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					                                                   1.1 FutIB J95


FORWARD ET FUTURES
Futures sur indice boursier (Janvier 1995)

Valeur de marché du portefeuille V              1,000.00 mio FRF
Indice spot (CAC 40) S                          2,000.00
Rendement                                            4%
Dividend attendu p/ unité d'indice                    80
Echéance du dividende                                  5 mois
Taux d'intérêt (continu)                             6%

(1) Couverture du portefeuille à échéance fin mars par un contrat futures.
Caractéristiques du contrat Mars 95:
Echéance =                                             3 mois                0.25 années
Multiplicateur du contrat N                         200 FRF par point d'indice
Cours théorique                                2,030.23 (valeur future de l'indice spot)

Pour couvrir la position il faut vendre des futures
Nombre d'unités CAC40 dans le                              Valeur du portefeuille/Indice spot
portefeuille de la CPPB M =                     500,000.00 (l'équivalent du nombre d'actions)
Nombre de contrats à vendre n                     2,500.00 =M/N

(2) Si, à l'échéance, indice =                  1,800.00
Valeur du portefeuille                            900.00    mio FRF
Prix du futures à l'échéance                    1,800.00
Gain/perte par contrat (short)                 46,045.23    FRF         =-DF x N
Gain perte sur position                           115.11    mio FRF
Valeur du portefeuille                          1,015.11    mio FRF
Valeur théorique                                1,015.11    mio FRF     =n x Ft x N

(3) Vente du portefeuille à terme échéance Mars 95 pour un prix de livraison K de 1 mia FRF
NB: Le prix de livraison de cette question est différent du prix à terme d'équilibre.
La valeur de ce contrat à terme est f=M x S - PV(K) =             14.89 mio FRF
La CPPB devrait donc encaisser ce montant pour accepter de vendre à un prix de livraison inférieur au
prix d'équilibre.

(4) Couverture à échéance juin 95 -      échéance                     6 mois                    0.5 années
Prix d'équilibre du contrat juin 95:
Dividende fin mai                                     80
Valeur actuelle du dividende                       78.02
Prix ex dividende                               1,921.98
Prix à terme d'équilibre                        1,980.51

(5) Arbitrage si prix à terme coté =            2,000.00
                                                            Date t
Arbitrage cash and carry                               0        0.417          0.50
Achat spot                                     -2,000.00                              +ST
Dividende                                                       80.00
Placement du dividende                                         -80.00        80.40
Emprunt                                         2,000.00                 -2,000.00
Vente à terme                                                             2,000.00 -ST
Cash flow total                                      0.00                    80.40
                                                  1.2 FutBGB J96




Futures sur obligation notionelle(BGB)(Janvier 1996)

Taux continu                                6.50%
Taux à capitalisation annuelle              6.72%
Obligations du gisement                                    251        265      273       275
Echéance                                             3/28/2003 4/28/2004 3/31/2005 ########
Coupon                                                       9       7.25       6.5     7.75
Mois courus au 1/1/1996                                      9          8         9        2
Nb coupons restant au 1/1/1996                               8          9        10        9
Prix cash                                               119.48    108.11    103.38    107.98
Prix coté                                               112.73    103.27     98.51    106.69

(1) Contrat à terme échéance Septembre 96                                                     9 mois
Détachement coupon                                         Oui         Oui        Oui      Non
Mois prochain coupon                                         3           4           3        0
Valeur actuelle                                           8.85        7.09        6.40     0.00
Prix cash - VA(Coupon)             S-I                  110.62      101.01       96.99   107.98
Prix à terme cash                  F                    116.15      106.06      101.83   113.38

(2) Calcul des facteurs de concordances Contrat Septembre 96
Taux du contrat notionel                    9% Taux utiliser pour calculer les facteurs de concordance
                                                       251        265          273        275
Mois courus fin septembre 96                             6           5           6          11
Nb coupons restant                                       7           8           9           9
Prix cash si taux d'actu. = 9%                      104.40      93.62        88.76     100.11
Fac.concordance: Clean price/100                    0.9990     0.9060       0.8551     0.9301

(3) Obligation la moins chère à livrer
Si F =                                      115.75
                                                           251            265      273      275
Obligation la moins chère à livrer       S-kF            -2.91          -1.59    -0.46    -0.96

(4) Calcul du cours du futures
                                                           251         265         273      275
Cash price                                              119.48      108.11      103.38   107.98
Prix à terme                                            116.15      106.06      101.83   113.38
Intérêts courus                                           4.50        3.02        3.25     7.10
Clean price                                             111.65      103.04       98.58   106.27
Futures price                                           111.75      113.73      115.29   114.27

(5) Pour couvrir un emprunt futur, le client doit vendre des futures.
En cas de hausse des taux:
- le prix des obligations diminuent
- il réalise donc un gain sur sa position courte en futures
- ce gain devrait compenser les intérêts plus élevés sur l'emprunt.
                                                     1.3 FutIB J97




