UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
INSTRUCCIONES Y COMANDOS BASICOS DE MAPLE
Prof. Rubén Preiss
Instrucciones Básicas
1) Una vez ingresado a Maple se encontrará con una hoja de trabajo en blanco en la que
aparecerá un puntero seguido de una barra vertical.
2) Cada vez que finalice una frase deberá escribir punto y coma (si desea que su resultado
aparezca explícitamente) ó dos puntos (si desea que no aparezca el resultado).
3) Puede abandonar Maple por dos vías: eligiendo Exit del menú File o bien escribiendo el
comando quit. Si usa Exit, Maple le preguntará si desea respaldar su trabajo (usted deberá
decidir entre Si, No ó Cancelar). Si usa el comando quit, Maple no le hará consulta alguna.
Después de haber ingresado dicho comando, simplemente deberá presionar la tecla enter.
Con ésta acción usted abandona su hoja de trabajo y el programa Maple, perdiendo la
información que tenía en la hoja de trabajo.
4) Maple le ofrece ayuda en línea mediante los comandos ?, ?? y ??? . El comando ?
seguido de algún tópico, hará que Maple le dé una explicación detallada de ése tópico, de
sus secuencias de llamada y de algunos ejemplos. Si usa ?? seguido de algún tópico, Maple
sólo le indicará qué y cómo escribir adecuadamente el comando relacionado con el tópico
en cuestión. Si usa ??? seguido de algún tópico, Maple le ofrecerá solamente ejemplos
relacionados con el tópico consultado, omitiendo toda explicación. Para salir de cualquiera
de éstas ayudas en línea oprima las teclas Alt y F4 simultáneamente.
5) Usted puede detener un cálculo que considere que es demasiado largo y demoroso para
Maple. Para ello puede usar el icono Stop que aparece en el menú de Maple y que se
enciende cada vez que Maple está procesando un cálculo. El proceso se detiene haciendo
un click con el mouse sobre dicho icono.
6) Al ingresar comandos y frases en su hoja de trabajo tome en consideración que los
errores más comunes son los siguientes:
(1) Olvidar al final de cada frase el punto y coma
(2) No escribir los parentesis necesarios
(3) Escribir una coma para números decimales en lugar de un punto
(4) Olvidar de escribir el símbolo de multiplicación
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(5) Dos operaciones en la misma fila no requieren paréntesis.
7) Antes de intentar realizar las tareas, le sugerimos que desarrolle previamente todos
los ejemplos que aparecen en los Laboratorios.
8) El comando restart, reinicia la página de trabajo, desevaluando las variables
asignadas, dejándolas libres.
COMANDOS DE MAPLE
COMANDOS BASICOS PARA ARITMETICA Y ALGEBRA
x+y; suma x e y
x - y; resta x e y
x*y; multiplica x e y
x/y; divide x por y
x ^ y; eleva x a y
abs(x); valor absoluto de x
x :=2 ; asigna a x el valor 2
x = „x‟; suprime un valor asignado a x, quedando x libre
subs(x=a, f); sustituye la variable x en f por a
evalf(expr); evalúa una expresión usando decimales
evalf(expr,n); evalúa hasta n dígitos
evalc(imagin, expr); evalúa números complejos
evalm(matr,expres); evalúa una expresión matricial
collect(expression,x); agrupa expresiones según la potencia de x
collect(f,[p,q]); en f, agrupa todos los términos con p, y todos
los términos con q
expand(expr); desarrolla una expresión algebraicamente
factor(expr); factoriza un polinomio
fsolve(f(x)=0, x); soluciona numéricamente la ecuación en x, f(x) =0
fsolve(f(x)=0, x, a..b) soluciona numéricamente en x, f(x)=0, entre a y b
fsolve(f(x)=0, x ,complex); halla numéricamente todas las raíces de una ecuación
polinomial en x, f(x) = 0
Pi ; (debe escribirse con mayúscula)
simplify(expresión); reduce expresiones , más o menos
solve(f(x)=0, x); resuelve simbólicamente la ecuación en x, f(x)=0
solve({f(x,y)=0, g(x,y)=0},{x,y}); resuelve simbólicamente sistemas de ecuaciones
sqrt(x); raíz cuadrada de x
I; número complejo i
(“); da el resultado obtenido en el paso anterior
coeff(expression,x,2); coeficiente de x 2 en la expresión
with(student); carga la librería student
completesquare(expr,[x,y]); completa cuadrados de binomio en x e y en la
expresión expr
completesquare(quad,[x,y,z]); completa completa cuadrados de binomio en x,y,z
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COMANDOS RELACIONADOS CON FUNCIONES Y GRAFICAS EN 2D
1) En Maple, al igual que en Matemáticas, existe una diferencia entre una expresión y
una función. Una función toma argumentos y retorna valores. Una expresión es un objeto.
