???? 1, 2

Document Sample
???? 1, 2 Powered By Docstoc
					                   Урок 1 – 3                                       2.09.
                    Тригонометрические функции числового аргумента.
         Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций.
1. Введение.
А) Рассадить школьников. Напомнить о дисциплине: приход в класс, подготовка к уроку,
подготовка доски.
Б) Математика – 9 часов в неделю.
      По одной толстой рабочей тетради для каждого предмета; одна тонкая – для к/р;
отдельная тетрадь для н/об заданий; одинарные листочки для с/р. Линейка, угольник,
циркуль – на каждый урок. Цветные ручки или фломастеры!
В). Система оценок прежняя: «балльные» к/р; с/р; зачеты (по алгебре – 3; по геометрии –
2); экзамен по алгебре и математическому анализу.
Г) По алгебре и математическому анализу – учебник Н.Я. Виленкина; по геометрии –
учебник А.Д. Александрова (раздать). К завтрашнему уроку геометрии прочитайте
введение (стр. 3 – 7).
2. Новый материал. В курсе алгебры мы продолжаем изучать тригонометрию, но если в 9
классе основной упор делался на знание формул и тригонометрические преобразования,
то в 10 классе мы займемся тригонометрическими функциями.
Вспомните: 1) определение функции; 2) что такое область определения и множество
значений функции; 3) что такое числовая функция; 4) определения четной и нечетной
функций.
      [1) Функцией называется соответствие между множествами А и В, при
котором каждому элементу множества А соответствует не более одного
элемента множества В. 2) Область определения функции – множество
прообразов, множество значений функции – множество образов. 3) Область
определения и множество значений – числовые множества (подмножества R). 4)
Функция y = f(x) называется четной, если ее область определения симметрична
относительно нуля и f(–x) = f(x). Функция y = f(x) называется нечетной, если ее
область определения симметрична относительно нуля и f(–x) = –f(x)]
      Рассмотрим единичную окружность (см. рис. 1) и вспомним
определения тригонометрических функций произвольных углов.
              
      Пусть RO ( P0 )  P , где (–; +) и Р(x; y).                             Рис. 1
                                       y          x
Тогда cos = x; sin = y; tg =         ; ctg =  (проговорить).
                                       x          y
Определение. Тригонометрической функцией числа 
называется         соответствующая              тригонометрическая
функция угла в  радиан.
      Как это понимать?
      Рассмотрим соответствие f: R  окр (0; 1) | xR f(x) = Px = RO ( P0 ) . Наглядно это
                                                                        x


соответствие представляется наматыванием бесконечной нити (числовой оси) на
барабан (единичную окружность), причем число 0 закрепляется в точке Р 0 (показать на
рисунке).
      1) Объясните, почему это соответствие является функцией; 2) укажите ее область
определения и множество значений; 3) верно ли, что различным значениям x
соответствуют различные значения функции? Что из этого следует?
      Таким образом, теперь мы можем рассматривать числовые функции, указав (на
основании определений, используя единичную окружность) их области определения и
множества значений.

  y = cos       y = sin                  y = tg                         y = ctg
  D(y) = R       D(y) = R     D(y) = {R |   0,5 + n, nZ}   D(y) = {R |   n, nZ}
E(y) = [–1; 1] E(y) = [–1; 1]             E(y) = R                         E(y) = R

                                              1
     Вспомните, какие из тригонометрических функций являются                            Рис. 2
четными, а какие – нечетными. Как это доказывать? (Проговорить по
рис. 2 с краткими записями на доске.)
3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске;
записи: для первого пункта определения – две возможные формы!):
                                     sin   cos 
1) Докажите, что функция а) y                     является четной; б)
                                      tg  ctg
   sin x 3   tg 3 x
y                       является нечетной. 2) Исследуйте на четность и
       x  cos x
                                      x 31  x 29
нечетность функцию f ( x )  sin 2                 [D(f) = {xR | x  1}; Н]
                                        x 1
4. Устно: 1) Определите четность либо нечетность функции и кратко обоснуйте:
                                         1  2 cos t
а) |tgx| [Ч]; б) sin|| [Ч]; в)                        [Н]; г)           F      Ч Н Ч    Н
                                          t  sin t
                                                                         G      Ч Н Н    Ч
sincostgctg + 2 [–]; д) cos x [Ч]; е) 3 tgy                kF  mG, kR, Ч Н –    –
[Н]; ж) sin z                [–]; з) ctg(t0,2) [–]; и) k  0; mR, m  0
sin(sin(...(sin x )...) [Н]; к) sin(cos(tg(ctgx))) [Ч]; л)
  
                                                                      FG     Ч Ч Н    Н
         n р аз                                                          F      Ч Ч Н    Н
[sinx] [–]; м) cos[x] [–]; н) {cosx} [Ч]; о) sin{x} [–].                 G
2) Заполните таблицу на доске и обоснуйте:                             F(G)     Ч Н Ч    Ч
5. Новый материал. Рассмотрим еще одно общее свойство функций.
Определение. Функция f(x) называется периодической, если  T  0 | xD(f) верно,
что и x  TD(f) и выполняется равенство f(x + T) = f(x). В этом случае число Т
называется периодом этой функции.
Примеры. 1) {x} (T = 1); 2) любая из основных тригонометрических функций (T = 2).
Вопросы. 1) Почему в первой части определения знак «», а во второй – только «+»?
2) Является ли число Т единственным?
Определение. Основным периодом периодической функции называется ее
наименьший положительный период.
Теорема. Основным периодом функций синус и косинус является T = 2, а
функций тангенс и котангенс – T = .
Доказательство. I. f(x) = sinx и f(x) = cosx.
А) 1) D(f) = R xD(f) верно, что и x  2D(f). 2) xD(f) f(x + 2) = f(x), так как sin(x +
2) = sinx и cos(x + 2) = cosx. Следовательно, 2 – период каждой из функций.
Б) Пусть Т | 0 < T < 2 и Т – период функции. Тогда: 1) xR sin(x + T) = sinx.
                                        
При x          получим, что sin   T   1  cosT = 1  T = 2n, где nZ, что противоречит
            2                      2      
выбору числа Т. 2) xR cos(x + T) = cosx. При x  0 получим, что cosT = 1  T = 2n, где
nZ, что противоречит выбору числа Т.
       Таким образом, 2 – основной период, что и требовалось доказать.
II. g(x) = tgx и h(x) = ctgx.
А) 1) D(g) = {xR | x  0,5 + n, nZ}; D(h) = {xR | x  n, nZ} xD верно, что и x 
D (единичная окружность!). 2) xD tg(x + ) = tgx и сtg(x + ) = сtgx (формулы
приведения), поэтому,  – период каждой из функций.
Б) Пусть Т | 0 < T <  и Т – период функции. Тогда: 1) xD tg(x + T) = tgx. При x  0
получим, что tgT = 0  T = k, где kZ, что противоречит выбору числа Т.




                                               2
                                                              
2) xD сtg(x + T) = сtgx. При x    получим, что ctg  T   0  –tgT = 0  T = k, где
                                  2                        2    
kZ, что противоречит выбору числа Т.
     Таким образом,  – основной период, что и требовалось доказать.
6. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; записи!):
                                                         1                                n
Докажите, что 3 является периодом функции y = tg x – ctg2x [D(y) = {xR | x                , nZ}].
                                                         3                                 2
Домашнее задание: повторите тригонометрические формулы, Ч и Н тригонометрических
                   функций (есть в учебнике); определения и теорема о периодичности
                   – по тетради; 1) Исследуйте на Ч и Н функции: а) f(x) = cos4x +
                                               tg 2  ctg 4            sin 
                   2sin1,5xsinx + 5x2; б) y                 ; в) y            ; г) g(x) = (sinx)0,5;
                                                sin   cos             sin 
                                 x2  x
                      д) h(x) = cos     . 2) Докажите, что 1 – основной период функции {x}.
                                  x 1
                      3) Докажите, что f(x) = 4ctg3x + 5sin4x периодична с периодом . 4)
                      Докажите, f(x) g(x) и h(x) | f(x) = g(x)sinx + h(x)cosx.

                    Урок 4, 5                                             4.09.
                          Общие свойства периодических функций.
1. Проверка д/з: вопросы? 1) – ответы? [Ч; Н; Ч; –; –]. Как находили область определения
в пункте в)? [sint < t (единичная окружность)!]; 2) В.: стр. 233 – 234; 3) [D(f) = {xR | x 
n
    , nZ}]; 4) [Рассмотрим, например, функции g(x) = f(x)sinx и h(x) = f(x)cosx. Тогда,
 3
g(x)sinx + h(x)cosx = f(x)(sin2x + cos2x) = f(x), что и требовалось доказать]
2. Устно: приведите пример периодической функции, периодом которой: а) является
любое действительное число; б) является любое рациональное число, но не является
                                                         1, если x Q,
никакое иррациональное [а) f(x) = c, сR; б) g ( x )                  – функция Дирихле]
                                                          0, если x Q
3. Новый материал. Рассмотрим общие свойства периодических функций.
1) Если функции f(x) и g(x) имеют период Т, то и функции h(x) = kf(x)  mg(x), где
                                            f (x )
kR и mR; p(x) = f(x)g(x); q( x )               имеют тот же период.
                                           g(x )
Доказательство. А) D(h) = D(p) = D(f)D(g); D(q) = {x D(f)D(g) | g(x)  0}. Так как f(x) и g(x)
имеют период Т, то x  TD(f) и x  TD(g), следовательно, x  TD(f)D(g). Рассмотрим x
| g(x)  0, тогда g(x + T) = g(x)  0, то есть, xD верно, что и x  ТD.
Б) xD h(x + Т) = kf(x + Т)  mg(x + Т) = kf(x)  mg(x) = h(x); p(x + T) = f(x + T)g(x + T) =
                               f (x  T ) f (x)
f(x)g(x) = p(x); q( x  T )                     q( x ) .
                               g( x  T ) g( x )
      Таким образом, утверждение доказано.
Примеры (укажите период функции, воспользовавшись доказанной теоремой, и найдите
                                                                                            
другой способ обоснования). А) h(x) = 3 sinx + cosx; T = 2 [h(x) = 2sin(x + )] Б) p(x) =
                                                                                            3
                                                      sin x
sinxcosx; T = 2 [p(x) = 0,5sin2x] В) q( x )               ; T = 2 [q(x) = tgx]
                                                      cos x
      В доказанном утверждении не говорится о том, что найденный период – основной,
что видно из примеров б) и в)!
2) Если Т – период функции f(x), то и –Т является периодом f(x).
Доказательство. А) xD(f) верно, что и x  (–T) = x  TD(f).
Б) x’D(f) f(x + (–T)) = f(x – T) = f(x), так как x’D(f) f(x’ + T) = f(x’) (x’ = x – T).
                                                  3
3) Если T1 и Т2 – периоды функции f(x), то и T = Т1 + Т2 является периодом f(x).
Доказательство. А) xD(f) верно, что и x  T1D(f), следовательно (x  Т1)  Т2 = x  (Т1 +
Т2) = x  T D(f).
Б) xD(f) f(x + T) = f(x + (Т1 + Т2)) = f((x + Т1) + Т2) = f(x + Т1) = f(x).
Следствие. nN если Т – период функции f(x), то и nТ является периодом f(x).
Доказательство. Для n = 1 – очевидно.
Пусть утверждение верно при n = k, докажем, что оно верно при n = k + 1.
А) xD(f) верно, что и x  kTD(f), следовательно, x  (k + 1)T = (x  kT)  TD(f).
Б) xD(f) f(x + (k + 1)T) = f((x + kT) + T) = f(x + kT) = f(x).
      Почему это свойство верно nZ \ {0}? [свойство 2]
4) Если T – основной период функции f(x), то {nT | nZ \ {0}} – множество всех
периодов f(x).
Доказательство. То, что эти числа являются периодами – уже доказано.
Пусть Т’ > 0 – период функции и Т’{nT | nZ}. Так как T – основной период, то Т’ > T, то
есть, kN | kT < T’ < (k + 1)T. Тогда T’’ = T’ – kT – также период функции (свойства 2 и 3),
причем, 0 < T’’ < T, что противоречит условию. Случай, когда T’ < 0 сводится к
рассмотренному по свойству 2.
      Свойства 2 – 4 вместе с ранее доказанными нами утверждениями позволяют указать
множество периодов элементарных функций: для {x} –Z \ {0}; для sinx и cosx – {2n};
для tgx и ctgx – {n}, где nZ \ {0}.
5) График функции f(x), имеющей период Т, отображается на себя при Tm , где
m   nT; 0 , nZ \ {0}.
       Для построения какого графика это свойство уже применялось? [{x}]
Доказательство. nZ \ {0} f(x + nT) = f(x), что и определяет соответствующий
параллельный перенос вдоль оси x.
       Свойства 6) и 7) мы рассмотрим на следующем уроке (можно оставить место).
4. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; записи!):
                  sin(930 )    3
1) Вычислите:                 [    ].
                     53      2
                  tg     
                        6 
2) Приведите к значению тригонометрической функции наименьшего положительного
                                       54         3                             7    
аргумента: а) ctg673 [–tg43]; б) cos      [ sin    ]; в) sin(2 – 7,2) [  cos     2 ]
                                          7        14                             10    
3) Докажите, что  не является периодом функции y = tg(sinx).
                                                                                               
       [От противного: xD(y) –tg(sinx) = tg(sinx), что не выполняется, например, при x  ]
                                                                                               2
4) Является ли периодической функция h(x) = sin x  ?
                                                        2


     [Нет, так как D(h) = [0; +), то есть, xD(h) | x – TD(h)]
5) Докажите, что функция g(x) = {x2} не является периодической.
     [От противного, тогда xR {(x + T)2} = {x2}. При x = 0 получим, что Т2Z; тогда при x
= 1 получим, что ТQ, а при x = 2 получим, что ТQ – противоречие!]
     Следующий урок – с/р!
Домашнее задание: теория – по тетради и В.: стр. 232 – 234; повторите формулы
                        приведения и основные свойства тригонометрических функций.
                                                                                          
                        Докажите, что: а) 15 является периодом функции y = {2,6x}; б)
                                                                                          2
                                                                                        tgx
                        является периодом функции f(x) = ctg(2x – 1); в) функция g(x) =
                                                                                         x


                                               4
                                                                                       3
                            является четной и число  не является ее периодом; г)         не
                                                                                        2
                            является периодом функции y = |sinx| – cosx. В.: №518 (1); №506
                            (1).

