Signaux et Syst�mes by HC11112609384

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									                      Signaux et Systèmes


 Intervenants:
           Hugues BENOIT-CATTIN
           Chantal MULLER




Département Télécommunications, Services et Usages   Année 2002-2003
                        Plan du cours


I.    Signaux et Systèmes
II.   Systèmes Linéaires Temporellement Invariants SLTI
III.  Séries de Fourier
IV.   Transformée de Fourier en Temps Continu
V.    Transformée de Fourier en Temps Discret
VI.   Caractérisation en Temps et Fréquence des signaux et
      des systèmes
VII. Transformée de Laplace
VIII. Transformée en Z
IX . Echantillonnage



                                                             2
                    I. Signaux et Systèmes


1 - Signaux Temps Continu et Temps Discret

2 - Transformation de la variable indépendante

3 - Signaux exponentiel et sinusoïdaux

4 - Impulsion unité et fonction échelon unité

5 - Systèmes Temps Continu et Temps Discret

6 - Propriétés de bases des systèmes




                                                 3
    I.1. Signaux Temps Continu et Temps Discret

A) Exemples de signaux et représentation mathématique

           signal = toute entité qui véhicule une information

         Exemples:
                        onde acoustique             Musique,
               courant électrique délivré            parole,
                     par un microphone                 ...


                         onde lumineuse              source lumineuse
                                                      (étoile, gaz, …)
               courant électrique délivré                     ...
                    par un spectromètre


                       suite de nombres                Mesures physiques


                          Photographie                          ...
                                                                           4
Représentation mathématique:

     Signal = fonction d ’une ou plusieurs variables indépendantes:
                 ex: (Voix)       Pression Acoustique = f(temps)
                      (Image)     Luminosité= f(x,y:variables spatiales)
      par la suite: 1 seule variable indépendante = temps

Signaux Temps Continu:
     La variable indépendante est continue  t
     ex:     la voix en fonction du temps,
             la pression atmosphérique en fonction de l ’altitude


Signaux Temps Discret:
     Définis seulement pour des temps discrets
     La variable indépendante est un ensemble discret de valeurs  n
       ex:      indice Dow-Jones du marché boursier
               études démographiques ...


                                                                           5
Exemples:      a) d ’un signal continu x(t)      b) d ’un signal discret x[n]:




Remarques:
  x[n] n ’est défini que pour des valeurs entières de n.
  x[n] : signal Temps Discret ou séquence Temps Discret.

   2 types de signaux discrets:
   a) Signaux représentant un phénomène dont la variable indépendante est discrète
   b) Signaux provenant d ’une opération d ’échantillonnage:
      x[n] représente les échantillons successifs d ’un phénomène pour lequel la
      variable indépendante est continue (niveau quantifié ou non...)

                                                                                     6
         B) Energie et puissance d ’un signal


Définition: par analogie avec les signaux électriques

                                  Temps Continu                           Temps Discret

                                                                               
                                  Ex        xt  dt                    E x   xn 
                                                    2                                      2
      Energie
                                                                               


                                                T

                                                 xt 
                                                                                         N
                                         1
                                                                                             xn 
                                                                                  1
                              Px  lim                                                  
                                                          2
                                                                   Px  lim
                                                                                                   2
 Puissance moyenne                                            dt
                                  T  2T                              N   2 N  1
                                               T                                      n N




3 Classes de signaux:
      - Signaux à Energie finie
      - Signaux à Puissance moyenne finie
      - Signaux à Energie et Puissance moyenne infinies


                                                                                                       7
- Signaux à Energie finie


          1
                                                    Ex     Px  0

              0       1               t

- Signaux à Puissance moyenne finie

              4
                                                    Px     Ex  
    ...                         ...


             0                     n
- Signaux à Energie et Puissance Moyenne infinies


                                                    Px     Ex  
              1
                  1         t

                                                                      8
          I.2. Transformation de la variable indépendante

         A) Exemples de transformations


Décalage temporel




          t 0 < 0 : AVANCE                     n 0 > 0 : RETARD
                                                                  9
Inversion temporelle




Changement d ’échelle




                        10
   B) Signaux périodiques



     x(t )  x(t  T )                                 xn  xn  N 




Remarques:
              T0 = période fondamentale = plus petite valeur possible de T

              Px          Ex  
                                                                             11
     C) Signaux Pairs et Impairs

                  Pairs                                             Impairs

         x (t )  x ( t )                                    x (t )   x ( t )
         xn   x n                                       xn    x n 



Propriété:
             Tout signal se décompose en la somme:
             - d ’un signal pair xpair(t) et
             - d ’un signal impair ximpair(t)


  x pair t  
                1
                  xt   x t 
                2                               x(t )  x pair (t )  ximpair (t )
  ximpair t   xt   x t 
                 1
                  2
                                                                                     12
                 I.3. Signaux exponentiels et sinusoïdaux

           A) En Temps Continu

Signaux à exponentielle réelle:   x(t )  Ce at    avec     C et a réels

                                                                             phénomènes physiques
       a0                                                 a0




Signaux à exponentielle complexe périodiques et signaux sinusoïdaux:                       x(t )  e j 0t
                                                                2                         Ex  
                                               0  2f 0 
                                                                T0
                                              e j0t  e j0 (t T )  e j0t e j0T        e j0T  1

                                                                                       
                                              xt   A cos 0t     Ae e j (0t  )        
                                              A cos 0t    
                                                                        A j j0t A  j  j0t
                                                                          e e  e e
                                                                        2         2
                                                                                                             13
  Remarques :
  - Signaux à exponentielle complexe périodiques appelés aussi signaux harmoniques
  - Ensemble d ’exponentielles harmoniquement reliées =
   Ensemble d ’exponentielles périodiques ayant en commun la période T0 :

                     k t   e jk 0t , k  0,  1,  2,...



Signaux à exponentielle réelle et complexe :   x(t )  Ceat avec a  r  j0 et C  C e j

              r 0                                              r 0




                                                                                             14
          B) En Temps Discret

Signaux à exponentielle réelle:   xn  C n   avec   C et  réels


                 1                                            0  1




              1    0
                                                                   1




                                                                          15
Signaux à exponentielle complexe et sinusoïdaux:                 xn  e j 0 n   xn  A cos( 0 n   )

 Propriétés liées au Temps Discret:

    1)     e j 0  2 n  e j 2n e j0n  e j0n
           e j0n  e j 0  2 n  e j 0  4 n      même signal pour des
                                                               pulsations différentes!...
                 0 < 0 < 2
                  0 < f0 < 1


    Le taux d ’oscillations de         e j0n     n ’augmente pas en fonction de 0 !…

                Basses fréquences                      0  2k 
                Hautes fréquences                     0  2k  1




                                                                                                              16
Sinusoïdes Temps Discret à différentes fréquences




                                                    17
2)   Périodicité:                Pas toujours!...


        e j0 ( nT )  e j0n
                  j 0 N                0 m              Signal périodique si 0 / 2 est un entier
        Si e               1            
                                        2 N              ou une fraction rationnelle

         Alors        0      Fréquence fondamentale
                       m
                 xn  cosn / 6      Non périodique!




 périodique                                  périodique                        non périodique
                                                                                                       18
   3) Exponentielles reliées harmoniquement
                                  2 
                              jk     n
                 k n  e       N 
                                            k  0,1,...

                                                  2              2 
                                      j ( k  N )    n        jk     n
                 k  N n  e                  N 
                                                           e       N 
                                                                             e j 2n  k n
                    seulement N exponentielles distinctes...


Signaux à exponentielle réelle et complexe : xn  C n avec    e j 0 et C  C e j


                 1                                                                 1




                                                                                                19
               I.4. Impulsion unité et fonction échelon unité

       A) En Temps Discret
                                                                            n
Impulsion Unité:                                                   1
                               0, n  0
                        n  
                               1, n  0
                                                                        0                  n


Echelon Unité:                                                              u n 
                              0, n  0                           1
                       un  
                                                                                     ...
                              1, n  0                               0                    n

Relations:
                                                           
             n  un  un  1              un     n  k 
                                                          k 0


             xnn  x0n

             xnn  n0   xn0 n  n0 
                                                                                               20
            B) En Temps Continu                               u(t)

Echelon Unité:
                               0, t  0
                     u t   
                              
                             1, t  0
                                                                                       t


Impulsion Unité ou Dirac:

                          dut 
 On veut:         t                   Problème!...
                           dt



                                                                   t    Signal Pulse




                               t   lim   t       Impulsion de Dirac
                                        0

                                                                                           21
Propriétés du Dirac:

 Modélisation mathématique issue de la théorie des Distributions (Laurent Schwarzt)...

  - (t) n ’a pas de durée, sa hauteur est infinie et son aire est égale à l ’unité
                                              

                                                 t dt  1
                                              

  - représentation de (t):                                 (t)     fonction singulière
                                                     1



                                                                              t
   Besoin des physiciens:
   (t) modélise par exemple le courant i(t) d ’un filtre RC lors de la charge d ’un condensateur...


  - (t) peut être pondéré par un scalaire

               k.(t) a une aire de k


                                                                                                       22
 xt  t   x0 t     xt  t  t0   xt0  t  t0 




                          

 xt  t  dt  x0

                             xt  t  t  dt  xt 
                                          0             0
                            




                                    dut 
 u t    t   d        t  
         
         0
                                       dt



                                                                    23
            I.5. Systèmes Temps Continu et Temps Discret

            x(t)  y(t)                                  x[n]  y[n]


               Système                                         Système
  x(t)          Temps            y(t)            x[n]          Temps               y[n]
               Continu                                         Discret




Exemples:

- Relation entre la tension aux bornes d ’un condensateur et la tension d ’entrée
- Relation entre la vitesse d ’un véhicule et la force appliquée
                                                            dyt 
      équations différentielles linéaires du 1er ordre:            ayt   bxt 
                                                             dt

  - Evolution d ’un compte bancaire          yn  1.01 yn  1  xn


                                                                                          24
    Interconnexions de systèmes

    Idée:       des systèmes complexes peuvent être construits en interconnectant
                des sous ensembles plus simples...



            Interconnexion Série                          Interconnexion Parallèle

                                                                  Système 1
E       Système 1        Système 2      S            E                              +   S
                                                                 Système 2



     Interconnexion Rétro-actionnée


E           +       Système 1               S


                   Système 2


                                                                                            25
                       I.6. Propriétés de base des systèmes


Système sans mémoire:
   La sortie y à l ’instant t ou n ne dépend que de l ’entrée x à ce même instant


Système inversible:
   Des entrées distinctes conduisent à des sorties distinctes
                                               y[n]
         x[n]                                                  Système       w[n]=x[n]
                            Système
                                                               inverse


Système causal:
   La sortie à n ’importe quel instant ne dépend que des valeurs de l ’entrée
   aux instants présent et passés

                  n
         y[n]   x[n]                y[n]  x[n]  x[n  1]             y[n]  x[n]
                  



                                                                                         26
Système stable:
       A une entrée bornée: |x(t)|  M t correspond une sortie bornée |y(t)|  N t
                                                          n
           y(t )  x(t )  x(t  1)               y[n]   x[n]
                                                         




Système temporellement invariant :
       Un décalage temporel sur le signal d ’entrée entraîne le même décalage temporel sur
       le signal de sortie

       x[n-n0]         Système          y[n-n0]           x(t-t0)          Système           y(t-t0)



Système linéaire:  Propriété de superposition

Soit        x1 (t )  y1 (t )         Alors          a.x1 (t )  b.x2 (t )  a. y1 (t )  b. y2 (t )
            x2 (t )  y2 (t )
            x1 n  y1 n                         a.x1[n]  b.x2 [n]  a. y1[n]  b. y2 [n]
            x2 n  y2 n

                                                                                                       27
  II. Systèmes Linéaires Temporellement Invariants SLTI



1 - SLTI Temps Discret: Somme de Convolution

2 - SLTI Temps Continu: Intégrale de Convolution

3 - Propriétés des SLTI

4 - SLTI causaux décrits par des équations différentielles et par
    des équations aux différences




                                                                    28
          II.1 SLTI Temps Discret: Somme de Convolution
  Etude d ’un sous-ensemble de systèmes:                         Nb Propriétés
       Systèmes Linéaires Temporellement Invariants
                                                                Outils puissants

A) Représentation d ’un signal Temps Discret à l ’aide des signaux impulsions

               
      xn   xk  n  k 
                                       Somme pondérée d ’impulsions
                                       décalées temporellement
              




                                                                                   29
             B) Réponse d ’un SLTI Temps Discret


a) Réponse d ’un système linéaire (pas forcément T.I.)
                                      
   Signal d ’entrée            xn   xk  n  k 
                                      


   Si       n  k   hk n




                             
   Alors:          yn     xk  h n
                                       k       Principe de superposition
                            k  


                                                                           30
Interprétation graphique de la réponse d ’un système linéaire Temps Discret




  La réponse au signal x[n] est une combinaison linéaire
  des réponses associées à chaque impulsion n décalée temporellement

                                                                              31
b) Réponse d ’un SLTI

 Il suffit de connaître la réponse h0[n] à [n] ...