Una función es activa y una expresión es pasiva. La sintaxis básica para definir una función
es:
nombre:= variable -> expresión
Para escribir la flecha con el teclado se usa primero la tecla - y después la tecla >
sin dejar espacio entre ambas.
2) El comando para realizar gráficas es plot. Hay varios tipos de sintaxis para éste
comando, dependiendo si se trata de funciones o expresiones:
(I) plot(f(x), x= a..b); sintaxis tanto para funciones como expresiones
(II) plot(f, x=a..b); sintaxis sólo para expresiones
(III) plot(f, a..b); sintaxis sólo para funciones
3) Una vez que Maple está en la ventana de gráficas, el mouse maneja un cursor en
forma de flecha que sirve para determinar las coordenadas de cualquier punto de la gráfica.
Para ello se conduce la punta de la flecha hacia el punto cuyas coordenadas se desea
determinar, se hace un click y aparecerá en la parte inferior de la ventana las coordenadas
del punto que se está apuntando.
4) La sintaxis para graficar varios gráficos simultáneamente y controlar además la
escala del eje vertical es:
(IV) plot({f(x), g(x)} , x = a..b, c..d); sintaxis para funciones y expresiones
(V) plot({ f, g }, x = a..b, c..d); sintaxis sólo para expresiones
(VI) plot({f , g}, a..b, c..d); sintaxis sólo para funciones
5) Para representar una función a trozos, o sea una función que presenta un dominio
dividido en diferentes partes pudiendo ser diferente el proceso que se aplica en cada una de
ellas se usa la estructura if - then - else. Hay dos alternativas:
a) Si tan sólo se trata de una condición la sintaxis es:
s:= proc(x)
if (condición) then (expresión)
else (expresión)
fi
end:
(El comando proc(x) quiere decir “procedure” (procedimiento para x))
b) Si hay varias condiciones la sintaxis es:
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s:=proc(x)
if (condición) then (expresión)
elif (condición) and (condición) then (expresión)
elif (condición) then (expresión)
elif (depende si hay más condiciones)
fi
end:
(El comando elif es una abreviatura para else if que significa “de otra manera si...”)
6) Dos funciones a trozos importantes para los que no se requiere el procedimiento
anterior son la función valor absoluto para la cual se usa el comando abs (y que se vio en el
laboratorio anterior) y la función parte entera (que da el mayor de los números enteros
menores que un número dado) para la cual se usa el comando floor (número).