                     Урок 6, 7                                       9.09.
  Самостоятельная работа №1. Свойства и графики тригонометрических функций.
1. Проверка д/з: вопросы? [в) противоречие при x = 1; г) противоречие при x = 0].
№518 (1) [от противного, можно взять, например, x = 0 и x = 42]
2. Самостоятельная работа №1 (на листочках; 15 – 20 минут).
3. Новый материал. На основании известных нам свойств тригонометрических функций
можно построить их графики.
      Выпишем свойства функции y = sinx, анализируя как отразится на графике каждое
из них. Изобразим декартову систему координат (на доске и в тетрадях).
1) D(y) = R                              Существуют точки с любыми абсциссами
2) E(y) = [–1; 1]                        График лежит в полосе между прямыми y = –1 и y = 1
3) 2 – основной период                  Исследуем на [–;]
4) функция – нечетная                    Исследуем на [0;]
5) а) sin( – x) = sinx                  Исследуем на [0;0,5]
                                       Отмечаем     соответствующие    точки    в    системе
б) sin0 = 0; sin      = 1; sin    = 0,5; координат, затем строим график на [0;0,5]. Используя
                   2           6
         2                 3           указанные свойства функции получаем график на R.
sin         0,7; sin         0,85; Он называется синусоидой
    4 2                 3 2
      Остальные свойства функции можно получить, используя построенный график:
6) Нули функции: y = 0 при x = n, nZ
7) Промежутки знакопостоянства: y > 0 при x  (n;  + n); y < 0 при x  ( – + n; n)
                                                       nZ                       nZ

                                                                          
8) Монотонность: функция возрастает на каждом промежутке вида   2n;  2n ;
                                                                 2    2     
                                         3       
убывает на каждом промежутке вида   2n;     2n  ; где nZ
                                   2       2       
9) Экстремальные значения функции:
                                                              
max(sinx) = 1 при x =        2n ; min(sinx) = –1 при x =       2n ; где nZ
                        2                                      2
4. Упражнения. Пользуясь построенным графиком:
                                    7
1) Вычислите: а) sin    ; б) sin        [а) –0,3; б) –0,5]
                       12             6
                                                 2                            5
2) Найдите x | а) sinx = 0,5; б) sinx =            [а) x =  2n или x =          2n , nZ; б) x =
                                                2            6                  6
                      3
  2n или x =            2n , nZ]
   4                    4
3) Определите знаки чисел: а) sin1,9; б) sin(–3,5) [а) –; б) +]
                     4         6
4) Сравните: а) sin       и sin    ; б) sin(–5) и sin(–6) [a) >; б) >]
                      7          7
5. Новый материал. Выпишем свойства функции y = tgx, анализируя как отразится на
графике каждое из них. Изобразим декартову систему координат (на доске и в
тетрадях).
1) D(y) = {xR | x  0,5 + n, nZ} Не существуют точек с такими абсциссами
2) E(y) = R                               Существуют точки с любыми ординатами
3)  – основной период                    Исследуем на (–0,5; 0,5)
                                                   5
4) функция – нечетная                                       
                                         Исследуем на [0;     )
                                                            2
                 3                      Отмечаем       соответствующие          точки   в   системе
5) tg0 = 0; tg =     0,55;                                                 
             6   3                       координат, затем строим график на [0;). Используя
                                                                          2
tg   = 1; tg  3  1,7                указанные свойства функции получаем график на D.
   4        3
                                      Он называется тангенсоидой (асимптоты!)
      Остальные свойства функции можно получить, используя построенный график:
6) y = 0 при x = n, nZ
7) y > 0 при x  (n; 0,5 + n); y < 0 при x  ( –0,5 + n; n)
                 nZ                              nZ

                                                                                      
8) Функция возрастает на каждом промежутке вида                               n;  n , где nZ;
                                                                            2      2    
промежутков убывания нет
9) Экстремальных значений функции не существует
                                                          
10) Асимптоты: прямые, имеющие уравнения x                    n, n Z
                                                          2
6. Упражнения. Пользуясь построенным графиком:
                    5          3 
1) Вычислите: а) tg    ; б) tg    [а) 5; б) 1]
                    12          4
                                         3                             
2) Найдите x | а) tgx =     3 ; б) tgx =   [а) x =  n , nZ; б) x =   n , nZ]
                                        3           3                   6
3) Определите знаки чисел: а) tg 2 ; б) tg(–4) [а) +; б) –]
                   6      7
4) Сравните: а) tg    и tg    ; б) tg(–1,5) и tg(–1) [a) <; б) <]
                    5       5
Домашнее задание: теория – по тетради и В.: стр. 242 – 244 и 252 – 254 (выборочно);
                      постройте графики функций y = cosx и y = ctgx. Пользуясь
                                                                                       5
                      построенными графиками: 1) вычислите: а) cos    ; б) cos            ; в)
                                                                            8            3
                                    5                                 3
                      сtg ; г) ctg    ; 2) найдите x | a) cosx =        ; б) cosx = – 0,5; в)
                          7          6                                2
                                                3
                          ctgx = –1; г) сtgx =    ; 3) определите знаки чисел: а) cos   3 ; б)
                                               3
                                                                                 3        4
                          cos4; в) сtg(– 2 ); г) сtg 2 3 ; 4) сравните: а) cos     и cos     ; б)
                                                                                  8         9
                                                       5        7                     2 
                          cos(–2) и cos(–3); в) сtg        и сtg    ; г) сtg    и сtg      .
                                                        9         9           11         11 
                          Докажите, чтоf(x) g(x) и h(x) | f(x) = g(x)p(x) + h(x)r(x), где p(x)
                          и r(x) – произвольные заданные функции, определенные на R, и
                          имеющие несовпадающие нули.

                       Урок 8, 9                             10.09.
                          Вычисление периодов некоторых функций.
1. Разбор с/р.
2. Проверка д/з: вопросы? Как называются графики функций y = sinx и y = tgx? Как вы
думаете, как называются графики y = cosx и y = ctgx? Почему?
                                     
[ cos x  sin  x   ; ctgx   tg  x   ] То есть, графики этих функций можно было получить
                  2                   2
из уже построенных с помощью преобразований на координатной плоскости.
                                                  6
                 f ( x)               f ( x)
Доп. [ g ( x )          ; h( x )            во всех точках, таких что p( x )  0 и r( x )  0 . В тех
                2 p( x )             2 r( x )
                                                       f ( x)
точках, где p( x )  0 , возьмем h( x )                      , а g x = C. В тех точках, где r ( x )  0 ,
                                                       r( x)
                     f ( x)
возьмем g ( x )            , а h x  = C]
                     p( x )
3. Новый материал. Продолжим изучение свойств периодических функций.
                                                                         T
6) Если T – основной период функции f(x), то T’ =                           – основной период функции
                                                                         k
g(x) = f(kx) (kR, k > 0).
                                                                     T kx  T
Доказательство. 1) xD(g) верно, что x  T’ = x                                D(g), так как если xD(g), то
                                                                     k       k
kxD(f), значит, kx  TD(f).
                                    T             T 
2) xD(g) g(x + T’) = g x    f  k  x    = f(kx + T) = f(kx) = g(x).
                                     k            k 
3) Пусть T’ – не основной период функции g(x), то есть, T’’ | 0 < T’’ < T’ и T’’ – период
                                                             t
функции g. Обозначим: t = kx, тогда f(t) = g   . По доказанному, kT’’ – период функции f,
                                                             k
но kT’’ < kT’ = T – противоречие с тем, что ее основной период – Т!
Примеры (показать на графиках).
                                                             1                  1
а) g(x) = sin2x; T = 2; k = 2; T’ = ; б) g(x) = { x}; T = 1; k = ; T’ = 3.
                                                             3                  3
4. Упражнения. Найдите основные периоды функций. В пунктах а) – в) постройте графики.
                                                                 x               
а) f(x) = cos0,5x; б) g(x) = 2tg1,5x; в) h(x) = 0,5ctg ; г) tg   x   ; д) cos x 2 ; е) {x + x}
                                                                  2                8
            2                                   1
[а) 4; б)     ; в) 2; г) ; д)  2 ; е)            ]
             3                                  1
5. Новый материал. Вспомните определение НОК (k; l), где kN, lN.
      Сформулируем аналогичное определение для произвольных положительных
действительных чисел k и l:
                                                                          m         m
Определение. Если k > 0, l > 0, то НОК (k; l) = mR |  N ;  N и m – наименьшее.
                                                                          k          l
Примеры и упражнения (1) – 4) – подбор!).
                                        1 1
1) НОК (5,2; 1) = 26; 2) НОК  ;  = 1; 3) НОК (1,4; 2,1) = 4,2; 4) НОК 4 3; 6 3 = 12 3 ; 5)
                                        2 3
             6              13 13                                                   10 1             10 10 
НОК  2,6;1  = НОК  ;  = 13, так как НОК (5; 7) = 1; 6) НОК  ;  = НОК  ;                                     
             7              5 7                                                     53 11            53 110 
                                                                          m               m
= 10; 7) НОК 2 2; 5 не существует, так как: пусть                             n N и       k  N , тогда 2n 2
                                                                        2 2                5
            n      8
=k 5                 Q – противоречие.
            k      5
      Теперь мы готовы рассмотреть последнее свойство периодических функций.
7) Если Т – основной период функций f(x) и g(x), то основным периодом функции
                                                                        1 1
h(x) = f(px) + g(qx) является T’ = mT, где m = НОК  ;  .
                                                                        p q
Доказательство – н/об на дом.
Пример. Найдем основной период функции f(x) = 3sin5,3x – cos11x.

                                                         7
                                                                             1 1
     Основной период функций sinx и cosx равен 2; p = 5,3; q = 11; m = НОК  ;  =
                                                                             5,3 11
       10 1 
НОК  ;  = 10; T’ = 20.
       53 11
6. Письменно (самостоятельно в тетрадях с устной проверкой):
1) В.: стр. 234, №508 (1, 2, 5) [1) 15; 2) 1; 5) 10];
2) В.: стр. 237, №517 (2, 4) [2) 80; 4)  (частное функций с одинаковым периодом!)]
                                                                                1 1
3) h(x) = 4ctg3x + 5sin4x [;  – основной период функций ctgx и sin2x; НОК  ;  = 1]
                                                                                2 3
4) В.: стр. 238, №518 (3)
                         1 
[От противного; НОК  1;        не существует: если mN, то m 2  N ]
                             2
Домашнее задание: теория – по тетради; доказательство свойства 7; повторите
                        преобразования графиков на координатной плоскости. В.: №508 (4,
                        7); №517 (1, 5). Найдите основные периоды функций (а) – в) –
                                                                                    x 2 
                        постройте графики): а) {2x}; б) 0,5sin0,5x; в) 3ctg0,2x; г)      ; д) –
                                                                                     2 
                          cos1,6x; е) 0,1tg(0,1x).