 Invariance Temporelle  n  h0 n                n  k   hk n  h0 n  k 



 Définition:      Réponse impulsionnelle = Réponse d ’un SLTI à l ’impulsion unité

                         [n]                 SLTI               h[n]            hn  h0 n



 On obtient:                       
                         yn     xk  hn  k      Somme de convolution
                                  k  


                         yn  xn hn

           SLTI entièrement caractérisé par sa réponse impulsionnelle
                                                                                                 32
   C) Exemple de calcul de l ’opération de convolution




Inversion de h[k] en h[-k]




Décalage temporel h[n-k]


                                                Résultat de la convolution y[n]




                                                                                  33
           II.2 SLTI Temps Continu: Intégrale de Convolution

A) Représentation d ’un signal Temps Continu à l ’aide des impulsions de Dirac



                                                                 1
                                                                 
                                                        t     0  t  
                                                                  0 ailleurs
                                                                 




                                                                 
                                                      xt  
                                                      ˆ          xk  t  k 
                                                                         
                                                                k  




                                                                                       34
                     
    xt   lim      xk  t  k 
                              
              0
                    k  




                
     xt           x  t   d
                                                        « Somme » pondérée d ’impulsions de Dirac
                                                                décalées temporellement
                




             B) Réponse d ’un SLTI Temps Continu

a) Réponse d ’un système linéaire (pas forcément T.I.)

                                             

     Signal d ’entrée:            xt  
                                  ˆ          xk  t  k 
                                                          
                                            k  


       Si:                          n  k   hk n
                                                  

       Alors:                       y t  
                                    ˆ              xk h t 
                                                          ˆ
                                                              k      Principe de superposition
                                               k  

                                                                                                    35
Interprétation graphique de la réponse d ’un système linéaire Temps Continu




     La réponse au signal x t  est une combinaison linéaire
                          ˆ
     des réponses associées à chaque pulse   t  décalé temporellement
                                           

        y t   lim    xk h
                               ˆ
                                k   t    x  h t d   avec h t  réponse à  t   
                 0
                       k                  
                                                                                                     36
 b) Réponse d ’un SLTI
                                   

Signal d ’entrée:        xt      x  t   d
                                   
                                     
Signal de sortie:          yt      x h t d
                                     



Invariance Temporelle                     t   h0 t     t     h t   h0 t   

Définition:         Réponse impulsionnelle = Réponse d ’un SLTI à l ’impulsion de Dirac

                         (t)                         SLTI             h(t)             ht   h0 t 



                                   
On obtient:            yt        x ht   d                Intégrale de convolution
                                   


                        yt   xt   ht 
                                                              SLTI entièrement caractérisé
                                                              par sa réponse impulsionnelle
                                                                                                          37
C) Exemple de calcul de l ’intégrale de convolution
Exemples:
    John Hopkins University: « Joy of convolution »   http://www.jhu.edu/~signals
    Simon Fraser University (Vancouver):              http://www.sfu.ca/index2.htm




                                                                                     38
39
                                  II.3 Propriétés des SLTI

                                                            

Systèmes entièrement caractérisés               yn       xk hn  k   xn hn
                                                           k  
par leur réponse impulsionnelle                            
                                                y t      x ht   d  xt  ht 
                                                           




 Commutativité
                                                                      
         xn hn  hn xn                  xk hn  k    hk xn  k 
                                                k                   k  

                                                                      
         xt   ht   ht   xt             x ht   d   h xt   d
                                                                      




  x[n]                  h[n]             y[n]            h[n]                   x[n]           y[n]



                                                                                                      40
 Distributivité

              xn h1 n  h2 n  xn h1 n  xn h2 n   (IDEM T.C.)




      Une combinaison parallèle de plusieurs SLTI peut remplacer un seul SLTI dont
la réponse impulsionnelle est la somme des réponses impulsionnelles des SLTI interconnectés

                                                                                         41
   Associativité

    xn h1 n h2 n  xn h1 n  h2 n  xn h1 n h2 n   (IDEM T.C.)




Une combinaison série de plusieurs SLTI peut remplacer un seul SLTI dont la réponse
impulsionnelle est la convolution des réponses impulsionnelles des SLTI interconnectés

La réponse impulsionnelle d ’un SLTI résultant de l ’interconnexion série de plusieurs
SLTI ne dépend pas de l ’ordre dans lequel ils ont été cascadés
                                                                                            42
 Multiplication par un scalaire

                x[n]  y[n]  x[n]  y[n]  x[n] y[n]
                                                                                      (IDEM T.C.)




Elément neutre:
                        xt    t   xt         xn n  xn



Décalage temporel:
               yn  n0   x[n  n0 ]  h[n]  x[n]  h[n  n0 ]                      (IDEM T.C.)

               xt    t  t0   xt  t0        xn n  n0   xn  n0      Très important



Dérivation:
            Dx  y   Dx   y  x  Dy 

                           dxt                  Dx n  xn  xn  1
                Dxt  
                            dt
                                                                                                         43
 SLTI sans mémoire             hn  0    pour n  0              (IDEM T.C.)




 SLTI inversible               hn hi n  n            ht   hi t    t 




 SLTI causal                   hn  0    pour n  0
                                ht   0   pour t  0




                           
 SLTI stable
                        hk   
                       k  
                                                      Sa réponse impulsionnelle est
                                                         absolument sommable
                      

                       ht  dt  
                      
                                                      Sa réponse impulsionnelle est
                                                          absolument intégrable

                                                                                          44
 Réponse d ’un SLTI à l ’échelon unité


  Réponse indicielle:         i[n]  hn un               it   ht   ut 

                                                                          dit 
                               h[n]  in  in  1           ht  
                                                                           dt

       Réponse indicielle utilisée aussi pour caractériser un SLTI




                                                                                      45
                     II.4 SLTI causaux décrits par
     des équations différentielles et des équations aux différences
                                                                                               N
                                                                                                     d k yt      M
                                                                                                                          d k xt 
A) Equations différentielles linéaires à coefficients constants
                                                                                               ak     dt   k
                                                                                                                   bk
                                                                                                                           dt k
                                                                 M N        Système Causal   k 0                k 0
 Description de phénomènes physiques TC:
  Réponse d ’un circuit RC, vitesse d ’un véhicule soumis à une accélération et des forces de frottement ...


               dyt                        avec xt   ke3t ut 
                       2 yt   xt  (1)
Exemple
                dt
Spécification implicite du système  relation ou contrainte entre l ’entrée et la sortie
a) Pour avoir une expression explicite  résoudre l ’équation, trouver y(t) génerale
b) Pour trouver une solution unique  Informations complémentaires, appliquer les conditions initiales


Rappels: Résolution d ’une équation différentielle à coefficients constants

                                      y gén t   y part t   yhom t 

  y part t    : solution particulière vérifiant (1) de même forme que l ’entrée
                                                                  dyt 
  yhom t      : solution de l ’équation homogène                        2 yt   0
                                                                   dt
                                                                                                                                  46
              y part t  
                            k 3t
D ’où:                        e , t 0         yhom t   Ae2t , t  0
                            5
              y gen t   Ae2t  e3t , t  0
                                  k                infinité de solutions
                                  5

Application des Conditions Initiales

Cas particulier                  SLTI CAUSAL + CI de SIAR: Système Initialement Au Repos


Définition:

Un système causal est initialement au repos, si sa sortie est nulle tant que son entrée est nulle
                     xt   0     pour t  t0 , alors         y t   0   pour t  t0



D ’où:        xt   0 pour t  0, alors              y t   0 pour t  0 et y gen 0  0


                                       y IAR t  
                                                      5
                                                       
                                                      k 3t
                                                                  
                                                        e  e  2t , t  0




                                                                                                    47
Propriété 1

   Un système, régi par une équation différentielle à coefficients constants, initialement au repos,
   est un SLTI IAR autrement dit un système convolutif


Propriété 2

 La solution yIAR(t) d’un système régi par une équation différentielle à coefficients constants et
 initialement au repos, est égale au produit de convolution de la réponse impulsionnelle h(t) du SLTI
 par l ’entrée x(t) appliqué au système

                                           yIAR t   ht   xt 

Propriété 3

  Dans le cas général, la solution y (t) d’un système régi par une équation différentielle à coefficients
  constants et non initialement au repos, peut se décomposer en la somme de yIAR (t) solution du
  système initialement au repos et de yZI(t) solution du système avec une entrée nulle et les conditions

                                yt  CI réelles  yIAR t   yZI t  CI réelles
  initiales réelles


                                   yt  CI réelles  ht   xt   yhom t  CI réelles
                                                                                                            48
                                                                           N                  M
B) Equations aux différences linéaires à coefficients constants            ak yn  k    bk xn  k 
                                                                          k 0                k 0


 Même méthode de résolution que pour les équations différentielles à coefficients constants

 Mêmes propriétés 1, 2 et 3 ...

  Cas particulier: SLTI CAUSAL , Système Initialement au Repos           yIAR n  hn  xn

  N                 M                               M
                                                                          N            
                                                                                        
   ak yn  k    bk xn  k      yn               bk xn  k    ak yn  k 
                                              1
                                                                                            Éq. récursive
 k 0              k 0                       a0    k  0
                                                                         k 1          
                                                                                        

                          M   bk                                              bn
                 yn     xn  k 
                                                  Éq. non récursive
                                                                                ,0nM
  Si N=0
                                                SLTI                 hn   a0
                        k 0  a0                                              0, ailleurs
                                                  Système FIR                  

                 Équation récursive  Réponse impulsionnelle du SLTI initialement au repos,
  Si N 1
                                       de durée infini
                 Système IIR

                                                                                                          49
                      III. Séries de Fourier

1-   Réponse d ’un SLTI à des exponentielles complexes

2-   Représentation en Série de Fourier des Signaux périodiques
     en Temps Continu

3-   Représentation en Série de Fourier des Signaux périodiques
     en Temps Discret

4-   Séries de Fourier et SLTI

5-   Filtrage




                                                                  50
                               III. Séries de Fourier


    Avant propos



        Merci M. Fourier!...




Jean-Baptiste Joseph Fourier

21/03/1768 (Auxerre) - 16/05/1830




                                                        51
           III.1 Réponse d ’un SLTI aux exponentielles complexes

Idées :
          1- Rechercher des signaux de base pouvant construire une grande classe de
          signaux par simple combinaison linéaire
          2- Réponses du SLTI à ces signaux suffisamment simples pour pouvoir déduire la
          réponse à n ’importe quel signal d ’entrée construit à partir de ces signaux de base


 Analyse de Fourier montre que les exponentielles complexes en TC et TD
vérifient ces propriétés :

          En temps continu:        e st  e( r  j )t

          En temps discret:         z  re
                                     n
                                              j n




 Propriété 1: un peu plus tard…


                                                                                                 52
Propriété 2:

      La réponse d ’un SLTI à une exponentielle complexe n ’est autre que
      la même exponentielle complexe multipliée par une amplitude complexe

                                                                                           valeur propre

                En temps continu:               e st  H s  e st
                                                                                                 vecteurs


                                                z  H z  z
                                                                                                  propres
                En temps discret:                  n                        n



 On démontre que:                                                                             valeur propre
                                                            
                En temps continu:               H s    h( )e  s d                     H(s) et H(z)
                                                            
                                                                                       fonctions de transfert
                En temps discret:               H z      
                                                            k  
                                                                     hk z k                 du système

   Exercices:
                     xt   a1e s1t  a2 e s2t  a3e s3t             xn    ak z k
                                                                                     n

                                                                                 k

                                                                                                                  53
Quelques exemples de signaux périodiques



              Sinusoïde



    Rectangle périodique



      Triangle périodique


           Dent de scie




                                           54
  III.2 Représentation des signaux périodiques T.C. en série de Fourier

 Tout signal périodique de puissance finie peut se représenter sous la forme
 d ’une combinaison linéaire d ’exponentielles complexes reliées harmoniquement

                                                              Synthèse
                                
f 0  1/ T           x(t )     X k e jk 0t
                               k  
0  2f 0
                        1
                               
                                T /2
0  2 / T        Xk                   x(t ) e  jk0t dt
                        T       T / 2

                                                               Analyse
 coefficient de Fourier ou coefficient spectral



                       e j 0t  cos 0t  j sin  0t
                                                                                        e jk 0t  e  jk 0t
                        cos  0t  Re e        j 0 t
                                                             Euler:     cos(k 0t ) 
                                                                                                 2
                                           
                        sin  0t  Im e j 0t                                         e jk 0t  e  jk 0t
                                                                         sin(k 0t ) 
                                                                                                2j              55
Composante continue:

                          x t dt
                       1
               X0 
                       TT                       Valeur moyenne du signal sur une période T


Composante fondamentale ou 1er harmonique:

               x fondamental t   xharm1 t   X 1e j0t  X1e j0t

  Signal de même fréquence que le signal périodique f0 = 1/T

kième harmonique:
                    xharm  k t   X  k e  jk 0 t  X k e jk 0 t

                  Signal de fréquence f = kf0                      Tk=T/k


 Exercices:
       Trouver les développements en série de Fourier complexe de:
                                                                                 
        xt   sin  0t          xt   1  sin  0t  2 cos  0t  cos 2 0t  
                                                                                 4

                                                                                              56
Forme trigonométrique:
     Tout signal périodique réel de puissance finie peut être représenté par une
     combinaison linéaire de sinus et de cosinus
                                                                Rapport cyclique =1/2  B2k=0
Ak et Bk : Coefficients de Fourier réels

                                                                           Ak=0

                  A cos(k t )  B sin(k t )
       A
x(t )  0              k        0       k         0
                                                                               (signal impaire)
        2        k 1

         T /2                                                               1(4/)
     2
Ak     / 2x(t ).cos(k0t )dt
     T T
                                      k  0,1,2,...                            (fondamentale)


                                                                            1+ 3 (4/3)
          T /2
       2
Bk       / 2x(t ).sin(k0t )dt
       T T
                                      k  1,2,3...

 Lien avec la série exponentielle:                                          1+ 3+5 (4/5)


X 0  A0 X k 
                   1
                      Ak  jBk  X k  1  Ak  jBk 
                   2                     2
                                                                            1+ 3+ 5 + 7 (4/7)

  Fréquence fondamentale:             Composante
                    2                                                     B2 k 1 
                                                                                           4
       0  2f 0                    continue: A0                                     2k  1
                    T                           2                                                  57
  Exemples de Coefficients de Fourier
                                        Le spectre du signal




Pour ça ?


