Chapitre 5 : Conduction thermique by zT0ZIQ49

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									               Chapitre 5 : Conduction thermique

I Loi de Fourier
      A) Enoncé
           Hypothèses :
            Milieu isotrope
                                            
            Equilibre thermique local ( T (r , t ) est défini)
                              
                             dS
                                         
            2Q  jQ  dSdt , dS
                      
           d  jQ  dS
           Loi de Fourier :
                   
            jQ  T ;  : scalaire positif, conductivité thermique du milieu.
           
            jQ : densité de flux de chaleur par conduction (pas de rayonnement ni diffusion)


      B) Discussion

            Loi phénoménologique :
           La loi de Fourier est basée sur la description des phénomènes
            Satisfaisante physiquement :
                                
           -    jQ est opposé à  T
                     
           - Plus  T est important, plus le flux l’est.
            Phénomène irréversible :
                                                
                T                               T
                                                
                jQ                               jQ
           La loi de Fourier traduit un phénomène irréversible.
            Loi linéaire :
           La loi correspond à un développement limité du premier ordre ; on peut donc
                                
      observer des écarts pour  T très grand.
             dépend :
           - Du matériau
           - De la température
            Plus  est élevé,
                                        
           - Plus jQ est important à  T fixé
                                     
           - Plus  T est faible à jQ fixé.
                                                 T    2  1
                        1       2   1
               jQ
                    T0                      T1               x



 Chapitre 5 : Conduction thermique
 Thermodynamique                                                                Page 1 sur 16
           - Plus T s’uniformise rapidement si le système est isolé.
            Limites :
           - Le matériau doit être isotrope.
           Pour un matériau non isotrope,  dépend des directions privilégiées. Par exemple,
     pour le bois,  est plus grand dans le sens des fibres que dans le sens orthogonal aux
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     fibres. Pour une autre direction, le flux aura une direction différente de celle de  T
                           
                          jQ T
              
              jQ    
                    T              
                                   T
                           jQ
                                                                    
          -        On doit être au voisinage de l’équilibre local : T « pas trop grand ».
          -        Il ne doit pas y avoir d’autres gradients que le gradient de température.


     C) Conductivités thermiques
          
          jQ : W.m 2 
                      
                       : W.m .K
                              1  1
          
          T : K.m 
                   1
                      


          1) Gaz

                         ~ 102 W.m1.K 1
                         augmente quand T augmente.
                         est indépendant de P pour P  10bar
                         augmente quand M (masse molaire) diminue.
        A 200K           H2  0,128W.m1.K1 O2  0,018W.m1.K1 CO2  0,009W.m1.K1
        A 300K           H  0,177W.m1.K1
                           2
                                                  O  0,027W.m1.K1
                                                      2
                                                                            CO  0,017W.m1.K1
                                                                                2

                 Les gaz sont de meilleurs isolants que les liquides ou les solides.
                 Problème : le gaz est un très bon convecteur ; il ne peut donc pas être utilisé
           pour l’isolation, à moins de l’empêcher de circuler (avec de la laine de verre).

          2) Les liquides

                      ~ 0,1 à 1W.m1.K 1
                     H 2O : 20  0,60 W.m 1.K 1


          3) Les solides

                 Conduction thermique électronique
                - Mécanisme :
                 Modèle du gaz d’électron (Drude), valable pour une conduction thermique
           ou électrique :


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Thermodynamique                                                                        Page 2 sur 16
                   Pour un matériau conducteur, les électrons libres circulent comme dans un
             « cylindre », de la même façon que des gaz dans une enceinte.
                  - Loi de Wiedemann–Franz pour un métal :
                                                                     2  kB 
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                        LT (  : conductivité électrique), avec L       
                                                                     3  e 
                      (Formule théorique, très proche des valeurs expérimentales)
                      Le rapport est donc indépendant du matériau
                     - A 300K :
                        Cu ~ 400 W.m 1.K 1
                       Al ~ 237 W.m 1.K 1
                      Acier ~ 10 W.m 1.K 1
                      Conduction thermique phonique :
                     - Mécanisme :



                   On suppose qu’il peut y avoir des vibrations et des interactions.
                   Si l’une des particules se met à vibrer à cause d’un flux thermique, elle va
             transférer une partie de son énergie de cette façon (c’est le même principe que
             pour le son)
                  - Ordre de grandeur :
                   Carbone diamant, très bon isolant électrique, mais  ~ 2000W.m1.K 1
                   Pour le verre,  ~ 1W.m1.K 1 , et pour le ciment  ~ 0,1W.m 1.K 1


II Flux thermique à une paroi
           Solide        Fluide
        Conduction     Conduction/
                       Convection


       A) Transfert convectif dans les fluides
            1) Convection forcée

                     La convection est imposée par un opérateur.
                     Exemple : sèche-cheveux, ventilateur (ici par les hélices)


            2) Convection naturelle

                                     T2

                                     T1 > T 2
                     La convection naturelle est moins efficace que la convection forcée.