                   Урок 10, 11                                                    12.09.
                 Преобразования графиков тригонометрических функций.
1. Проверка д/з: вопросы? №508 [4) 0,5; 7) 1]; №517 [1) 2; 5) 20]; графики – на доске (по
необходимости); [а) 0,5; б) 5; в) 4; г) 2 ; д) 1,25; е) 10]
2. Устно: дан график функции y = f(x) (на доске). Объясните, как получить из него графики:
а) y = f(x – a) + b; б) y = –f(–x); в) y = |f(x)|; г) |y| = f(x); д) |y| = |f(x)| (показать). Какие из них
являются функциями? [а) – в)].
3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):
      Постройте графики функций (вспомнить записи):
                                                    
1) В.: стр. 244, №539 (9); 2) y = sin(–x –             ); 3) В.: стр. 254, №561 (11); 4) В.: стр. 245,
                                                    3
№540 [г) – порядок!] 5) а) y = [tgx]; б) y = tg[x]; в) y = {tgx}; г) y = tg{x}.
4. Повторение. Приведите к значению тригонометрической функции наименьшего
положительного аргумента (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):
а) sin20; б) cos30 [а) cos(6,5 – 20); б) sin(30 – 9,5)].
Домашнее задание: повторите формулы сложения: f(  ), где f – тригонометрические
                         функции); В.: №568 (3, 7); №539 (6); №561 (6); №562; №569; 1) Для
                         функции f(x) = cosx постройте: а) [f(x)]; б) f([x]); в) {f(x)}; г) f({x}); 2)
                         Найдите основной период функции h(x) = 3tg1,75x + 5cos2x.

                     Урок 12                                     16.09.
                             Гармонические колебания.
                                                         4
1. Проверка д/з: вопросы? Период h(x)? [4, так как НОК ( ; 1) = 1]
                                                         7
Графики – заготовить на доске!
2. Новый материал. Тригонометрические функции часто используют для описания
различных физических процессов, связанных с колебательным движением. Рассмотрим
простейший из этих процессов, называемый гармоническими колебаниями.




                                                    8
     Пусть точка движется по окружности радиуса R с постоянной
угловой скоростью . Выберем декартову систему координат так,
чтобы ее начало совпало с центром этой окружности. За
промежуток времени t точка проходит путь t по окружности. Если
Р – начальное положение точки, то по истечении времени t ее
положение – Рt +  (x; y) (см. рис.). Тогда, x = Rcos(t + ); y =
Rsin(t + ), где x и y – координаты точки в момент времени t.
     Полученные уравнения задают зависимость координат точки от времени.
Зависимости такого вида и называются гармоническими колебаниями, причем, так как
                                                                                
cosx = sin( + x), то первое уравнение можно переписать так: x = Rsin(t +  + ), то
            2                                                                     2
есть оба уравнения имеют одинаковый вид. В дальнейшем, условимся записывать
уравнение произвольных гармонические колебания в виде: f(t) = Rsin(t + ), причем A =
|R| > 0 – амплитуда колебаний (показывает наибольшее значение функции);  –
угловая частота (показывает количество полных колебаний точки за 2 единиц
времени);  – начальная фаза колебаний (показывает начальное положение точки).
                                                                                  2
Условились также, что  > 0; [0; 2). Кроме того, рассматривается величина Т =     >0
                                                                                       
– период колебания (показывает время одного полного колебания).
      Примеры физических величин, изменяющихся по этому закону: отклонение от
положения равновесия груза на пружине или на невесомой нити (математический
маятник), напряжение и сила переменного тока и пр.
      Для любых гармонических колебаний можно определить их параметры и построить
график.
                                                                                      7
Пример. f(t) = 3sin(–0,5t + ). Преобразуем: f(t) = –3sin(0,5t – )  f(t) = –3sin(0,5t +    ).
                             4                                 4                         4
                                       7
Параметры: А = 3;  = 0,5; T = 4;  =     .
                                        4
                            
График: f(t) = –3sin0,5(t – ) (показать на доске; параметры – самоконтроль!)
                            2
3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):
В.: стр. 247, №541 (3, 4).
Домашнее задание: В.: стр. 245 – 246, п. 7; №541 (1, 2, 6); .повторите формулы
                       двойного, тройного и половинного аргумента; №568 (4; 7); №591 (4;
                       7); №596 (5); стр. 324, К_10, №7.

                 Урок 13, 14                                17.09.
                          Сложение гармонических колебаний.
1. Проверка д/з: вопросы?
                                                                             
2. Устно: 1) Найдите основной период функции f(x) = sin3xcos      – cos3xsin .
                                                                10            10
                            2
[f(x) = sin(3x –      ); T =    ]
                   10         3
                       2          2           3        4
2) Упростите: а)         cos x     sin x ; б) sin t  cos t ; в) sin x  3  cos x .
                      2          2            5        5
                                                            3
                                             cos   5 ,                
[а) cos x    sin  x   ; б) sin(t – ), где              ; в) 2 sin  x   ]
           4           4                                 4                 3
                                                    sin  
                                                            5
3. Новый материал. 1) Рассмотрим уравнение произвольного гармонического колебания

                                              9
f(t) = Rsin(t + ) и преобразуем правую часть: Rsin(t + ) = R(sintcos + costsin) =
                                                                                   
Rcossint + Rsincost = R1sint + R2cost = R1sint + R2sin(t + ), где R1 = Rcos; R2
                                                                                   2
= Rsin.
       Таким образом, любое гармоническое колебание можно представить в виде
суммы двух гармонических колебаний с одинаковой частотой.
2) А) Рассмотрим сумму двух гармонических колебаний с одинаковой частотой и нулевой
                                                                       R1               R2            
начальной фазой: R1sint + R2cost =                     R12  R2  
                                                                 2
                                                                     R2  R2 sin t           cos t  =
                                                                                                       
                                                                     1     2          R12  R2
                                                                                              2
                                                                                                       
                                                R1
                                   cos                ,
                                              R1  R2
                                                 2     2

Rsin(t + ), где R  R12  R2 ; 
                               2
                                                  R2       .
                                    sin  
                                   
                                              R12  R22


Б) Если колебания имеют ненулевые начальные фазы, то R1sin(t + 1) + R2sin(t + 2) =
(R1cos1+ R2cos2)sint + (R1sin1+ R2sin2)cost = C1sint + C2cost, то есть, мы
приходим к случаю А). Продолжив преобразования можно в общем виде получить
параметры суммы гармонических колебаний. Желающие – прочтут в учебнике.
       Таким образом, сумма гармонических колебаний одинаковой частоты есть
гармоническое колебание той же частоты.
       Полученные факты позволяют при описании физических процессов представлять
сложные гармонические колебания в виде суммы двух более простых и наоборот,
находить уравнение результирующих колебаний для величины, участвующей в двух
колебательных движениях с одинаковой частотой.
4. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):
1) В.: стр. 273, а) №607 (2; выписать параметры колебания)
                                    7
                          cos   ,
                  
[25sin(3t +  – ), где             25 ; А = 25;  = 3; T = 2 ;  =  –  ];
                  4                 24                              3           4
                           sin  
                                   25
б) №608 (2; без точек экстремума)
                                                      5
                                            cos   13 ,
[13sin(2x – ) = 13sin2(x – 0,5), где                      ; 13; график!];
                                                      12
                                             sin  
                                                      13
                                       3( 6  2 )             
в) №609 (2; 4) [2) 2sin(3t – ); 4)                   sin  2t   ]
                                3            2                  4
2) Найдите основной период и экстремальные значения функции:
         x          x        x 
а) 3 sin  3 3 cos [6sin    ; T = 22; 6]
                            3
   16 cos 2 
б)              1 [1 – 2cos4,   n, где nZ; T =  (область определения!); max: 3; min: –1]
   1  ctg 2
       ctg 2t  tg 2t               2
в)                      , t   0;  [     ; функция не является периодической! max: не
             3              8  sin 8t
    1  sin  8t 
             2       
существует; min: 2 (обоснования!)]
3) Постройте график уравнения: |y| = sin4|x| – cos4|x| [|y| = –cos2|x|; график!]
      Следующий урок – к/р (тетради)!

                                                   10
Домашнее задание: В.: п. 7 (стр. 271, 272); №607 (3; выписать параметры колебания);
                 №608 (4; без точек экстремума); №609 (1; 3); стр. 324, К_11, №6. 1)
                 Дана функция f(x) = tg2x – 3ctg0,8x; а) исследуйте ее на четность; б)
                 докажите по определению, что 15 – ее период; в) найдите ее
                 основной период. 2) Найдите основной период и экстремальные
                 значения функции y = sinxcosxcos2xcos4x.

                  Урок 15, 16                                                19.09.
                                      Контрольная работа №1.
1. Проверка д/з: вопросы?
2. Контрольная работа №1 (90 минут).
                                        Ответы и решения.
                   I вариант.                                              II вариант.
№1. Четная.                                             №1. Нечетная.
                               8                       №2. А) –1; 0;  1  1,5 3 . В) 12.
№2. А) 5; 1  2,5 2 ; –5. В)      .
                                3
                                                                                             
№3. y = 0,5sin4x, T = , так как x              n , №3. y = 0,5sin4x, T = , так как x         n ,
                                            2                                                 2
nZ.                                            nZ.
max: 0,5 (проверить, что достигается!).         min: –0,5 (проверить, что достигается!).
                                                               
№4. y   0,5 sin 2 t   ;                    №4. y  2 sin 0,5 t   ;
                    6                                              3
                                                                           11
A = 0,5;  = 2; T = ;  = .                    A = 2;  = 0,5; T = 4;  =     .
                             3                                               6
№6. Пусть T  0 | xD tg[x + T] = tg[x]  [x №6. Пусть T  0 | xD cos[x + T] = cos[x].
+ T] – [x] = n, nZ. Так как числа этого вида  [x + T] =  [x] + 2n, nZ. Так как числа
при n  0 не являются целыми, то xD [x + этого вида при n  0 не являются целыми,
T] = [x], что невозможно.                       то xD [x + T] = [x], что невозможно.
                                            sin( m  k )x
№7. Применим тождество: tgmx  tgkx                       . Для этого умножим и разделим
                                           cos mx  cos kx
левую часть на sin2x (I вариант) или на sinx (II вариант).




                                                   11
                     Урок 17                                      23.09.
                               Решение уравнений вида sint = m.
1. Разбор к/р.
2. Новый материал. Мы приступаем к решению простейших тригонометрических
уравнений. Особенностью тригонометрических уравнений является то, что в
большинстве случаев они имеют бесконечное множество решений. Для записи решений
нам потребуется ввести новые понятия.
                                                
Определение. m[–1; 1] arcsinm = x | 1) x  ;  ; 2) sinx = m.
                                               2 2
                                                                              
Примеры (обоснования!). 1) arcsin0 = 0, так как 0  ;  и sin0 = 0; 2) arcsin1 = ;
                                                    2 2                         2
           2                       
3) arcsin    = ; 4) arcsin(–0,5) =  ; 5) arcsin(–1,5) не существует.
          2    4                    6
Вопросы. 1) Почему m[–1; 1]? [Множество значений синуса]
                 
2) Почему x  ;  ? Можно ли было выбрать другой промежуток? Какой? [Любой
                2 2
промежуток возрастания синуса от –1 до 1 или убывания синуса от 1 до –1]
3) Как связаны арксинусы противоположных чисел? Почему?
     Итак, m[–1; 1] arcsin(–m) = – arcsinm (см. рис. 1).
     Теперь рассмотрим решение уравнения sint = m (см. рис. 1,
дополнить).
А) Если |m| > 1, то решений нет.
Б) Если m = 0, то t = k, kZ.
                   
Если m = 1, то t =   + 2k, kZ.
                   2
                                                                             Рис. 1
Если m = –1, то t = – + 2k, kZ.
                     2
В) Для остальных m: t = arcsinm + 2l, lZ или t =  – arcsinm + 2n, nZ.
     Применима ли эта формула для частных случаев пункта Б)? [Да, но запись по ней
менее удобна]
Примеры (два вида записи: «в строчку» или «в столбик»).
            3                  3                                 3
1) sint =       t = arcsin       + 2l, lZ или t =  – arcsin    + 2n, nZ 
           2                  2                                 2
                          2                                          2
t=     + 2l, lZ или t =        + 2n, nZ. Ответ: { + 2l | lZ}  {      + 2n | nZ}.
    3                       3                          3                 3
2) sinx = 0,3  x = arcsin0,3 + 2l, lZ или x =  – arcsin0,3 + 2n, nZ.
Ответ: {arcsin0,3 + 2l | lZ}  { – arcsin0,3 + 2n | nZ}.
             2                 2                                  2
3) siny =   y = arcsin    + 2l, lZ или y =  – arcsin    + 2n, nZ 
             7                 7                                  7
              2                                2
y = – arcsin + 2l, lZ или y =  + arcsin + 2n, nZ.
              7                                7
                  2                             2
Ответ: {– arcsin + 2l | lZ}  { + arcsin + 2n | nZ}.
                  7                             7
      Можно ли преодолеть неудобство записи решений уравнения в виде объединения
двух множеств? Оказывается, что можно: t = (–1)karcsinm + k, kZ.
      Проверим, что такая формула задает те же самые множества решений [при k = 2l –
первое множество, а при k = 2n – 1 – второе]
      Запишем, например, решение уравнения 3) другим способом:

                                              12
           2
             + k | kZ}
{(–1)k + 1arcsin
           7
Домашнее задание: В.: стр. 281 – 285, п. 1; №636 – №639; №7 из к/р. Индивидуально (в
                 зависимости от ошибок, допущенных в к/р): 1) (по вариантам)
                 найдите основной период и экстремальные значения функции
                      cos2 x  сtgx        sin 2 x  (сtg 2 x  1)
                  y                | y                           ; 2) для функции f(x) = sinx
                       1  сtg 2 x               сtg 2 x  1
                 постройте: а) [f(x)]; б) f([x]); в) {f(x)}; г) f({x}).