                   T=5
                                                      Regraduons l ’axe des n
                                                      en fréquence ...




         A sin(n 0 / 2)
    Xn 
         T     n 0 / 2

            A  sin (n  f 0  )
    Xn 
            T      n  f0 
                                                                                58
         Propriétés des Séries de Fourier en Temps Continu

                                 z t    xt    y t   Z k   X k   Yk
                                                                     FS
 Linéarité



                                         xt  t0   X k e  jk 0t0
                                                      FS
 Décalage temporel



                                           x t   X k
                                                    FS
 Inversion temporelle                                                          x(t) paire         Xk paire
                                                                                x(t) impaire       Xk impaire


                                                    

 Changement d ’échelle               x t       X      k   e j  0 kt       x(t) : T, 0  x(t) : T/, 0
                                                   k  
                                                                                    Xn inchangé, mais représentation de la
                                                                                    série de Fourier modifiée


                                                                   
                         z t   xt  y t   Z k 
                                                    FS
 Multiplication                                                  X Y
                                                                 l  
                                                                           l k l
                                                                                        Convolution discrète

                         xt , y t , z t    de même période T

                                                                                                                             59
                       x t   X  k
                              FS
 Conjugaison                    



                                    X k  X k 
                                                     Symétrie conjuguée
                                   
                       x(t) réel   Re X k  : paire    X k : paire
                                    Im  X  : impaire  X : impaire
                                          k                k

                       x(t) réel et paire                         Xk réel et paire
                       x(t) réel et impaire                       Xk imaginaire et impaire

 Relation de Parseval

                                        
                         xt  dt   X k
                        1       2                        2
                Pmoy
                        TT            k  



                                   1               2
              Pmoy harm  k        X k e jk 0t dt  X k
                                                               2

                                   TT


  La puissance moyenne d ’un signal périodique est égale à la somme des
  puissances moyennes de toutes ses composantes harmoniques

                                                                                              60
III.3 Représentation des signaux périodiques T.D. en série de Fourier

  Signal périodique                 xn  xn  N                         Période N
                                                                            Fréquence fondamentale: 0= 2/N
    Problème:
                                                        2
                        xn  e
                                                    j      n
                                      j 0 n
Prenons:                                       e       N


                                                                                                                      2 
                                                                                                                  jk     n
Ensemble des signaux périodiques avec la période N:                                       k n  e                  N 
                                                                                                                                  k  0,1,...

                                                                                                    2                 2 
                                                                                      j ( k  rN )     n           jk     n
Seulement N exponentielles distinctes                          k rN n  e                       N 
                                                                                                             e          N 
                                                                                                                                  e j 2nr  k n

Représentation d ’un signal périodique avec les séquences k n :
                                                                                                            2
                       xn     X  n   X e                                          X e
                                                                                                             jk      n
                                                                            jk 0 n
                                           k    k                       k                            k
                                                                                                                  N

                                k                           k                       k  

Seulement N k n  distinctes
                                                                                                        2
                                                                                                                               Série de Fourier
      xn      X k k n                                                  X e
                                                                                                     jk    n
                                                 X k e jk0n                                  k
                                                                                                        N                       Temps Discret
                k N                           k N                            k N
                                                                                                                                   Série Finie
                                                                                                                                                      61
          Décomposition en Série de Fourier d’un signal périodique discret

   Tout signal discret périodique (période N) peut être représenté par une combinaison linéaire de N
   exponentielles complexes discrètes reliées harmoniquement
                                                                                                                  Synthèse
                                                                                             2
                                 xn       X                       X
                                                                                          jk    n
                                                     k   e jk0n                 k   e      N

                                            k N                     k N
                                                                                                           2

                                               xn e  jk0n                xn e
                                1                                    1                               jk      n
                           Xk                                                                            N

Coefficient de Fourier          N        n N                        N      n N
ou Coefficient spectral                                                                                            Analyse

   Remarque               xn  X 0 0 n  X 11 n  ...  X N 1N 1 n
                          xn  X 11 n  X 2 2 n  ...  X N N n
             Donc:
                          X0  X N                  X k  X kN                   ...


         Les coefficient Xk sont périodiques de période N
         La représentation en Série de Fourier Temps Discret est une série FINIE de N termes


                                                                                                                             62
        Propriétés des Séries de Fourier en Temps Discret


                        zn  xnynZ k 
                                             FS
 Multiplication                                         X Y
                                                        l N
                                                                     l k l
                                                                              Convolution discrète
                                                                                   périodique

                        z[n] périodique N  Zk périodique N

                                                             2
                                                       jk
                              xn  n0  X k e
                                             FS                 n0
 Décalage temporelle                                        N0




                                                    2
 Différenciation                                              
                         xn  xn  11  e N
                                             FS jk
                                                                Xk
                                                               
                                                               


                                            xn  
                                 1
                                                     
                                                  2                  2
 Parseval              Pmoy                                 Xk
                                 N   n N             k N


   La puissance moyenne d ’un signal périodique est égale à la somme des
   puissances moyennes de ses N composantes harmoniques

                                                                                                     63
                                       III.4 Séries de Fourier et SLTI
Fonctions de Transfert:
                                                                 
                       e  H s  e                   H s       h( ) e  s d
                          st               st
        T.C. :
                                                                 
                                                                      
                       z  H z  z                   H z              hk  z k
                          n                n
        T.D. :

                                                                 k                                  Avec h() , h[k]
Réponses fréquentielles:                                                                          réponses impulsionnelles
                                                                 
                                                    H  j       h(t )e
                                                                                 j t                      des SLTI
        T.C. :            s  j                                                         dt
                                                                 

                                                       
                                                                  
        T.D. :            ze   j                 H e j         hne  j n
                                                                 n


                                                                                                          
Réponse d ’un SLTI à une
 exponentielle complexe
                                         e j0t  H  j0  e j0 t                           e j0n  H e j0 e j0n


  Réponse d ’un SLTI                                  
                                     cos0t   Re H  j0  e j0 t                                       
                                                                                    cos 0 n  Re H e j0 e j0 n       
 à un signal sinusoïdal
                                                                                                    
                               cos0t   H  j0  cos0t  H  j0  cos 0 n  H e j0 cos  0 n  H e j0    
                                                                                                                              64
      Réponse d’un SLTI à une entrée périodique

 Principe de superposition

   La réponse d ’un SLTI à une combinaison de plusieurs signaux d ’entrée peut se déterminer en
   faisant la somme des réponses individuelles à chacun de ces signaux

                                          Temps Continu                          Temps Discret

                                                                                                    2
                                xt                                        xn 
                                                                                                 jk      n
   Signal d ’entrée
     périodique
                                              X k e j k t
                                                          0
                                                                                        Xk e         N
                                            k                                      k N


                                                                               
                                                                                       
                             H  j    h(t )e      j t                     j
                                                                                          hne  j n
Réponse fréquentielle
       du SLTI
                                                              dt           He
                                                                                      n

                                                                                                          
                                                                                          j k 2N      j k 2N n
                          yt      X k H  j k0 e         j k0 t
                                                                         yn      Xk He           e
  Réponse du SLTI
au signal périodique                                                                                 
                                    k                                        k N                 

                                                                                          j k 2 
                             Yk  X k H  j k0                                        He    N 
Coefficient de Fourier
                                                                         Yk  X k
de la sortie périodique
                                                                                                 
                                                                                                                 65
Réponse d ’un SLTI à un signal périodique                 y(t)
                                            x(t)   SLTI




                          1                                      3




                          2                                      4
                                                                     66
                                            III.5 Filtrage
Intérêt:
 Changer la forme d ’un spectre, laisser passer certaines fréquences et en atténuer ou éliminer d ’autres


  Filtres sélectifs
                       Filtres idéaux Temps Continu                Filtres idéaux Temps Discret



Passe Bas




Passe Haut




Passe Bande


                                                                         Périodicité 2 :   e j n  e j   2  n
                                                                         HF pour = (2k+1)                            67
           Exemples de filtres Temps Continu

Résolution des équations différentielles à coefficients constants
Systèmes décrits par des équations différentielles à coefficients constants et initialement au repos sont
des SLTI


Exemple: Filtre Passe-Bas RC
                                                    dVC t 
                    R
                                               RC             VC t   VS t 
                                                      dt
                              C
 VS(t)     +                      VC(t)
                                               VS t   e j t  VC t   H  j e j t
           -


                                               H  j  
                                                                 1
                                                            1  RCj


 Exemple: Filtre Passe-Haut RC
                C



 VS(t)     +                      VR(t)
                          R




           -




                                                                                                            68
           Exemples de filtres Temps Discret

Résolution des équations aux différences à coefficients constants
Systèmes décrits par des équations aux différences à coefficients constants et initialement au repos
sont des SLTI

Filtre récursif du 1er ordre (IIR: Infinite Impulse Response)

     yn  ayn  1  xn            a 1

                                           
            xn  e j n  yn  H e j e j n

                 
               H e j 
                              1
                          1  ae  j


Filtre non récursif (FIR: Finite Impulse Response)

      yn   xn  1  xn  xn  1
            1                                Filtre à moyenne glissante
            3

      hn  n  1  n  n  1
            1
            3

                                
     H e j  e  j  1  e j  1  2 cos  
              1
              3
                                   1
                                   3

                                                                                                       69
          IV. Transformée de Fourier en Temps Continu


1 - Signaux Apériodiques: Transformée de Fourier Temps Continu

2 - Paires de Transformées de Fourier en Temps Continu

3 - Propriétés de la TF Temps Continu

4 - Propriété de la convolution

5 - Propriété de la multiplication

6 - Signaux Périodiques et Transformée de Fourier

7 - Réponse fréquentielle d’un SLTI régi par des équations
   différentielles linéaires à coefficients constants


                                                                 70
                A sin(n 0 / 2)                   sin( / 2)
           Xn                      X  j   A                    Enveloppe des échantillons
                T     n 0 / 2                        / 2                         T Xn
                                                       T Xn
T                                                     A / 20
    5
                                                                         X  j 




                                                               0   50     100

                                                      T Xn
T                                                    A / 20
     10

                                                                          X  j 



                                                               0   100    200


                                                       T Xn
T
     20                                             A / 20
                                                                         X  j 




                                                               0   200     400
                                                                                            71
            IV.1 Signaux Apériodiques: Transformée de Fourier T.C.

Rappels: Signaux périodiques (T) à puissance finie - Série de Fourier                                                 ~t 
                                                                                                                      x                   0  2 / T
                                                         T /2
  ~t  
                                                       / 2x t e dt
                                                    1 ~  jk0t
  x         X
            k  
                      k   e   jk 0t
                                               Xk 
                                                    T T
                                                                                                ...                                                     ...
                                                                                                          -T        -T1 0 T1         T        2T              t
 Somme infinie d ’exponentielles complexes reliées harmoniquement - Spectre discret

                                                                                                                      x(t)
                                       T /2                        
                                       xt e 0 dt   xt e 0 dt
                                1             j k t 1       j k t

                                T T/ 2
  Or:                Xk 
                                                      T 
                                                                                                                    -T1       T1              t
                                              

  Soit:              X  j                  xt e  j t dt        Enveloppe des échantillons T.Xk
                                              

                                  X  j k 0 
                              1
                      Xk 
                             T
                                                                          
                     ~t             X  jk 0 e jk 0t                 X  jk e
                                    1                         1
                     x        
                             k   T                        2            k  
                                                                                            0
                                                                                                      jk 0t
                                                                                                               0

                                                                                    
                                                            xt                        X  j e
                              ~t   xt                           1                                    j t                     Intégrale
  Si    T                   x
                               0  d                              2          
                                                                                                                 d
                                                                                                                               de Fourier
                                                                                                                                                         72
                                                 Série de Fourier
 Signaux périodiques                                                                       Somme infinie d ’exponentielles
                                                                
      Période T                                  xt          X k e jk 0t             complexes reliées harmoniquement

       0  2 / T                                             k                        Spectre discret apériodique
    Puissance Finie                                        T /2
                                                         xt e  jk0t dt
                                                   1
                                                   T T/ 2
              xt 
                                              Xk                                                    Xk




          0               T       2T t                                                             0 1 2              k




                                         Transformée de Fourier                         Transformée de Fourier Inverse
                                                                                                    (Synthèse)
Signaux apériodiques
                                                                                                 Intégrale infinie
                                                          
                                         xt                 X  j e
                                                  1                         j t
                                                                                  d
    Période T                                                                             d ’exponentielles complexes
    Energie Finie                                2   
                                                                                         Spectre continu apériodique
                                                                                                   X(j)
                                            X  j        xt e
                                                                         j t
          x(t)
                                                                                 dt
                                                           
      0               T       t                                                                                           
                                              Transformée de Fourier Directe (Analyse)
                                                                                                                              73
Transformée de Fourier en Temps Continu pour des Signaux Apériodiques




                                j t                                  j 2f t
  xt              X  j  e               xt           X  f e
           1
          2                          d
                                                      
                                                                                    df

                                                        
     X  j      xt  e  j t dt         Xf         xt  e  j 2f t dt
                                                        




               Pulsation                                   Fréquence




                                                                                         74
                      IV.2 Paires de Transformées de Fourier en TC

       Signaux                       TF fréquence                               TF pulsation

             t                            1                                          1
               1                           f                                     2  

cos2f 0t   cos 0t          f  f 0     f  f 0              0       0 
                              1
                              2
                                                                       
sin 2f 0t   sin  0t 
                              1
                                   f  f 0     f  f 0                 0       0 
                              2j                                        j

