LES NOMBRES
Les différentes formes
de calcul
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Programme de Cinquième :
Partie 2 « Nombres et calculs »
Toutes les activités numériques fournissent des
occasions de pratiquer le calcul exact ou approché
sous toutes ses formes, utilisées en interaction :
calcul mental, automatisé ou réfléchi, calcul posé,
emploi d’une calculatrice.
Plusieurs objectifs :
- prévoir des ordres de grandeur,
- opérer en conservant l’écriture fractionnaire,
- utiliser le vocabulaire approprié.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Programme de Quatrième :
Partie 2 « Nombres et calculs »
La pratique du calcul numérique (exact ou approché)
sous ses différentes formes en interaction (calcul
mental, calcul à la main, calcul à la machine ou avec
un ordinateur) a pour objectifs :
- la maîtrise des procédures de calcul effectivement
utilisées,
- l’acquisition de savoir-faire dans la comparaison des
nombres,
- la réflexion et l’initiative dans le choix de l’écriture
appropriée d’un nombre suivant la situation.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Les formes de calcul
Calcul automatisé Calcul réfléchi
Résultats mémorisés Résultats ou procédures
Calcul mental
Procédures automatisées reconstruites
Techniques opératoires
Calcul papier-crayon Procédures reconstruites
(calcul posé)
Procédure adaptée / type
Calcul machine Calculs usuels
de machine
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Nous nous intéressons ici au calcul mental.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Le calcul mental est
• utile au quotidien
• indispensable pour acquérir des automatismes
• indispensable pour un calcul posé
• un moyen de vérification de calcul
• une aide à la mise en place de relations entre calculs et
raisonnement
• nécessaire pour acquérir des représentations mentales de
certaines notions
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Quels types de travaux en calcul mental ?
• calculs élémentaires : techniques opératoires.
• enrichissement des conceptions numériques des élèves.
• « calcul exact » – « calcul approché » : approximations,
ordres de grandeurs…
• utilisation des propriétés de l’algèbre pour le traitement
mental de calculs divers.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
• mémorisation des formules (algébriques, géométriques,
liées aux grandeurs, ...)
• mémorisation de situations d’apprentissage qui ont
donné naissance à de nouvelles techniques ou a de
nouvelles notions : faciliter les images mentales
• utilisation du vocabulaire
• utilisation de la calculatrice à bon escient.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Des problèmes en calcul réfléchi
Des exemples en Cinquième
1) Léa collectionne des timbres. Elle en possède 140. Elle en
donne 20 %. Combien lui reste-t-il de timbres ?
2) Simplifier la fraction suivante
3) Combien faut-il de carrés de 10 centimètres de côté pour
recouvrir un carré de 30 centimètres de côté ?
4) Combien y a-t-il de tiers dans 15 unités ?
5) 3 cm + 65 mm =
6) Vrai ou faux ?
a) La somme de trois quarts et de un huitième est supérieure à 1.
b) La somme de deux entiers négatifs est toujours négative.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
7) Quel nombre dois-je ajouter à -23 pour obtenir 12 ?
8) Que vaut x dans l’équation : 3x = 17 ? (Le but est de revenir à
la définition du nombre a/b)
9) On divise un nombre par 7. Le quotient est 4 et le reste 5. Quel
est ce nombre ?
10) Alain a mangé un quart du gâteau, sa soeur Béatrice a mangé le
tiers du reste. Qui en a mangé le plus ?
11) Écrire un nombre de deux chiffres divisible par 2 et par 3.
12) Écrire un nombre de deux chiffres divisible par 3 mais pas par
5.
13) Marie possède x euros. Jean en possède deux fois plus.
Combien ont-ils d’euros à eux deux ?
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Des problèmes en calcul réfléchi
Des exemples en Quatrième
1) Que vaut le carré de 6 ôté du carré de 8 ?
2) Un carré a une aire de 81 cm2, combien mesure son périmètre ?
3) Quel est le quotient de 62 par 32 ?
4) Que vaut 3a - 2b si a = 5 et b = 4 ?