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  Thermodynamique                                                                     Page 3 sur 16
          3) Convection mixte

                C’est une convection partiellement forcée et naturelle.


     B) Flux conducto–convectif à une paroi

                0            x
           
           jQ : flux conductif et convectif.
                  
           jQ  jQux (les autres composantes ne servent pas ici)
          En x  0 :
          - Continuité de la température T ( x  0  )  T ( x  0  )  T1
                                           
          - Continuité de jQ jQ ( x  0 )  jQ ( x  0 ) . En particulier pas de frottements au
              niveau de la paroi.


          1) Dans le solide

                                       T 
                 jQ ( x  0  )  S      d’après la loi de Fourier.
                                       x  0


          2) Dans le fluide

                Pour un écoulement :



                             Profil de
                             vitesses
                Le fluide étant plus ou moins visqueux va « coller » à la paroi et ne se
           déplacera donc pas lorsqu’il sera à proximité)

                                    Principalement
                                      convection

                 Uniquement
                 conduction

                    T1
                 Tf

                                             x

                (On peut aussi avoir T1  T f )
                                       T      T f  T1                       f
                 jQ ( x  0 )   f     f           h(T1  T f ) où h 
                                       x 0                                 

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Thermodynamique                                                                      Page 4 sur 16
                       Ainsi, jQ  h(T1  T f ) : Loi de Newton.
                                T 
                       Et  S       h(T1  T f )
                                x  0


              3) Coefficient de transfert conducto–convectif h.

                          unité : W.m2 .K 1
                          Plus la conduction est importante, plus  f augmente
                           Plus la convection est importante, plus  diminue.
                        Et dans les deux cas h augmente.
                        On détermine h expérimentalement.
                        h est indépendant de la paroi, mais dépend de la nature du fluide et de
                           l’écoulement.
                        Convection naturelle :
                       - Gaz : h ~ 5  10W.m2 .K 1
                       - Eau : h ~ 100  1000W.m2 .K 1
                           Convection forcée :
                       - Gaz : h ~ 10  300W.m2 .K 1
                       - Eau : h ~ 300  12000W.m2 .K 1
                        Cas du sodium liquide (utilisé dans les centrales nucléaires) :
                        Pour une convection forcée, h ~ 6000  110000W.m2 .K 1


III Distribution de température dans les solides
                                 
         On veut déterminer T (r , t ) dans un solide.
         T satisfait une équation aux dérivées partielles (bilan énergétique) et des conditions aux
   limites, donc T pourra être déterminé.


        A) Bilan d’énergie
              1) Hypothèses de travail

                       On suppose le système S fermé, et la pression uniforme et stationnaire égale
              à P0 .


              2) Premier principe

                       Expression globale :
                       Pour une surface fermée 
                       On suppose que Ec ,m acro  0 , E p ,m acro  0
                       Ainsi, U  Q  Wp  W ' . Donc H  Q  W '
                                       
                                           PV




   Chapitre 5 : Conduction thermique
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                               dH                                      
                     On a alors        jH  dS   pd    jQ  dS   pd
                                dt                                

                 (où p est la puissance volumique de W’ )
                 Expression locale :
                  dH d                                                                
                         hd où h est l’enthalpie par unité de volume ( h(r , t ) )
                   dt dt        v

                             h
                         d (on néglige les variations de volume, qui sont faibles pour
                            v t

            un solide)
                         h  
                 Donc           jQ  p
                         t

                                         g                         
                     Par comparaison avec      jG   G , on a jG  jH et p   G .
                                         t
                  Le volume et la pression n’ont pas d’influence très importante sur un solide.
                  On peut donc écrire dU  cdT et dH  dU (et donc remplacer h par u dans
            l’égalité obtenue)


     B) Equations de la température
                         
            Terme   jQ :
                                      
             jQ    (T )  2T    T

           Si une grandeur Y varie avec une distance caractéristique lY , on peut considérer
           dY Y     d 2Y     Y
     que     ~ , et    2
                         ~         :
           dx lY    dx     (lY ) 2
               Y