                                         f                                      
                                     1             1                                            1
             u t 
                                     2          j 2f                                          j

       1, t  a / 2                                                                    
  xt                                a sincfa                               a sinc a 
       0, t  a / 2                                                                   2 

             
                                           1         k         2              2        
                                                                                                           2 
PT t      t  kT         P1  f                             P2  j               k
                              1
                                                   f                                                       
            k              T T          T k      T         T T             T        k           T 
   Peigne de Dirac

                                                                                                               75
Principales paires
      de la
 Transformée de
 Fourier Temps
    Continu




                     76
                 IV.3 Propriétés de la TF Temps Continu

                                  xt    yt    X  j    Y  j 
                                                     TF
 Linéarité

                                                   
                                 x t  
                                           TF   1
                                                                          x t   X  j 
                                                                                    TF
 Changement d ’échelle                          X j 
                                                  
                              Contraction Temporelle ( >1)  Dilatation Fréquentielle


 Dualité




                          xt  t0   X  j  e
                                      TF
                                                                          xt  e             X  j    0 
                                                                                             TF
                                                        j t 0                     j 0 t
 Décalage

                          xt  t0   X  j  e  j X  j  t0 
                                      TF




                          dx t  TF                                                              dX  j 
                                                                           jt x t  
                                                                                             TF
 Dérivation                       j X  j                                                      d
                           dt
                                                                                                                   77
  Conjugaison
                                          x t   X   j 
                                                      TF
                                            



     Cas particulier: x(t) réel                Symétrie conjuguée:              X  j  X   j 

                                                       ReX  j : paire            X  j  : paire
                                                      ImX  j : impaire           X  j  : impaire

      x(t) réel et paire                       X(j) réel et paire
      x(t) réel et impaire                     X (j) imaginaire et impaire


  Relation de Parseval

                                                                                             X  j 
                                                                                                        2
                                                          
          xt                         X  j                     Xf 
                              1
                                                             
                  2                               2                        2
E                    dt                              d                     df Densité Spectrale d’Energie
     
                             2                                                        du signal x(t)

Energie total d ’un signal            =   Energie par unité de temps intégrée sur tous les temps
                                      =   Densité spectrale d ’énergie intégrée sur toutes les fréquences


                                                                                                                78
                                     IV.4 Propriété de la convolution
                                                                      
Recherchons la TF de y(t)=x(t)*h(t)                        y t      x ht   d
                                                                      
                                                                           
                    
                    
                                          jt  
                                                                                                Rappel: vrai si SLTI Stable
      Y ( j )     x ht   d  e dt   x   ht   e  jt dt  d                        
                    
                    
                   
                                        
                                        
                                                       
                                                        
                                                              
                                                                                
                                                                                                             ht  dt  
                                                                                                            

                    x H ( j )e           d  H ( j )  x e  j d
                                       j
      Y ( j )                                                                  H ( j ) X ( j )
                                                            



                                                         TF
                           yt   xt   ht   Y  j   X  j  H  j 

                                                                      x(t)                            y(t) = x(t) * h(t)
                                                                                     h(t)
h(t): réponse impulsionnelle du SLTI

H(j): réponse fréquentielle du SLTI                                  TF        TF               TF
                 
     H  j    h(t )e  j t dt                                    X(f)                            Y(f) = X(f) . H(f)
                                                                                   H(f)
                                                                                                                              79
                                 IV.5 Propriété de la multiplication

Modulation d ’amplitude

                                                                TF
       signal modulé                     r t   st  pt   R f   S  f  P f 

                      signal modulant                  porteuse

                                  S(f)
Exemple                     A

                                                                     Porteuse:        pt   cos2f 0t 
                           -f1      f1    f
                                  P(f)
       1/2                                           1/2
                                                                      P f  
                                                                                 1
                                                                                     f  f 0     f  f 0 
          -f0                                   f0          f                    2
                                  R(f)
                A/2                                  A/2
                                                                      R f  
                                                                                 1
                                                                                   S  f  f 0   S  f  f 0 
     -f0-f1 -f0 +f1                        f0 -f1 f0 +f1        f                2
          -f0                                   f0
                                                                                                                     80
  Exemple:     Démodulation d ’amplitude                     g t   r t  pt 
                                             R(f)
                           A/2                             A/2

                                                         f0 -f1 f0 +f1
                                                                                           R f  
                                                                                                      1
                                                                                                        S  f  f 0   S  f  f 0 
             -f0-f1 -f0 +f1                                                 f                         2
                 -f0                                          f0
                                             P(f)                                           Porteuse:         pt   cos2f 0t 
               1/2                                                    1/2
                                                                                            P f  
                                                                                                       1
                                                                                                           f  f 0     f  f 0 
                                                                                                       2
                  -f0                                            f0
                                             G(f)
                                       A/2
A/4                                                                                  A/4


  -2f0               -f0                                         f0             2f0            f
                                             H(f)
                                                                                                        H(f) Filtre Passe-Bas
                                 -fc                fc                                         f

                                 H(0) A/2      Y(f) = G(f) H(f)                                              Y(f) = G(f) H(f)
                                                                                                                y(t) ~ s(t)
                                                                                                f                                     81
Propriétés de la
Transformée de
Fourier Temps
   Continu




                   82
                      IV.6 Signaux Périodiques et Transformée de Fourier

             A/ Extension de la TF en Temps Continu
                                                                                            
                                           X  f     f  f0          xt      f  f 0 e
                                                                         TF
Considérons l ’impulsion                                                                            j 2 f t
                                                                                                             df  e j 2 f t
                                                                                                                          0


                                                                                           
Un signal périodique se décompose en Série de Fourier

              
x p t     X e            jk 2 f 0t
                                           1
                                               T période du signal
                        k                  f0
             k                                                                          

                                                                                            f  kf 0

                                                                                      k  


x p t      
             k  
                      X k   f  kf0 e jk 2 ft df
                                                               ...                                                            ...
                            
                                                                           -2f0    -f0             0   f0   2f0   3f0
                                                                                                                             f
                       
                                          
  x p t     
              k  
                        X k   f  kf0   e jk 2 ft df
                                          
                                          
                                                                            Train d ’impulsions de Dirac pondérées
 Par identification                X p f     X   f  kf 
                                               k  
                                                        k            0            par les coefficients de Fourier Xk et
                                                                                         situées aux fréquences f = kf0
                                                                                                                                    83
Comparaison entre la décomposition en Série de Fourier d ’un signal
périodique et sa Transformée de Fourier


                       xp(t)




                                                           T= 4 T1
       -T                 0    T1          T


            Xk                                     X p  j 




                                k




                                                                      84
 B/ Expression simple de la TF d ’un signal périodique en TC

 Tout signal périodique xp(t) peut être représenté comme la somme d ’une suite infinie de translatées de
 x(t) motif élémentaire sur [0, T]                                                       xp(t)
                       xt                                                 xt  T           xt            xt  T  xt  2T 
                                                                 ...                                                                        ...
                                                 t                                       0               T              2T             3T
                  0                 T                                                                                                                        t
                                                                                                          
                                                                                             PT t      t  kT 
                        
          x p t      xt  kT 
                       k  
                                                                                                         k  
                                                                                                                                                  ...
Or:     xt  kT   xt    t  kT                         ...
                                                                       -T                0                 T            2T              3T              t
                                                                                                                Xf   
D ’où: x p t   xt          t  kT   xt  PT t 
                                k  
                                                                                                       1
                                                                                                    X  
                                                                                                                       1
                                                                                                                      X 
                                                                                                       T             T  X 2 
                                                                                                                              
                                                                                                                             T 
Propriété de la convolution                                                          1
                                                                              f0 
                                                                                     T                                                                       f
      X p  f   X  f  . P1  f 
                           1                                                                                      0   1/T 2/T    3/T

                                                                                                               X p f   
                           T T
                                                    
                                    k 1        k     k
   X p f           X  f   f                
               1                                                                                                      1 1
                                                X  f                                       1  1
                                                                                                  X  
                                                                                                                       X 
                                                                                                                      T T  1  2 
               T k               T  T k   T    T                                     T  T                       X 
                                                                                                                             T T 


          1 k 1                                    La TF permet d ’obtenir
   Xk     X    X k f 0                                                                                      0   1/T    2/T 3/T                         f
          T T  T                                   directement les coefficients de Fourier!
                                                                                                                                                            85
       IV.7 Réponse fréquentielle d’un SLTI régi par des équations
             différentielles linéaires à coefficients constants
                           N
                              d k y t  M    d k xt 
                          ak dt k   bk dt k
                         k 0            k 0



                                                                        Y  j    Hypothèse:
Propriété des SLTI:   Y  j   H  j X  j           H  j  
                                                                        X  j    H(j) existe (converge)

                              N    d k yt        M     d k xt  
           Or:            TF   ak
                                               TF   bk
                                                                    
                              k 0
                                         k
                                      dt             k 0  dt k
                                                                      

                           N         k         M         k
                                                      
                            ak  j  Y     bk  j   X  j 
                            k 0                k 0      

                                                M

                                                 b  j 
                                                               k
                                                       k
                                   H  j     k 0
                                                 N

                                                 a  j 
                                                               k
                                                       k
                                                k 0


                                                                                                             86
           V. Transformée de Fourier en Temps Discret

1 - Signaux Apériodiques: Transformée de Fourier Temps Discret
2 - Propriétés de la TF Temps Discret
3 - Propriété de la convolution
4 - Propriété de la multiplication
5 - Signaux périodiques et Transformée de Fourier Temps Discret
6 - Calcul de la Transformée de Fourier d’une suite numérique
7 - Réponse fréquentielle d’un SLTI régi par des équations aux
    différences linéaires à coefficients constants
Résumé Séries de Fourier - Transformées de Fourier

                                                                  87
                         V.1 Signaux Apériodiques: Transformée de Fourier T.D.
                                                    Série de Fourier
      Signaux périodiques                                                      2           Somme finie de N exponentielles

                                                    xn 
                                                                          jk        n
               Période N                                          Xk e         N          complexes reliées harmoniquement

         Puissance Finie                                     k N                           Spectre discret et périodique
                                                                                  2

                                                                     xne
                                                     1                        jk    n
                         x[n]                   Xk                               N
                                                                                                   Xk
                                                     N           n N
...                                     ...
                     0          N       2N                                                        01                 N     k



                                                                                         Transformée de Fourier Inverse
                                         Transformée de Fourier                                         (Synthèse)

      Signaux apériodiques                                                                    Intégrale sur une période

                                        xn                
          Période N                           1                           j n
                                                                 X e j e          d        d ’exponentielles complexes
          Energie Finie                        2           2                            Spectre continu et périodique
                                                            
              x[n]
                                                   xn e
                                              X e   j                   j n                          X(ej)

                                                           n  

          0               N         n                                                               0                2    
                                                         Transformée de Fourier Directe (Analyse)
                                                                                                                           88
Principales paires de
 la Transformée de
   Fourier Temps
      Discret




                        89
                  V.4 Propriétés de la TF Temps Discret

 Périodicité                             
                                        X e j  2   X e j       

                                                                              
                                                          TF
 Linéarité                    xn   yn   X e j   Y e j



                                                                        
                                                 TF
 Inversion temporelle               x n  X e  j



                                                e                                                               
                                    TF                                                         TF
                         xn  n0   X e                                    xn e             X e j   0 
 Décalage                                           j         j n0                j 0 n




 Dérivation     xn  xn  1  1  e
                               TF
                                              j
                                                     X e    j
                                                                                jn xn 
                                                                                           dX e j
                                                                                               TF          
                                                                                             d


                                                                                                                       90
 Changement d ’échelle

                               xn / k  si n multiple de k                 xk: « version ralentie » de x[n]
                   xk n  
 Soit:
                               0               sinon

                                                                           xr e j k  r  X e j k 
                                                                          
   X k  e   j
                     xk ne    j n
                                               xk rk e    j rk
                                                                         
                   n                        r                          r 




                                                                                                                 91
                                                          
                                          TF
  Conjugaison                    x n  X  e  j
                                   


   Cas particulier: x[n] réel          Symétrie conjuguée:               
                                                                    X e j  X  e j      
                                              
                                           Re X e j : paire                  
                                                                           X e j : paire
                                         ImX e  : impaire
                                                  j
                                                                           X e  : impaire
                                                                                j


   x[n] réel et paire                 X(e j) réel et paire
   x[n] réel et impaire               X (e j) imaginaire et impaire


 Relation de Parseval                                                               Xe    
                                                                                           j 2



                              X e       
                                                     1                       Densité Spectrale
          xn                        j 2
                                               d   X  f 
                  2      1                                      2
  E                                                               df               d’Energie
       n             2   2                        0
                                                                                    du signal x(t)

Energie total d ’un signal   =    Energie par unité de temps sommée sur tous les temps
                             =    Densité spectrale d ’énergie intégrée sur une période


                                                                                                     92
                                   V.5 Propriété de la convolution


                                                       
                                             TF
                       yn  xn hn  Y e j  X e j H e j



                                                  x[n]                     y [n] = x [n] * h [n]
                                                           h [n]
h[n]: réponse impulsionnelle du SLTI

H(e j): réponse fréquentielle du SLTI            TF      TF          TF
               
    He    hn e
         j                j n
                                                   X(f)                    Y(f) = X(f) . H(f)
              n                                             H(f)

                                      
 Rappel: vrai si SLTI Stable           hn 
                                     n 




                                                                                                93
                            V.6 Propriété de la multiplication

                                              TF
                 yn  x1n x2 n  Y  f   X 1  f  X 2  f 


Attention: Convolution périodique
                 1

        Y  f   X 1  X 2  f   d                                
                                               1
                 