Futures sur indice boursier (Janvier 1997)
Devise =          DEM
Valeur de marché du portefeuille à couvrir                           600,000,000 DEM


Futures sur indice DAX
Multiplicateur                 100 DEM
Si l'indice =                                  2500      V=         250,000
                                        Echéance             Cours          Valeur
                                         (mois)     (année)                 théorique
                     Spot                  0          0.0000       2,889.00     2,889.00
                     Mars                  3          0.2500       2,910.75     2,910.75
                     Juin                  6          0.5000       2,816.37     2,816.37
Rendement (continu) de l'indice              0.00%
Taux d'intérêt continu                       3.00%
Dividende attendu en mai                                   5            116       115.56

Couverture de la valeur du portefeuille à fin mars
(1) Position à prendre: vendre des futures
Nombre de contrats à vendre                                                2,077
Valeur du portefeuille à l'échéance                                  604,516,917

(2)Vérification de l'efficacité de la couverture
               DAX Var %                V.port.        DF      Résultat/cont. Rés.futures V.port hedged
               2500              -13%      519,210,800    -411     41,075      85,306,118 604,516,917
               2750               -5%      571,131,880    -161     16,075      33,385,038 604,516,917
               3000                4%      623,052,960      89     -8,925     -18,536,042 604,516,917
               3250               12%      674,974,039     339    -33,925     -70,457,122 604,516,917

(4) Prix d'équilibre du futures juin 97
Prix spot                                                               2,889.00
Valeur actuelle du dividende attendu (I)                                  114.56
Prix d'équilibre théorique d'un contrat
venant à échéance dans                               6 mois             2,816.37

(5) Arbitrage
Si cotation d'un contrat échéance                   6 mois              2,900.00 (K)
                                                 0.5 années
Arbitrage                           1 Cash and carry
                                                        0.000              0.417          0.500
                    Buy spot                        1 -2,889                              +S(T)
                    Dividend                                                 116
                    Borrow           PV(K)                2,971             -116       -2,900.00
                    Sell forward                           0.00                         2,900.00 -S(T)
                                                          82.38                0               0

Vérification
Valeur du contrat de prix de livraison =                2900.00                       -82.38
A un prix de marché nul, le contrat est surévalué. Il faut donc vendre un contrat (vendre forward)
et acheter un contrat synthétique (acheter spot et emprunter).
                                                1.4 FutBGB J98


Futures sur obligation notionelle (Janvier 1998)
(1) Pour couvrir sa position, la Sobemine devrait prendre une position courte sur contrats BGB.
En effet, elle compte emprunter et veut donc de couvrir contre une hausse des taux.
Or, une hausse des taux entraînerait un baisse du prix des obligations et, en conséquence,
un gain pour la Sobémine.

(2) Le facteur de concordance est un facteur d'ajustement qui détermine le règlement en cas de
réalisation du contrat à l'échéance. Il tient compte des différences entre les caractéristiques
de l'obligation notionnelle et de l'obligation physique qui serait livrée.
Le facteur de concordance est égal au prix coté de l'obligation physique à l'échéance du futures
sous l'hypothèse que le rendement à l'échéance est égal au taux de l'obligation notionnelle.
Il est inférieur à l'unité car les obligations du gisement ont des coupons inférieurs à 9%.

(3) Détermination du cours du futures BGB
Echéance du contrat (en année)            0.5
Taux d'intérêt continu                 4.00%
If CTD=                                                   OLO 257 OLO 283        OLO 286
IntRate                (simple interest)
            Prix coté                                      123.16      111.22      106.34
            Coupon                                          8.50          7.00        6.25
            Accrued interest                                2.29       4.53        4.86
            Cash price                                     125.45     115.75      111.20
            Coupon ?                                        Non        Oui         Oui
            Temps jusqu'au coupon                                      0.38        0.25
            PV(Coupon)                                      0.00          6.90        6.19
            Cash price - PV(Coupon)                        125.45     108.85      105.01

           Cash futures prices                             127.98     111.05      107.13
           - Accrued interest                               6.35       0.88        1.60
           Quoted forward price                            121.63     110.17      105.53
           / Conversion factor                             0.9688      0.8828      0.8378
           = Quoted futures price                          125.55     124.80      125.97


(4) Détermination de l'obligation la moins chère à livrer
Current date            5 january 1998
Maturity                    Jun-98 6 months             0.5  years
Quoted price                    125
Deliverabl                 Coupon         Date Quoted       Accrued Conversio Accrued         kF-S
e bonds                                           Price     interest n Factor interest
OLO 257 1992-2007              8.50      0110 123.16          2.29    0.9688         6.35          -2.06
OLO 283 1995-2006              7.00      1505 111.22          4.53    0.8828       0.875           -0.87
OLO 286 1996-2007              6.25      2803 106.34          4.86    0.8378           1.6         -1.62
                                               2.1 FRA&IRF J95