                Урок 18, 19                                       24.09.
                 Решение уравнений вида cost = m, tgt = m, ctgt = m.
                                           1
1. Проверка д/з: вопросы? 1) y  sin 4x , x  n | n  Z . Следовательно, Т = ;
                                           4
                               1
экстремальные значения:  (достигаются!); 2) индивидуально.
                               4
2. Новый материал. Для решения тригонометрических уравнений, содержащих косинус,
нам потребуется ввести понятие арккосинуса.
                                                    
Определение. m[–1; 1] arccosm = x | 1) x 0;  ; 2) cosx = m.
                                                              
                                                          
Примеры (обоснования!). 1) arccos0 = , так как  0;  и cos = 0; 2) arccos(–1) = ;
                                       2            2           2
           3                  2   3
3) arccos    = ; 4) arccos      =     ; 5) arccos 3 не существует.
          2   6             2       4
Вопросы. 1) Почему m[–1; 1]? [Множество значений косинуса]
                     
2) Почему x 0;  ? Можно ли было выбрать другой промежуток? Какой? [Любой
промежуток возрастания косинуса от –1 до 1 или убывания косинуса от 1 до –1]
3) Как связаны арккосинусы противоположных чисел? Почему?
     Итак, m[–1; 1] arccos(–m) =  – arccosm (см. рис. 1).
     Теперь рассмотрим решение уравнения cost = m (см.
рис. 1, дополнить).
А) Если |m| > 1, то решений нет.
                      
Б) Если m = 0, то t =    + n, nZ.
                      2
Если m = 1, то t = 2n, nZ.
Если m = –1, то t =  + 2n, nZ.
                                                                                     Рис. 1
В) Для остальных m: t = arccosm + 2n, nZ.
     Применима ли эта формула для частных случаев пункта Б)? [Да, но запись по ней
менее удобна]
     Обратите внимание, что уравнение cost = m (также, как и уравнение sint = m) можно
было исследовать, пользуясь графиками тригонометрических функций, а не единичной
окружностью!
                           3                  3                                3
Примеры. 1) cost = =         t = arccos     + 2n, nZ  t = ( – arccos    ) + 2n,
                          2                 2                                 2
           5                       5
nZ  t =    + 2n, nZ. Ответ: {    + 2n | nZ}
            6                        6
          17                 17
2) cosy =      y = arccos      + 2n, nZ. Что необходимо было сделать, прежде чем
          5                  5
                                        17                      17
записывать решения? [Проверить, что        < 1] Ответ: {arccos    + 2n | nZ}.
                                        5                       5
                                              13
3) cosx = –0,2  x = arccos(–0,2) + 2n, nZ  x = ( – arccos0,2) + 2n, nZ.
Ответ: {( – arccos0,2) + 2n, nZ | nZ}.
     По аналогии с арксинусом и арккосинусом попробуйте сформулировать
определения арктангенса и арккотангенса. В чем разница? [Е(tgx) = E(ctgx) = R]
                                       
Определение. 1) arctgm = x | 1) x   ;  ; 2) tgx = m.
                                      2 2
2) arcctgm = x | 1) x 0;   ; 2) ctgx = m.
                                                                              
Примеры (обоснования!). 1) arctg0 = 0, так как 0   ;  и tg0 = 0; 2) arcctg0 =   ; 3)
                                                   2 2                          2
                                                        3                      3   2
arctg(–1) =        ; 4) arcctg(–1) =     ; 5) arctg       =  ; 6) arcctg       =    .
                4                       4              3           6          3        3
      Как связаны а) арктангенсы; б) арккотангенсы противоположных чисел? Почему?
mR 1) arctg(–m) = – arctgm; 2) arcctg(–m) =  – arcctgm (показать на графиках
функций tgx и ctgx).
      Рассмотрим решения уравнений tgt = m и ctgt = m. mR
такие уравнения имеют решения, причем на каждом промежутке
длины  – единственное (показать на графиках). Из каких свойств
функций это следует? [Множество значений; монотонность]
      Поэтому, нет смысла рассматривать частные случаи, а можно
сразу, учитывая периодичность этих функций, записать множества
решений: {arctgm + n | nZ} и {arcсtgm + n | nZ} соответственно.
      Те же результаты можно было получить, рассматривая не
                                                                                                    Рис. 2
графики, а оси тангенсов и котангенсов на единичной окружности (см. рис. 2).
                                                                                 
Примеры. 1) tgt = 1  t = arctg1 + n, nZ  t =  n, n  Z . Ответ: { + n | nZ}
                                                            4                      4
2) tgx = –3,6  t = arctg(–3,6) + n, nZ  t = –arctg3,6 + n, nZ.
Ответ: {–arctg3,6 + n | nZ}
                                                                                          5
3) ctgy = – 3  y = arcctg(– 3 ) + n, nZ   –arcctg 3 + n, nZ  y =                       + n, nZ.
                                                                                           6
          5
Ответ: {      + n | nZ}
           6
                                                                                              3
      Найдите другой способ решения этого уравнения [ctgy = – 3  tgy = –                        y=–
                                                                                             3
        3                        
arctg      + n, nZ  y = – + n, nZ] Почему получились разные ответы? [Ответ – один
       3                         6
и тот же, но записан разными способами!]
      При различных способах решения тригонометрических уравнений часто получаются
ответы, записанные по разному, причем не всегда это видно сразу!
3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с устной проверкой и проверкой на доске):
Решите уравнения:
              m2  1              m2  1                m2  1
1) а) cost =         ; б) tgt = –        ; в) сtgt = –         , где m > 0.
               2m                  2m                     2m
                                                                             m2  1
[а) при m  1 решений нет; при m = 1 {2n | nZ}; б) –arctg                           + n, nZ; в)  –
                                                                               2m
       m2  1
arcсtg         + n, nZ]
         2m



                                                   14
                                                    n                      n                         k
2) В.: стр. 294, №655 (2; 4; 14) [2)                    , nZ; 4)               , nZ либо 
                                                                                          , kZ (в    
                                            24       3
                                                    18 12                       36 12
                                            1             n
зависимости от способа решения); 14) (–1)n arcsin0,4 +        , nZ]
                                            3              3
Домашнее задание: В.: стр. 286 – 290, пп. 2 – 3; №641; №643; №645; №646; №648; №650
                                                                         2                   2 ab
                  (1 – 3); №652. 1) Решите уравнения: а) cost =             ; б) cosx =          ,
                                                                          5                  ab
                                                                           5          5
                  где а > 0; b > 0. 2) Вычислите: tg 4      ctg 4     tg 4      ctg 4      .
                                                       24          24         24         24

                   Урок 20, 21                                                26.09.
               Основные методы решения тригонометрических уравнений.
1. Проверка д/з: вопросы?
2. Устно: Существуют ли числа (обоснования!): а) arcsin(  2 ); б) p | arcsinp =  2 ; в)
arccos; г) p | arccosp = ; д) arctg100; е) p | arctgp = 100; ж) arcctg 2 2 ; з) p | arcctgp =
2 2 ? [а) нет; б) да; в) нет; г) да; д) да; е) нет; ж) да; з) да]
3. Новый материал. Рассмотрим основной метод решения тригонометрических
уравнений. Это – способ замены переменных (подстановки). Он применяется для
уравнений вида f(g(t) = m, где хотя бы одна из функций – тригонометрическая.
                                                              3                                     
Примеры. 1) 2cos(3t + ) = 3 ; x = 3t + ; cosx =                    x =  + 2n, nZ; t =            –
                          6                     6              2           6                       18   18
   2n                                                                      2n              2k
+       , nZ. Ответ можно записать и по другому. Ответ: {–              +         | nZ}  {     | kZ}.
     3                                                                 9       3               3
       В конце прошлого урока мы решали более простые уравнения такого же вида, где
замена переменных была «неявной»!
2) 2sin3x + 3sin2x = 2sinx; sinx = y; 2y3 + 3y2 = 2y  y(2y2 + 3y – 2) = 0  y = 0 или y = 0,5
                                           
или y = –2; x = k, kZ или x = (–1)n + n, nZ.
                                           6
                                                                                 
3) |sinxcos3x + cosxsin3x| = 1  |sin4x| = 1; t = 4x; |sint| = 1  t =            + n, nZ (единичная
                                                                                 2
                      n
окружность!); x =           , nZ.
                     8 4
       Обратите внимание, что разбивать уравнение с модулем на совокупность двух
уравнений нерационально!
4. Письменно (самостоятельно в тетрадях с устной проверкой и проверкой на доске):
                                  n                  1          k
1) В.: стр. 294, №656 (17) [  , nZ или  arctg 4                  , kZ]
                                16 4                   4           4
                            5 10n
sin0,3xcos0,3x = –0,5 [              , nZ]
                             6      3
                                         n                           2    
2) В.: стр. 294, №655 (8; 15) [8)            , nZ;15) 3arccos –              + 6n, nZ]
                                       12 3                            9     2
 1            3           3            2      2 k 2
   sin 2x      cos 2x        [(–1)k       +       +         , kZ]
 2           2           2             6        6        2
                                                     30
3) В.: стр. 294, №655 (9; 10; 13; 19) [9)                   , nZ; можно решать также с помощью
                                                  (6n  1)
                                                                                          2
формулы понижения степени! 10) 10 + 20 + 60n, nZ; 13) ;                               2n , nN]
                                                                                           3
cos (  x ) + cos (  x ) = 2 [n , nZ ]
   4             2              2     +



                                                          15
Домашнее задание: В.: стр. 291 –294, п. 4 (примеры 1, 2, 6 – 8); №655 (5; 6; 7; 11; 16; 18);
                  №656 (16); решите уравнение x2 – 2xcos2x + 1 = 0.

                    Урок 22                                           30.09.
              Основные методы решения тригонометрических уравнений.
                                 Самостоятельная работа №2.
1. Проверка д/з: вопросы?
      Рассмотрим решение наиболее «неприятного» класса уравнений.
2. Письменно (на доске и в тетрадях):
а) sin(cos0,1x) = 0,5; б) tg(sin(2x)) = –2; в) sin(cos2x) = 1
                                                              5
      [а) cos0,1x =          2n , nZ или cos0,1x =              2m , mZ; отбор!                                         x     =
                          6                                     6
                                                                                                           
 10 arccos        20k , kZ; б) sin(2x) = –arctg2 + n, nZ;                arctg 2                        1 (график или
              6                                                          2                                   3
                                               1                         
единичная окружность); ; в) cos2x =              2n , nZ; отбор! x =   k , kZ]
                                               2                         6
                                                                                                                                   2
Домашнее задание: В.: №655 (12; 17); №656 (18); решите уравнения: 1) |cos10 x | =                                                    ;
                                                                                                                                  2
                                                                  3
                          2) tg(sin5t) = –1; 3) cos(     siny) =    ; доп. к с/р.
                                                       3          2

3. Самостоятельная работа №2 (на листочках; 20 минут).
                                                 Ответы.
                        I вариант.                                                          II вариант.
       2                                                          
№1.       .                                                  №1.     .
        3                                                          2
                            1                                                                         n                   1
                                                             №2. а)   1
                                                                             n 1
№2. а) 2n, nZ; б)           2n , nZ;                                                                 , nZ; б) n      , nZ;
                            3                                                           6       6       2                    2
                                                            в)  n , nZ+.
в)         n , nZ+.
       2
№3. При а[cos1; 1] x = (–1)karcsin(arccosa) №3. При а[–sin1; sin1] x =arcсos(arcsina) +
+ n, nZ; при остальных а – решений нет. 2n, nZ; при остальных а – решений нет.