                 0
                                              2   2
                                                        X 1 e j X 2 e j  e j d




                                                                                      94
Propriétés de la
Transformée de
Fourier Temps
    Discret




                   95
        V.2 Signaux périodiques : Extension de la TF Temps Discret
                                                                                                                      

A/ Extension de la TF en Temps Discret                                                                                  f  f0  k 
                                                                                                                     k 
                                               
Soit le peigne            Xf                  f  f0  k                          ...                                                                           ...
de Dirac:                                 k 
                                                                                                                               0
                                                                                                                                                                     f
                                                                  f  f               k
                                                    TF                                                        f0-2      f0-1               f0          f0+1 f0+2
                                  j 2 f 0 n
Montrons que:                 e                                                    0
                                                            k  
                                                                            
                         xn          Xf e                           f  f                 k e j 2 f n df
                                     1                                 1
                                                     j 2 f n
                                                                df                            0
                                    0                                  0
                                                                           k  
                                                                                                                                                 (Hypothèse 0<f0<1 )

                         xn            f  f 0 e j 2 f n df     f  f 0  e j 2 f n df  e j 2 f
                                     1                                       1
                                                                                                          0                        0   n
                                    0                                        0
                                                                                                                                                2
                                                                                                       x p n       X
                                                                                                                                           jk      n
Un signal périodique se décompose en Série de Fourier                                                                                  e         N
                                                                                                                                   k
                                                                                                                     k N
                     1 
                                    j 2 f n                                                              1
                                                                                                                               
                            
                                                                                 x p n            f  k  e j 2 f n df 
  x p n           
                                k
            k N
                 Xk 
                     l  
                    0
                            f  l e
                               N 
                                             df 
                                                
                                                                                          k N
                                                                                                Xk
                                                                                                    
                                                                                                   0
                                                                                                              
                                                                                                             N
                                                                                                                              
                                                                                                                               
                              k 
            1
                            
             
  x p n  
           0  l  
                      X k   f    e j 2 f n df
                                N                                                                                Train d ’impulsions de Dirac
                                                                                                                  pondérées par les coefficients de
                                                          
                                                             k
Par identification                 X p f 
                                             l  
                                                         
                                                    Xk   f  
                                                             N
                                                                                                                           Fourier périodiques et
                                                                                                                     situées aux fréquences f = k/N
                                                                                                                                                                             96
B/ Expression simple de la TF d ’un signal périodique en TD

 Tout signal périodique xp(t) peut être représenté comme la somme d ’une suite infinie de translatées de
 x[n] motif élémentaire sur [0, N]                                                   xp[n]
                                                                         xn  N          xn           xn  N      xn  2 N 
                   x[n]

                                                              ...                                                                         ...
               0                  N            n                                     0                N               2N             3N
                                                                                                                                                                 n
                                                                                                       
                                                                                         PN n       n  kN
                         
          x p n       xn  kN
                        k  
                                                                                                      k  
                                                                                                                                                ...
Or:     xn  kN  xn n  kN                          ...
                                                                    -N               0                  N             2N              3N                    t
                                  
D ’où: x p n  xn            n  kN  xn P n
                                 k  
                                                         N                                                         X(f)
                                                                                                                     1
                                                                                                                   X 
                                                                                                                    N
Propriété de la convolution                                                               ...                                                         ...

       X p  f   X  f .         P1  f 
                                  1                                                                            0                 1               f
                                  N N
                                                                                                               Xp (f)
                                       k 1               k     k
 X p f                X  f   f           
           1
                                                          X  f                                               1  1
           N       k                N N        k    N    N                                              X 
                                                                                                                   N N

                                                                                                ...                                                       ...
             1 k 1 k                           La TF permet d ’obtenir
      Xk     X   X                                                                                        0 1/N            1                    f
             N N N N                           directement les coefficients de Fourier!
                                                                                                                                                                97
      V.3 Calcul de la Transformée de Fourier d’une suite numérique

Pour calculer la Transformée de Fourier d ’un signal numérique fini de N points (TFD ou DFT),
- on périodise implicitement le signal et
- on rajoute éventuellement des 0 (Nz), pour avoir une TFD sur (N+Nz) points.
Généralement le calcul se fait avec N+Nz = 2n points, grâce à l ’algorithme de Transformée de
Fourier Rapide (TFR ou FFT) mis au point par Cooley et Tukey (1965)

                                                        2

                              xn     X k e
                                                   jk         n
                                                        N

                                       k N

                                            N 1             2
                             X k          xne
                                      1               jk       n
                                                             N
                                      N     n 0



 Remarque:          X k   X k

                                                                                                98
     V.7 Réponse fréquentielle d’un SLTI régi par des équations aux
             différences linéaires à coefficients constants
                            N                         M
                            ak yn  k    bk xn  k 
                           k 0                       k 0


                            
Propriété des SLTI: Y e j  H e j X e j                    j
                                                                     
                                                                          
                                                                       Y e j         Hypothèse:
                                                          H e
                                                                          
                                                                       X e j         H(e j) existe (converge)


 Or: linéarite + décalage temporelle

                      
                      N
                        ak e
                      
                                   j k   
                                              
                                           Y e
                                           
                                                j   M              
                                                      bk e  j k  X e j
                                                                    
                                                                                 
                       k 0                         k 0          

                                                M
                                                 bk e j k
                                     
                                  H e j      k 0
                                                N
                                                 a k e  j k
                                               k 0

                                                                                                                  99
                            Résumé Séries de Fourier - Transformées de Fourier
  Signaux périodiques                                                                                                                              Spectre discret apériodique
             xt            0  2 / T                                                                          T /2                                       Xk
                                                                                                                 xt e 0 dt
                                                                                                            1
                                                    xt     X          k   e    jk 0t
                                                                                                       Xk               jk t
                                                              k                                          T T / 2
          0             T            2T t
                                                                                                                                                               012            k

Signaux apériodiques                                                                                                                               Spectre continu apériodique

                                                                                                                                                           X(j)
                                                xt                  X  j e
                 x(t)                                    1                              j t

                                                        2    
                                                              
                                                                                                d     X  j         xt e
                                                                                                                                   j t
                                                                                                                                           dt
                                                                                                                      

             0          T            t
                                                                                                                                                                                  

 Signaux périodiques                                                                                                                               Spectre discret périodique
              x[n]                                                                      2                                                  2
                                                                                                                                                           Xk
                                                                                                                             xne
                                                                                                            1                         jk
                                                   xn 
                                                                                   jk           n                                              n

                                         ...                   Xk e                        N          Xk 
                                                                                                            N       n N
                                                                                                                                            N

                                                             k N

         0                  N              2N
                                                                                                                                                          01             N             k
 Signaux apériodiques                                                                                                                              Spectre continu périodique

         x[n]                                                                                                                                                  X(e j)
                                                                                                                      
                                                xn          e                                d X e           xn e j n
                                                        1                     j            j n             j
                                                                   X e
                                                       2     2
                                                                                                                     n  

     0                  N           n                                                                                                                      0             2           
                                                                                                                                                                                      100
          VI. Caractérisation en Temps et Fréquence
                   des Signaux et Systèmes


1 - Représentation en Amplitude et en Phase de la Transformée de
    Fourier
2 - Représentation en Amplitude et en Phase de la réponse
    fréquentielle des SLTI
3 - Filtres non idéaux- Aspects dans les domaines Temporel et
    Fréquentiel
4 - Systèmes du 1er ordre et du 2nd ordre en Temps Continu
5 - Systèmes du 1er ordre et du 2nd ordre en Temps Discret
6 - Filtres non-récursifs en Temps Discret - Filtres FIR



                                                                   101
           VI.1 Représentation en Amplitude et en Phase de la
                        Transformée de Fourier

Amplitude et Phase de la TF:             X  j   X  j  e   X  j              
                                                                             X e j  X e j e X e 
                                                                                                    j




Amplitude          Contenu fréquentiel du signal
                   X  j    2   Densité spectrale d ’énergie de x(t)

Phase       Information sur la phase des différentes fréquences composant le signal
            Des signaux qui ont 1 TF avec amplitude = mais 1 phase  peuvent être très différents

               xt   1  cos2t  1   cos4t  2  cos6t  3 
                          1                                2
Exemple:
                          2                                3




                                                                                                         102
    VI.2 Représentation en amplitude et en phase de la la réponse
                       fréquentielle d’un SLTI

 SLTI           Y  j   H  j  X  j                    
                                                        Y e j  H e j X e j

 D ’où:         Y  j   H  j  X  j                Y  j   H  j   X  j 

                      GAIN du système                DECALAGE DE PHASE du système
 Si effets négatifs: Distorsion d ’Amplitude et Distorsion de Phase...


Phase Linéaire et Phase Non Linéaire

          H  j   e j t0                                                 
                                                                         H e j  e j n0

H  j   1      H  j    t0                                 
                                                                H e j  1             
                                                                                   H e j   n0
                             Phase linéaire avec                                      Phase linéaire avec 



       y t   xt  t0                                                yn  xn  n0 

Le signal d’entrée est simplement décalé temporellement (décalage = pente de la phase),
                                         il n’est pas déformé
                                                                                                               103
Exemple




 Retard de Groupe

                                                        Le retard de groupe à une fréquence 
                               H  j 
                                   d
                                                        est égal à l ’opposé de la pente de la
                                  d
                                                        phase à cette fréquence


Cas particulier: Phase linéaire        t0     ou       n0


                                                                                                 104
Exemple Etude d ’un système passe-tout, dont le retard de groupe varie en fonction de la fréquence
                        3                                                                1   j /  i 2  2 j i  /  i 
       H  j    H i  j        avec          H i  j  
                       i 1                                                              1   j /  i 2  2 j i  /  i 
  f1= 50Hz            1  0.066
  f1= 150Hz            2  0.033
  f1= 300Hz            3  0.058


    H  j   1
                                              unwrapped phase




                         2 i  /  i  
H i  j   2 arctan                2
                        1   /  i  
                                         
                3
H  j    H i  j 
               i 1


           H  j 
               d
                                                                Réponse impulsionnelle




              d


                                                                                                                                 105
Amplitude Logarithmique - Diagramme de Bode

Intérêt de l ’échelle logarithmique    log Y  j   log H  j   log X  j         Les amplitudes
                                       log H  j   log H1 j   log H 2  j        s ’ajoutent ...


Unité: le décibel (dB):    20 log10 H  j      0dB  |H(j)| = 1         6dB  |H(j)| = 2
                                                 -3dB  |H(j)| = 1/2     20dB  |H(j)| = 10



Diagramme de Bode:           20 log10 H  j     et    H  j    en fonction de    log10  f 
                            Pour les systèmes Temps Continu


Exemple: Système du 2nd ordre




                                                                                                            106
            Bande passante et Largeur de bande


•   Bande passante                           •   Largeur de bande
     –   Caractérise un système                   –   Caractérise un signal
     –   Module de la réponse en fréquence        –   Densité Spectrale
     –   Définie à -3dB (1/2) (Pm/2)             –   Espace des fréquences utiles !




                                                                                       107
   VI.3 Filtres non idéaux- Aspects dans les domaines Temporel et
                              Fréquentiel
Rappel: Filtres idéaux non réalisables car non causaux ...
                                                                           H(e j)
                  H(j)


        -c            c                                                     c
                                                  2         -  c     0               2   



              Précision, sélectivité         compromis             Coût, Complexité


           Flexibilité pour le comportement du filtre : - dans la Bande Passante
                                                        - dans la Bande Coupée
                                                        - dans la zone de transition




                                                                                                108
          VI.4 Systèmes du 1er ordre et du 2nd ordre en Temps Continu

Système du 1er ordre                                            dyt 
                                                                       yt   xt     0    Constante de temps
                                                                 dt
Ex:                 R
                                                                                                        
                                     C                                                          Rapidité de réponse du
  x(t)    +                                 y(t)
          -                                                                                            système
                                                       H  j  
                                                                           1
            dyt 
                                                                         j  1
         RC         yt   xt 
             st

                                                            t
                                                        
                                         ht   e              u t 
 Réponse impulsionnelle                            1        
                                                   
                                                                        
                                                                         t
 Réponse indicielle                      st   ht   u t   1  e  u t 
                                                                         

                                                                          




                                                                                                                         109
Diagramme de Bode

                             
20 log10 H  j   10 log10    1
                                   2
                                        
        1  20 log10 H  j   0

        1 ou   1/   20 log10 H  j   20 log10    20 log10   20 log10 
                                                    Asymptote en HF: Pente de 20 dB / décade
                                  1
        1 /   20 log10 H  j   3dB       Fréquence de coupure à 3dB
                              



 H  j    Arctan 
                                                                FIG 6.20 449
       1   H  j   0

        1   H  j    / 2
                        1
        1 /    H  j    / 4
                       


                                                                                               110
Système du 2nd ordre                                      d 2 y t          dyt 
                                                                      2 n          n y t    n xt 
                                                                                         2            2

                                                            dt 2              dt

                               n 2
        H  j  
                    j 2  2n  j    n 2
                     n 2                     c1   n   n  2  1
H  j  
              j  c1  j  c2            c2   n   n  2  1


H  j  
                M
                     
                        M                                n
                                                M
              j  c1 j  c 2                        2  2 1                                 n : Fréquence propre
                                                                                               : Facteur d ’amortissement

                                     
             ht   M e c1t  e c2t u t 

  1  c1 et c2 réels et  0                       Régime Amorti
                                                                    h(t) = différence de 2 exponentielles réelles décroissantes

  1  c1  c2                                     Régime Critique                          ht   n t ent ut 
                                                                                                      2