FRA et IRF (Janvier 1995)

Montant à placer                                   100 mio FRF
Structure des taux (simples)                  Echéance        Bid          Ask
                                                     6     6.92%        7.02%
                                                     9     7.12%        7.22%

(1) Le cash flow à l'échéance pour l'acheteur d'un FRA 6x9 est égal à 100(r-R)(0.25)/(1+r*0.25)
où 100 est le montant notionnel du FRA, r est le taux PIBOR 3 mois dans 6 mois
et R est le taux fixe du FRA.
Pour couvrir sa position (placement dans 6 mois), COFRAMATELEC doit donc vendre une FRA.
Elle encaissera, en fin de période d'intérêt 100 r 0.25 sur son placement et 100 (R-r)0.25 sur le FRA
soit un intérêt de 100 R 0.25 fixé aujourd'hui.


(2) Le taux du FRA est obtenu en déterminant le taux à terme résultant d'un placement synthétique:

Emprunter de t à T la valeur actuelle de M                          96.60902
Placer de t à T* : valeur future                                    101.7679
=Valeur future du placement à terme                            100 (1+R*to)
Taux à terme                                                           7.07%

Couverture par IRF futures sur PIBOR 3 mois
Caractéristiques du contrat:
Cours du futures                                  92.94
Tick                                                125
Montant nominal du contrat                            5 mio FRF

(3) Position à prendre : acheter                     20 contrats

(4) Efficacité de la couverture
PIBOR 3 mois                                     5.00%       9.00%
Intérêt sur placement (mio)                        1.25        2.25
F                                                    95          91
F1-F0 (en points de base)                           206        -194
x Tick                                              125         125
x Nombre de contrats                                 20          20
=Cash flow sur position futures (en mio)          0.515      -0.485
Intérêt total (sur 3 mois) mio                    1.765       1.765
Taux d'intérêt annuel %                            7.06        7.06
                                                 3.1 CurSwap J97


Swap de devise (Janvier 1997)
Situation initiale:
Taux de change:                   0.027778     BEF/ITL
                                          36   ITL/BEF
Montant BEF                               10   mia
Montant ITL                             369    mia
Taux d'intérêt BEF                     0.06
Taux d'intérêt ITL                       0.1
Intérêt BEF                              0.6
Intérêt ITL                            36.9

Situation actuelle
Taux de change                          0.02 BEF/ITL           50
Taux d'intérêt BEF                      0.05
Taux d'intérêt ITL                      0.08
                                                       1         2           3
Flux monétaires                                    1998      1999        2000
Out : mia BEF                                        0.6       0.6        10.6
In: mia ITL                                         36.9      36.9      405.9

Facteurs d'actualisation          BEF           0.951229 0.904837 0.860708
                                  ITL           0.923116 0.852144 0.786628

Décomposition du swap en obligations
Valeurs actuelles              BEF        0.570738 0.542902 9.123505
                               ITL        34.06299 31.44411 319.2922
Obli BEF                         10.23714
Obli ITL                         384.7993

Valeur du swap                     -2.54116

Taux de change à terme                          0.019409 0.018835 0.018279 (F)

Taux de change BEF/ITL
implicite dans le swap                           0.01626   0.01626 0.026115 (Fswap)

Gain/perte sur contrats à terme                 0.116189 0.095022    -3.18071 CFitl * (F-Fswap)
Valeurs actuelles                               0.110522 0.08598     -2.73766
Valeur du swap                     -2.54116
                                                  3.2 IRSwap J98


Swap d'intérêts (Janvier 1998)
          Notional amount                 100 mio
          Swap rate                      6.25

                                           0             1        2
           Fixed payment                              6.25     6.25
           Int.Rate (continuous)                    4.00%    5.00%
           Disc.Factor                               0.961    0.905

Decomposition into bonds
         Value of floating rate note                         100.00
         Value of fixed rate note                            102.14

                                                         1        2
           Cash flows                                 6.25   106.25
           Disc.Factor                               0.961    0.905
           Present value                              6.00    96.14

           Swap value                   -2.14

Decomposition into FRAs                         FRA=M*DF(T)-M(1+R Dt)*DF(T*)

                                            0            1
           M*DF(T)                     100.00        96.08
           M(1+R Dt)*DF(T*)            102.08        96.14
           FRAs value                   -2.08        -0.06

           Swap value                   -2.14

Valuation based on forward rates
                                           0             1        2
           Fwd rates (continuous)                   4.00%    6.00%
           Fwd rates (annual comp)                  4.08%    6.18%
           Gain/loss on swap                         -2.17    -0.07
           Present value                             -2.08    -0.06
           Swap value                   -2.14