                                 x
                lY
          Ainsi, dans l’équation précédente :
                      T                 T
           2T ~         2
                             et   T ~
                     (lT )                l lT
          On supposera dans la suite que l  lT (c'est-à-dire que la température varie plus
     que  )
                             
          Ainsi,   jQ  2T .
                                            h
                  Terme enthalpique
                                            t
                       T                         T+dT

             , m, H , c p        , m, H  d (H ), c p
               instant t                instant t+dt


Chapitre 5 : Conduction thermique
Thermodynamique                                                                  Page 6 sur 16
           d (H )  c p dT , et c p  c p ,m 
          Donc d (H )  c p ,m  dT
                     H                                            h            T
          Donc d (      )  c p ,m dT , soit dh  c p ,m dT , ou     c p ,m 
                     
                                                                  t            t
                         h

              Equation de la température :
          -    Cas général :
                   T     
           c p ,m      2T  p
                   t
          - Cas d’une réaction chimique :
          H dépend en plus de l’avancement de la réaction.
                         H      H
          Donc dH          dT      d  c p dT   r H 0 d
                        T      
                             cp
                                    r H 0

                 H              T            x
          Donc        c p ,m         r H 0    où x est l’avancement par unité de volume.
                  t              t           t
           x 1           
                       v( r , t ) .
           t V t
                        T         
          D’où c p ,m        2T   r H 0v  p
                        t
          - Equation « de la chaleur » (de Fourier) :
          C’est le cas où p  0 :
           T       2                T                       
                         T , soit         D 2T où D                : diffusivité thermique.
           t  .c p ,m                 t                     .c p ,m
          [ D]  L2T 1 (m 2s 1 )
           Conditions aux limites :
                           
          On suppose p(r , t ) connu
          - Grandeurs imposées à une surface :
                                   
          Température T  T0 (r , t ) (Dirichlet)
                        
          Ou jQ  n  j0 (r , t ) (Neumann)
          - Relations de continuité à une surface :
          Solide/Solide :
                                                                  T        T 
          La température doit être continue, ainsi que jQ  n ( 1       2      )
                                                                    n 1      n  2
          Solide/Fluide :

                    Tf

               T1

                T 
           s       h(T1  T f )
                n  S
                                     
          - Conditions initiales T (r , t0 )




Chapitre 5 : Conduction thermique
Thermodynamique                                                                         Page 7 sur 16
             Cas du régime permanent
          -   Equation de Poisson :
                                                                  
          On est en régime permanent, c'est-à-dire                    0.
                                                                  t
                                        p 
          Donc   2T  p , soit  2T   (r )
                                                   
          - Equation de Laplace :
          On est en régime permanent et p  0 .
                 
          Ainsi,  2T  0 .


     C) Problèmes unidimensionnels
                             
          On suppose ici que r ne dépend que d’une seule coordonnée.

          1) Problème unidirectionnel

                       S
                                      x

                                                              x
                           x
                                             
                On a alors jQ  jQ ( x, t )ux
                Bilan enthalpique :
                d (H )  jQ ( x, t ).S .dt  jQ ( x  x, t ).S .dt  p.S .x.dt
                                                       jQ              2T                 T
                Or, jQ ( x  x, t )  jQ ( x, t )          x          x (car jQ      )
                                                x                     x 2
                                                                                            x
                                    T     2
                                                
                Donc d (H )     2  p .S .x.dt
                                               
                                     x        
                                                      T
                D’autre part, d (H )  c p ,m Sxdt
                                                      t
                        T
                         2
                                          T
                Donc  2  p   .c p ,m
                        x
                                          t
                            
                             2T
                Application :
                       2
                     0  T
                 t     2  0 . Donc T  ax  b (on retrouve la linéarité de la température
                  p  0 x
                       
           pour une barre placée entre deux sources de températures différentes)


          2) Problème à symétrie cylindrique de révolution

                Rappel : un cylindre en mathématiques est un ensemble de droites parallèles
           passant par un contour fermé, celui-ci n’étant pas forcément un cercle.
                Un cylindre de révolution est un cylindre engendré par un cercle.