0    1  c1 et c2 complexes                      Régime Pseudo-Périodique

                                                         ht  
                                                                    n e 
                                                                   2 j 1
                                                                               nt


                                                                                    2
                                                                                        expj   n                               
                                                                                                       1   2 t  exp  j  n 1   2 t u t 
                                                                                                                                                  111
                                                   1
                                             Q          Facteur de qualité
                                                  2
                                             Amplification pour  < 0.7

H  j  
                       1
                   2
                       
              j   2  j   1
                       
              n        n
                                            2 2         2
                                               2   
      20 log10 H  j   10 log10 1      4   
                                                    
                                       n  
                                                   n 
                                                           

                           0                          pour    n
      20 log10 H  j   
                           40 log10   40 log10  n pour    n



                      2  /  n  
 H  j    Arctan               
                      1   /  2 
                                n   
                    0    n
       H  j   
                        n
                                                                              112
         VI.5 Systèmes du 1er ordre et du 2nd ordre en Temps Discret

Système du 1er ordre        yn  ayn  1  xn               a 1
                                                           Rapidité de réponse du système

      
   H e j 
                  1
                                               sn  hn un 
                                                                   1  a n 1
                                                                              un
              1  ae j   hn  a un 
                                   n

                                                                    1 a




  Fig 6.26 6.27 p 462




                                                                                            113
  
H e j 
                          1                                      a sin  
                                            H  j    Arctan             
           1  a   2
                         2a cos   
                                    1/ 2
                                                                 1  a cos  




                                                                                  114
Système du 2nd ordre
                                                                          yn  2r cos yn  1  r 2 yn  2  xn


   
 H e j 
                        1
            1  2r cos e  j  r 2 e  j 2                                         Équivalent au système du 2nd ordre en Temps
                                                                                      Continu en régime pseudo-périodique
      
   H e j 
                                      1                                               Pour =0  régime critique
              1  re  e  1  re  e 
                      j     j                 j        j




                                                                                                             r : taux de décroissance
     0 ou 
                                                                                                              : fréquence d ’oscillation
           
       H e j 
                       
                  1  re
                           A
                            j
                                 e    j
                                                 
                                              1  re
                                                       B
                                                        j
                                                              e    j




       A
             e j
          2 j sin 
                           B
                                e  j
                              2 j sin 
                                                                                     
                                                                              hn  A re j   
                                                                                               n
                                                                                                         
                                                                                                    B re  j    un  r
                                                                                                                 n             n   sinn  1 
                                                                                                                                       sin 
                                                                                                                                                  un


    0

             
          H e j 
                            1                                                 hn  n  1 r n un
                     1  r e    j 2




    
               
          H e j 
                                 1
                                                                              hn  n  1  r  un
                                                                                                     n

                      1  r e       j 2

                                                                                                                                                         115
Réponse
impulsionnelle
d ’un système
du 2nd ordre




                 116
Réponse fréquentielle d ’un système du 2nd ordre




                                                   117
          VI.6 Systèmes non récursifs en Temps Discret - Filtres FIR

            FIR (non récursif)                                               IIR (récursif)

               Phase linéaire                                                     Flexibilité
    Complexité + grande pour les mêmes               Filtres IIR = connexion de système du 1er et 2nd ordre
            spécifications que IIR                                    Implantation efficace et facile
Compromis entre sélectivité du filtre et durée      Ajustement des caractéristiques = réglage des paramètres
 de la réponse impulsionnelle (nb. coeff  )                            Phase linéaire impossible



Filtres non-récursifs de type Moyenne-Glissante (Moving Average Filter)

                                                                                        hn 
                        M
     yn                  xn  k 
                1
            N  M  1 k  N
                                                                                         0              n
                                                                             -N                 M


                                             sin N  M  1 / 2
        
    H e j 
                   1
               N  M 1
                        e j  N  M / 2 
                                                   sin  / 2

                                                                                                              118
                           M+N+1 = 33                                           M+N+1 = 65

Longueur de la réponse impulsionnelle , largeur du lobe principal de la réponse fréquentielle 
                                        ( lobe principal  BP du filtre)



Filtres non-récursifs - Forme générale

                   M
         yn     b xn  k 
                  k  N
                           k
                                             Choix des bk , fonction des spécifications du filtre
                                                   (ex: raideur de la transition BP BC...)



                                                                                                    119
Comparaison entre les réponses fréquentielles d ’un filtre à moyenne
glissante et un filtre de réponse impulsionnelle h[n]


       sin 2n / 33 / n , n  32   Réponse impulsionnelle d ’un filtre idéal de fréquence de
hn                                 coupure c= 2 /33
               0           , n  32




 Réponse impulsionnelle Réelle et Paire  Réponse fréquentielle Réelle et Paire (Phase nulle)

  Filtre causal  décalage temporel de la réponse impulsionnelle  Filtre à Phase Linéaire

                                                                                                   120
    VII. Signaux Temps Continu: Transformée de Laplace

1 - Transformée de Laplace (TL)
2 - Transformée de Laplace et Transformée de Fourier
3 - Propriétés de la Transformée de Laplace
4 - Causalité et Stabilité des SLTI
5 - Evaluation géométrique de la Transformée de Fourier à partir
    de la représentation des Pôles et de Zéros de la TL
6 - Principales paires de Transformée de Laplace
7 - Réponse fréquentielle d’un SLTI régi par des équations
    différentielles linéaires à coefficients constants
8 - Transformée de Laplace inverse
9 - Transformée de Laplace Unilatérale (TLU)
                                                                   121
                                 VII.1 Transformée de Laplace

A) Intérêt de la Transformée de Laplace

   - Une grande partie des signaux peuvent se représenter comme une combinaison d ’exponentielles
     complexes périodiques e st = e jt , fonctions propres des SLTI, MAIS PAS TOUS ….
    Transformée de Laplace = Généralisation de la Transformée de Fourier en Temps Continu
                                        avec s =  + j 
   - Permet l ’étude de la stabilité des systèmes et la résolution des équations différentielles à
     coefficients constants

                                                                                          TL
B) Définition de la Transformée de Laplace Bilatérale                               xt   X s   TL xt  

                                           
                            X s             xt  est dt           avec        s    j
                                        

Rappel:
 Réponse d ’un SLTI de réponse impulsionnelle h(t) à un signal d ’entrée exponentiel complexe est
                                                               
       y t   H s  e   st
                                 avec           H s             ht  est dt   Fonction de transfert du système
                                                           

                                                                                                                       122
             VII.2 Transformée de Laplace et Transformée de Fourier

Quand:         s  j                                                                                            Im
                                                                                                        s  j        Plan-s
                                                         
              X s  s  j  X  j                       xt  e j t dt  TF xt  
                                                     
                Transformée de Laplace = Transformée de Fourier de x(t)
                                                                                                                           Re




Remarque:
                                                                        
               X s  s   j            xt  e dt s t
                                                                              xt  e  j  t dt
                                                                     




                            xt  e  e                                                       
                            
                X s                         t          j t
                                                                    dt  TF xt  e t
                            


Transformée de Laplace = Transformée de Fourier du signal x(t) multiplié par une exponentielle réelle

e  t   = exponentielle réelle croissante ou décroissante dans le temps selon si  est positif ou négatif


                                                                                                                           123
A) Exemple             xt   e  a t u t 

Transformée de Fourier: X  j 


Transformée de Laplace: X s   X   j 




Région de convergence de la transformée de Laplace
                  Im                                       Im
          a>0                                        a<0
                             Plan-s                                  Plan-s




                                    Re                                    Re
        -a                                                      -a

                                                                               124
 Conclusion :
- La transformée de Fourier ne converge pas pour tous les signaux
- La transformée de Laplace converge pour certaines valeurs de Re(s) [Re(s) >-a ] et pas pour d ’autres
- Si a est positif, X(s) peut être évalué en  = 0, la TF et la TL de x(t) existent
- Si a est négatif, X(s) ne peut être évalué en  = 0, la TF de x(t) n ’existe pas alors que la TL existe


  B) Exemple           xt    e  a t u  t 




                                                                                                            125
  Région de convergence de la transformée de Laplace
                     Im                                                      Im
             a>0                                                       a<0
                               Plan-s                                                  Plan-s




                                     Re                                                     Re
           -a                                                                     -a




 Conclusion :
- Transformées de Laplace identiques pour Exemples A et B, mais régions de convergence différentes




  La Région de Convergence de la Transformée de Laplace correspond aux valeurs de      s    j
  pour lesquelles la Transformée de Fourier de   xt  e  t   converge




                                                                                                     126
                VII.3 Propriétés de la Transformée de Laplace

                                     xt    yt    X s    Y s 
                                                         TL
 Linéarité


 Décalage
                               xt  t0   X s  e  s t0
                                           TL
                                                                     xt  e           X s  s0 
                                                                                       TL
                                                                               s0 t




 Changement d ’échelle                                s
                                        x t  
                                                TL   1
                                                      X 
                                                       

 Conjugaison       x t   X  s                              X s   X  s      
                          TL
                     
                                                 si x(t) réel
                                                 Si pôles et zéros complexes  paires complexes conjuguées


                           xt   yt   X s  Y s 
                                           TL
 Convolution


                                                                                      dX s 
                                                                 t x t  
                                                                         TL
 Dérivation         dx t  TL
                              s X s                                                 ds
                      dt

                                                                                                             127
Propriétés de la transformée de Laplace




                                          128
                           VII.4 Causalité et Stabilité des SLTI

Fonction de Transfert d ’un SLTI:             Y s   H s  X s          avec       H s   TL ht  


Cas des fonctions de transfert H(s) rationnelles
Généralement, H(s) peut s ’exprimer sous la forme d ’une fonction rationnelle, c ’est à dire sous la forme
d ’un rapport de deux polynômes en s :

                                                       s  z 
                                                       M
                                                                        N   ordre de la fonction de transfert
                                          N s 
                                                              j

                               H s  
                                                      j 1
                                                 K
                                          Ds        N                             Pôles et zéros
                                                       s  p 
                                                      i 1
                                                              i        réels ou paires complexes conjuguées

 Propriété 1

    Pour un système est réel, donc causal, la fonction de transfert H(s) est telle que:      M N
 Propriété 2

                               
               SLTI                          Région de Convergence de H(s) fonction rationnelle,
                                                                        =
            CAUSAL                              1/2 plan droit, à droite du pôle le plus à droite

                                                                                                                129
                  
           ht   e  e           ut     H s  
                                                                 1          ht  causal
                                            TL
Exemple:              t    2t

                                                         ( s  1)( s  2)

            Région de convergence de la transformée de Laplace de H(s)
                                   Im
                                                         Plan-s




                                                           Re
                  -2         -1




 Propriété 3

      Un SLTI CAUSAL possédant une fonction de transfert H(s) rationnelle est STABLE,
    si et seulement si tous les pôles de H(s) sont situés dans le demi-plan gauche [Re(s)<0]
                           du plan de Laplace, axe imaginaire exclu

                                                                                               130
Exemples:

                                                                      h2 t   e        u t   H 2s  
                                                                                                TL                1
  h1 t   e          u t     H1 s  
                 2t
                                TL              1                                   2t

                                            ( s  2)                                                          ( s  2)
                  SLTI CAUSAL                                                       SLTI CAUSAL

                                Im                                              Im
                                        Plan-s                                                            Plan-s




                                                 Re                                                                  Re
                 -2                                                                         2




                          STABLE                                                     INSTABLE

Propriété générale

                       Un SLTI est STABLE si est seulement si l ’axe (j ) ( c ’est à dire Re(s) = 0)
           est inclus dans la Région de Convergence de sa fonction de transfert H(s) (quelconque)
                                                                                                                          131
         VII.5 Evaluation géométrique de la Transformée de Fourier

Diagramme des pôles et des zéros de H(s) représenté dans le plan-s permet d ’estimer graphiquement
la réponse fréquentielle du système (quand elle existe)


                        ht   e          u t   H s  
                                     at
                                                 TL                1
  Exemple:                                                                    a0
                                                               ( s  a)

                                                      Soit le nombre complexe :        v=s+a
                      Im
                                     Plan-s                                            v =  e i
                        s=j
   =    sa
                                                                                    H  j  
                                                                                                   1
                                                      Réponse fréquentielle :
                                                                                                j  a
                                            Re
            -a


                                                         H  j                     Arg  H  j    
                                                                          1
                                                                          

                                                                                                              132
                           H  j                                                            Arg  H  j  



   H  j  
                  1                                                                                
                                                                         Arg H  j     tan
                 2  a2                                                                           a

                                                                                                                




                                                           s  z 
                                                           M


                                               N s 
  Cas général                                                        j

                                      H s  
                                                          j 1
                                                      
                                               D s      N

                                                           s  p 
                                                          i 1
                                                                     i



Le module de la réponse fréquentielle est égal au produit des longueurs des vecteurs reliant les zéros
au point s = j de l ’axe imaginaire divisé par le produit des longueurs des vecteurs reliant les pôles à
ce même point s

La phase de la réponse fréquentielle est égale à la somme des arguments des vecteurs correspondant
aux zéros moins la somme des arguments des vecteurs correspondant aux pôles

Remarque:
Un vecteur correspondant à un pôle situé près de l ’axe imaginaire aura une longueur faible et donc
entraînera une valeur importante de la réponse fréquentielle (phénomène de résonance)
                                                                                                                 133
VII.6 Principales paires de Transformée de Laplace




                                                     134
        VII.7 Réponse fréquentielle d’un SLTI régi par des équations
               différentielles linéaires à coefficients constants
                            N
                                d k y t  M    d k xt 
                            ak dt k   bk dt k
                           k 0            k 0



                                                                           Y s 
Propriété des SLTI:
                          Y s   H s X s                  H s  
                                                                           X s 