Valuation based on current swap rate
           Floating rate note                       100.00
           -PV Notional amount                       90.48
           / Sum of disc.factors                      1.87
           =Current swap rate                         5.10

                                           0             1        2
           + New Swap                                 5.10     5.10
           - Old Swap                                -6.25    -6.25
                                                     -1.15    -1.15
           Present value                             -1.10    -1.04
           Swap value                   -2.14
                                                  4.1 Put J95


Puts européens et américains (Janvier 1995)

Cours de l'action Sofibel               2000
Prix d'exercice                         1500
Taux sans risque continu                 0.06
Volatilité                               0.40
Rentabilité attendue                     0.15
Pas temporel                             0.25 année

u                                   1.221403
d                                   0.818731

Proba de hausse réelle              0.545062
Proba de hausse neutre au risque    0.487698

Evolution du cours                         0           1          2            3         4
                                     2000.00     2442.81    2983.65      3644.24   4451.08
                                                 1637.46    2000.00      2442.81   2983.65
                                                            1340.64      1637.46   2000.00
                                                                         1097.62   1340.64
                                                                                    898.66
Valeur du put européens
                                        78.37      20.48          0.00      0.00      0.00
                                                  135.80         40.59      0.00      0.00
                                                                230.44     80.42      0.00
                                                                          380.04    159.36
                                                                                    601.34
Evaluation neutre au risque
                                   Valeur       Proba      Valeur
                                   du put       neutre au attendue
                                                r
                                   à l'échéanceisque
                                          0.00 0.056572          0.00
                                          0.00 0.237705          0.00
                                          0.00 0.374546          0.00
                                        159.36 0.262295         41.80
                                        601.34 0.068882         41.42
                                   Valeur attendue              83.22
                                   Valeur actuelle              78.37
                                   (actualisation au taux sans risque)
Valeur du put américain
                                        81.24      20.48          0.00      0.00      0.00
                                                  141.48         40.59      0.00      0.00
                                                                241.71     80.42      0.00
                                                                          402.38    159.36
                                                                                    601.34
Exercice du put
                                       no         no            no        no        no
                                                  no            no        no        no
                                                                no        no        no
                                                                          yes       yes
                                                                                    yes
                                                     4.2 CouvDyn J97


Put sur indice boursier (couverture dynamique) (Janvier 1997)
Evolution du Bel20
                                           2,141.61
                                 2,039.63
                      1,942.50             1,942.50
            1,850.00             1,850.00
                      1,761.90             1,761.90
                                 1,678.00
                                           1,598.10

(1) Comme                u=                   1.05
                         d=                0.9524
                         dt =              0.0833
et                       Proba up=             0.6
on a:                    Mu =              13.1%
et                       Volatilité =     16.90% s=ln(u)/sqqrt(dt)

(2) Faux: il peut être optimal d'exercer prématurément un put américain sur un
    titre ne payant pas de dividende

(3) et (4) Valeur du put américain et delta                                   Risk
Stock        Option                                                         Neutral
Price        Delta                                                           Proba

  2141.61                                                0.00               0.1422
  2039.63                                     0.00
  1942.50                     13.19        0.0000        0.00               0.3907
  1850.00        45.95     -0.1460           27.68
  1761.90     -0.3813         82.05       -0.3217       58.10               0.3578
  1678.00                  -0.6647         142.00
  1598.10                                 -1.0000      221.90               0.1092
                                        Expected (risk neutral) value         45.02
                                        Value of European option              44.57
Stratégie dynamique
                                         Avant    Après                 D
                         Nb actions    -0.3813  -0.1460
                         Cours       1,942.50 1,942.50
                         Valeur act.   -740.68  -283.52            457.16
                         Risk Free      753.86   296.70           -457.16
                         Total           13.19    13.19
Nb actions    -0.3813
Cours       1,850.00
Valeur act.   -705.41
Risk Free      751.35
Total           45.95
                                         Avant    Après                 D
                         Nb actions    -0.3813  -0.6647
                         Cours       1,761.90 1,761.90
                         Valeur act.   -671.81 -1171.07           -499.26
                         Risk Free      753.86 1253.12             499.26
                         Total           82.05    82.05
                                                   4.3 VenteC&P J97


Vente de calls et de puts (Janvier 1997)
Portefeuille initial:
OLO 262 - montant nominal             1,000.00 mio
OLO 262 - valeur de marché            1,140.00
Liquidité                             1,000.00 (produit de la vente des calls non compris)
Valeure totale sans options           2,140.00

Options vendues - Echéance = 3 mois                  NB: les options sont "out of the money"
                   Pex Cours%no                Delta Gamma            Theta
Calls              115     1.42%               0.521      0.117      -5.063
Puts               113     0.54%              -0.261      0.096    -0.0547