Chapitre 5 : Conduction thermique
Thermodynamique                                                                               Page 8 sur 16
                                         
                 On suppose que T (r , t )  T (r , , z, t )  T (r , t ) ; ainsi on a une symétrie
                                                      
           cylindrique (indépendant de z) de révolution (indépendant de  )
                                                  T 
                 On a aussi jQ  jQ (r , t )ur      ur .
                                                    t
                       r
                        r
                  l


                                                                                                  .rr.l
                 d (H )  jQ (r , t )  2 .r.ldt  jQ (r  r , t )  2 .( r  r ).ldt  p  2  dt
                                                                                                   
                                                                                                     
                                                                      (r  jQ )              T 
                 Or, jQ (r  r , t ).( r  r )  jQ (r , t ).r                  r         r r
                                                                         r                 r  r 
                                  1   T          
                 Donc d (H )   r r  r r   p   2 .rr.ldt
                                                      
                                                   
                                                                     T
                                                               r
                 D’autre part, d (H )  c p dT   .c p ,m 2r.
                                                              . .l t dt
                                                                

                             T 1   T               1   T 
                 Donc  .c p ,m         r    p        r    p
                             t r r  r              r r  r 
                 (On reconnaît le Laplacien de T en coordonnées cylindriques)


          3) Problème à symétrie sphérique

                 Ici, T  T (r , t ) (où r est le r des coordonnées sphériques)
                               T 
                 Et jQ            ur
                                r
                 De la même façon que précédemment, en considérant cette fois le volume
           entre deux sphères de rayons r et r  dr et de même centre, on obtiendra :
                            T      1   2 T 
                   .c p ,m     2       r        p
                            t      r r  r 
                 Et on reconnaît encore le Laplacien, mais en coordonnées sphériques.


     D) Transferts linéaires en régime permanent
          1) Analogie électrocinétique

                 Principe :
                                       
                Loi de Fourier : jQ  T
                                           
                Loi d’Ohm : jq  v ( jq  E )
                                    
                      jQ             jq
                        T                    v
                                           
                                      
                    jQ  dS I   jq  dS



Chapitre 5 : Conduction thermique
Thermodynamique                                                                                     Page 9 sur 16
                       Intérêt de cette analogie : en régime permanent, les lois de
                        l’électrocinétique sont simples.
                         


                   TA        TB
                Modélisation :
                TA  TB  Rth
                            Rth
                   TA                  TB
                     
                Avec plusieurs parois :
                              

                   TA                       TB
                On a TA  TB  ( Rth1  Rth 2  Rth 3 )
                Modélisation :
                   TA                                        TB
                            Rth1            Rth2      Rth3
                Lorsque plusieurs tiges sont en parallèles :
                        1
                                  2
                   TA             3             TB

                Modélisation :




                Conditions de validité :
               - Loi de l’électrocinétique :
                En régime permanent :
                                
                (1) j  E  v , et  est indépendant de v.
                       
                (2)   jq  0 (flux conservatif)
                On a en effet :
                 i2       i1
                    i   
                        3

                dq          
                      jq  dS (car la charge est conservative)
                 dt      

                      d                                 
                Soit
                      dt  d   jq  dS . Ou t    jq  0 , et comme on est en
                                              
           régime permanent,        0 , d’où   jq  0
                                t

Chapitre 5 : Conduction thermique
Thermodynamique                                                            Page 10 sur 16
                  - Transposition à la thermique :
                   Pour que la modélisation soit valable, on doit avoir :
                               
                   (1) jQ  T et  indépendant de la température.
                        
                   (2)   jQ  0 .
                                          h  
                   De plus, comme on a          jQ  p , il faut aussi être en régime permanent
                                          t
           et il ne doit pas y avoir de source enthalpique.


          2) Résistance thermique


                     Cas de la propagation unidirectionnelle :
                     S
                                      x
                         l
                On suppose que T  T (x) .
                               dT 
                On a jQ         ux .
                                dx
                                        jQ
                Comme   jQ  0 , soit        0 , jQ est alors indépendant de x.
                                           x
                                               dT
                Donc    jQ  dS  jQ S        S
                                                 dx
                                 1                       l               l
                Ainsi,  dT       dx , donc TA  TB   , et Rth        .
                                S                      S              S
                 TA = l
                 20°C      TB = 0°C

                           
                Avec   1S.I. , l  0,2m et S  10m2 (correspond à un mur d’habitation)
                On trouve Rth  2.10 2 K.W 1 et   1000W .
                    1 2 1


                       l
                                 1  l1 l2 l3 
                On aura R'th         
                                 S  1 2 1 
                                             
