Pr�sentation PowerPoint by zT0ZIQ49

VIEWS: 14 PAGES: 22

									Techniques Numériques
 en Prévision du Temps
                  Jean Coiffier (SMF)

      4èmes rencontres Météo/Maths Appli.
Toulouse, Université Paul Sabatier, 25 mars 2009

                          Plan

       Généralités sur les équations de la météorologie
       La discrétisation spatiale (différences finies, méthode spectrale)
       Les algorithmes d’avance temporelle
       Application aux équations de la météorologie




                                                                             1
Les équations de la météorologie




                                   2
              Un problème de conditions initiales

Soit un domaine D fermé par une frontière F sur lequel sont définis les paramètres
représentatifs de l’atmosphère X(x,y,z,t)

Connaissant X(x,y,z,t0), état initial sur D, ainsi que :
X(x,y,z,t) sur F quel que soit t (conditions aux limites),

déterminer X(x,y,z,t) sur D pour tout t jusqu’à une échéance donnée, sachant
que l’évolution de X(x,y,z,t) est décrite par le
système d’équations aux dérivées partielles :

                               Cet ensemble d’équations d’évolution non
     X
         R ( X)               linéaires peut prendre plusieurs formes.
     t                        Elles sont résolues de façon approchées au
                               moyen du calcul numérique.

  Discrétisation du second membre (dérivées spatiales) :      R ( X)
  Discrétisation de la dérivée temporelle ou « tendance » :
                                                              X
                                                              t
                                                                                3
                            Lewis Fry Richardson

Entre 1916 et 1922, L.F. Richardson résout les équations
de la prévision du temps de façon approchée avec les
outils du calcul numérique et réalise une prévision à six
heures d'échéance qui se révèle complètement irréaliste.




                                              « 64 000 calculateurs seraient
                                              nécessaires pour prendre de vitesse
                                              l'évolution du temps sur l'ensemble
                                              du globe » (L.F. Richardson , 1922)


                                                                              4
                                 Les différences finies



On se donne une grille de maille x :


      Différence latérale en avant :
          (x  x)  (x) 
                               O(x)                    approximation à l’ordre 1 de précision.
                 x         x
      Différence centrale :
           (x  x)  (x  x)        
                                             O(x 2 )   approximation à l’ordre 2 de précision.
                    2x                 x
      Schéma d’ordre supérieur :
          4  (x  x)  (x  x)  1  (x  2x)  (x  2x)  
                                                                     O(x 4 )
          3         2x            3
                                                  4x             x
                                                                  
                                                          approximation à l’ordre 4 de précision.


                                                                                                    5
                                 L’erreur de troncature

 On définit l’Erreur Relative de Troncature ainsi :


                 Valeur analytique  Valeur numérique      Valeur numérique
      E.R.T.                                          1
                          Valeur analytique                Valeur analytique

On peut calculer cette erreur pour une fonction sinusoïdale; celle-ci dépend de la
longueur d’onde. Pour les évaluations à l’ordre 2 de précision et à l’ordre 4 de précision
on obtient les résultats suivants :

                                   kx         T    2
                                                          en %   T   4
                                                                          en %

                     2x                         100 %           100 %
                     4x             /2           36 %            15 %
                     8x             /4           10 %           1,2 %
                     16x            /8          2,6 %           0,08 %
                                                                  
                                     0            0%               0%

  L’erreur dépend donc de la longueur d’onde. Plus la maille est faible devant la longueur
  d’onde meilleure est l’approximation.

                                                                                             6
                           Les méthodes de Galerkin

La méthode de Galerkin est une méthode générale permettant de résoudre les équations aux
dérivées partielles de façon approchée. Elle consiste à développer le champ sur une base de
fonctions connues ayant de bonnes propriétés. Les champs sont alors déterminés par les valeurs
des coefficients du développement.
                                                    j N
        A                         A(x, y, t)   A j (t)f j (x, y)
              R(A)  0,
        t                                        j1

        j N                    j N               
  e N   A j (t)f j (x, y)  R  A j (t)f j (x, y) 
       t j1
                                                               S eN fi (x, y) dxdy  0
                                 j1                

      – Les fonctions f i (x, y) peuvent être définies sur tout le domaine de travail (sphère, plan
      infini) : dans ce cas on parle de méthode spectrale.

      – Les fonctions peuvent être non nulles seulement sur une petite partie du domaine de travail
      (fonctions trapezïoidales, créneau, chapeau …); dans ce cas on parle de méthode des
      éléments finis.


  La méthode des différences finies (souvent appelée méthode en points de grille) est un cas particulier
     de la méthode des éléments finis lorsque les fonctions de base sont des fonctions créneau.
                                                                                                      7
                La méthode spectrale sur la sphère

   Le développement des champs sphériques utilise une base de fonctions complexes (ayant une
    partie réelle et une partie imaginaire) définies sur la sphère de la façon suivante :

                              Ynm (, )  Pnm () eim

             représente la longitude et  le sinus de la latitude f :  = sin f.