5) Résoudre les équations 3 x = 7 ; 8 x = 60
(L’objectif est de faire appel à la définition du nombre a/b)
6) Vrai ou faux ?
a) Le quotient de deux entiers de signes contraires est toujours positif.
b) Lorsqu’on double la mesure d’un angle aigu on obtient la mesure d’un
angle obtus.
c) La somme de trois entiers consécutifs est divisible par 3.
d) Il existe des nombres dont le carré est égal à leur double.
e) Le carré d’un entier pair est divisible par 4.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Calcul mental à la maison.
Un exemple de fiche auto-corrigée
Classe de cinquième
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Calcul mental et calcul littéral
1) Si x = 5, calculer 3x ; 4x ; -6x ; 7 + x ; x/2 + x ; 5x – 2,4
2) Si a = -3 et b = 2, calculer ab ; b – a ; 5a + 3b ; 2b – 4b
3) Le labyrinthe
Entrée
Sortie (par le bas)
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
4) Programmes de calcul
Programme 1 : Programme 2 :
1. Choisir un nombre décimal 1. Choisir un nombre décimal
2. Le multiplier par 5 2. Le multiplier par 2
3. Ajouter 7 au produit obtenu 3. Ajouter 5 au produit obtenu
4. Soustraire le nombre de 4. Multiplier la somme
départ obtenue par 2
5. Ajouter 3 à la différence 5. Annoncer le résultat
obtenue
6. Annoncer le résultat
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
a. Faire fonctionner les deux programmes avec les nombres 1
puis 2 puis 3.
b. Que peut-on conjecturer ? Cette conjecture est-elle vraie ?
c. J’ai trouvé 118 avec les deux programmes. Quel nombre
ai-je choisi au départ ?
(On peut envisager un travail avec le tableur pour
répondre aux questions)
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Calcul mental : périmètre et aire
1) Calculer l’aire et le périmètre de chacun des triangles ABC
suivants quand cela est possible.
2) Calculer l’aire et le périmètre du
parallélogramme suivant.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Les écritures fractionnaires
du cycle 3 au collège
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Programme Cycle 3
La fraction est liée au partage, au fractionnement d’une
grandeur.
Le partage des longueurs peut se faire
• par pliage
• à l’aide d’un réseau de droites parallèles équidistantes.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Programme Cycle 3
Partage en 3 parties égales
Partage en 5 parties égales
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Programme Cycle 3
est lu « sept tiers » et évoque ce qui est obtenu en
partageant l'unité en 3 parties égales et en reportant 7 de
ces parts.
unité
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Programme Cycle 3
Les fractions donnent du sens aux nombres décimaux.
En partageant le mètre comme unité :
2,405 m = 2 m + 4 dm + 5 mm = 2 m + 405 mm
On prépare l'approche du nombre :
On encadre une fraction simple par deux entiers consécutifs.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Programme Sixième
est un nombre.
On part d’une situation problème, par exemple :
On souhaite partager un segment de longueur 7 cm
en 3 morceaux de même longueur.
Quelle est la longueur d’un morceau ?
La longueur d'un morceau est « le tiers de sept ».
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Programme Sixième
Mais pourquoi « le tiers de sept » est-il égal à « sept tiers » ?
1 unité
sept tiers le tiers de sept
7 unités
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Programme Sixième
Les nombres en écriture fractionnaire permettent notamment
de résoudre certains problèmes de proportionnalité là où les
nombres décimaux ne suffisent pas tout en gardant les mêmes
procédures de traitement (généralisation du « nombre de
fois »)
3
4 kg 12 kg
15 € ?
3
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Programme Sixième
Nombre qui, multiplié par
1,2 ou 10, donne 12
10 kg 12 kg
7,23 € ?
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Programme Sixième
Nombre qui, multiplié par
7, donne 12
7 kg 12 kg
15,47 € ?