7) Para hacer en Maple una tabla de valores se puede usar dos vías:
a) usando el comando seq que se aplica a una función f ya definida mediante la
sintaxis:
seq(f(i), i = a..b)
(Produce una secuencia de valores horizontal)
b) usando el comando array que se aplica a una función ya definida mediante la sintaxis:
array( [seq( [i, evalf(f(i))], i = a..b) ] )
(Produce una secuencia de valores verticales)
8) Una de las características de Maple son sus librerías (paquetes especiales)
“packages”. Los packages son librerías de programas dentro de Maple con comandos
especiales que se llaman sólo cuando se necesitan. Así se logra tener en la memoria Ram
del computador sólo lo que se necesita y no se recarga dicha memoria “consciente”
inútilmente. Es así como Maple contiene librerías de geometría, de álgebra lineal, de series
de potencia, de estadística, de geometría tridimensional, etc. Todos éstos programas se
ingresan con el comando with. En éste laboratorio hay interés por graficar; en particular
por graficar funciones que vienen definidas implícitamente. Este tipo de gráfica se obtiene
ingresando el package plots. El ingreso se hará entonces con la sintaxis:
with(plots):
implicitplot( f(x,y)=0, x = a..b, y = c..d);
9) Para transformar una expresión en una función se usa el comando unapply
mediante la sintaxis:
g:= unapply(nombre de la expresión, x);
10) Para transformar una función en una expresión se usa la sintaxis:
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y := f(x)
11) Para graficar los puntos (a, b) , (c, d) , (e, f ) en dos dimensiones:
pointplot ({ [a , b ] , [c , d ] , [e , f ] });
12) piecewise(x = b , g(x) , u(x)); define una función a trozos
COMANDOS PARA FUNCIONES LOGARITMICAS, EXPONENCIALES Y
TRIGONOMETRICAS Y GRAFICOS CON ANIMACION
exp(x); función exponencial e x
ln(x); logaritmo natural de x
log[a](x); logaritmo de x en base a
sin(x); seno de x radianes
cos(x); coseno de x radianes
tan(x); tangente de x radianes
cot(x); cotangente de x radianes
sec(x); secante de x radianes
csc(x); cosecante de x radianes
arcsin(x); arcoseno de x ; función inversa de sen(x)
arccos(x); arcocoseno de x; función inversa de cos(x)
arctan(x); arcotangente de x; función inversa de tan(x)
arcsec(x); arcosecante de x; función inversa de sec(x)
arccsc(x); arcocosecante de x; función inversa de cosec(x)
arccot(x); arcocotangente de x; función inversa de cot(x)
convert(*degrees, radians); convierte grados sexagesimales a radianes
convert(, degrees); convierte b radianes a grados sexagesimales
combine(expresión, trig); transforma fórmulas trigonométricas
animate(F(x,t),x =a..b,t=c..d);produce gráficos con animación
2) Para usar las funciones trigonométricas tome en cuenta que todos los argumentos
180 Pi
deben estar en radianes (1 radian = grados sex. ; 1 grado sex. = radianes)
Pi 180
3) Usted puede simplificar o desarrollar identidades trigonométricas y Maple tiene
rutinas que le permitirán convertir expresiones trigonométricas a otras formas. Por ejemplo,
usted puede convertir cualquier expresión trigonométrica en una expresión que contenga
sólo términos en seno y coseno. Para lograr esas transformaciones tendrá que usar tanto
algunos comandos y operadores estudiados en guías anteriores como expand, factor y
simplify , como algunos nuevos tales como combine[trig], simplify[trig], y convert.
4) Debe observarse que para convertir grados sexagesimales a radianes, Maple usa
“degrees” (grados) como una unidad que se nombra explícitamente y por la cual hay que
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multiplicar el ángulo . En cambio para convertir radianes a grados Maple exige no escribir
“radians”, ni tampoco especificar una multiplicación por radianes.
5) Para producir gráficos con animación se requiere introducir primero el package de
gráficas. Luego la sintaxis para producir animación es:
> with(plots):
> animate( F(x,t), x = a..b, t = c..d);
donde F es una función real en x y en t y en donde a..b especifica el rango real horizontal
(abscisas) en el cual se grafica F, mientras que c..d especifica de qué manera se desea que
varíe el cuadro coordenado de un cuadro al siguiente.
6) Descripción de la ventana de gráficos con animación:
Una vez que se ha obtenido la ventana de Maple para gráficos con animación es
posible notar que aparecen dos filas de iconos en lugar de la clásica fila en las ventanas de
Maple para gráficas sin animación. Al usar el mouse en la segunda fila sobre el segundo
icono de izquierda a derecha (el que se parece a “Play” en un tocacintas), y hacer un click
la gráfica comenzará a “moverse desde abajo hacia arriba”.
Al poner la flecha del mouse sobre el segundo icono de derecha a izquierda en un
icono que exhibe una flecha y hacer un click, la flecha del icono cambiará de sentido, de
“izquierda a derecha” a “derecha a izquierda”. Esto significará que la curva comenzará a
moverse de principio a fin pero en sentido contrario.
Si, en lugar de hacer un click sobre el “Play”, se hace un click sobre el tercer icono
que aparece de izquierda a derecha, que exhibe una flecha con una raya vertical en su
punta, se logrará que la curva se mueva un cuadro por vez: uno por cada click. Si se realiza
éste acto lentamente se descubrirá que la curva “bajará” de comienzo a fin después de haber
presionado 15 veces el mouse,o sea con un total de 15 clicks. Esto significa que Maple
ofrece, por defecto, un total de 16 cuadros de principio a fin.