   Ces fonctions sont appelées harmoniques sphériques de surface et dépendent de deux indices n
    et m. m est le nombre d’onde zonal et m le nombre d’onde global.


   La fonction exponentielle complexe indique que l’on a une variation sinusoïdale le long d’un cercle
    de latitude.

   Les fonctions   Pnm ()    sont définies sur l’intervalle [-1, +1] (c’est à dire du pôle Sud au
                               pôle Nord) et sont appelées fonctions associées de Legendre.




                                                                                                      8
               Forme des harmoniques sphériques
                           de surface




Partie réelle des
harmoniques sphériques
de surface pour n = 5 et
pour diverses valeurs de m




                                                  9
                   Développement tronqué à l’aide des
                   harmoniques sphériques de surface

Une variable   A(, )    definie sur la sphere peut être exprimée à l’aide du développement suivant :
                      M      N
       A(, )       
                     m =-M n = m
                                   A m Ynm (, )
                                     n


      Ces fonctions complexes sont les harmoniques sphériques de surface.

Les coefficients spectraux       A m {m = -M, ...., 0, ..., + M ; n = m ,..., N}
                                   n
       permettent de représenter un champ bidimensionnel de façon tronquée

Les coefficients spectraux sont déterminés en effectuant la double intégration:

                       1 1 2 
          A   m
               n
                      4  1  0 A(, )Ynmdd
       car les harmoniques sphériques vérifient la condition d’orthonormalité :


                        1 1 2  m m'                        1 si m=m’ et n=n’
                       4 1 0 Yn Yn' d d              
                                                             0 autrement
                                                                                                 10
                            La troncature du
                            développement

   Les nombres N et M définissent la troncature spectrale
             N = M définit une troncature dite “triangulaire”


                                    n




                                               m




   Comment comparer la taille de la maille et la troncature spectrale
    La plus petite longueur d’onde représentée est (km) = 40000/M
    Si on admet que les différences finies ne peuvent représenter des longueurs d’onde plus
    petites que = 4x, alors on peut écrire la formule “d’équivalence” : 4x = 40000/M

   On peut conserver en tête la formule suivante : x (km) = 10000/M

                                                                                         11
                            Les calculs avec la méthode
                                     spectrale
   Calcul des termes linéaires :
      Les termes linéaires sont calculés en multipliant les coefficients spectraux
      par les dérivées des harmoniques sphériques de surface.
      Le calcul des Laplaciens est très aisé car les harmoniques sphériques sont
      les fonctions propres de l’opérateur Lapalacien sur la sphère.


   Calcul des termes non linéaires :
       Les termes non linéaires sont calculés en points de grille sur une grille
       auxiliaire dite “grille de transformation”.

       On passe des coefficients spectraux aux points
       de grille en effectuant :
       - une transformation de Legendre inverse,
       - une transformation de Fourier inverse.
       On passe des points de grille aux coefficients
       spectraux en effectuant :
       une transformation de Fourier,
       une transformation de Legendre.

                                                                                     12
                      La méthode spectrale sur un
                         domaine bipériodique

   Sur un plan on peut utiliser les fonctions trigonométriques pour développer des champs
    bipériodiques.
   Malheureusement les champs météorologiques ne sont pas bipériodiques.

   La solution consiste à rendre les champs à traiter bipériodiques sur un domaine étendu:




                   On ménage une transition douce des champs entre la zone
                      de travail et la zone étendue


                                                                                              13
              Le principe de l’extrapolation
                      dans le temps

Un modèle de prévision peut s’écrire de façon très générale :

                       X ~
                           R ( X)  0
                       t
      R( X)     étant un opérateur non linéaire faisant intervenir des dérivées
                spatiales.


Il suffit donc a priori d’évaluer son expression second membre à l’aide des
méthodes permettant l’évaluation des dérivées spatiales et d’évaluer la dérivée
temporelle en différences finies pour pouvoir réaliser l’extrapolation pour un pas de
temps, le processus pouvant être itéré pour aller jusqu’à l’échéance voulue.


                   X(t)  X(0)  t R  X(0)

                   X(2t)  X(t)  t R  X(t)
                                                                      MAIS …
                   .....et ainsi de suite

                                                                                        14
                           Richard Courant, Kurt Friedrichs,
                                     Hans Lewy

Des mathématiciens apportent leur contribution : Uber die partiellen
  Differenzengleichungen der mathematischen Physik, Math. Ann. 100, 32-
  74 (1928)
                                                    Ut
                                                 C
                                                    x
                                                 U : est la vitesse de propagation
                                                 des ondes les plus rapides

                                                 t : est le pas de temps
                                                 x : est la dimension de la maille
                    R. Courant, K. Friedrichs,


                    H. Lewy                      Critère CFL
                                                 C doit être inférieur à une
                                                 valeur finie.
                                                                                     15
             Un modèle simplifié pour étudier la
          stabilité : le modèle en eau peu profonde
Pour étudier divers schémas d’avance temporelle on considère un modèle simplifié, linéaire
décrivant l’évolution d’une petite perturbation caractérisée par U,V et = gZ au sein d’une
pellicule fluide d’épaisseur */g animée d’une vitesse horizontale U0, V0 dans un référentiel en
rotation (f = paramètre de Coriolis).