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Évaluation diagnostique en Cinquième
Les égalités à trous
a) 4 …… = 20
e) 5 …… = 2
b) …… 7 = 7
f) …… 2 = 1
c) 16 …… = 432
g) 0 …… = 3
d) 15 …… = 48
h) 3 …… = 4
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Les égalités à trous
Utilisation des tables : 100%
a) 4 …… = 20
e) 5 …… = 2
b) …… 7 = 7
f) …… 2 = 1
c) 16 …… = 432
Réponse exacte : 85 %
g) 0 …… = 3
d) 15 …… = 48
h) 3 …… = 4
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Les égalités à trous
a) 4 …… = 20 Recours à la division : 35 %
e) 5 …… = 2
Essais successifs : 25 %
b) …… 7 = 7
f) %
Pas de réponse : ……25 2 = 1
c) 16 …… = 432
g) 0 …… = 3
d) 15 …… = 48
h) 3 …… = 20 %
Réponse exacte (3,2) : 4
« Le nombre n’existe pas » : 25 %
Pas de réponse : 40 %
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Les égalités à trous
a) 4 …… = 20
e) 5 …… = 2
b) …… 7 = 7
Réponse juste (quotient fractionnaire) f) 0…… 2 = 1
: %
Impossible …… = 432%
c) 16 : 55
g) 0 …… = 3
Pas de réponse : 35
d) 15 …… = 48 %
h) 3 …… = 4
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Une remédiation
Une puce se déplace sur la demi-droite graduée ci-dessous en
faisant des bonds de longueur OA.
3 ? = 4…
Au bout de combien de bonds tombe-t-elle pour la
première fois sur un nombre entier, et quel est ce nombre ?
Quelle égalité peut-on déduire du travail précédent ?
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Une remédiation
Une puce se déplace sur la demi-droite graduée ci-dessous en
faisant des bonds de longueur OA.
3 ? = 4…
Réponse juste :
Au 3 bonds, elle tombe « sur tombe-t-elle pour 4
(avec bout de combien de bondsle point d’abscisse la » ): 85 %
Un quart des élèves écrivent l’égalité 3 ce = 4
première fois sur un nombre entier, et quel estOA nombre ?
déterminer OA …. …Et à du travail 3 = 4
…Il reste àQuelle égalité peux-tu déduire conclure : précédent ?
(1 élève pense à l’écriture fractionnaire)
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Pour favoriser la réussite
la technique de multiplication d’un nombre entier
par un nombre décimal :
le raisonnement sur le dernier chiffre Exemple
l’ordre de grandeur
multiplication par un nombre plus petit que 1
Le concept d’égalité
Valeur exacte et valeur approchée d’un nombre
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Addition de nombres
en écriture
fractionnaire
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Étape
Complète l’égalité
Les élèves eux-mêmes vont démontrer, dès le début de
l’apprentissage, que l’intuition première (additionner les
numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble)
est incorrecte.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Étape
Calcule
12 : 3 + 6 : 2
11 : 3 + 7 : 3
7 : 3 + 10 : 6
• Changer de stratégies selon les calculs proposés.
• Extension de la règle de distributivité de la multiplication
sur l’addition à la division :
Pour tous les nombres a, b et k avec k 0
a : k + b : k = (a + b) : k
D’où une remarque sur la nécessité d’avoir la division par
un même nombre.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Fraction proportion
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
En cinquième
Une écriture fractionnaire peut être utilisée pour désigner une
proportion.
exprime la relation entre une partie d'une population et la
population totale (lien avec la fréquence statistique).
Exemple: la proportion de filles dans le collège est
Les écritures 6/10 0.6 .6 0,6 60% sont rencontrées
pour désigner cette fréquence : elles permettent d'insister sur
les diverses écritures d'un même nombre et de préciser leurs
utilisations.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
En cinquième
1er exemple d’exercice :
Le collège de la ville voisine a un effectif de 735 élèves. 315
d'entre eux sont demi-pensionnaires. Le dernier bulletin du
conseil général annonce que « 3 élèves sur 7 sont demi-
pensionnaires ».
Que penser de cette affirmation ?
Dans un autre collège de 645 élèves, seulement 129 élèves
sont demi-pensionnaires.
Comment sera traduite cette information dans le bulletin ?
• Découverte de la notion de proportion
• Nombres en écriture fractionnaire égaux
• Écriture d'une proportion à partir de la donnée d'effectifs
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
En cinquième
2e exemple d’exercice :
Voici trois situations. Auxquelles peut-on associer la
proportion 2 sur 3 ?
1) Dans la classe, 2 élèves sur 3 habitent à moins de dix
minutes du collège.
2) Dans la classe, 2 filles et 3 garçons sont inscrits à
l’UNSS.