                              N    d k yt        M    d k xt  
Linéarité + dérivation:    TL ak
                               
                              k 0
                                         k
                                      dt 
                                                TL bk
                                                   
                                                     k 0
                                                            
                                                            dt k 
                                                                     

                             N                 M         
                              ak s k Y s     bk s k  X s 
                                                         
                             k 0               k 0     


                                                 M

                                                b s    k
                                                            k

Fonction de Transfert                H s     k 0
                                                 N

                                                
                                                k 0
                                                       ak s k


                                                                                    135
Exemple 1:                                                             R         L
                                                                               lllllll
        d 2 y t       dyt 
                                                                 +
                                y t   xt 
                                                                                         +
     LC      2
                    RC                                   x(t)                       C       y(t)
          dt             dt                                                              -


      H s  
                          1 / LC
                 s 2  R / L s  1 / LC 


   A.N.
             R=1k                    C=1F                L=0.01H
             p1 = -9.9 E4             p2 = -0.1 E4
             Système causal      et Re(p1) et Re(p2) <0             Système STABLE

             R=10                   C=100F              L=0.1H
             p1 = 1 E2 * (-0.5000 + 3.1225i) p2 = 1 E2 * (-0.5000 - 3.1225i)
             Système causal      et Re(p1) et Re(p2) <0             Système STABLE




                                                                                                    136
Exemple 2:

On connaît l ’entrée d ’un SLTI initialement au repos:
                                                         TL
                         xt   e           u t               X s  
                                       3t                                       1
                                                                                           Re ( s )  3
                                                                             ( s  3)
On connaît la sortie d ’un SLTI initialement au repos: :

                                  
                          y t   e   t
                                             e    2t
                                                         ut      TL
                                                                     Y s  
                                                                                                1
                                                                                        ( s  1)( s  2)
                                                                                                           Re( s )  1

                                                      ( s  3)        s3
 La fonction de transfert est:    H s                           2
                                                  ( s  1)( s  2) s  3s  2


 Le système est causal, Re(p1) et Re(p2)<0 donc le système est STABLE


L ’équation différentielle régissant le système est:


                         d 2 y t           dyt               dxt 
                                      3             2 y (t )          3 xt 
                           dt 2               dt                  dt

                                                                                                                          137
                      VII.8 Transformée de Laplace inverse




                                            j                      Utilisation d ’un contour
                          xt            j X s  e
                                    1                       st
                                                                 ds   d ’intégration dans le plan
                                  j 2                                complexe...



x(t) peut être représenté comme une intégrale pondérée d ’exponentielles complexes




 Généralement, la Transformée de Laplace inverse sera déterminée à partir des tables,
 après une décomposition en fractions partielles de X(s)




                                                                                                    138
                  VII.9 Transformée de Laplace Unilatérale (TLU)
Définition

  TLU utilisée pour l ’étude des systèmes causaux spécifiés généralement par des équations
  différentielles à coefficients constants avec des conditions initiales non nulles
            Système IAR,  SLTI ...

                                              
                               X s            xt  est dt
                                          0

                                   TLU
                             xt   X s   TLU xt  

Si x(t) = 0 pour t<0   TL {x(t)} = TLU {x(t)}

Région de Convergence de TLU toujours = 1/2 plan de droite (à droite du pôle le + à droite si rationnelle)


                                 dx t  TLU
Propriété importante:
                                          s X s   x(0 )
                                  dt

Intérêt:     Possibilité de tenir compte de conditions initiales non nulles (système non IAR)

                                                                                                        139
         VIII. Signaux Temps Discrets : Transformée en Z

1-     Transformée en Z (TZ)
2-     Transformée en Z et Transformée de Fourier
3-     Propriétés de la TZ
4-     Causalité et Stabilité des SLTI
5-     Evaluation géométrique de la transformée de Fourier à partir de
       la représentation des Pôles et de Zéros de la TZ
6-     Principales paires de Transformée en Z
7-     Réponse fréquentielle d’un SLTI régi par des équations aux
       différences linéaires à coefficients constants
8-     Représentation en diagramme bloc de SLTI causaux décrits
       par des équations aux différences à coefficients constants
9-     Transformée en Z inverse
10 -   Transformée en Z Unilatérale (TZU)
                                                                         140
                                     VIII.1 Transformée en Z

A) Intérêt de la Transformée en Z

   - Transformée en Z pour les signaux TD  Transformée de Laplace pour les signaux TC
   - TZ peut être appliquée à une + grande classe de signaux que la TF TD
    Transformée en Z = Généralisation de la Transformée de Fourier en Temps Continu
                              avec     z  r e j
   - Permet l ’étude de la stabilité des systèmes et la résolution des équations aux différences à
     coefficients constants


                                                                 xn  X z   TZ  xn 
                                                                       TZ
B) Définition de la Transformée en Z
                                        
                           X z      
                                       n  
                                                xn z n          avec       z  r e j
Rappel:
 Réponse d ’un SLTI de réponse impulsionnelle h[n] à un signal d ’entrée exponentiel complexe zn
                                                            
       yn  H z  z n        avec         H z         
                                                        n  
                                                                 hn z n   Fonction de transfert du système

                                                                                                                141
               VIII.2 Transformée en Z et Transformée de Fourier

            z  e j                              z 1                                                          Im
Quand:                   c ’est à dire                                                                 Plan-z
                                                                                                                     z  e j
                                                           
            X z    z e j
                                             xne
                                    X e j                                j n
                                                                                     TF xn                       1
                                                                                                                           Re
                                                          n  
                 Transformée en Z = Transformée de Fourier de x[n]


Remarque:
                                                                          
            X z    z  re   j                    
                                                xn re      j  n
                                                                          xn r e  n    j n

                                       n                                n  
                         
            X z       xn r e
                       n  
                                                 n        j n
                                                                           
                                                                    TF xn r n       
Transformée en Z = Transformée de Fourier du signal x[n] multiplié par une exponentielle réelle

r n   = exponentielle réelle croissante ou décroissante avec n selon si r >1 ou r<1



                                                                                                                            142
 A) Exemple                 xn  a nun
                                                        
Transformée en z:      X z        a un z
                                    n  
                                             n   n
                                                          az 
                                                          n 0
                                                                 1 n       Converge si      az 1  1  z  a


                       X z  
                                        1       z
                                             
                                    1  az 1 z  a

Région de convergence de la transformée en Z

                  a 1                                                               a 1
                                                                                        Im
        Plan-z         Im
                                                                                                 Plan-z


                                1
                            a       Re                                                          1
                                                                                                    a   Re




      La région de convergence                                          La région de convergence ne
       contient le cercle unité,                                        contient pas le cercle unité,
         TF{x[n]} converge                                               TF{x[n]} ne converge pas
                                                                                                                 143
 Conclusion :
- La transformée de Fourier ne converge pas pour tous les signaux
- La transformée en Z converge pour certaines valeurs de z , |z| >a et pas pour d ’autres
- Si a <1, X(z) peut être évalué en z = ej, la TF et la TZ de x[n] existent
- Si a >1, X(z) ne peut être évalué en z = ej, la TF de x[n] n ’existe pas alors que la TZ existe


  B) Exemple                    xn   a nu n  1
                                                  1                                   
  X z              a u n  1 z                                                    a z 
                                         n                  n n                                        n
                         n
                                                          a z                n n
                                                                                a z  1            1
                                                                                                               Converge si     a 1 z  1  z  a
               n                                n                  n 1              n 0

  X z   1 
                     1          1       z
                                    
                 1  a 1 z 1  az 1 z  a
                                                                                                                     a 1
                                a 1
               Plan-z               Im                                                                                  Im       Plan-z



                                               1 Re                                                                             1
                                          a
                                                                                                                                    a   Re



               La région de convergence ne                                                                   La région de convergence
contient pas le cercle unité,TF{x[n]} ne converge pas                                             contient le cercle unité, TF{x[n]} converge   144
Conclusion :

- Transformées en Z identiques (même zéro et même pôle) pour Exemples A et B,
 mais régions de convergence différentes




 La Région de Convergence de la Transformée en Z correspond aux valeurs de            z  r e j
                                                                             
pour lesquelles la Transformée de Fourier de    xn r   n
                                                              converge              xn r n  
                                                                            n  




 La Région de Convergence de la Transformée en Z consiste en une couronne dans le plan-z centré
 sur l’origine r1 < |z| < r2
                                     Im
                                           r2 Plan-z
                                                                  Cas particuliers:
                                           r1                     r1=0 ou r2 = 
                                                    Re




                                                                                                      145
                  VIII.3 Propriétés de la Transformée en Z

                                    xn   yn   X z    Y z 
                                                                TZ
 Linéarité


                                  xn  n0   X z  z  n0
                                                 TZ
 Décalage temporel                                                               z-1         Opérateur retard unité

                                                                                      Im      z 0  e j 0        Im
                                                                                                             C1
                                                              z                C1
                                      xn z0
                                                           TZ
 Changement d ’échelle dans Z                       n
                                                           X 
                                                             z                                                       0
                                                              0                              Re                      Re


                                  x n  X z 1             
                                                TZ
 Inversion temporelle


 Conjugaison                        
                      x n  X  z                                       X z   X  z  
                           TZ
                       
                                                         si x[n] réel
                                                         pôle (ou zéro) en z=z0  pôle (ou zéro) en z = z*0


                            xn  yn  X z  Y z 
                                           TZ
 Convolution


                                                         dX z 
                                n xn   z
                                      TZ
 Dérivation dans Z
                                                          dz
                                                                                                                       146
147
                          VIII.4 Causalité et Stabilité des SLTI

Fonction de Transfert d ’un SLTI:            Y z   H z  X z          avec      H z   TZ  hn 


Cas des fonctions de transfert H(z) rationnelles
Généralement, H(z) peut s ’exprimer sous la forme d ’une fonction rationnelle, c ’est à dire sous la forme
d ’un rapport de deux polynômes en z :

                                                      z  z 
                                                      M
                                                                       N   ordre de la fonction de transfert
                                         N z 
                                                             j

                              H z  
                                                     j 1
                                                K
                                         D z       N                             Pôles et zéros
                                                      z  p 
                                                     i 1
                                                             i        réels ou paires complexes conjuguées

 Propriété 1


                                    1)      M N
                         
            SLTI
                                    2)    Région de Convergence de H(z) fonction rationnelle
         CAUSAL                                                   =
                                          Région strictement extérieure au cercle associé au pôle
                                          le plus éloigné du centre


                                                                                                               148
                             z3  2z 2  z
Exemple 1:        H z   2                                    SLTI non causal, M>N
                          z  0.25 z  0.12



                  H z  
                                  1           1               1) RC à l ’extérieur du pôle le + éloigné
Exemple 2:                                            z 2
                             1  0.5 z 1 1  2 z 1                          2) M=N
                             2 z  2.5 z
                                 2
                  H z                       z 2                 Donc le système est causal
                             z 2  2.5 z  1

 Vérification: calcul de la réponse impulsionnelle en utilisant les tables:

                             1  n   
                     hn     2 n  un
                             2 
                                      
                                       



 Propriété 2

      Un SLTI CAUSAL possédant une fonction de transfert H(z) rationnelle est STABLE,
   si et seulement si tous les pôles de H(z) sont situés à l’intérieur strictement du cercle unité
                                      du plan Z c ’est à dire | pi |< 1 i


                                                                                                          149
Exemples:                                        2 pôles:

     H z  
                                   1               z1  re j
                1  2r cos z 1  r 2 z  2     z2  re  j

         Hypothèse SLTI CAUSAL                                      Hypothèse SLTI CAUSAL

                                                                                 Im
       Plan-z             Im
                                                                                          Plan-z
                                                                                          r
                               r
                                      1                                                 1
                                           Re
                                                                                               Re




                  STABLE                                                    INSTABLE


Propriété générale

                         Un SLTI est STABLE si est seulement si le cercle unité |z| =1
        est inclus dans la Région de Convergence de sa fonction de transfert H(z) (quelconque)
                                                                                                    150
        VIII.5 Evaluation géométrique de la Transformée de Fourier

Diagramme des pôles et des zéros de H(z) représenté dans le plan-z permet d ’estimer graphiquement
la réponse fréquentielle du système (quand elle existe)


                    hn  a un  H z  
                                               TZ              1       z
  Exemple:                        n
                                                                               za
                                                           1  az 1 z  a

                    Im                Plan-z                                       v2 = z - a
                                                          Soit les vecteurs :

         C1                                  j                                       v 1 = z = e j
                                       ze
                         v1

                         
                                      v2
                                      
                                                         Réponse fréquentielle :         
                                                                                      H e j 
                                                                                                     1
                                                                                                 1  ae j
                                           1
                              a                     Re     v2  z  a            v1  1


                                                            H  j  
                                                                         1
                                                                                      Arg  H  j      
                                                                         

                                                                                                                 151
                                           z  z 
                                           M


                               N z 
                                                  j

                      H z  
                                          j 1
Cas général                           
                               Dz       N

                                           z  p 
                                          i 1
                                                  i



Le module de la réponse fréquentielle est égal au produit des modules des vecteurs reliant les zéros au
point z =e j du cercle unité divisé par le produit des modules des vecteurs reliant les pôles à ce même
point z
La phase de la réponse fréquentielle est égale à la somme des arguments des vecteurs correspondant
aux zéros moins la somme des arguments des vecteurs correspondant aux pôles

Un vecteur correspondant à un pôle situé près du cercle unité aura un module faible et donc entraînera
une valeur importante de la réponse fréquentielle (phénomène de résonance)
                                                                                                           152
VIII.6 Principales paires de Transformée en Z