Portefeuille avec options (valeur de marché)
OLO 262 - valeur de marché              1,140.00
Liquidité                               1,000.00
- Calls                                    14.20
- Puts                                       5.40
Valeur totale avec options              2,120.40
Remarque: la vente des calls diminue le montant investi dans le portefeuille

                                         Valeur                             Valeur
OLO 262 Obligations              Disp.   sans options      Call         Put totale
     107    1,070.00            1,009.91    2,079.91       0.00      -60.00 2,019.91
     109    1,090.00            1,009.91    2,099.91       0.00      -40.00 2,059.91
     111    1,110.00            1,009.91    2,119.91       0.00      -20.00 2,099.91
     113    1,130.00            1,009.91    2,139.91       0.00        0.00 2,139.91
     115    1,150.00            1,009.91    2,159.91       0.00        0.00 2,159.91
     117    1,170.00            1,009.91    2,179.91     -20.00        0.00 2,159.91
     119    1,190.00            1,009.91    2,199.91     -40.00        0.00 2,159.91
     121    1,210.00            1,009.91    2,219.91     -60.00        0.00 2,159.91

                          Valeurs                                             Rentabilités

 2.25                                                       6.00%
  2.2                                                       4.00%
 2.15
  2.1                                                       2.00%
 2.05                                                       0.00%
    2
                                                            -2.00% 105      110       115
 1.95
  1.9                                                       -4.00%
        107   109   111   113    115   117   119   121      -6.00%



Les options ne sont pas exercées si 113<Cours OLO<115.
En cas de hausse du cours de l'OLO, les calls seront exercés ce qui aura pour effet de mettre un
plafonds sur la valeur du portefeuille. En cas de baisse du cours de l'OLO, les puts sont exercés
ce qui aura pour effet d'amplifier la diminution de valeur du portefeuille.

Au point de vue de la rentabilité, la stratégie de vente d'options fournira une rentabilité supérieure si:
   (1000ST+1000exp(4%x0.25))/2140<1000ST+1000exp(4%x0.25)-1000(ST-115%))/2120
soit ST <        117.00
et (1000ST+1000exp(4%x0.25))/2140>1000ST+1000exp(4%x0.25)-1000(113%-ST))/2120
                                                     4.4 CallAm J98


Call américain (Janvier 1998)
           Basic Parameters                        Binomial Parameters
            AmEuro=                           A               TreeSize=        3
           CallPut=                         Call                    dt=   0.0833
           AssetType=                     Stock                     u=     1.045
           Asset Price=               1,950.00                       d=   0.9569
           DivYld=                        0.0%                     DF= 0.996672
           Strike =                   1,900.00                       p=   0.5269
            YrToExp=                       0.25                 BinAE=         1
           IntRate=                       4.0%                  BinCP=         1

Paramètres du processus brownien géométrique
           Mu =                    11.7%
           Vol=                  15.248%
Evolution du CAC40
                                           2,225.27
                                2,129.45
                     2,037.75              2,037.75
            1,950.00            1,950.00
                     1,866.03              1,866.03
                                1,785.67
                                           1,708.78

                                                                            Risk
Stock       Option                                                        Neutral
Price       Delta                                                          Proba

  2225.27                                             325.27              0.1463
  2129.45                               235.77
  2037.75                  157.93       1.0000      137.75                0.3940
  1950.00     100.85       0.9107         72.34
  1866.03     0.6984         37.99      0.8022        0.00                0.3538
  1785.67                  0.4402          0.00
  1708.78                               0.0000        0.00                0.1059
                                     Expected (risk neutral) value        101.86
                                     Value of European option             100.85

Stratégie dynamique
                                        Avant    Après                D
                        Nb actions     0.6984   0.9107
                        Cours       2,037.75 2,037.75
                        Valeur act. 1423.24 1855.86             432.61
                        Risk Free    -1265.32 -1697.93         -432.61
                        Total          157.93   157.93
Nb actions     0.6984
Cours       1,950.00
Valeur act. 1361.96
Risk Free    -1261.11
Total          100.85
                            Avant        Après             D
                        Nb actions      0.6984        0.4402
                                                 5.1 Ito&Perpet J98