3) Dans la classe, 16 élèves sont demi-pensionnaires et 8
sont externes.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Classes de cinquièmes - LV1
En cinquième
LV1 Allemand
LV1 Anglais
3e exemple d’exercice :
Le principal du collège a montré aux parents d'élèves le diagramme
circulaire suivant concernant la première langue vivante des élèves
de cinquièmes.
Alexandre dit : « Trois élèves sur quatre font allemand en LV1»
Béatrice dit : « 25% des élèves de 5ème font allemand en LV1»
Carole dit : « La fréquence des élèves qui font anglais en LV1 est
0,75 »
David dit : « La proportion d'élèves qui font anglais en LV1 est »
Que peut-on penser de ces quatre affirmations ?
• Lecture et interprétation d'un diagramme circulaire.
• Différentes écritures d'une fréquence (décimale, proportion, %).
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Introduction :
Les nombres relatifs
À partir du travail du groupe didactique de
l’IREM d’Aquitaine
Brochure Entrées dans l’algèbre 6e et 5e, 2007
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Aperçu historique
Ie siècle : les Chinois utilisaient les négatifs pour
des problèmes de comptabilité.
XVe siècle : apparition des négatifs en Occident
avec Nicolas Chuquet ; utilisés comme auxiliaires
de calcul dans les résolutions d’équations.
Fin du XIXe siècle : En Occident, les négatifs ont
un statut de nombre.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Différents contextes
Contextes concrets : recettes et dépenses, gains et
pertes, températures, altitudes, chronologie,
ascenseur…
Contexte de repérage :
-3 est une variation
-3 est un repère indiquant un état
Contexte interne aux mathématiques
On résout des équations.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Extrait du document
d’accompagnement – Les nombres au
collège – Décembre 2006
Il paraît plus fécond d’envisager une approche plus
théorique de ces nouveaux nombres, par exemple,
comme le suggère le commentaire du programme de
cinquième en cherchant des nombres qui rendent la
soustraction toujours possible.
Varier les situations pour aborder les différents
contextes.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Exemple d’introduction
Étape : Établir que
(a + b) – c = a + (b – c)
Exercice 1 : « Margot va à la librairie, elle achète deux
articles : un cahier à 2,75 € et un livre à 8,25 €. Le libraire lui
fait une réduction de 0,50 € sur le prix du livre. »
Calculer le prix total que Margot doit payer de deux façons
différentes et pour chacune, écrire les calculs en une seule
ligne.
Exercice 2 : Calculer la longueur AC de deux façons différentes
et pour chacune, écrire les calculs en une seule ligne.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Exemple d’introduction
Étape : Introduction du nombre -2
comme convention pour 0 – 2
Complète les pointillés
7 + … = 11
28 + …. = 85
194 + … = 251
37 + … = 37
6+…=4
Cela permet de réactiver la soustraction et la visualisation suivante…
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Illustration de la résolution à l’aide de la demi-
droite graduée ; la soustraction est perçue comme
un déplacement vers la gauche.
On arrive alors naturellement à la droite graduée.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
La dernière égalité 6 + … = 4
Réponses des élèves : Impossible, 4/6, -2 mais aussi
des élèves proposent de remplacer les pointillés par 4 – 6
ou par 2 – 4, ou 0 – 2
car 6 + (4 – 6) = (6 + 4 ) – 6 = 10 – 6 = 4
6+4–6=4
6+2–4=4
6+0–2=4
D’où 4 – 6 = 2 – 4 = 1 –3 = ….. = 0 – 2
Le professeur explique alors que le nombre 0 – 2 sera
désormais noté -2.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Exercice :
Écrire plusieurs égalités à trous ayant -2 comme
solution.
Définition : Le nombre qui ajouté à 6 donne 4 est le
nombre (4 – 6).
Notation : ce nombre est noté -2.
Vocabulaire : -2 est un nombre négatif.
Remarque : -2 = 0 – 2 = 1 – 3 = 4 – 6 = ….
On a alors 6 + (-2) = 4
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Exemple d’introduction
Étape : Nombres opposés
On redonne des additions à trous avec une solution
positive ou négative, en variant la place du trou, et on
glisse parmi ces exercices, l’égalité : …. + 5 = 0
Définition : Deux nombres sont opposés quand leur
somme vaut zéro.
