Actividades de geometr�a con plegado de papel by 7a9APMg

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									             ACTIVIDADES CON PLEGADO DE PAPEL

                                    Observaciones previas

 Son tantas las posibilidades de la papiroflexia que no resulta demasiado difícil encontrar
  actividades que se adapten a cada edad o nivel.
 La determinación y obtención de figuras plegando papel nos permiten crear nuevas
  formas de construcción y experimentación.
 Para comenzar necesitamos que los alumnos conozcan técnicas elementales de plegado,
  además de disponer en el aula de suficientes hojas de papel.
 Con la papiroflexia pretendemos que los asistentes al curso experimenten situaciones de
  aprendizaje y sensaciones próximas a las que viven los estudiantes a diario en clase de
  matemáticas: inseguridad ante lo nuevo, rigidez en las respuestas, saber pero no saber
  expresar,....Al mismo tiempo, queremos resaltar la beneficiosa relación entre habilidades
  y destrezas por una parte y la consecución de aprendizajes más teóricos por otra. En este
  sentido, el ejercicio reflexivo de las manos sobre el papel puede poner de relieve
  importantes propiedades geométricas y plásticas de las formas y objetos, y subrayar las
  relaciones que hay entre ellas (Luelmo, 1997).


                Primeras actividades: ¿qué ocurre al plegar un folio?

1.- Marca varias rectas que pasen por un punto arbitrario P.

2.- Traza todas las rectas posibles que pasen por dos puntos fijos P y Q.

3.- Marca una recta y algunas perpendiculares a ella. ¿Cómo encontrarías la mediatriz de un
segmento AB?

4.- Traza la perpendicular a una recta r que pase por un punto P exterior a ella (ver figura).


                                           .P

                                                r

5.- Traza una paralela a una recta arbitraria r.

6.- Traza la paralela a una recta r que pase por un punto P exterior a ella.

7.- ¿Puedes transportar el segmento AB a otro lugar del folio? ¿Cómo lo harías?


                               B


                        A A’
                                           A’B’  Segmento AB transportado

                                   B’
                                                                                          2



8.- ¿Cómo trasladarías el segmento AB sobre una misma recta r? (ver figura)


                                       r

                                      B’

                                 A’          A’B’  Segmento AB trasladado
                             B

                     A



9.- Traza dos rectas que se corten en la hoja ¿Cómo se marca la bisectriz de los ángulos que
se han formado?

   Resumiendo, al plegar un folio podemos:

   -   Trazar o marcar rectas.
   -   Unir puntos.
   -   Trazar una perpendicular a una recta. Trazar la mediatriz.
   -   Construir paralelas a una recta dada.
   -   Transportar medidas.
   -   Determinar la bisectriz de un ángulo.
   -   Localizar el simétrico de un punto respecto a un eje
   -   Determinar los ejes de simetría de una figura
   -   ...

                                           Triángulos
10.- Utilizando el plegado de papel, construye:

       (a) Un triángulo isósceles
       (b) Un triángulo rectángulo
       (c) Un triángulo equilátero

11.- Estrella de 6 puntas:

   (a) Construye con papel un triángulo equilátero.
   (b) Marca las bisectrices de sus ángulos y determina el incentro.

   (c) Sigue la siguiente secuencia de pasos hasta llegar a la estrella de 6 puntas:
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   (d) Una vez construida la estrella, podemos plantear nuevas cuestiones:

   -   Si el área del triángulo equilátero inicial es 1, prescindiendo del espesor de los
       dobleces, ¿qué superficie tiene la estrella?
   -   Relación entre el perímetro de la estrella y del triángulo inicial.
   -   ...


                                    Polígonos regulares
12.- Construye un cuadrado a partir de un trozo de papel de forma irregular.

13.- ¿Serías capaz de construir un hexágono regular? ¿Y un pentágono regular? ¿Y un
octógono regular?

14.- ¿Qué otros polígonos regulares podrías construir a partir de los que ya conoces? (Por
ejemplo, el decágono a partir del pentágono y el dodecágono a partir del hexágono).


                         Regla y Compás vs. Plegado de Papel
15.- Construcción de un triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la altura (ver figura).


                                      Sea AB la hipotenusa y BC la altura. Se toma
                                   G como punto medio de AB. Se encuentra H
                                   doblando GB en torno a G hasta que B caiga
                                   sobre DC. Comprueba que AHB es el triángulo
                                   requerido.
                    H
   D                        C



   A            G           B

Observación: Para esta comprobación se puede hacer un pequeño razonamiento
matemático o utilizar un transportador de ángulos o cortar y superponer los ángulos.
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16.- Dado un rectángulo ABCD se requiere encontrar un cuadrado con el mismo área. Para
ello hacemos lo siguiente (ver figura):

   -   Marcamos BM = BC
   -   Encontramos O, punto medio de AM, doblando.
   -   Dejando O fijo, doblamos OM y lo giramos en torno a O hasta que M caiga sobre la
       recta BC. Así, obtenemos P y el lado PB.
   -   PB es el lado del cuadrado que buscamos.

