (I legge)
                                                                    26
                 Sono archi di ellisse
         P   P
    F1       F2
                 La superficie di un liquido
           P     in una caraffa cilindrica
Proprietà:       inclinata ha un contorno
PF1+PF2=COSTANTE ellittico
                                           27
Mediante una
rotazione ed una
traslazione l’equazione            Si disegnano
di un’iperbole può essere          sempre          prima
scritta nella forma:               gli asintoti (le 2
 2   2                             rette verdi), poi
x y
 2
    2 1                          l’iperbole.
a b
                            L’equazione x 2    y2
                                            2
                                               2 0
                                          a    b

                            rappresenta i due
                            asintoti dell’ iperbole

                                                      28
xy  k
Iperbole equilatera(a  b)
riferitaagli asintoti


                        N.B.:
                   Gli asintoti
                   coincidono
                  con         gli
                    assi x, y.


                                29
  L’ombra
   di un
 paralume
può avere
     un      F1        F2
 contorno
iperbolico


        F1        F2


                            30
                              I punti            Bicorno
     Strofoide destra evidenziati
                                                 (di grado 4)
             (di grado 3)    in rosso
                           sono detti
                               punti              Curva di
      Cissoide                                    Lissajuos
      (di grado 3)          singolari
                                                  (di grado 8)
                           Gli incroci
         Trifoglio        si chiamano Curva ornamentale
         (di grado 4)        nodi, le (di grado 18)
                               punte
Curva del                  (cissoide e
diavolo                     bicorno)
(di grado 4)                 cuspidi                     31
         Finora abbiamo visto solo
  curve algebriche cioè luoghi di punti del
piano che soddisfano un’equazione f(x,y)=0,
     dove f(x,y) è un polinomio in x e y.
          Ora cambiamo un po’!




                                         32
Se f(x,y)= y-senx allora la
curva y-senx=0 ha come
grafico :

                              y=sinx

ANALOGAMENTE:
Se f(x,y)= y-cosx allora la
curva y-cosx=0 ha come
grafico :
                              y=cosx

                                       33
a) sen(3.14)>sen()
b) cos(1)>cos(/3)




        y=sen7x+cos8x

                        34
                 Combinando un
                 numero opportuno di
                 seni e coseni è
                 possibile ricostruire,
                 con buona
                 approssimazione, il
                 grafico di una
                 qualsiasi onda!
                 (Sviluppo di Fourier)
Per questo motivo i computer possono
suonare la musica e leggere le parole!
                                     35
                                                             y




         1 2       sin3x                               1
   f(x)   sinx 
         2          3                                                           x
                                              -2   -       0      2   3   4




         1 2       sin3x         sin7x 
f(x)      sinx         ... 
         2          3             7  




                                       1 2       sin3x         sin7x sin9x         sin31x 
                              f(x)      sinx         ...              ... 
                                       2          3             7     9              31 

                                                                                        36
                   x                     4
                y=e                      2

 55                                          0.5
e metri  un miliardo di anni luce-0.5
 34                         16
e metri  un anno luce  10 metri
 14                3
e mm  1Km = 10 metri
e7 mm  1Km=100metri               e-1 mm  0.036 mm
 3                                  -2
e mm  2 cm                        e metri  0.013 mm
 2                                  -3
e mm  7 mm                        e metri  0.04 mm
e1 mm  2.7 mm                     e-7 metri  0.001mm
 0
e mm  1 mm
                                                    37
                   x
Ribaltando y=e rispetto alla retta
y=x otteniamo:    y=log x


          Il logaritmo misura delle aree particolari:
               1
            y         lg x =+A
               x
      A
   1 x                                 lg 1 = 0
               1
            y         lg x = -A
               x
  A
 x 1
                                                        38
La magnitudo m dei terremoti si misura con la
scala Richter, mediante la seguente formula:
                          a
                  m  Log( )  B
                          b
Il pH, che misura l’acidità delle soluzioni, è
una scala logaritmica:
                 pH  Log[
                              1
                                  ]          ecc.
ecc.        ecc.           H 3O    ecc.
  Che curva è il profilo della coda del pianoforte?


                                                    39
Nel piano non esiste solo il riferimento
cartesiano ortogonale.
Ad esempio un altro riferimento è quello polare:
un punto P nel piano risulta essere individuato
da un raggio detto  e da un angolo  il tutto
rispetto ad una retta fissata e ad una origine O
individuata su di essa.
                        P(, )
                
                    
            O
                                                   40
Nel sistema di riferimento polare:
 = costante è l’equazione di una circonferenza
 = k  è una spirale di Archimede, con k costante
 = ek  è una spirale logaritmica o di Bernoulli,
con k costante




                                                     41
                     =4, 02




 =5, 02    = e 0,2 , - 3 3
                                    42
43

								
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