Exemple : -5 + 5 = 5 + (-5) = 0
Les deux nombres 5 et -5 sont opposés.
Remarque : En plaçant les points d’abscisse -5 et 5,
des remarques sont faites sur la symétrie de ces points.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Exemple d’introduction
Étape : On opère avec certains
nombres relatifs
1) Effectuer les soustractions suivantes (on mélange les résultats
positifs et les résultats négatifs).
35 – 17
23 – 48 on utilise (23 – 23) – (48 – 23) = 0 – 25 = - 25
48 – 72 etc.
2) Effectuer les additions de nombres relatifs suivantes. additions
dont le résultat est positif
7 + (-4)
12 + (-5)
54 + (-29)
-17 + 21 etc.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Exemple d’introduction
Étape : On opère avec tous les
nombres relatifs
Exemples :
-7 + 4 = -7 + (7 – 3) = (-7 + 7) – 3 = 0 – 3 = -3
9 + (-15) = 9 + (0 – 15) = (9 + 0) – 15 = 9 – 15 = -6
-5 + (-2) = -5 + (5 – 7) = (-5 + 5) – 7 = 0 – 7 = -7
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Exercices niveau 5e
Les nombres relatifs
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Exemples d’exercices
Lien avec d’autres disciplines.
Thèmes de convergence.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Exercice 1
Thème abordé : Mathématiques et Histoire
Objectifs : addition et comparaison de nombres
relatifs, construction d’une droite graduée.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Exercice 1
Un peu d’Histoire au travers d’une histoire d’âge…
Vercingétorix a 12 ans en – 60.
Thalès a 20 ans en – 604.
Euclide a 30 ans en – 300.
Platon a 13 ans en – 414.
Jules césar a 1 an en – 100.
Pythagore a 20 ans en – 560.
Charlemagne a 48 ans en 800.
Attila a 18 ans en + 413.
Charles Martel a 25 ans en +710.
Sénèque a 35 ans en – 10.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Exercice 1
1) À partir des phrases suivantes, retrouver les dates de
naissance de ces hommes célèbres.
2) Parmi ces hommes célèbres, quels sont ceux nés avant
Euclide ?
3) En quelle année, Pythagore a-t-il fêté ses 12 ans ?
4) Construire une frise sur laquelle seront placées les dates de
naissance trouvées. Reproduire cette droite graduée pour
que 1 cm corresponde à 50 ans et placer les évènements le
plus précisément possible
5) Vérifier ensuite les réponses à la question 2.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Exercice 2
Thème abordé : Mathématiques et sécurité routière.
Objectifs : recherche d’écart entre des nombres
relatifs et signification d’un symbole « - » ( ici, le
symbole moins n’est pas celui propre aux nombres
relatifs négatifs mais celui de la soustraction)
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Exercice 2
Des chiffres qui font réfléchir :
Le risque des « deux-roues » est important, puisqu’il représente 51 %
des 13-16 ans tués en deux-roues motorisé.
Dans cette tranche d’âge, le risque d’accident à cyclomoteur
culmine à 16 ans . EX : 43 tués et 1 922 blessés en 2005.
Il y a 5 fois plus de risque d’accident à cyclomoteur qu’en voiture
(à nombre de kilomètres parcourus égal).
Plus d' 1 jeune cyclomotoriste tué sur 10 ne portait pas de casque.
L’oubli du port du casque en cyclomoteur aggrave les blessures en cas
d’accident.
Il est souvent sanctionné par les forces de l ‘ordre (Amende encourue :
38€) .
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Exercice 2
Voici le nombre d’infractions de ce type répertoriés de 1995 à 2004.
1995 1996 1997 1998 1999
95 225 87 522 83 791 87 442 90 015
2000 2001 2002 2003 2004
78 556 77 777 78 161 80 116 72 568
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007
Exercice 2
Voici ce que l’on peut trouver dans un article :
« l’évolution du bilan annuel a été – 7703 en 1996 et
- 3731 en 1997 »
1) Par quels calculs peut-on trouver ces valeurs ?
2) Pourquoi utiliser un nombre relatif négatif dans
la phrase ?
3) De la même manière, construire des phrases
illustrant l’évolution en 1998 et 2004.
Document de travail - Nouveaux
programmes Cycle central - 2007