Se puede variar la cantidad de 16 cuadros que Maple ofrece por defecto usando la
siguiente sintaxis:
animate(F(x,t), x=a..b, t= c..d, frames = n);
Si se hace un click sobre el primer icono de la derecha de la segunda fila se
observará que dicho icono cambia de una figura de dos “semiflechas” a una figura
“cerrada”. Si se hace un click ahora sobre el “Play” (segundo icono de izquierda a derecha),
la figura se moverá ininterrumpidamente un sin fin de veces. Para detener el movimiento de
la figura se hace un click sobre el primer icono de la izquierda (similar al “stop” de un
tocacintas).
Quedan aun dos iconos: son los que se parecen al “retroceso” y “avance” rápido en
los tocacintas. Aquí hacen las veces de disminución o aumento de cuadros por segundo.
Observe que al hacer un click sobre uno de ellos aparece en la parte inferior de la pantalla
una indicación con un valor de “fms”, que significa “frames per second” (“cuadros por
segundo”). A medida que se continúa haciendo clicks sobre el mismo icono se verá que
variará la cantidad de “fms” (aumentará o disminuirá según el icono que se esté ocupando).
7) Una opción interesante que posee el comando plot es el que permite poner título a
una gráfica. Para ello se usa la siguiente sintaxis:
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> animate( F(x,t), x = a..b, t = c..d, frames = n, title = ‘nombre’);
8) Otra opción interesante del comando plot es la posibilidad en algunos casos de
eliminar las asíntotas de la gráfica. Se usa la sintaxis:
>plot( f(x), x= a..b, y=c..d, discont=true);
Lamentablemente en la versión 3 de Maple esto no da siempre el resultado
esperado.
9) Para calcular logaritmos en base 10 en Maple es necesario primero introducir el
package readlib(log10)
COMANDOS RELACIONADOS CON LIMITES DE SUCESIONES
seq(a(n), n = a..b); sucesión de números a(n) para n de a hasta b
limit(a(n), n = infinity); calcula el límite de la sucesión
Limit(a(n), n = infinity); da la notación del límite de la sucesión
seq([n, a(n)], n = a..b]; sucesión de pares ordenados de la sucesión
style = point; da el tipo de punto usado en gráfica
COMANDOS RELACIONADOS CON LIMITES DE FUNCIONES
for k from a to b do...od; procedimiento que repite un proceso un
determinado número de veces
limit(f(x), x=c); límite de f(x), cuando x tiende al valor c
limit(f(x), x=c, right); límite de f(x), cuando x tiende a c por la
derecha
limit(f(x), x=c, left); límite de f(x), cuando x tiende a c por la
izquierda
limit(f(x), x=infinity); límite de f(x), cuando x tiende a infinito
piecewise(x = b , g(x) , u(x)); define una función a trozos
COMANDOS PARA DERIVADAS
diff(expr,x); derivada de la expresión con respecto a x
diff(f(x),x); derivada de f(x) con respecto a x
D(f); derivada de la función f, retorna una función
showtangent(f(x), x=c,a..b); grafica f(x) y una recta tangente en x = c
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COMANDOS PARA FUNCIONES POLINOMICAS Y RACIONALES
normal forma básica para simplificar funciones
racionales
numer elige el numerador de una función racional
después de haber usado el comando norm
denom elige el denominador de una función racional
después de haber usado el comando norm
quo retorna el cuociente del numerador dividido
por el denominador
rem retorna el resto del numerador dividido por el
denominador
COMANDOS PARA INTEGRACION
int(f(x),x); integral indefinida (antiderivada de f(x))
int(f(x),x=a..b); integral definida de f(x) entre a y b
Int(f(x),x); integral inerte, no evaluada
sum(k, k=1..3); retorna 1 + 2 + 3
Sum(k, k=1..3); retorna el signo sumatoria para la suma de
1+2+3
with(student); carga la librería student