                     Урок 23, 24                              1.10.
                   Частные методы решения тригонометрических уравнений.
1. Разбор с/р.
2. Проверка д/з: вопросы?
3. Устно: 1) Решите в целых числах уравнение: 4n = 2k + 1 [];
2) При каких целых m уравнение x2 – x + m = 0 имеет корни? [kZ–];
                             x 2  5x  6
3) Решите уравнения: а)                    0 ; б)  x 2  4 x  1  0 [а) 6; б) –1; 2].
                                 x 1
4. Новый материал. Ситуации, аналогичные заданию 3), часто складываются и при
решении тригонометрических уравнений. Рассмотрим примеры.
                                      sin x  1,
                                 
                                                                  
1) (1 – sinx)(tg2x – 3) = 0  x   n , n  Z  x    k , k  Z (единичная окружность!).
                                 2                               3
                                
                                      tgx  3



                                                        16
     sin 4x          sin 4x  0,            k
                                            x  , k  Z                   n                            
2)          0                                4                 x              , n Z   или   x        k , k  Z
      sin x           sin x  0             x  n , n  Z
                                            
                                                                          4       2                       2
(единичная окружность!).
                                                                                      5n
                                                           sin 0,8x  0,      x          , n Z
                                   sin 0,8x                                            4
3) tg0,1x = tg0,9x                                 0  cos 0,1x  0,  x  5  10k , k  Z ; отбор корней:
                              cos 0,1x  cos 0,9 x         cos 0,9 x  0      5 10l
                                                                             x              , l Z
                                                                                   9       9
 5n                                    5n 5 10l                8l  4
       5  10k  n  8k  4 ;                         n             n  8k  4 .
   4                                     4      9      9             9
            5т                                 
Ответ:            | n  Z и n  8k  4, k  Z  .
            4                                   
5. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске): Решите уравнения:
                                                                  
1) cos6xctgx = ctgx [   n | n  Z     k | k  Z  (единичная окружность)];
                             2                   3                  
     1  cos 3x                             
2)                0 [ (   2 k | k  Z  (единичная окружность)];
       sin 2 x           3                   
                                  1
3) cosxcos2xcos4x =                  [Проверить, что числа вида n | nZ не являются корнями
                                  8
данного уравнения, затем, умножить и разделить левую часть на sinx!
 sin 3,5x  0 или cos 4,5x  0,  2k                                    (2n  1)                             
                                            k  Z , k  7m, m  Z                | n  Z , n  9l  4, l  Z  ]
              sin x  0              7                                      9                                 
4) В.: стр. 294, №656 (12; 7; 6)
                 n                      k                                               5x          x 
[12)                        n  Z                  k Z ;          7)          2 sin   cos    0 ;
                      6 3                       4 2                                         12 4         12 4 
 3 12k                                                       n
 
5     5
                                  
          k  Z}  3  12n n  Z  ; 6)
                                   
                                             cos 2 x
                                          cos5x  sin 7 x
                                                          0;  
                                                              4 2
                                                                         
                                                                     n Z ]
                                                                         
Домашнее задание: В.: №656 (1 – 5; 8; 11; 14); решите уравнение: sin x  2x    sin x .
                    Повторите формулы понижения степени.

                  Урок 25, 26                                           3.10.
               Частные методы решения тригонометрических уравнений.
                                                                          1
1. Проверка д/з: вопросы? Ответ в продиктованном уравнении? [                 k | k  N  ]
                                                                        2 
                       a
2. Устно: 1) Найдите , если a2 – 4ab + 3b2 = 0; как называются такие уравнения?
                       b
[Если b  0, то 1 или 3; однородные];
                                        2
2) Понизьте степень выражения: 10sin 5x [5(1 – cos10x)];
3) Выразите cos6t – sin6t через cos2t и sin2t [cos2t(1 – 0,25sin2t)].
3. Новый материал. Рассмотрим примеры тригонометрических уравнений, которые
сводятся к квадратным уравнениям с помощью тригонометрических преобразований.
1) 4sinx = 4sin2x + 3cos2x  4sinx = 4sin2x + 3(1 – sin2x); sinx = y; y2 – 4y + 3 = 0  y = 1 или
             
                  2n, n  Z . Почему выражали cos x, а не sin x?
                                                   2           2
y = 3; x =
         2
2) cos2x – 3sinxcosx = – 1  sin2x – 3sinxcosx + 2cos2x = 0; это однородное
тригонометрическое уравнение! cosx  0, так как если cosx = 0, то и sinx = 0, что

                                                         17
                                                                                                
одновременно невозможно; tg2x – 3tgx + 2 = 0  tgx = 1 или tgx = 2  x =                     n, n  Z или
                                                                                         4
x = arctg2  k , k  Z . Можно ли было делить все члены уравнения на sin2x? [Да, и
получить квадратное уравнение относительно ctgx]
4. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):
Решите уравнения:
                                                                    
1) 3 – 3sin2x – 3cosx = 0 [cosx = 0 или cosx = 1;   n | n  Z  2k | k  Z  ];
                                                       2             
                                                                                       
2) В.: стр. 297, №658 (3) и найдите корни этого уравнения, лежащие на  ;  
                                                                                      2 
                                                                                                     
[y = sinx; 4y3 – 4y2 – y + 1 = 0; y = 1 или y = 0,5;   2n | n  Z     k | k  Z  ;
                                                                    2                6                 
                                                                                              5 
показать два способа: единичная окружность или двойные неравенства;  ; ; ];
                                                                                              6 6 2
                                              n                 1 5              
3) tgx – tg   x  1 [tg x – tgx – 1 = 0 и x 
                          2
                                                    , n  Z ; arctg       k | k  Z  ];
            2                                   2                   2               
                                                                                                        
4)   В.:    стр.    297,    №657      (2;   7;    9;   10)    [2)   два    способа;         n | n  Z  ];     7)
                                                                                           4             
  n           1       1 k           
      | n  Z    arctg      | k  Z  ; 9) Можно ли разделить данное уравнение
 20 5             5     7 5            
                                    
почленно на cos4x?   n, n  Z  arctg 3  k | k  Z  arctg 7  l | l  Z  ; 10) Понижение
                        2            
                   4          
степени!  arctg  n | n  Z  ; при сведении к однородному уравнению второй степени:
                   3          
2arctg2  2k | k Z   2arctg0,5  2n | n Z ];
              7                            3   n            
5) sin 6 x  cos 6 x 
                [Сумма кубов! |sin2x| =      ;      | n  Z  ].
             16                           2  6 2              
    Следующий урок – с/р!
Домашнее задание: В.: п. 5 (стр. 295 – 297); №656 (19; 13; 15); №657 (1; 5; 6; 11); №658
                  (2; 4; 6). Повторите формулы суммы, разности и произведения
                  тригонометрических функций.

                      Урок 27, 28                                                       7.10.
                  Частные методы решения тригонометрических уравнений.
                                       Самостоятельная работа №3.
1. Проверка д/з: вопросы?
       Рассмотрим уравнения, в которых формулы суммы и разности тригонометрических
функций позволяют разложить левую часть на множители.
2. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):
В.: стр. 298, №659 (5; 11; 8; 7) [5) sin5x = 0 или cos4x = –0,5;
 k             n               
 | k  Z              | n  Z  ; 11) 2sin1,5xsin0,5x = 2sin1,5xcos1,5x  sin1,5x = 0 или
5              6 2                
                             x                     2k                            3               
sin  x   = 0 или cos    = 0;                            | k  Z     n | n  Z     2 m | m  Z  ; 8)
         4                     2 4                   3             4                2                 
                                                                2
                                  6 sin 3x  cos x   cos2 x  
    sin 3x       sin 3x                                         3         k                   6              
                       0                                          0 ;  | k  Z   arccos       n | n  Z  ;
 cos x  cos 2x cos 3x                 cos x  cos 2 x  cos 3x            3                    3               
                                                         18
                                                                                     2n
7) 2 cos
        3x
         2
            a sin 0,5x  b cos 0,5x  0 ; при a = b = 0 xR; при a = 0, b  0  3  3 | n  Z  ; при
                                                                                 
                                                                                 
                                                                                                        
                                                                                                        
                2n                       b             
a  0, b  0            | n  Z   2arctg  2m | m  Z  ]
              3      3                     a             
3. Новый материал. Еще один вид уравнений, которые встречаются достаточно часто:
asinx + bcosx = c, где {a; b; c}R, причем a2 + b2  0. При с = 0 такое уравнение является
однородным (I степени). А как его решать, если с  0? Наиболее естественный способ –
использовать формулу сложения гармонических колебаний (формулу дополнительного
аргумента), то есть, привести уравнение к виду:                            a 2  b 2  sin x     c , где
              a
 cos              ,
           a  b2
              2
                                                                                                  c
               b      . Полученное уравнение равносильно уравнению sin x                        .
  sin                                                                                       a  b2
                                                                                                2

 
           a 2  b2
                                                     c
Оно имеет решения т. и т. т., когда                          1 . Существует и другие способы решения
                                                  a 2  b2
таких уравнений, один из которых вы прочитаете дома в учебнике, а другой попробуете
придумать сами.
4. Письменно (на доске и в тетрадях):
В.: стр. 299, №661 (2; 5)
                    7 85                                                       
[2) (1) k  arcsin       arctg 4,5  k | k  Z  ; 5) ( 1) k    k | k  Z  ]
                      85                                         4 12            
Домашнее задание: В.: п. 6 (стр. 298 – 299) и придумать еще один способ решения;
                 №656 (20); №659 (3; 6; 10; 4); №661 (3; 4); решите уравнения: а) 1 +
                                                   
                 sin2x = 2cosx + sinx; б) 2cos  x   = 1 – 2 3 sinx. Доп. к с/р.
                                                   3

5. Самостоятельная работа №3 (на листочках; 25 минут).
                                                 Ответы.
                       I вариант.                                         II вариант.
            2                                                 n 1                                
№1.               2n | n  Z   2m | m  Z  = №1.   1         n | n  Z     2m | m  Z 
            3                                                       6               2                
  2k                  2                                2k               5       
      | k  Z  ; 0;       .                        =         | k Z  ;      ;  ; .
  3                     3                              2     3               6      6 2
                                                                            
№2. а)   n | n  Z    arctg 2  m | m  Z ; №2. а)   n | n  Z   arctg 2  m | m  Z ;
         4                                                    4               
                                                                     
б)   k | k  Z  ; в) .                          б)   k | k  Z  ; в) .
     6                                                  3              

                Урок 29, 30                                      8.10.
            Решение тригонометрических уравнений, содержащих модули.
1. Разбор с/р.
2. Проверка д/з: вопросы? Какой еще способ возможен при решении уравнений вида
asinx + bcosx = c? [Выразить через синус и косинус половинного аргумента:
2аsin0,5xcos0,5x + bcos20,5x – bsin20,5x = ccos20,5x + csin20,5x; уравнение сведется к
однородному и, в отличие от универсальной подстановки, не потребуется делать
проверки!]
                                                     19
      Решим несколько тригонометрических уравнений, применяя стандартные приемы
для их преобразований.
3 Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):
Решите уравнения:
1) cos2x + cos22x + cos23x = 1 и найдите все решения, принадлежащие [3; 5] [Понижение
                                                k                  m            7 5 3
степени; cosxcos2xcos3x = 0;   n | n  Z             | k  Z         | m Z  ; ; ;
                                 2             4 2                  6     3          6 4 2
(единичная окружность)];
2) cos5x + cos3x = sin8x [Формулы сложения и двойного аргумента; cos4xsin(2,5x –
                       n             2k               2m              
   )cos(1,5x + ) = 0;       | n  Z          | k  Z            | m  Z  ];
 4             4        8 4             10   5               6      3         
3) sin6x + cos4x = 1 – 6sinxcosx [Формулы синуса тройного и двойного аргументов; sin2x =
                                                 m             
0 или sin2x = 1 или sin2x = –1,5;   n | n  Z        | m  Z  ].
                                   4              2              
4 Устно: используя единичную окружность (на доске), решите уравнения:
             1
а) cos x      ; б) cos|x| = 1; в) sin2x = 0,5; г) sin|x| = –1.
             2
                                               k                 3             
[а)   k | k  Z  ; б)  2n | n Z ; в)        | k  Z  ; г)    2n | n  Z  ].
     3                                        4 2                   2              
5. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):
1) Найдите решения уравнения 3sin2x + 3cosx + cos2x = 1, удовлетворяющие неравенству
                       cos x   0,5  2             
sinx > 0 [cosx = 2 или              ;   2n | n  Z  (единичная окружность)];
                        sin x  0      3             
Решите уравнения:
     2 cos y  3                    
2)                0 [   n | n  Z  (единичная окружность)];
                    6             
     sin  y  
             6
                                cos x  0,  2                 
3) |cosx|cosx + sin2x = 0,5 [               ;   2n | n  Z  (единичная окружность)];
                               cos 2x   0,5  3               

                                                             1                          1             
4) 6sin2x = 8|sinx| – 2 [|sinx| = 1 или |sinx| =              ;   n | n  Z    arcsin  k | k  Z 
                                                             3 2                         3             
(единичная окружность)];
                                             
5) |sinx| = |cosx| [|tgx| = 1;   n | n  Z  (график)];
                                4             
                                                 1              n         
6) |sint| + |cost| = 1,4 [Возведение в квадрат!  arcsin 0,96     | n  Z  ];
                                                 2               2         
7) |sint – cost| = 1 – sin2t [|sint – cost| = |sint – cost|2; |sint – cost| = y; y = 0 или y = 1;
               m         
  n | n  Z     | m  Z  ].
4               2          
Домашнее задание: В.: п. 7 (стр. 299 – 300); №659 (12); №662 (2); стр. 324, K_12, №3.
                 Решите уравнения: 1) 3sinx = 2cos2x, если tgx < 0; 2) |sinx|cosx = 0,5;



                                                      20
                                                                          2 tg | x|    1
                       3) 4cos2x = 1 – 3|cosx|; 4) |tgx| = |sinx|; 5)                 ; 6) sin2x –
                                                                        1  tg | x|
                                                                                2
                                                                                       2
                       cos23x = 2|sin3x| + |sinx| – 2,25.