  U      U      U                  
      U0     V0     fV      0,                    Dérivées temporelles ou « tendances »
  t      x      y        x                         Termes d’avection
  V      V      V                  
                                        
      U0     V0     fU      0,                    Termes de Coriolis
  t      x      y        y                         Termes d’adaptation
                    U V       
  t
      U0
          x
              V0
                  y
                      *        0. 
                          x y       
                                        
                                  X
     De façon simplifiée :              A( X)  F( X)  G ( X)  0
                                  t
                                                 Une onde lente :        V1  V
On peut déterminer 3 type de solutions
qui se répartissent de la façon suivante :       2 ondes rapides
                                                 (d’inertie-gravité) ;   V2,3  V  Vg

                                                 V  U0  V02 , Vg  *2 16
                                                        2
                       Le schéma explicite centré

Le schéma explicite latéral en avant (ou schéma d’Euler) :

    X(t  t)  X(t)
                          A  X(t)  F  X(t)  G  X(t)  0
             t
          Ce schéma est inconditionnellement Instable ; aussi n’est-il
          utilisé qu’au premier pas de temps.

Le schéma explicite centré, dit encore « leapfrog » :

    X(t  t)  X(t  t)
                                A  X(t)  F  X(t)  G  X(t)  0
               2t
           Ce schéma est conditionnellement stable avec les critères
           suivants ;

                  1  KVt  1

                  1  K(V  Vg )t  1

                                                                         17
                Le schéma semi-implicite centré

Pour le schéma semi-implicite centré les termes responsables de la propagation des
ondes rapides sont traités de façon implicite en effectuant une moyenne entre les
instants t – t et t + t :


X(t  t)  X(t  t)                                1
                          A  X(t)  F  X(t)        G  X(t  t)  X(t  t)  0
          2t                                        2
Ce schéma est conditionnellement stable avec les critères suivants :


                         1  KVt  1
                         K2t 2V2  K2Vg2t 2 1

En revanche, le système est implicite et la détermination de   X(t  t)   nécessite la
résolution d’un système linéaire.




                                                                                          18
                       Le schéma semi-lagrangien
                             semi-implicite
 Le principe du schéma semi-lagrangien consiste à évaluer la dérivée totale en
 différences finies entre le point de départ O (à t – t) et le point d’arrivée G (à t + t) de
 la particule. Les termes responsables de la propagation des ondes rapides sont traités
 de façon implicite en effectuant une moyenne des valeurs en ces mêmes points.
              dX X ~          X ( t  t )  XO ( t  t )
                      A( X)  G
              dt   t                     2t
  Le système devient donc:

             XG (t  t)  XO (t  t)                  1
                                          F  XI (t)  G  XG (t  t)  XO (t  t)  0
                        2t                             2

G est le point de grille, point d’arrivée de la particule;
O est le point de départ de la particule;
I est le point situé à mi-distance de O et de G.
L’application de la méthode nécessite donc:
      • la détermination du point de départ O de la particule et donc également du point I
      • l’interpolation de quantités aux poins O et au point I
      • la résolution d’un système linéaire (comme pour le semi-implicite).

La condition de stabilité se réduit alors à :     1  ft  1
                                                                                                  19
                 Détermination du point d’origine


                                                    Cas du modèle linéaire :


                                                    x O  x  2a ,       a = U 0 t,   
                                                                                       
                                                    yO  y  2b,        b = V0 t.     




Dans le cas général d’un modèle non linéaire, il faut recourir à un processus itératif :


           a 0  0,            a n 1  tU(x G  a n , yG  bn ),
                                                                   
                                                                  
           b0  0,             bn 1  tV(x G  a n , yG  bn ).
 Le processus converge dans la mesure où la condition suivante est vérifiée :

                             U   U   V   V 
                    2t.max     ,    ,    ,     1
                             x   y   x   y 
                                                                                           20
Les modèles opérationnels




                            21
                                                   http://www.smf.asso.fr


A l'origine, Société savante, la SMF est aujourd'hui un lieu de communication, d'échanges et
de débats.
Elle organise différentes manifestations à caractère scientifique:
        cycles de conférences,
        expositions, jeux-concours etc...,
        colloques,
Elle décerne deux prix scientifiques ;
Elle publie la revue trimestrielle La Météorologie, co-éditée avec Météo-France et parrainée
par l'INSU-CNRS et l'ADEME.



                  A TOULOUSE
       JEUDI 26 MARS 2009 A 18H30
  « Combien pèse un cumulonimbus ? »
Radioscopie des nuages par Jean-Pierre Chalon,
                Météo- France

     À la Cité de l’Espace (salle Altaïr)                                                      22

								
To top