integrand(Int(f,x)); retorna el integrado de f dx
leftbox(f(x), x=a..b,n); da el gráfico de f(x) en [a,b], dibujando n
rectángulos bajo f(x) con puntos iniciales para
aproximar el área
leftsum(f(x),x=a..b,n); suma exacta de áreas de rectángulos de leftbox
rightbox(f(x),x=a..b,n); da el gráfico de f(x) en [a,b], dibujando n
rectángulos bajo f(x) con puntos terminales
para aproximar área
rightsum(f(x), x=a..b,n); suma exacta de áreas de rectángulos de
rightbox
convert(f,parfrac,x); descomposición en fracciones parciales de una
finción racional f(x)
normal(expression); suma fracciones vía comun denominador
simplify(expression, symbolic); fuerza a Maple a usar la transformación
x2 x
with(student); carga la librería student
changevar(eqn,Int,t); realiza un cambio de variable definido por
eqnen la integral inerte Int,resultando en una
integral con una n ueva variable t
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intparts(Int,u); da uv v du para la integral inerte
Int u dv
simpson(f,x=a..b,n); aproximación por Regla de Simpson con n
paneles
trapezoid(f,x=a..b,n); aproximación por la Regla del Trapezoide con
n paneles
int(f,x=a..b, Cauchy Principal Value); da el Valor Principal de Cauchy de las
integrales impropias
COMANDOS PARA SERIES
taylor(f,x=a,n); polinomio de Taylor de orden n-1, en x=a, para
f
mtaylor(f(x,y),[x=a,y=b],n); calcula un polinomio de Taylor multivariable
de grado n , en el punto (x,y)=(a,b)
convert(taylor(f,x=a,n),polynom); convierte resultados del comando taylor en
polinomios
COMANDOS PARA COORDENADAS POLARES Y ECUACIONES
PARAMETRICAS
plot([x(t),y(t),t=a..b]); grafica la curva paramétrica x = x(t) , y = y(t)
plot( [r(t), t , t = a..b], coords=polar ); gráfico polar de r = r(t)
plot( [r(t), t , t = a..b], c..d , e..f, coords=polar ); grafica polares y regula el tamaño de los
ejes horizontal y vertical, donde “c..d” son
para eje horizontal y “e..f ” para eje vertical
COMANDOS PARA VECTORES Y GRAFICOS EN ESPACIO 3D
plot3d(f(x,y),x=a..b, y=c..d; grafica en 3D la superficie z=f(x,y)
with(linalg); carga la librería de álgebra lineal
crossprod(v1,v2); calcula el prodicto cruz de los vectores
v1 y v2
det(A); calcula el determinante de la matriz A
dotprod(v1,v2); calcula el producto punto de los
vectores v1 y v2
normalize(v); da el vector unitario v/(longitud de v)
stack(v1,v2); forma matrices cuyas filas son vectores
v1, v2
matrix(2,3,[a,b,c,d,e,f]) crea una matriz 2 x 3 cuyos entradas
son las filas a,b,c; y; d,e,f
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vector([a,b,c]); crea el vexctor ai+bj+ck
with(plots); carga la librería plots
plot3d(f(x,y),x=a..b, y=c..d; grafica en 3D la superficie z=f(x,y)
implicitplot3d(f(x,y,z),x=a..b,y=c..d,z=p..q); grafica la superficie z=z(x,y)definida
implícitamente por f(x,y,z)
spacecurve([x(t),y(t),z(t)],t=a..b); grafica la curva 3D x=x(t), y=y(t),
z=z(t)
display3d({l1,l2}); grafica simultáneamente dos entes 3D
definidos previamente por
l1:=plot3d(etc...): y l2:=plot3d(etc...):
pointplot3d({[a,b,c],[d,e,f],[p,q,r]}); grafica puntos en 3D
cylinderplot(r(t,z),t=a..b,z=c..d); grafica r(t,z) en coordenadas cilíndricas
sphereplot(r(t,f),t=a..b,f=c..d); grafica la superficie 3D r(t,f) en
coordenadas esféricas
contourplot(f(x,y), x=a..b,y=c..d); genera una colección de curvas de nivel
contourplot(f(x,y), x=a..b,y=c..d,contours=[p,q,r]); genera curvas de nivel para
constantes z=p,q,r
with(linalg); carga la librería de álgebra lineal
evalm(v/c); evalúa una matriz aritmética, dividiendo el
vector v por el escalar c
norm(v,2); calcula la norma euclidiana (longitud) del
vector v
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