                                                153
    VIII.7 Réponse fréquentielle d’un SLTI régi par des équations aux
              différences linéaires à coefficients constants
                         N                        M

                         a yn  k    b xn  k 
                        k 0
                               k
                                                k 0
                                                          k




                                                                           Y z 
Propriété des SLTI:
                        Y z   H z X z                    H z  
                                                                           X z 

                            N                  M           
    Linéarité +
                              
                        TZ  ak yn  k   TZ  bk xn  k 
                            k 0
                                         
                                         
                                                
                                                 k 0
                                                             
                                                              
 décalage temporel:
                          N    k        M       
                          
                          ak z Y z    bk z k  X z 
                          k 0
                                   
                                   
                                          
                                           k 0
                                                   
                                                    


                                              M

                                              b z    k
                                                          k

Fonction de Transfert              H z     k 0
                                               N

                                              
                                              k 0
                                                     ak z  k


                                                                                    154
                       Déterminer la réponse impulsionnelle du SLTI causal caractérisé
Exemple :

                                                        yn      yn  1  xn  xn  1
                                                                 1                  1
                       par l ’équation suivante:
                                                                 2                  3

                                                             1 1                          1 1 
                                                                                              1 z
                                                            1  3 z                Y z   3 
Y z   z 1Y z   X z   z 1 X z    Y z   X z                H z  
        1                     1
                                                                                                      
        2                     3                                  1                  X z  1  1 z 1 
                                                            1  z 1 
                                                             2                             2 

                               
           1  1 z        1
                                                                                Plan-z
 H z   
                                                                                                    Im
              1       1 
          1  z 1  3 1  z 1 
           2           2 
                                                        Pôle en zp = 1/2,
                                                                                                            1
Table + linéarité+ décalage temporel                    Zéro en zz = -1/3                                       Re


              n               n 1
         1       1 1
  hn    un    un  1
          2      3  2


                                                                             |zp| < 1        SLTI STABLE


                                                                                                                     155
VIII.8 Représentation en diagramme bloc de SLTI causaux décrits par
        des équations aux différences à coefficients constants

Utilisation de l ’opérateur retard                   z-1

Forme directe, forme cascade et forme parallèle




                                          H z  
 Exemple 1:        SLTI du 1er ordre                    1
                                                        1
                                                     1  z 1
                                                        4
Trouver l ’équation aux différences caractérisant le SLTI causal et donner le diagramme bloc du système:


                                                           +
     yn  yn  1  xn
           1                              x[n]                                              y[n]
                                                                +
           4                                                +

     yn  yn  1  xn
           1
                                                                                  z-1
           4
                                                                       1/4


                                                                                                      156
                      H z  
                                         1                  1
   Exemple 2:                                      
                                  1 1  1 1        1      1
                                                     1  z 1  z  2
                                  1  z 1  z 
                                  2  4              4      8

Trouver l ’équation aux différences caractérisant le SLTI causal et 3 diagrammes-bloc possibles du système:

         yn      yn  1  yn  2  xn
                  1           1
                  4           8


       yn   yn  1  yn  2  xn
              1           1
 1)           4           8
        Forme directe

                                      
                  1              1 
  2)   H z                         
                   1 1 
                1 z               1 1 
                                 1 z
                                      
                 2              4     
       Forme cascade

                              
                 2 / 3   1/ 3 
  3)   H z                
                   1 1   1 1 
                1 z
                        1 z 
                 2       4    
        Forme parallèle
                                                                                                          157
                          VIII.9 Transformée en Z inverse


Théorème des Résidus



                                                                   Utilisation d ’un contour
                            xn          X z  z
                                     1                 n 1
                                                              dz   d ’intégration dans le plan
                                   j 2                            complexe...




Généralement, la Transformée en Z inverse sera déterminée à partir des tables,
après une décomposition en fractions partielles de X(z)




                                                                                                 158
                       VIII.10 Transformée en Z Unilatérale (TZU)
Définition

  TZU utilisée pour l ’étude des systèmes causaux spécifiés généralement par des équations
  aux différences à coefficients constants avec des conditions initiales non nulles
             SLTI IAR ...

                                           
                               X z      xn z                xn  X z   TZU  xn 
                                                                       TZU
                                                     n

                                          n 0




Si x[n] = 0 pour n<0    TZ {x[n]} = TZU {x[n])}

Région de Convergence de TZU toujours extérieure à un cercle (correspt au pôle le + éloigné si rationnelle)

Propriété importante:
                                x[n  1]  z 1 X z   x 1
                                          TZU




 Intérêt:     Possibilité de tenir compte de conditions initiales non nulles (système non IAR)

                                                                                                          159
                       IX. Echantillonnage

1 - Représentation d ’un signal Temps Continu par ses
    échantillons - Théorème de l ’échantillonnage

2 - Reconstruction d ’un signal à partir de ses échantillons en
    utilisant l ’interpolation

3 - Effet du sous-échantillonnage: « Repliement de spectre » ou
    « aliasing »

4 - Echantillonnage de signaux Temps Discret (décimation-
    interpolation)



                                                                  160
            IX.1 Représentation d ’un signal Temps Continu par ses
                 échantillons - Théorème de l ’échantillonnage

     Sous certaines conditions, un signal Temps Continu peut être reconstitué parfaitement en ne
     connaissant ses valeurs qu’ en certains points espacés régulièrement dans le temps (échantillons):
      Théorème de l ’échantillonnage


Représentation d ’un signal TC par ses échantillons

En général, une séquence d ’échantillons, ne peut définir de manière unique un signal TC




Nécessité de prendre en compte des contraintes supplémentaires:
                   - largeur de bande du signal
                  - période d ’échantillonnage
                                                                                                          161
Opération d ’échantillonnage




                                        x e (t)




   xe t   xt  . pT t 

                
   pT t      t  nT 
               n  
                                                                                                    x e (t)


               
  xe t       xnT   t  nT 
              n
                                                                                 
                                                         X e  j                   X  j  PT  j     d
                                                                         1
 Produit en Temps  Convolution en Fréquence
                                                                        2   
                                                                             
                          2    
                                                             2
  Or          PT  j  
                          T       ks 
                               k  
                                                      s 
                                                             T
                             1                      Spectre périodique, superposition des répliques
                X e  j       X  j  k s 
  Donc
                             T k                   de X(j) décalées tous les s et pondérées par 1/T
                                                                                                                     162
     Exemple 1


                                                                  Xe(j)




                                                                  Xe(j)




Si       M   s   M     s  2 M     Recouvrement

Si       M   s   M     s  2 M     Pas de recouvrement

                             x(t) peut être parfaitement reconstitué à partir de xe(t)
                             au moyen d ’un filtre passe-bas de gain T de fréquence de
                             coupure supérieure à M et inférieure à s -M


                                                                                         163
Théorème de l ’échantillonnage           ( Théorème de Shannon ou Théorème de Nyquist)



 Soit x(t) un signal de bande limitée telle que:        X  j   0 pour   M
 Alors x(t) est déterminé de manière unique par ses échantillons x(nT), n=0, 1, 2, … si:

                                          s  2 M

  où                                               2
                                         s 
                                                   T

A partir de ces échantillons, il est possible de reconstruire x(t) en générant un train d ’impulsions
dont les impulsions successives ont pour amplitude la valeur des échantillons. Ce train
d ’impulsions est alors filtré par un filtre passe-bas idéal de gain T et de fréquence de coupure
supérieure à M et inférieure à s -M . Le signal résultant sera alors exactement égal à x(t)




                                                                                                        164
Exemple 2   Reconstruction d ’un signal TC à partir de ses échantillons
            en utilisant un filtre passe-bas idéal

                        Xe(j)
                xe                                     Système d ’échantillonnage
                (t)
                                                       et de reconstruction




                                                       Spectre de x(t)


                      Xe(j)



                                                       Spectre de xe(t)




                                                       Filtre Passe-Bas idéal pour
                                                        reconstruire X(j) à partir de Xe(j)



                                                       Spectre de xr(t)
                                                                                            165
      IX.2 Reconstruction d’un signal à partir de ses échantillons
                      en utilisant l’ interpolation
Interpolation: Ajustement d ’un signal continu à un ensemble d ’échantillons pour reconstruire une
fonction soit de manière approximative, soit de manière exacte


                                                                                                Interpolation linéaire

                                                                                                 t

Interpolation: Effet du filtre passe-bas dans le domaine temporel
                        xr t   xe t   ht 
                                    
                        xr t      xnT  ht  nT 
                                    n

1) Interpolation exact
                                                               cT sin  ct   cT
 Réponse impulsionnelle d ’un filtre idéal :        ht                          sinc ct              (gain de T)
                                                                   ct         
                                                                  
                                                                                   cT
  Formule d ’interpolation exacte :                  xr t     
                                                                 n  
                                                                          xnT 
                                                                                    
                                                                                       sincc t  nT 

                                                                                                                          166
  Interpolation exacte basée sur le sinus cardinal


                                                     x e (t)




2) Interpolation avec un bloqueur d ’ordre 0


              xe
              (t)


                                                               x e (t)




                                                                         167
3) Interpolation avec un bloqueur d ’ordre 1 : interpolation linéaire



                  x e (t)




                     x e (t)




                                                                        168
                IX.3 Effet du sous-échantillonnage: Aliasing

   Si    s  2 M   • X(j) ne peut pas être restitué par filtrage passe-bas  ALIASING
                     • Le signal reconstruit xr(t) n ’est plus égal à x(t)

1) Effet de l ’aliasing sur un signal sinusoïdal




         Sous-échantillonnage correct                                        ALIASING
                                                                                           169
2) Effet de l ’aliasing dans le domaine fréquentiel




                                                      170
                     IX.4 Echantillonnage de signaux Temps Discret

 1) Echantillonnage d ’un signal discret
                                                                                              xn               x                 xe n 
                                              xn, si n  multiple de N
                            xe n  
                                     
                                                  0, autrement                                                  
                                                                                                       pn      n  kN
                                                                                                                k 
                            
xe n  xn pN n      xkN n  kN
                          k  



      
 X e e j 
               1
              2     Pe
                             j
                                    X e     d
                                          j    

                   2


    
                   
             2
 Pe   j
           
             N
                       k s 
                  k 

        2
 s                        s  2 M
                                                                                                                        Xe(e j)
                                                                                             x e [n]
        N

                    N 1
                   X e                            
                                                                                                                        Xe(e j)
               1                      j   k s        Spectre périodique, superposition
X e e j                                                 des répliques de X(e j) décalées
               N    k  
                                                          tous les s et pondérées par 1/T
                                                                                                                                             171
Restitution exact d ’un signal temps discret à partir de ses échantillons


 xn         x               H(e j)    xr n
                    xe n 

             pn
                                                       
                                                    X e j




                                                      
                                                  X e e j




                                                       
                                                   H e j




                                                      
                                                  X r e j




                                                                            172
  2) Décimation ou sous-échantillonnage

xe [n] est nul entre les instants d ’échantillonnage  séquence inefficace pour la transmission ou le stockage
Solution: créer une nouvelle séquence xd [n] identique à xe [n] aux instants d ’échantillonnage


  Décimation             xd n  xe nN   xd n  xnN 

 Relation entre x[n], xe [n] échantillonnage et xd [n] décimation ou sous-échantillonnage

                                                                                      
                                                                           x k  e
                                                                    Xd e     j
                                                                                              d
                                                                                                          j k

                                                                                     k  

                                                                                      
                                                                           x kN e
                                                                    Xd e     j
                                                                                              e
                                                                                                            j k

                                                                                     k  
                                                  x e [n]
                                                                                              
                                                                           x n e
                                                                                                                       n
                                                                                                                 j
                                                                             j                                        N
                                                                    Xd e                           e
                                                                                     n  multiple de N

                                                                                      
                                                                                                                         j 
                                                                    X d e           x n e
                                                                                                                n
                                                                                                          j
                                                                                                                     Xee N 
                                                 x d [n]                     j                                 N
                                                                                              e                             
                                                                                     n                                   


                                                                                                                                 173
                                          j 
                             
                         Xd e   j
                                      Xee N 
                                             
                                             

 Relation entre échantillonnage et décimation




                                                 
                                            X e e j




                                                   
                                            X d e j




Remarque:
Si x[n] obtenu par échantillonnage d ’un signal continu, la décimation peut être interprétée comme une
réduction du taux d ’échantillonnage par un facteur de N
                                                                                                         174
3) Sur-échantillonnage ou interpolation

Opération inverse de la décimation:
introduire N-1 points d ’amplitude 0 entre chaque valeur de la séquence initiale
 obtenir une séquence à un taux d ’échantillonnage plus élevé




                        xd[n]                                     
                                                             X d e j




                         xu[n]                                    
                                                              X e e j




   La séquence interpolée x[n] est obtenue par filtrage passe-bas de xu[n]
                                                                                   175
4) Exemple

Combinaison du sur-échantillonnage et de la décimation - Sous-échantillonnage maximum




                                               
                                           X d e j




                                               
                                           X u e j




                                                 
                                           X ud e j




                                                                                        176
Propriétés des
Séries de
Fourier Temps
Continu




                 177
Propriétés des
Séries de
Fourier Temps
Discret




                 178
Principales paires
      de la
 Transformée de
 Fourier Temps
    Continu




                     179
Propriétés de la
Transformée de
Fourier Temps
   Continu




                   180
Principales paires de
 la Transformée de
   Fourier Temps
      Discret




                        181
Propriétés de la
Transformée de
Fourier Temps
    Discret




                   182
Propriétés de la transformée de Laplace




                                          183
Principales paires de
Transformée de
Laplace




                        184
Propriétés de la transformée en Z




                                    185
Principales paires
de Transformée
en Z




                     186

								
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