                 Si 2  1 (c'est-à-dire si le mur du milieu est isolant), on aura R 'th  Rth
                 Cas général :
                - Résistance d’un tube de courant élémentaire :
                       
                       jQ
                  TA
                             S      TB
                        s


Chapitre 5 : Conduction thermique
Thermodynamique                                                                    Page 11 sur 16
                  On travaille ici avec les conductances, sinon on obtient une résistance
           infiniment grande.
                                  T            dT
                    jQS   S              S (s désigne l’abscisse curviligne)
                                   s            ds
                               1 ds                        B       1          
                  Donc  dT           , soit TA  TB   
                                                           A  ( s)S ( s) ds 
                                                                               
                                S                                           
                                      1
                  D’où dth                     (conductance thermique)
                               B      1
                              A  (s)S (s) ds

                 - Résistance d’un tube fini :
                   TA                T                       B


                   
                 th   dth
                                  




          3) Exemples

                         TA                                       TA
                                                TB
                        eau                                            l
                                                 jQ                jQ
                   R1                 R2
                On suppose que le flux de chaleur est uniquement radial.
                Plus le tube est long, plus il y aura des fuites ; la résistance thermique devra
           donc varier en 1 . On néglige ici les effets de bords :
                           l
                                                                             dT 
                La température dépend ainsi uniquement de r, et jQ             ur .
                                                                              dr
                Pour r  [ R1 , R2 ] :
                                                 dT
                   jQ  dS  jQ  2 .r.l        2 .r.l
                                                   dr
                                    dr                           R                   1    R
                Donc  dT               , soit TA  TB         ln 1 , d’où Rth         ln 1 .
                                2 .l r                  2 .l R2                 2 .l R2
                Résistance de transfert conducto-convectif :
                 Ti = 20°C                                  Te = 0°C

                            TA                              TB
                                                


                 Ti  Te  Ti  TA  TA  TB  TB  Te
                               
                                                
                                               1             Rth                  1
                                                                           
                                              hi S                                he S

                Où S est la surface de contact (loi de Newton)
                Modélisation :
                  Ti                  TA              TB            Te
                       Rth ,i     1
                                  hi S
                                           Rth             Rth,e



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IV Compléments
       A) Isolation d’un fil électrique

             z                   R2
                                 R1      C
                                         j
                     T0                 
                                 j
                         
            On suppose j uniforme (ainsi, I  R12 j )
                                         
            On a T  T (r ) , jQ  jQ (r )ur .
                    Bilan :
                 r        r  dr

                             l


            Avec r  R1 :
            jQ (r )  2 .r.l  jQ (r  dr )  2 .( r  dr ).l  p  2 .r.dr.l  0
            Donc jQ (r )r  jQ (r  dr )  (r  dr )  p.dr  0
                            d (r. jQ )                   d       dT 
            Soit                         pr  0 , ou       r.      pr  0 .
                                 dr                      dr      dr 

            Remarque :
            Pour un petit élément, on a :
                      S
                 
                 j      dl

                                      1 dl              j2                                P   j2
             P  R.I 2                     ( jS ) 2  d avec d  dl.S . Ainsi, p         .
                                       S                                               

            En reprenant les égalités précédentes :
            On a alors :
             d  dT          p
                r      r
             dr  dr         
                      dT      1 p 2
            Donc r               r  cte (car p est indépendant de r)
                      dr      2
                  dT       1 p      cte
            Soit              r
                   dr      2        r
                                                1 p 2
            Donc, pour r  R1 : T (r )               r  A ln r  B ,
                                                4 C
                                                                          
            Et, pour R1  r  R2 (c’est la même chose avec j  0 ) : T (r )  A' ln r  B'
             Conditions aux limites :
            T (r ) doit être fini. Donc A  0 .
            En r  R2 , T  T0 .
                                                                                dT        dT 
            En r  R1 , T ( R1 )  T ( R1 ) et jQ ( R1 )  jQ ( R1 ) soit C       g      .
                                                                                  dr  R1   dr  R1


  Chapitre 5 : Conduction thermique
  Thermodynamique                                                                            Page 13 sur 16
          Ainsi, pour r  R1 , on trouve, en remplaçant p par la valeur calculée :
                     1 j 2 2  r 2  1 j 2 2 R1
          T (r )  T0      R1 1       R1 ln
                     4 C  R12  2 g
                                               R2
          Et pour R1  r  R2 :
                                    1 j2 2      r
          T (r )  T0                   R1 ln
                                    2 g       R2
                  Discussion :
                   T0
                        Ta
                   h
          Si on donne Ta , h, on a la condition supplémentaire suivante :
                dT 
           g       h(T0  T1 )
                dx  R2
          Et on obtient alors comme profil de température :
              T
                         r 2
                                     ln r
              T0
              Ta
                                                   r
                              r1              r2