Lemme d'Ito et processus stochastique d'une perpétuité (Janvier 1998)
Cher Monsieur,
Je vous remercie pour votre lettre qui a reçu toute mon attention. Je tiens d'abord à vous
féliciter pour le choix de votre banquier. La connaissance qu'il a du processus d'évolution
 du taux d'intérêt à long terme r i ntroduite il y a environ 20 ans par Vasicek est tout a fait
inhabituelle dans sa profession.
Comme il vous l'a peut-être dit, cette formule indique que l'évolution du taux à LT comprend
deux composantes: la tendance et un élément aléatoire.
Le terme de tendance est donné, dans l'équation, par 0,3(0,06-r)dt . Il dit que le taux
évolue autour de 6%. Si le taux est supérieur à 6%, il tend à diminuer, s'il est inférieur, il tend à
augmenter. Le paramètre 0,3 donne la vitesse de retour vers 6%. Ainsi, le taux r est de 5%
l'évolution attendue du taux au cours d'une période de 1 mois (dt= 1/12) est égale à              0.05%
A la tendance vient s'ajouter un terme aléatoire, une déviation alétoire par rapport à la tendance
attendue. C'est le terme 0,02 dz de l'équation.
Comme le savez, dz est un processus de Wiener. Il s'agit simplement d'une variable aléatoire
ayant une distribution normale de moyenne nulle et caractérisée par deux propriétés:
 1. la variance est égale à la longueur de l'interval de temps dt ou encore, ce qui revient au même
    l'écart-type est égal à la racine carrée de dt ;
 2. les valeurs prises par cette valeur aléatoire à différentes périodes sont indépendantes (il s'agit
    d'un processus dit Markovien.
Ce processus de Wiener est multiplié par 0,02, la volatilité annuelle de dr. Le terme aléatoire
de l'équation nous dit donc qu'il s'agit d'une variable aléatoire N(0, 2%dt^.5)
Ainsi, pour continuer l'exemple entamé ci-dessus, pour une période de 1 mois, l'écart-type de l'aléa
serait :          0.58%
Pour r= 5%, l'intervalle de confiance du taux un mois plus tard serait donc:              3.90% 6.20%

La détermination du processus stochastique suivi par l'obligation d'échéance infinie que vous
possédez nécessite l'utilisation du lemme d'Ito.
Etant donné le processus suivi par le taux à long terme: dr=a(b-x)dt+sdz
et le prix de l' obligation perpétuelle étant fourni par l'équation   f(r)=100/r
on a:                      df=f'dr+0.5f"dr²
Or, selon Ito:             dr²=s²dt
Comme:                      f'=-100/r² and f"=200/x³
on obtient:                df=100(-a(b-r)/r²+s²/r³)dt-100s/r²dz
ou encore:                 df=(-a(b-r)/r+s²/r²)fdt-s/rfdz
Je reconnais que c'est un peu compliqué, mais ainsi va la vie.

Quant à l'utilisation de la formule de Black et Scholes pour déterminer la valeur d'un call sur
cette obligation, je vous invite à la prudence.
Souvenez que la formule de BS est basée sur l'hypothèse d'une volatilité constante de la
rentabilité du sous-jacent. Or, vous remarquerez en examinant la formule qu'il n'en est rien pour
votre obligation perpétuelle dont la volatilité de la rentabilité instantanée df/f est de s/r.
En outre, BS suppose r constant ce qui n'est nullement le cas ici.

Voilà les quelques éclaircissements que je puis vous fournir. Il serait présomptueux de ma part
de penser que je vous ai apporté la lumière mais peut-être que les quelques informations reprises
ci-dessus vous permettrons-t-elles de progresser dans votre compréhension des produits dérivés.
Mon expérience en domaine est que la quête est longue, mais aussi semée de bonheurs.
Je vous prie d'agréer, Monsieur, l'expression de mes sentiments distingués.

A. Leprof
                                              5.2 Ito&GestLTJ96


Lemme d'Ito et gestion à long terme (Janvier 1996)

Montant du à l'échéance:       100 mia BEF
Echéance:                        20 ans
Paramètres du processus stochastique:
Tendance m                    10%
Volatilité s                  20%
Taux sans risque continu       6%

(1) Processus de Wiener de base dz :
dz est un variable aléatoire ayant les propriétés suivantes:
1. N(0,dt^0.5)
2. Les valeurs de dz sont indépendantes (processus markovien)

(2) Processus stochastique de f(V)=ln(V)
Processus stochastique: dV=mVdt+sVdz
Taylor:                   df=f'dV+0.5f"dV²
Ito:                      dV²=s²V²dt
On obtient donc:          df=(f'mV+0.5f"s²V²)dt+f'sVdz
Comme,                    f'=1/V, f"=-1/V²
il vient:                 df=d ln(V)=(m-0.5s²)dt+sdz
La tendance est donc:          8.00%
et la volatilité:            20.00%

(3) Distribution de probabilité de VT à l'échéance.
Distribution de ln(VT ):     N(ln(S )+(m-0.5s²)(T-t),s(T-t)^.5)
La valeur attendue est:      E(VT)=V0 exp(m(T-t))
Pour obtenir E(VT) =                 100 mia BEF
le montant à investir V0=         13.53 mia BEF =E(VT) exp(-m(T-t))
Les paramètres de la distribution de ln(VT ) sont donc:
-moyenne                            4.21
-écart-type                       0.894
NB: l'intervalle de confiance à 95% est:              2.416316 5.994025 (2 ec.type de la moyenne)
soit, pour VT                                          11.2045 401.0253

