HISTORIA
Las matemáticas son el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y
de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades
desconocidas. En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad,
referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la
generalización de ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se
empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce
condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica —ciencia que
consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica
basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en
relaciones y teoremas más complejos.
Las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseños prehistóricos de
cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido
geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban
basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la
gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.
Las matemáticas en la antigüedad
Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en
Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en
medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las
demostraciones.
Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración
decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100…), similar al sistema
utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces
como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el
número, y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las
decenas, las centenas… de cada número. La multiplicación estaba basada en duplicaciones
sucesivas y la división era el proceso inverso.
Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (a), junto con la fracción B, para expresar todas
las fracciones. Por ejemplo, E era la suma de las fracciones 3 y 0 se llama el período
principal o período fundamental o simplemente el período de f(t).
Ejemplo 1
La función tiene períodos , ya
que todas son iguales a
Ejemplo 2
Sea . Si f(x) tiene período entonces tiene período T.
(sustituyendo )
Ejemplo 3
Si f tiene período T entonces
Definición 2 (Expansión periódica )
Sea una función f definida en the intervalo [0,T). La expansión periódica de f se define
por la siguiente fórmula:
Definición 3 (Funciones continuas a trozos)
Una función f definida en el intervalo I=[a,b] se llama continua a trozos en I si y solo si
(i)
Existe una subdivisión tal que f es continua
en cada subintervalo y
(ii)
en cada uno de los puntos de las subdivisiones existe el límite por
un lado en cada extremo del subintervalo.
Teorema 1
Sea f continua en . Asumiendo que la serie
(1)
converge uniformemente a f para todo . Entonces
(2)
Prueba
Definición 4 (Coeficientes de Fourier, series de Fourier)
Los números an y bn se denominan los coeficientes de Fourier de f. Cuando an y bn estan
descritos como en (2), la serie trigronométrica (1) se denomina la serie de Fourier de la
función f.
Nota 1
Si f es cualquier función integrable entonces los coeficientes an y bn pueden ser calculados.
Sin embargo no existe certeza de que la serie de Fourier convergerá a f si f es una función
arbitraria integrable. En general, se dice:
esto indica que la serie podría o no converger a f en algunos puntos.
Nota 2 (Notación Compleja para las series de Fourier)
Usando la identidad de Euler,
donde i es la unidad imaginaria tal que i2=-1, la serie de Fourier de f(x) pueden ser escrita
en notación compleja así:
(3)
donde
(4)
y
Ejemplo 4
Sea f(x) definida en el intervalo [0,T] y determinada por fuera de este intervalo por su
extensión periódica , i.e. asumiendo que f(x) tiene período T. La serie de Fourier
correspondiente a f(x) (con ) es:
(5)
donde los coeficientes de Fourier an y bn son:
(6)
(7)
Ejemplo 5
Sean an y bn los coeficientes de Fourier de f. La forma fase-ángulo de la serie de Fourier
de f es:
con
y
Ejemplo 6
Calculando la serie de Fourier de la función f dada por:
ya que f es una función impar, esto es , y por lo tanto:
a0=0
Para los coeficientes bn estan dados por:
Se deduce que
La serie de fourier de la función f(x)
a(0) / 2 + (k=1.. ) (a(k) cos kx + b(k) sin kx)
a(k) = 1/PI f(x) cos kx dx
b(k) = 1/PI f(x) sin kx dx
El residuo de la serie de fourier. Sn(x) = la suma de los primeros n+1 términos a x.
el residuo(n) = f(x) - Sn(x) = 1/PI f(x+t) Dn(t) dt
Sn(x) = 1/PI f(x+t) Dn(t) dt
Dn(x) = Dirichlet kernel = 1/2 + cos x + cos 2x + .. + cos nx = [ sin(n + 1/2)x ] / [
2sin(x/2) ]
Teorema de Riemann. Si f(x) es continuo a excepción de un número finito de saltos
finitos en todos los intervalos finitos pues:
lim(k-> ) f(t) cos kt dt = lim(k-> ) f(t) sin kt dt = 0
La serie fourier de la función f(x) en un intervalo arbitrario.
A(0) / 2 + (k=1.. ) [ A(k) cos (k(PI)x / m) + B(k) (sin k(PI)x / m) ]
a(k) = 1/m f(x) cos (k(PI)x / m) dx
b(k) = 1/m f(x) sin (k(PI)x / m) dx
El Teorema de Parseval. Si f(x) es continuo; f(-PI) = f(PI) pues
1/PI f^2(x) dx = a(0)^2 / 2 + (k=1.. ) (a(k)^2 + b(k)^2)
La Integral Fourier de la función f(x)
f(x) = ( a(y) cos yx + b(y) sin yx ) dy
a(y) = 1/PI f(t) cos ty dt
b(y) = 1/PI f(t) sin ty dt
f(x) = 1/PI dy f(t) cos (y(x-t)) dt
Casos Espaciales de la Integral Fourier
si f(x) = f(-x) pues
f(x) = 2/PI cos xy dy f(t) cos yt dt
if f(-x) = -f(x) then
f(x) = 2/PI sin xy dy sin yt dt
(Transforms) de Fourier
(Transform) Fourier Coseno
g(x) = (2/PI) f(t) cos xt dt
(Transform) Fourier Seno
g(x) = (2/PI) f(t) sin xt dt
Identidades de los (tranforms)
Si f(-x) = f(x) pues
Transform Fourier Coseno ( Tranform Fourier Coseno (f(x)) ) = f(x)
Si f(-x) = -f(x) pues
Transform Fourier Seno (Transform Fourier Seno (f(x)) ) = f(x)
Forma compleja de la transformada de Fourier
Por razones de utilidad es conveniente agrupar las dos funciones reales de (9),
mediante una función compleja. Teniendo en cuenta que
podemos definir la función compleja
donde es la parte real y es la parte imaginaria de ,obteniéndose la
expresión equivalente a (9)
a cual es la forma compleja de la transformada de Fourier de x(t).
Del mismo modo, la expresión de x(t) dada en (10), puede ser evaluada en
términos de la función compleja , lo que nos da la forma compleja de la
transformada inversa de Fourier
La información contenida en x(t) es la misma que en , solo que expuesta
desde una perspectiva diferente. En x(t) representamos la información en su
dimensión temporal, mientras que en se representa la misma información
en su dimensión frecuencial. Es como si, de un mismo objeto, pudiéramos
obtener dos puntos de vista distintos de tal modo que se pusieran de relieve
propiedades distintas del mismo desde cada una de las perspectivas.
Notas
http://www.math2.org/math/advanced/es-fourier.htm
http://mwt.e-technik.uni-ulm.de/lehre/basic_mathematics/fourier_es/node2.php3
http://www.geocities.com/informal8m/Historiamates.htm