                      Урок 31, 32                                              10.10.
      Применение свойств тригонометрических функций при решении уравнений.
                Обобщающий урок по решению тригонометрических уравнений.
1. Проверка д/з: вопросы?
       Рассмотрим тригонометрические уравнения, для решения которых, помимо формул
и стандартных приемов, применяются свойства тригонометрических функций.
2. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):
Решите уравнения:
                               n
1) tgx + ctgx = 3 [x            , nZ |tgx + ctgx|  2; ];
                                2
                                    cos x  1,
2) a) cosx + cos3x = 2 [                       ; два стандартных способа находить пересечение
                                   cos 3x  1
множеств; {2n | nZ}];
б) Найдите аR | уравнение cosx + cosax = 2 имеет один корень.
       [aR x = 0 – корень уравнения; если а  0, то n = ka, где {n, k}Z. aQ];
                                                       2n
                                  sin 3x  1,       x       , n Z
3) sin3x + cos2,4x = 2 [                           6 5m3           ; пересечение множеств можно
                                 cos 2,4 x  1       x     , m Z
                                                           6
находить либо решая уравнение, либо используя основной период функции f(x) = sin3x +
                     1 5                4     5      20   5      10  5 10л           
cos2,4x: НОК ( ;           ) = НОК ( ;           )=     = ;T=        ;         | k  Z  ];
                     3 12              12 12        12    3        3 6       3          
4) sin2x(3sin2x – cos0,5x) = cos2x(2 + sin0,5x – 3cos2x) [2cos2x + sin2,5x = 3;
      x  n, n  Z
 
      (4m  1)         ; { + 4k | kZ}];
 x 
          5
                  , m Z
5) cos(x) + x–1 = 0, x[0; 1] [Функция f(x) = cos(x) убывает на данном промежутке, а
                       1
функция g(x) =  – возрастает; {1}];
                       x
                                                                                                12
6) 12sinx + 5cosx – 15 = 2x2 – 4x [13sin(x + t) = 2(x – 1)2 + 13, где t = arccos ;
                                                                                                13
            x  1,
 
                          ; ];
 x   t  2  2n, n  Z
 
7) x2 – 2xcos(2x) + 1 = 0 [D’ = cos2(2x) – 1  0  |cos(2x)| = 1  x = 0,5n, nZ; {1}];
8) Найдите аR | уравнение 2x2 – btg(cosx) + b2 = 0 имеет один корень.
             2                      2
[f(x) = 2x – btg(cosx) + b – четная, поэтому, если корень единственный, то x = 0; 0
является корнем, если b = 0 или b = tg1; при этих b 0 – единственный корень (оценка,
использующая возрастание тангенса!)].
       В заключение, рассмотрим уравнения, для решения которых применяются
искусственные приемы, характерные для тригонометрии.
9) В.: стр. 300, №662 (3). Почему не хочется использовать формулы тройного аргумента?
                                                           3                              3
[(1 – sin2x)cosxsin3x + (1 – cos2x)sinxcos3x = ; sin4x – sinxcosxcos2x = ; sin4x = 1;
                                                           4                              4


                                                21
  n         
     | n  Z  ];
8 4           
10) cos2x + cos4x + cos6x + cos8x = –0,5. Почему бессмысленно группировать и
складывать косинусы? [а) sinx = 0  x = n, nZ – не является решением данного
                                                                     sin 9x  0,
уравнения; б) sinx  0, тогда, умножив и разделив на sinx, получим:              ;
                                                                      sin x  0
 n                        
 | n  Z , n  9 k , k  Z  ].
9                          
     Следующий урок – к/р!
Домашнее задание: В.: стр. 324, K_12 №4, №6. Решите уравнения: 1) cos5x + sin7,5x = –
                                                        4 3
                        2; 2) |tg2x + ctg2x| =              ; 3) 2cos8x + cos2x + 3 sin2x = 0; 4)
                                                         3
                           2  sin t  1                                                        
                                          0 ; 5) 5sin x – 3cos x = |sin2x|; 6) sinx + cos   2 x +
                                                      2         2
                                                                                        2     
                          sin t  
                               4
                                     
                        tg3xsin   3x = 0; 7)      3 tg 2 1,5y  sin y  2  cos y , где y[–3; 2].
                                 2    

                   Урок 33, 34                            14.10.
                              Контрольная работа №2.
                    Раздать вопросы к зачету по тригонометрии.
1. Контрольная работа №2 (90 минут).
                                          Ответы и указания.
                I вариант.                                                  II вариант.
                3                                                       4             
№1. а)   arccos  2n | n  Z  ;                       №1. а)   arccos  2n | n  Z  ;
        2        5                                              2         5             
            3                                                       4
б)   arccos .                                            б)  arccos .
    2        5                                               2        5
№2.                                                        №2.
  5 2т          1        1 5 2k               т    1 т                  л 1        1 1 k            
     | n  Z    arccos     | k  Z    1 30  5  5 | n  Z    1 5 arcsin 14  5  5 | k  Z 
 9 3  3           3        6 3  3                                                                         


      2k            2n                                                2n         
№3.        | k  Z       | n  Z  m | m  Z . №3. 2k | k  Z       | n  Z  m | m  Z  .
      5              3                                                  3           
                              2n  1                                              2n  1        
№4. Решений нет. №5.                  | n  Z .      №4. Решений нет. №5.                | n Z .
                              3                                                   5             
                                                                                                 
№6.   n | n  Z  . №7.   2 n | n  Z  . №6.   n | n  Z  . №7.   1 т  n | n  Z 
      3                          3                       4                                6          
          л 1           17  1 k                              л 1 1        17  1 k            
№8.   1  arcsin                 | k  Z.        №8.   1  arcsin                  | k Z .
              2          4        2                                 3          4       3          
№9.   . x =  является корнем уравнения                           
                                                       №9.   . x =       является корнем уравнения
                    3                                   2         2
(проверка); на  ;          нет других решений,
                  2 2                               (проверка); на [0; ] нет других решений,
так как функция в левой части уравнения так как функция в левой части уравнения
убывает, а функция в правой части убывает, а функция в правой части
                                                       уравнения – возрастает; x < 0 – не
                                                      22
                                                                     
уравнения – возрастает; x <                                        <   < –1; x >  –
                                                – не решения, так как x –
                                          2                      2     2
                                     3                               
решения, так как x –  <  < –1; x >     – не решения, так как x –   >    > 1.
                            2          2                           2    2
                            
не решения, так как x –  >   > 1.
                            2
№10. a = 0 или a = 2sin1. Четность функции №10. b = ctg1. Четность функции в левой
в левой части уравнения и проверка части              уравнения        и       проверка
достаточности условия.                     достаточности условия.

                  Урок 35, 36                              15.10.
                    Доказательство тригонометрических неравенств.
1. Разбор к/р.
      В 9 классе мы уже рассматривали некоторые тригонометрические неравенства.
Основные методы их доказательства: использование единичной окружности или
монотонности тригонометрических функций на отдельных промежутках; применение
тождественных тригонометрических преобразований и стандартных алгебраических
неравенств.
2. Устно: Докажите неравенства: 1) xR sinxcosx  0,5 [формула двойного аргумента];
         n
2) x      , nZ |tgx + ctgx|  2 [сумма взаимно обратных чисел];
          2
3) tR |sint| + |cost|  1 [единичная окружность];
4) xR |sinx + cosx|  2 [формула дополнительного аргумента];
5) tR cos(sint) > 0 [|sint|  1; знак косинуса (единичная окружность)].
3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; логика!):
1) В.: стр. 302, №663 (15; 16) [15) сумма взаимно обратных; 16) возведение в квадрат].
Докажите, что:
                              2
2) R 1 – 4sinsin( +        )  0 [формулы умножения].
                               3
           1 1 1 1
3) R         cos   1. Усильте неравенство.
           2 2 2 2
        
        sin 4 , если     4т;   4т
                                                           2
[... =                                       , где mZ;     (единичная окружность)].
        cos  , если    4т; 3  4т               2
       
            4
      3                             1          1
4)      < sin20sin50sin70 <       [... = sin80 и оценка (единичная окружность)].
     8                              4          4
5) xR sin13x + cos15x  1. При каких x выполняется равенство?
                                                                       
[sin13x  sin2x; cos15x  cos2x; при x  2n | n  Z    2k | k  Z  ].
                                                           2            
6) yR (1 + siny + cosy)(1 – siny + cosy)(1 + siny – cosy)(siny + cosy – 1)  1 [Перемножить
скобки: первую и четвертую; вторую и третью; ... = sin22y].
Домашнее задание: В.: стр. 301 – 302, №663 (1; 2; 4; 5). Докажите неравенства: 1) tg1 +
                                                                                              3
                         tg2 + ... + tg89 > 89; 2) |sin(cosx)| <                              ; 3)
                                                                                             2
                                                         2
                           0,5  0,5 0,5  0,5 cos 2     . Решите уравнения: а) cosx + 6 = x2 + x
                                                        2
                                          
                       + 2; б) |tgx| =        – 1.
                                          2x
                                                      23
                  Урок 37, 38                                          17.10.
              Доказательство и решение тригонометрических неравенств.
                                                 
1. Проверка д/з: вопросы? Уравнения: [а) ; б) ].
                                                  4
      Рассмотрим доказательство неравенств, связанное с применением формулы
дополнительного аргумента, и «сопутствующие» задания.
2. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; записи!):
1) В.: стр. 302, №663 (10) [левая часть: 13 cos x    < 4;   arctg1,5 ].
                                                                                    21
2) В.: стр. 302, №665 [равносильность! | 7 sin(x + )|           7 ;   arcsin       ]
                                                                                   14
                                                                                                      
3) Найдите область значений функции: а) y = 5cos2x – 12sinxcosx; б) f(x) = 2sin(                        +
                                                                                                      12
               2                                                            2            
4x)cos(4x –      ) [а) y = 6,5cos(2x + t) + 2,5; E(y) = [–4; 9]; б) f(x) =    – cos  8x   ; E(f) =
                3                                                           2             12 
   2         2
[    – 1;      + 1]; о непрерывности!].
  2         2
4) Найдите экстремальные значения выражения: cos2t – 8cost [... = 2(cost – 2)2 – 9 или
замена переменной и исследование квадратичной функции; –7 и 9].
3. Новый материал. Рассмотрим решение простейших тригонометрических неравенств,
то есть неравенств вида f(t) * m, где f(t) – одна из тригонометрических функций; mR, а *
– один из знаков строгого или нестрогого неравенства. Такие неравенства нам знакомы, в
частности, мы сталкивались с ними, изучая свойства тригонометрических функций (m =
0). Для решения неравенств можно использовать либо графики функций, либо единичную
окружность. Рассмотрим примеры (1) и 2) – единичная окружность, затем – график; 3) –
график; 4) – единичная окружность).
                                 7                    2                   7      
1) sint  –0,5. Ответ:    2n;     2n . 2) cost <    . Ответ:    2n;     2n .
                        n Z  6    6                   2           n Z
                                                                          4     4      
          1                        4                                         5
3) tgt  1 . Ответ:     n; arctg  n  . 4) ctgt > – 3 .Ответ:   n;         n  .
                                                                                         
          3         n Z
                          2         3                                 n Z
                                                                                 6      
4. Письменно (самостоятельно в тетрадях с устной проверкой):
                                             3            2                 
Решите неравенства: а) sint <                    [         2n;   2n ]; б) cost              0,1
                                            2       n Z
                                                          3          3        
                                                                       3                
[   arccos 0,1  2n; arccos 0,1  2n ; четность!]; в) tgt >       [     n;  n ]; г) ctgt 
    n Z                                                              3 n Z  6      2    
           
2 [  arctg 2  n;   n ].
      n Z

Домашнее задание: В.: п. 9 (стр. 302 – 305); №666 (6). Решите неравенства: а) sint  –
                  0,9; б) cost > –0,5; в) tgt  1. №663 (8). Докажите неравенства: 1) |1 +
                                                     a 4 1
                  2 3 sincos – 2cos2|                  , где а  0; при каких а и  –
                                                       a2
                                         1 cos2 t       1 sin2 t
                  равенство? 2)                                       0,7 . Найдите области
                                        sin t  cos t cos t  sin t
                                                          1
                  значений функций: а) y                           ; б) f(x) = cos2x – sinx. При
                                                  sin x  cos x
                                                      6        6


                  каких значениях c уравнение (sin0,5x – 3c + 1)(cosx – c) = 0
                  имеет на [–2; 2] нечетное количество корней?
                                                    24
                      Урок 39                                                 21.10.
                            Решение тригонометрических неравенств.
1. Проверка д/з: вопросы? Области значений? [а) [1; 4]; б) [–1; 1,25]].
2. Устно: Решите неравенства (единичная окружность!: 1) cost  2; 2) sint  –1; 3) sint < –
                                               