(4) Distribution de probabilité de la rentabilité moyenne
                              N(m-0.5s²,s/(T-t)^.5)
La rentabilité moyenne attendue est constante.
L'écart-type de la rentabilité moyenne diminue avec le temps.
                                                        7.1 BullCall J95


Bull call spread (Janvier 1995)

Cours actuel                                         3066
                                                      Pex       Cours      Delta
Call 1 (long)                                        3000         155       0.70
Call 2 (short)                                       3150          74       0.45

Cout de la stratégie                                    81

A l'échéance                                        Cours       Call 1     Call 2   Valeur   Profit
                                                     2800            0          0        0     -81
              100                                    2850            0          0        0     -81
               80                                    2900            0          0        0     -81
               60                                    2950            0          0        0     -81
               40
               20                                    3000            0          0        0     -81
    Profit




                0                                    3050          50           0       50     -31
              -20
              -40
                 2500       3000      3500           3100        100            0     100       19
              -60                                    3150        150            0     150       69
              -80
             -100
                                                     3200        200         -50      150       69
                                                     3250        250        -100      150       69
                           Cours
                                                     3300        300        -150      150       69
                                                     3350        350        -200      150       69


Hausse de l'indice de                                   10
                                        DCall 1        7.0
                                        DCall 2        4.5
                              Bull call spread         2.5

Si cours inchangé à l'échéance
                                         Call 1         66
                                         Call 2          0
                              Bull call spread          66
                                         Profit        -15

Rentabilité instantanée de stratégie
C = Delta * S - B => B = Delta * S - C
                                                Montant investi en
                                                actions    titre sans
                                                           risque
                                                Delta * S -B
                                         Call 1     2146.2     -1991.2       155
                                         Call 2    -1379.7      1305.7       -74
                              Bull call spread       766.5       -685.5       81

                                     Fractions       9.46        -8.46
                        Rentabilités attendues       15%           6%

Rentabilité attendue du bull call spread          91.17%
                                                 7.2 AsPort J96


Assurance de portefeuille (Janvier 1996)

Indice Bel20                8,400.00             Volatilité                      15%
Mutiplicateur                     10 francs par point de l'indice
Echéance                           4 ans         Taux sans risque                5%
Capital garanti           102,597.83 (=84000 x exp(5%x4))

L'option cachée dans le produit est un put ayant les caractérisques suivantes:
Sous-jacent             Bel20 x 10     Prix d'exercice          102,598
Echéance             4 ans

Valeur à l'échéance
Bel20       Actions  Put          Bel2000
     8000 80,000.00      22,597.83 102,598                      114,000
     8250 82,500.00      20,097.83 102,598                      112,000
                                                                110,000



                                                      Bel2000
     8500 85,000.00      17,597.83 102,598                      108,000
     8750 87,500.00      15,097.83 102,598                      106,000
     9000 90,000.00      12,597.83 102,598                      104,000
     9250 92,500.00      10,097.83 102,598                      102,000
     9500 95,000.00       7,597.83 102,598                      100,000
     9750 97,500.00       5,097.83 102,598                                8000   10000
    10000 100,000.00      2,597.83 102,598                                        Bel20
    10250 102,500.00         97.83 102,598
    10500 105,000.00          0.00 105,000
    10750 107,500.00          0.00 107,500
    11000 110,000.00          0.00 110,000
    11250 112,500.00          0.00 112,500

Les calls et les puts de même caractéristiques sont égaux si le prix d'exercice
est égal au prix à terme. En effet C-P = S-VA(X) =>C-P=0 <=> S=VA(X) ou X =VF(S)

Si la volatilité du marché = 15%
Valeur de marché de la part Bel20 =
              Bel 20          84,000.00
              Put             10,080.00 0.4 x 84000 x 15% x Sqrt(4)
              Total           94,080.00
Prix d'émission             100,000.00
Profit réalisé                 5,920.00

Si l'indice Bel20 augmente de                  100
                                  Delta
            Bel20                     1
            Put                   -0.38 = 0.5 + 0.2x15%xSqrt(4) - 1   (Dput = Dcall - 1)
            Bel 2000               0.62
Variation de la valeur de la part Bel20 =               620 .62x10x100

La GCAB a vendu un instrument ayant un delta de 0.62
Pour rendre sa position delta neutre elle devrait donc acquérir des actions de manière
à compenser toute variation valeur de l'instrument qu'elle a émis.
Formellement, on doit avoir DV = n DBel20 - DBel2000 = 0
où n est le nombre d'unités de l'indice Bel20 a détenir en portefeuille
                                                    7.3 BearCall J98