Comprueba que cuadrado y rectángulo tienen el mismo área.



                                                               P

                                                               C




                                  A                  O     B           M



19.- Al realizar las actividades anteriores uno podría llegar a la conclusión de que la regla y
el compás, como materiales didácticos, pueden ser sustituidos por el plegado de papel.
¿Cuál es tu opinión al respecto?



                                      Nudos de papel
   Los nudos de papel subrayan la presencia de las diagonales del polígono, su
descomposición en triángulos y los polígonos estrellados inscritos.
   Se cortan varias tiras de papel (normal o vegetal) de aproximadamente 2 cm de ancho y
de largo el del formato DIN A4. Si fuera necesario se empalmarían, grapándolas o
pegándolas, dos o más tiras. Al final es preciso tensar y aplastar cuidadosamente el nudo
obtenido (Luelmo, 1997).


20.- Construcción de algunos polígonos regulares: pentágono, hexágono, heptágono,
octógono y eneágono.
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   Desarmando el nudo, pueden verse sobre la tira las marcas de los dobleces hechos. Es
interesante analizar lo que representa cada ángulo y cada segmento con respecto al
polígono. Probablemente, será necesario armar y desarmar el nudo varias veces o comparar
un nudo hecho con otro desecho, para completar la información.

 Una ampliación a tres dimensiones

    A partir del pentágono puede confeccionarse un dodecaedro. Para ello conviene tener
tiras suficientemente largas que permitan la construcción de tres pentágonos adyacentes
(ver figura). Con cuatro de estas tiras, pegadas por sus extremos, se obtiene el dodecaedro.




                                      Cortes de papel
  Los cortes sobre papel doblado ponen de relieve las simetrías de cada polígono (Luelmo,
1997).
  Planteamos dos tipos de actividades con plegado y cortado de papel con los que se
pueden mejorar las habilidades espaciales (visualización) de los alumnos:
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  (a) Dado un papel plegado y cortado de un modo concreto, determinar antes de
      desdoblar la figura que aparecerá.
  (b) Dado un papel desplegado con una figura en su interior, determinar el corte que la
      originó cuando el papel estaba doblado.

21.- Supongamos que se dobla dos veces una hoja de papel rectangular y se corta a
continuación un pequeño triángulo en la hoja plegada tal como indica la figura:




(a) Desplegando el papel, ¿cuál de las figuras A, B, C, D, E, se obtendrá?




(b) ¿Cómo tendrías que cortar para que al desdoblar saliese un cuadrado? ¿Necesitas cortar
para estar seguro? ¿Cómo tendrías que cortar para que al desdoblar saliese un octógono? ¿Y
un hexágono? ¿Y un triángulo equilátero?

(c) Inventa algunas tareas de este tipo y desafía a tus compañeros proponiéndoselas.
[Sugerencia: pueden hacerse mantelillos o adornos de distintos tipos. Las hojas con los
polígonos vaciados sirven para dibujar con spray composiciones planas simulando celosías,
mosaicos, etc.].



                                      Otras actividades
22.- Fórmula de Euler para el plano
   Pliega un folio varias veces. Observa que C – A + V = 1 (ver figura). ¿Es siempre válida
esta fórmula?


                           C  nº de caras = 9
                           A  nº de aristas = 12       C – A + V = 9 – 12 + 4 = 1
                           V  nº de vértices = 4
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23.- Una curva muy familiar:

   Señala un punto en el folio. Marca un doblez haciendo coincidir el borde del folio con el
punto. Haz lo mismo con muchos puntos del borde. Los dobleces van delimitando una
curva. ¿Podrías decir que curva es? ¿Por qué?


                      Introducción a la papiroflexia recreativa
   Dejando de lado la lectura matemática de los libros de papiroflexia, también me parece
interesante y divertido construir a partir de una simple hoja de papel figuras como las que
os presento en las fotocopias adjuntas. Os dejo la labor de decidir qué potencialidad
matemática puede tener este tipo de actividad.


BIBLIOGRAFÍA
Luelmo, M. J. (1997). Construcciones geométricas: una experiencia interdisciplinar de
autoformación. Epsilon, 38, 131-154.

Baena, J. (1991). Papiroflexia: actividades para investigar en clase de matemáticas. Suma,
9, 64-66.

Ledesma, A. (1992). Geometría con un folio. Epsilon, 24, 51-68.

Sundara, T. (1893). Geometric exercises in paper folding. Madrás, India.

Stanic, G. M. A. y Owens, D. T. (1990). Spatial Abilities. Arithmetic Teacher, 37, 6, 48-
51.

Harrison, I. (1995). Origami Spheres. Mathematics Teaching, 153, 23-26.

Hernán, F. y Carrillo, E. (1988). Recursos en el aula de matemáticas. Madrid: Síntesis.

Kasahara, K. (1993). Papiroflexia Creativa. Madrid: Edaf.

Alsina, C., Burgués, C. y Fortuny, J. Mª. (1988). Materiales para construir la geometría.
Madrid: Síntesis.
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