  2 ; 4) cost > –1 [1) R; 2)   2n | n  Z  ; 3) ; 4)  t  R | t    2n , n Z ].
                                  2             
      Рассмотрим решение более сложных тригонометрических неравенств. Для их
решения используется явная или неявная замена переменных, поэтому несколько
удлиняется запись решения (показать на примере первого задания).
3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с устной проверкой): Решите неравенства:
                1        1            1      1        1     
1) sintcost <    [    arcsin  2n; arcsin  2n ];
                6 n Z  2 2            3      2        3     
                                    2n 11 2n 
2) 3  cos 3x  sin 3x  1 [           ;         ];
                             n Z  6  3 18      3 
                                                   
                          1    2
3) |2cos(x)|  1 [  n  ; n   ];
                    n Z  3    3
     1                           4           5       
4) tg y    3 [     2n; 2 n        2m;     2 m ].
     2   3       n Z
                         3          m Z 3         3       
Домашнее задание: В.: стр. 308, №667 (3; 6; 9; 12; 7). Решите неравенства: 1)
                         3                                                         2
                  tg 2t    1 ; 2) 2 cos 2x  2 sin 2x  3 ; 3) |sin(0,5y – 1)| >    .
                          4                                                        2

                      Урок 40, 41                               22.10.
                             Решение тригонометрических неравенств.
1. Проверка д/з: вопросы?
        Продолжим решение тригонометрических неравенств. Рассмотрим более сложные
неравенства, при решении которых очень важно выбирать рациональные способы,
причем эти способы далеко не всегда совпадают со способами решений
соответствующих тригонометрических уравнений!
2. Письменно (на доске и в тетрадях, затем – самостоятельно в тетрадях с
проверкой на доске):
В.: стр. 308, №667 (2; 4) 2) Можно ли решать это неравенство тем же способом, что и
однородное уравнение? Целесообразно ли разложение на множители? При решении
тригонометрических неравенств там, где это возможно, приводят к одной функции!
                        3          
[ sin  2x    0 ;         n;  n ]
           4       n Z
                           8       8    
4) Целесообразно ли заменять данное неравенство совокупностью двух систем?
                       cos x  0,                                
[Нет, лучше получить:             ;     2n; 2 n   2n;  2 n ] В этом случае, в
                        sin x  0 n  Z 2            n Z   2      
записи ответа можно использовать как разные буквы, так и одинаковые!
      Решите неравенства:
                                             n 1    n 
1) sin4t + cos4tctg2t   [ctg2t  ;   ; arcctg   ].
                                       n Z
                                             2 2      2
                                                                     2        2      
2) cos2y + 5cosy + 3  0 [2cos2y + 5cosy + 2  0; cosy  -0,5;         2n;     2n ].
                                                               n Z   3         3      



                                                25
                                                                        ( y  1)( y  2)
3)         tgx +       2ctgx              3       [tgx = y;                             0;   0   < tgx    1   или tgx       2;
                                                                                y
                                                             
  n; 4  n  arctg 2  m; 2  m ]
  
n Z                     m Z
                                       
                                                                                              2               3
4) 2sin22x + 2cos2x > 3 [Два способа: 8cos4x – 10cos2x + 3 < 0; cos2x = t;                       | cos x|       или
                                                                                             2               2
                                                                                         
2cos22x – cos2x < 0; 0 < cos2x < 0,5;     n;   n    m;  m ]
                                         n Z
                                               4           6         m Z 6        4         
     Тригонометрические неравенства иногда возникают при решении иррационально -
тригонометрических уравнений или каких - то других задач, с чем мы уже встречались.
                                                          g ( x )  0,
Как решить уравнение вида f (x)  g (x) ? [...                           ]
                                                          f (x )  g (x )
                                                                     2


                                                                                       sin x  cos x,
                                   cos 2x  sin 4x  sin x  cos x
                                                                          cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x 
5) Решите уравнение:                                                     [                                         2 ;


               7                3                  
  k | k  Z     2n | n  Z     2m | m  Z    2l | l  Z                           (единичная
4              8                 8                    
окружность!)]
6)    Найдите        область       определения           и        множество            значений            функции
y   7 sin2 x  2 sin x  cos2 x                     [а) 8sin2x – 2sinx – 1  0; –0,25  sinx  0,5; D(y) =
                  1                                     5                    1     
  arcsin 4  2n; 6  2n   6
  
n Z                                             m Z
                                                                  2m;   arcsin  2m ; б) f(t) = –8t + 2t + 1, t[–0,25; 0,5];
                                                                                  4     
                                                                                                         2



        3 2
E(y) =  0;    ]. Следующий урок – с/р!
           4 
Домашнее задание: повторите определение обратной функции, критерий обратимости и
                       свойства взаимно обратных функций (В.: стр. 158 – 160 без
                       непрерывности или тетрадь); В.: №667 (1; 5; 10; 13). Решите
                       неравенства: 1) 3 sint – 2cos2t – 1  0; 2) 2siny(siny – 2 ctgy) < 3;
                            tgx
                       3)          2 ; 4) sin3x > 4sin2x. Решите уравнения: а) sin x  cos x  0 ;
                          1  tgx
                                          б) cos x  sin x  1  2 cos 2 x .

                 Урок 42, 43                                   24.10.
      Решение тригонометрических неравенств. Самостоятельная работа №4.
                         Свойства взаимно обратных функций.
1. Проверка д/з: вопросы?
2. Новый материал. Рассмотрим пример решения                   еще более сложного
тригонометрического неравенства, разобрав несколько способов:
cos3xsinx > 0. На первый взгляд, неравенство не выглядит сложным, но
                        cos 3x  0        cos 3x  0
I способ. ...                      или              ; две единичные окружности;
                         sin x  0         sin x  0
                                          5     
  n; 6  n   2  m;
  
n Z
                         m Z                 6
                                                   m .
                                                      




                                                                              26
                                                                      cos 2 x  0,5
II способ. ...  0,5(sin4x – sin2x) > 0  sin2x(cos2x – 0,5) > 0                   или
                                                                       sin 2 x  0
 cos 2 x  0,5
                ... . В чем преимущество по сравнению с I способом?
  sin 2 x  0
III способ. ...  sin4x – sin2x > 0. Рассмотрим функцию f(x) = sin4x – sin2x, которая
определена на R, нечетна и периодична. Ее основной период: T = 0,52 = . Найдем x |
                                         
f(x) = 0, x[0;      ]. Получим: x{0;     ;   }. Найдем
                   2                     6 2
                                               
промежутки знакопостоянства на  ;  (в
                                              2 2
данном случае – чередование знаков!):
      Ответ в неравенстве получится, если к найденным промежуткам добавить числа,
кратные периоду. Этот способ – метод интервалов в тригонометрии.
      Вы, естественно, можете выбирать тот способ решения, который нравится.
3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске): Решите неравенство:
cos3x  cos2x [совокупность систем или метод интервалов; четность функции!
     2         2         4        6       
 Z  5  2n; 5  2nm Z 5  2m; 5  2m ].
 n                      
                                               
4. Устно (по материалу, повторенному дома, с краткими записями на доске):
1) Сформулируйте Н. и Д. условие обратимости функции f(x) [x1Df, x2Df x1  x2  f(x1)
 f(x2)].
2) Приведите примеры функций: а) обратимой; б) необратимой; и обоснуйте.
3) Сформулируйте определение функции, обратной к функции f [Функция f–1 называется
обратной к функции f, если xDf | f(x) = y верно, что f–1(y) = x].
4) Перечислите свойства взаимно обратных функций [а) xDf f–1(f(x)) = x и yEf f(f–1(y))
= y; б) Df = Ef–1 и Ef = Df–1; в) графики симметричны относительно прямой y = x; г) обратная
к монотонной – монотонная того же вида]
5) Какие из общих свойств функции достаточны для ее обратимости? [Строгая
монотонность]
6) Какие из общих свойств функции противоречат обратимости? [Четность или
периодичность]
7) Являются ли обратимыми тригонометрические функции?
8) Как сделать их обратимыми? [Рассмотреть на каком - нибудь из промежутков
монотонности]
      Этим мы займемся на следующем уроке.
5. Самостоятельная работа №3 (30 минут).
                                                Ответы.
                        I вариант.                                            II вариант.
                                4                                                          3
№1. л. ч.: 2 + 2,5sin(2 + arctg )  4,5.                №1. л. ч.: 1,5 – 2,5sin(2 + arctg )  –1.
                                3                                                          4
              n  n                                               n       n 
№2. а)     ;   ;                                   №2. а)    ;    ;
       n Z
             6 3 18 3                                         n Z  4 2      12 2 
                             7                                                            
б)   2k | k  Z     2n;     2n .            б)      3  2n; 2n   2n;        2n .
    2              n Z  6      6                           
                                                              n Z
                                                                                  n Z       3      
                            2
                                          
                                           2        2

№3. D(y) =      2  2n
                          
                                ;   2n    0;  . E(y) = [0; 1].
                                  2        4 
             n N   


                                                    27
Домашнее задание: В.: п. 10 (стр. 305 – 307); №659 (13); №667 (8); решите уравнение
                  sin x  3 cos x  2  cos 2x  3 sin 2x ; решите неравенства: 1) sin3x >
                                                                                      n
                 sin5x; 2) 4 + sinx + 3 cosx  4cos (x + ); докажите, что x 
                                                              2
                                                                                          ,
                                                                     3                  2
                                  ctgx      1  tgx  ctgx b 4  1
                 nZ и b  0                                     . Доп. к с/р.
                                1  tg 2 x 1  tgx  tg 2 x   4b 2

                  Урок 44                                    28.10.
           Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.
1. Разбор c/р.
2. Проверка д/з: вопросы? Доказательство неравенства? [л. ч.: 0,5|sin2x|  0,5; пр. ч.: 
0,5].                   Решение                   неравенств?                         [1)
                 7        5            3                            3      5      7    
    2n; 
 
n Z               8
                      2n   
                           n Z 8
                                     2n;   2n     2n; 2n    2n;  2n    2n;  2n
                                             8     n Z 8          n Z 8    8     n Z 8    8    
                                             2        7                 
2) [2sin(x + )(sin(x + ) – 0,5)  0;    2n;     2n       2m;   2m ].
           3          3              n Z  3     3       m Z 6         2     
3. Новый материал. Рассмотрим каждую из тригонометрических функций на одном из
промежутков строгой монотонности. Тогда для каждой из них существует обратная
функция. Построим графики функций на выбранных промежутках, затем графики
функций, им обратных, и выпишем названия и свойства полученных функций,
используя введенные ранее определения и свойства взаимно обратных функций:
                
y = sinx, x   ;                      
                           y = cosx, x  0;                      
                                                    y = tgx, x    ; 
                                                                              y = ctgx, x  0;  
               2 2                                              2 2
        график                       график                график                      график
y = arcsinx                y = arccosx              y = arctgx                y = arcctgx
D(y) = [–1; 1]             D(y) = [–1; 1]           D(y) = R                  D(y) = R
                       E(y) = [0; ]                                  E(y) = (0; )
E(y) =  ;                                        E(y) =   ; 
         2 2                                               2 2
возрастающая               убывающая                возрастающая              убывающая
нечетная                   arccos(–x) =  – arccosx нечетная                  arcctg(–x) =  – arcctgx
     Последнее свойство для функций cosx и ctgx позже будет доказано строго!
4. Упражнения (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске или устно):
1) Найдите области определения функций:
              x 3        x3
а) y  arcsin      [  1        1  x[1; 5]]; б) y = arccos(4x ) [D(y) = [–0,5; 0,5]]; в) y =
                                                                      2
                2           2
arctg( x ) [D(y) = [0; +)]; г) y = arcctg(x3 – x) [D(y) = R]; д) y = arcsin(cosx) [D(y) = R].
                                                                                     
2) Для пунктов в) и д) укажите множество значений функции [в) [0; ); д)  ;  ].
                                                                             2       2 2
3) Постройте график функции y = 2arcsin(0,5x –2) – 1.
Домашнее задание: В.: п. 1 (стр. 310 – 312); №670 (1; 2); 1) постройте графики
                        уравнений: а) |y| = arcsinx; б) y = arccos|x|; в) |y| = |arctgx|; г) |y| =
                                                                             
                        arcctg|x|; 2) решите неравенства: а) 2sin2(x + ) – 2  sinx – cosx; б)
                                                                              4
                             2
                         cos 2x
                                   3tgx ; в) 4sinxsin2xsin3x > sin4x.
                          cos 2 x

                     Урок 45, 46                              29.10.
                    Тождества для обратных тригонометрических функций.
                                                    28
1.   Проверка д/з: вопросы по графикам? Ответы в неравенствах? [а)
    3                                            7                                    
Z  4  2n; 4  2nm Z 2  2m;   2m ; б) nZ  12  n;  2  n nZ  2  n; 12  n ]
n                   
                                                  
                                                                                                
2. Устно: 1) Для каких x справедливы равенства и почему: а)  x   x ; б) x  x ?
                                                                            n
                                                                                 n
                                                                                           n       n