Bear Call Spread (Janvier 1998)
Stock price                    5200                                     5200
Dividend yield                0.00%                                    0.00%
Striking price                 5000                                     5400
Maturity (days)                   90                                       90
Interest rate                 6.00%                                      0.06
Volatility                  15.00%                                    15.00%
                                 Call         Put                                       Call
             Price          325.01       51.584                                    103.28
             Delta            0.777       -0.223                                     0.393
             Gamma            0.001        0.001                                     0.001
             Theta        -457.254 -161.660                                      -475.090
             Elasticity     12.433      -22.470                                    19.800
             Lambda           7.703        7.703                                     9.930
             Rho              0.000        0.000                                     0.000
                         Call         Put                                       Call
                        t 0.246575 0.246575                                t     0.246575
                      d1 0.76243 -0.76243                                 d1      -0.27082
                      d2 0.687945 -0.68795                                d2       -0.3453
                  N(d1) 0.777098 0.222902                              N(d1)     0.393265
                  N(d2) 0.754256 0.245744                              N(d2)     0.364933

Profit à l'échéance
FT-SE 100 Long call Short call Total
                  5400    5000
Cours           103.28  325.01   -221.73
      4800 -103.28      325.01    221.73
      4900 -103.28      325.01    221.73                  250
      5000 -103.28      325.01    221.73                  200

      5100 -103.28      225.01    121.73                  150

      5200 -103.28      125.01     21.73                  100

      5300 -103.28       25.01    -78.27                   50

                                                            0
      5400 -103.28      -74.99   -178.27
                                                           -50 4500        5000        5500
      5500       -3.28 -174.99   -178.27
                                                          -100
      5600       96.72 -274.99   -178.27                  -150
      5700      196.72 -374.99   -178.27                  -200
      5800      296.72 -474.99   -178.27                  -250
      5900      396.72 -574.99   -178.27


Theta de la position
                                     Long call Short call
                                        5,400     5,000
Theta de la position                     -475       -457                 -18
                                                 8.1 FRA&IROpt


FRA et options sur taux d'intérêt (Janvier 1996)                         p                   0.5
Ho&Lee                                          dt                  0.25 delta            0.998
                                                Sigma            0.50% sigma          0.333333
                                                rin               0.049 r0*sigma         1.00%
Period                           0            1            2           3          4
Time                             0        0.25           0.5        0.75          1
Spot rates (contin)                     4.90%        5.30%       5.50%       5.80%
Current discount function           0.987825 0.973848 0.959589 0.94365
1-period forward rate                   5.70%        5.90%       6.70%
Calcul direct des taux courts en cas de hausse à partir des taux à terme à 1 période
Hausse: r(0,t)=fwd+r0*sigma*sqrt(t)
Pour baisse, soustraire de chaque ligne une constante b égale à ln(delta)1.00%
Short rate t                     0            1            2
                      0      4.90%      5.83%        6.15%
                      1                 4.82%        5.15%
                      2                              4.15%
                                                  Ho & Lee a(t)
Considérons d'abord un FRA sur le BIBOR 3 mois
Montant notionel                                        500 mio
Taux (continu) du FRA                                5.90% = taux à terme
Decomposition into 2 zero coupons of a long position
                                   Face         Maturity                 Value
                                   Value        (y)
Z1           Long                          500           0.5                486.924
Z2           Short                  507.4297           0.75                 486.924
Valeur du FRA à la date de règlement
                        Int.rate   FRA val                   Float.r.    Fixed r.   r-R          CFlow
                        (cont)                               (simp)      (simp)
                             6.15% 0.312402                      6.20%       5.94%       0.25% 0.312402
                             5.15% -0.93838                      5.18%       5.94%      -0.76% -0.93838
                             4.15% -2.19229                      4.17%       5.94%      -1.77% -2.19229
Call européen sur BIBOR 3 mois
Strike rate                             5.50%
Interest with simple compounding
                                 0            1            2
                             4.93%      5.87%        6.20%
                                        4.85%        5.18%
                                                     4.17%
Value of European call option on 3-m BIBOR
                                 0            1            2
                          0.0418% 0.0846% 0.1717%
                                     0.0000% 0.0000%
                                                  0.0000%
Call value               0.208971 = 0.0418% x 500
Other valuation: put on zero coupon
Maturity of zero                          0.75
Face value                          507.4297
Maturity of put                             0.5
Strike price                               500
                                 0            1            2           3
                           485.936 491.9253 499.1414 506.875
                                    494.3911 500.3908 506.875
                                                  501.6434 506.875
                               8.1 FRA&IROpt


                                         506.875
Put value
                   0        1        2         3
            0.208971 0.423093 0.858599
                            0        0
                                     0
8.1 FRA&IROpt
8.1 FRA&IROpt

				
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