     B) Ailette de refroidissement

           T0  Ta
                                         Ta

                                    R
                                     Tige
                         l         metallique
           Les pertes de la paroi au niveau du contact avec la tige sont remplacées par les
     pertes sur toute la tige.
           Répartition de température :
           Bilan sur la tige :
           On suppose que T  T (x) .
               x


          On a jQ ( x). .R2  jQ ( x  x). .R2  h(T  Ta ).2 .Rx  0
                         2h
                        djQ
          Donc                 (T  Ta )x
                              x 
                dx        R
                d 2T 2h
          Soit  2       (T  Ta ) .
                dx     R
          On pose   T  Ta .
                 d 2 2h
          Ainsi,          0.
                 dx 2 R


Chapitre 5 : Conduction thermique
Thermodynamique                                                                 Page 14 sur 16
                         R
          On pose d          .
                          2h
          On a ainsi   Aex / d  Be x / d .
          Conditions aux limites :
          En x  0 , T  T0 .
                          dT 
          En x  l ,         h(Tx l  Ta ) .
                          dx  x l
                                                 l x    
                                             ch        
          On trouve alors T  Ta  (T0  Ta )             , avec th   hd .
                                                    d
                                                   l
                                               ch   
                                                                         
                                                   d   
                                                         
                        l~d               l  d
                                                               l  d

                              l   x                l   x                l   x
           Le plus efficace est lorsque l ~ d (lorsque l  d , une grande partie de la barre ne
     sert à rien, et lorsque l  d , elle ne sert à rien)
           Définition :
                                      puissance évacuée avec la tige
           Efficacité de l’ailette =
                                      puissance évacuée sans la tige
                          dT 
                           
           Ici, e        dx  x 0
                       h(T0  Ta )

            e


               1
                   ~d                         l



     C) Onde thermique

            0
                   
           z
           Hypothèses :
             
          T z  T0
          En z  0 , T ( z  0, t )  T0   0 cos t  T0  eit (partie réelle)
          Détermination de T ( z, t ) :
           Analyse :
          - En un point intérieur, on aura la même pulsation  .
          - A mesure qu’on s’enfonce, il y aura moins de variations autour de T.
          - Il y aura une phase en profondeur (il n’y a pas de propagation instantanée)


Chapitre 5 : Conduction thermique
Thermodynamique                                                                  Page 15 sur 16
              Equation « de la chaleur » (on suppose qu’il n’y a pas de source en
               profondeur) :
          T          2T             
                 D 2 avec D 
           t        z               .c
           Méthode de résolution :
          On commence par chercher une fonction de la forme f ( z ) g (t ) :
          g (t )  eit (à une constante multiplicative près, qu’on « met » dans f)
          On cherche ainsi T  T0  f ( z )e it .
                                                                  2
          On note   T  T0 . On a toujours                    D 2 .
                                                             t    z
                                                         it
          Ainsi, après simplification par e , i. f ( z )  D. f ' ' ( z ) .
                                  i
          Donc f ' ' ( z )  . f ( z )  0
                                   D
                                                                      (1  i )
          D’où, avec k 2  i              (soit k   (1  i )                 ):
                                      D                         2D        
           f ( z )  Ae (1i ) z / d  Be  (1i ) z / d
           Conditions aux limites :
          Lorsque z   ,   0 . Donc A  0
          En z  0 ,    0 e it . Donc B   0
          Donc    0 e  z /   e i (t  z / d )
                               z /
          Soit T  T0   0 e        cos(t  z )
           Analyse :
          - On admet que c’est l’unique solution possible.
          - L’amplitude de variation dépend de la profondeur : « effet de cave »
          - Propagation : t  z  t ' avec t '  t    t   ( z ) ; on a un décalage de  (z ) .
                                                              z


          - Si T ( z  0, t )  T0   0 (t ) , où  0 est périodique de pulsation  , on peut utiliser
               le théorème de Fourier :  0 (t )    n cos(nt   n ) . On peut ensuite résoudre
                                                         n0
               l’équation (qui est homogène linéaire).




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