[При четных n для x  0; при нечетных n – для любых; а) x D x  ; б) x  E x  ].
                                                                             n                 n


2) Могут ли выражения в левой части принимать другие значения?
[а) нет; б) да, , если n – четное, x < 0, то n x n   x ].
3) Какое свойство взаимно обратных функций отражают рассмотренные равенства?
[xDf f–1(f(x)) = x и yEf f(f–1(y)) = y]
3. Новый материал. Рассмотрим применение этого свойства в тригонометрии.
Вычислите и обоснуйте:
                    2     2                 1 1
1) а) sin(arcsin      )[    ]; б) sin(arcsin ) [ ]; в) sin(arcsin1,5) [не существует].
                  2      2                  3 3
Вывод: x[–1; 1] sin(arcsinx) = x.
                    1
2) а) cos(arccos    ) [–0,5]; б) cos(arccos0,3) [0,3]; в) cos(arccos(–2)) [не существует].
                    2
Вывод: x[–1; 1] cos(arccosx) = x.
3) а) tg(arctg 3 ) [ 3 ]; б) tg(arctg(–7) [–7].
Вывод: xR tg(arctgx) = x.
4) а) ctg(arcctg(–1)) [–1]; б) ctg(arcctg() []. Вывод: xR ctg(arcctgx) = x.
4. Письменно (на доске и в тетрадях, затем – самостоятельно с проверкой на доске):
                                                                                                  
Докажите тождества: 1) x[–1; 1] arcsinx + arccosx =                       [...  arcsinx =          – arccosx;
                                                                        2                          2
                                                                                                      
sin(arcsinx) = x и sin( – arccosx) = cos(arccosx) = x, причем,                         arcsinx          и0
                             2                                                       2                   2
                                                                             
arccosx    –  –arccosx  0                            – arccosx         ]. Это тождество полезно
                                                   2      2                    2
помнить!
2) xR arcctg(–x) =  – arcctgx [ctg(arcctg(–x)) = –x и ctg( – arcctgx) = ctg(– arcctgx) = –
ctg(arcctgx) = –x, причем, 0  arcctg(–x)   и 0  arcctgx    –  –arcctgx  0  0   –
arcctgx  ].
5. Новый материал. Вычислите и обоснуйте:
                                             3                    3
1) а) arcsin(sin    ) [  ]; б) arcsin(sin   ) [  , так как             E(arcsin x ) ]; в) arcsin(sin1,5)
                  2         2                  2         2             2
                       
[1,5]. Вывод: x   ;  arcsin(sinx) = x.
                      2 2
                  5 5                      7  5                     7
2) а) arccos(cos ) [        ]; б) arccos(cos       ) [     , так как        E(arccos x ) ]; в) arccos(cos3)
                   6     6                   6           6               6
                         
[3]. Вывод: x  0;  arccos(cosx) = x.
                                   5                5
3) а) arctg( tg    ]; б) arctg ( tg    ) [ , так как 
                       ) [                                    E( arctgx ) ]; в) arctg(tg 2 ) [ 2 ].
              6  6                   6     6             6
              
Вывод: x    ;  arctg(tgx) = x.
                      2 2




                                                      29
                                               7       
4) а) arcctg( ctg       ) [  ]; б) arcctg ( ctg      ) [ , так
                    4    4                       4        4
        7                                          2        2
как          E( arcctgx ) ]; в) arcctg(ctg             ) [      ].
         4                                          2         2
Вывод: x  0;   arcctg(ctgx) = x.
     Обратите внимание, что для других x                               Рис. 1а              Рис. 1б
выражения в левой части имеют смысл, но не равны x!
4. Письменно (самостоятельно в тетрадях с
проверкой на доске):
                                                          
1)   Вычислите:         а)      arcsin(sin200)       [  ];     б)
                                                          9
            19  2                           25  13
arcctg(ctg        )[      ]; в) arccos(sin          [    ]; г)
               7       7                         9  18                     Рис. 1в        Рис. 1г
arccos(cos(–4)) [2 – 4]; д) arcsin(cos5) [5 – 1,5].
2) Постройте графики функций: а) y = arcsin(sinx); б) y = arccos(cosx); в) y = arctg(tgx); г) y =
arcctg(ctgx) [См. рис. 1 а – г].
Домашнее задание: тождества – знать; №640; №647; №675 (1) – знать; докажите, что
                           x[–1; 1] arccos(–x) =  – arccosx; постройте графики функций (по
                           вариантам: I – а) и г); II – б) и в)): а) y = sin(arcsinx); б) y =
                           cos(arccosx); в) y = tg(arctgx); г) y = ctg(arcctgx). Найдите
                           экстремальные значения функции: y = arcsin3x + arccos3x.

                  Урок 47, 48                                             31.10.
              Применение свойств обратных тригонометрических функций
                               для вычислений и доказательств.
1. Проверка д/з: вопросы? Графики – проверить [а), б) y = x, x[–1; 1]; в), г) y = x]
2. Новый материал. Рассмотрим вычислительные задания, связанные с обратными
тригонометрическими функциями.
Пример. Вычислите: ctg(arccos(–0,8)).
Пусть arccos(–0,8) = , тогда cos = –0,8; [0; ]. Найдем ctg: 1) |sin| = 0,6; 2) так как
                                  1                                  1
[0; ], то sin > 0; ctg =  1 . Ответ: ctg(arccos(–0,8)) =  1 .
                                  3                                   3
3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с устной проверкой):
                             3                      1 4 2
1) Вычислите: а) sin(arctg ) [0,6]; б) tg(2arcsin ) [        ]; в) arctg1 + arctg2 +
                             4                      3    7
                                                                          3
arctg3 [arctg2 = ; arctg3 = ; tg( + ) = –1 и 0 <  +  < ;  +  =      ; Ответ: ].
                                                                           4
     В пункте в) постройте геометрическую интерпретацию полученного равенства и
докажите его методами геометрии [... = DOA + DOB +DOC = 45 + (90 – DBO) +
(90 – DCO) = 225 – BOE = 180, так как BOE = BEO = 45 (EBO –
равнобедренный прямоугольный; см. рис.].
                      3            5          63         3                5                    63
2) Докажите: arcsin + arccos         = arcsin     [arcsin = ; arccos        = ; sin( + ) =    и0
                      5           13          65         5               13                    65
           
<+< ]
           2
4. Новый материал. Рассмотрим доказательство тождеств, содержащих переменные.
Пример. В.: стр. 318, №675 (2).




                                                 30
                                           
Пусть arcsinx =   sin = x и    ;        ; arccos 1  x =   cos = 1  x и [0; ];
                                                               2                      2

                                    2 2      
                                                            
|cos| = cos =   1 x 2   = cos. Если 0  x  1, то    0;  , то есть,  = . Если –1  x  0,
                                                           2
         
то    ; 0  , то есть,  = –.
        2 
5. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):
В.: стр. 318, №675 (4, 7, 8) [Аналогично 2)]
Домашнее задание: В.: №650 (5; 7); №675 (3; 5 – опечатка: в любой из частей arcctg; 6).
                                                        1
                        1) Вычислите: sin  0,5 arccos  . 2) Найдите область определения
                                                        9
                        функции y = arccos( 3 ctg(x). 3) Постройте графики функций (по
                        вариантам: I – а) и г); II – б) и в)): а) y = tg(arctg(0,5x3)); б) y =
                        ctg(arcctg(0,5x3)); в) y = sin(arcsin(x2 – 1)); г) y = cos(arccos(x2 – 1)).
                                                  1        1         1          1 
                        Докажите, что arctg  arctg  arctg  arctg  .
                                                  3        5         7          8 4

                  Урок 49, 50                                           11.11.
    Решение уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические
                                            функции.
1. Проверка д/з: вопросы? Графики – заготовить на доске [а), б) y =0,5x3; в), г) y = x2 – 1,
–1  x2 – 1  1  |x|  2 ].
                                              3        3                    3        3
2. Устно: 1) Вычислите: а) sin(arcsin    [               ]; б) arcsin(sin    [         ]; в)
                                              11        11                    11        11
           4                                   4   4
 cos(arccos ) [не существует]; г) arccos(cos ) [        ]; д) tg(arctg2,1) [2,1]; е) arctg(tg2,1)
            5                                    5    5
[0,1]; ж) ctg(arcctg2) [2]; з) arcctg(ctg2) [2 – 3]. 2) В.: стр. 318, №675 (9; 10) – не
доказывая, вспомните, где мы встречались с интерпретацией этих тождеств? [При
построении графиков функций, записанных в левой части]
3. Новый материал. Что является решением уравнения x = a, где аR и почему?
      [При а < 0 , так как аE( x ); при а  0 x = a2 (по определению арифметического
квадратного корня)].
      Обобщите полученный результат [f–1(x) = a  x = f(a), если аE(f–1) и f–1(x) = a 
x, аE(f–1)].
      Рассмотрим примеры уравнений, содержащих обратные тригонометрические
                                                                    
функции. Примеры. 1) arctgx = 0,52  x, так как 0,52   ;  ; 2) arccosx = 3  x =
                                                                   2 2
cos3, так как 3[0; ].
4. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):
Решите уравнения: 1) arccos(x2 – 4x + 2) =  [1; 3];
                     2                                                   3
2) arcsinxarccosx =       [тождество; arcsinx =    или arcsinx = ; 0,5;      ];
                     18                           6              3         2
                                                                            5
3) arcsin2y = arccosy [...  sin(arcsin2y) = sin(arccosy)  2y = 1  y 2 ;    ];
                                                                           5
                 x           x   
4) arctgx + arctg + arctg =        [1. Монотонность!].
                 2           3   2
5. Новый материал. Что является решением неравенства x < a, где а > 0 и почему?
[0  x < a2; область определения и монотонность] Эти же свойства функций применяются
и при решении неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.
                                                 31
                            
Примеры. 1) arcctgx <          arcctgx < arcctg 3  x >             3 (при необходимости – график!).
                            6
Ответ: ( 3 ; +).
                                                              x  sin 2 ,
2) arcsinx       2  arcsinx  arcsin(sin 2 )                            sin 2  x  1. Ответ: [sin 2 ; 1].
                                                               1 x 1
6. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):
                                                                      1             1
Решите неравенства (рациональность!): 1) arcsin                            2arccos
                                                                       x             x
                                     3
   1                                        3        1                     4           1
[       = t; arcsint       t 2 ,                       1  1  x  . Ответ: 1;1  ];
    x                   3      1  t  1 2            x                    3           3
                              
                                                            2
     3 arccos1 x   2
                   2                                     t
                                                             3  0  t 0 или t  2 ; первое неравенство
                           0 [ arccos(1  x 2 )  t ;
      2 arcsin1 x   
2)                  2
                                                           t                           3
                                                   6                             6  6    
решений не имеет; –1  1 – x2  –0,5                 | x|  2 . Ответ:  2;      ; 2  ];
                                                  2                             2   2    
3) В.: стр. 319, №678 (2)
[arctg2x = t; 2  |t – 3|  4; –1  arctg2x  1 или 5  arctg2x  7; второе неравенство решений
                                          tg1 tg1
не имеет; –tg1  2x  tg1. Ответ:            ;     ].
                                          2 2    
Домашнее задание: В.: п. 5 (стр. 318 – 319); №676 (2; 3); №677 (1); №678 (1). Решите
                           уравнения или неравенства: 1) 5arctgt + 3arcctgt = 2; 2) arcsin|x| >
                           arccos|x|; 3) arcsin(3 – 2x) + arccos(x2 – 1) = .
                                                                                                 
       Для самопроверки: [1) тождество; arctgt =               ; Ответ: 1. 2) [|x| = y; arcsiny >   
                                                             4                                    4
 
  y 2 ,      2                           2  2 
       2         x  1 . Ответ:  1;          ;1 ; 3) Ответ: 1. Монотонность!].
  1  y  1 2                           2   2 
 

               Урок 51, 52                               14.11.
            Контрольная работа №3. Зачет №1 по теме «Тригонометрия.
1. Контрольная работа №3 (45 минут).
                                                  Ответы.
                   I вариант.                                  II вариант.
№1. а) 0,28; б) 6 – .                       №1. а) –0,28; б) 4 – .
№2. y = 2x – 1, 0  x  1.                   №2. y = 0,5x + 1, –4  x  0.
                                                                     
№3. а)     n;   n    n;  n ; №3. а)   k | k  Z     n;  n ;
                                                                                 
       n Z
             2        6    n Z  6 2            2             n Z  6   6    
    2 1                                                      1 2
б)    ; .                                                б)  ;    .
    4 2                                                      3 6 
                                                                     
№4. а) y =       – arccos(cosx); б) y = 1  x 2 .          №4. а) y =    – arcsin(sinx); б) y =    1 x 2 .
               2                                                       2
2. Зачет №1. 15 билетов по 4 вопроса.



                                                      32

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:179
posted:11/25/2011
language:Russian
pages:32