M�DULO 3 by 011z8k8

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									Módulo 3                                     0
ECUACIONES

                                 Indicaciones Generales
 Luego de resolver la auto evaluación previa sabrás si debés estudiar el módulo o bien
                              resolver la evaluación final.
    Te recordamos que este material está a la venta en las fotocopiadoras de nuestra
Universidad. Podés adquirirlo allí o bien imprimirlo desde la PC. Otra posibilidad es que
  trabajes con varios compañeros y así repartan los gastos de impresión y fotocopias.
                Te recordamos que cuando encuentres el símbolo



  es porque te proponemos una actividad en la que necesitarás lápiz y papel y
                        cuando encuentres el símbolo



    es porque hallarás las respuestas o veces una ayuda o un comentario al final del
                                           módulo.
Recordá siempre que de nada sirve que te hagas trampas a vos mismo. Aquí no se trata
          de aprobar un examen o una materia, se trata de mejorar tu formación.
 Buscá en libros de la biblioteca de tu escuela o de tu barrio. Allí, en bibliografía antigua
o moderna encontrarás estos temas. También podés encontrar cosas en Internet, quizá
     en alguna de las direcciones que podés encontrar en nuestro sitio, en la página:
                                           Enlaces.
           Si en tu escuela tenés un docente tutor consultalo cuando lo necesites, pero
 primero realizá vos el mayor de los esfuerzos por comprender lo que leés, por resolver
los ejercicios y problemas, en fin por realizar todas las actividades que te proponemos.
       No olvides que todo este material lo hemos escrito pensando en vos, que te
  conocemos, aunque no sepamos aún cuál es tu rostro, sabemos de tus dificultades,
pero también sabemos de todo lo que sos capaz de conseguir si te lo proponés y luchás
                                         para lograrlo.
Compartí las cuestiones que te parezcan importantes en el foro de discusión de nuestro
                                   sitio: COMPARTIENDO.
 Realizá allí las críticas que desees a nuestra forma de trabajo, al material, contanos tus
                descubrimientos, tus avances, lo que consideres importante.
                               Estamos a tu entera disposición.
                                      Cordiales saludos.

             El equipo docente de MATEMÁTICA PREUNIVERSITARIA de la
                           Universidad Nacional de Luján.

                                  Índice del Módulo 3


Tema                                                                       Página
EVALUACIÓN INICIAL                                                           1
RESPUESTAS A LA EVALUACIÓN INICIAL                                           2
1. Ecuaciones.                                                               3
2. Ecuaciones de segundo grado                                               14
3. Algo sobre radicación                                                     15
4. Volvamos a las ecuaciones de segundo grado                                16
5. Problemas que se resuelven con ecuaciones de segundo grado                20
6. Respuestas                                                                24
EVALUACIÓN FINAL                                                             25
RESPUESTAS A LA EVALUACIÓN FINAL                                             26
Módulo 3                                         1
ECUACIONES

Te sugerimos los siguientes pasos para resolver esta evaluación:

    Imprimila o fotocopiala
    Tomá todos los elementos que acostumbres usar: papel, lápiz, corrector, goma, lapiceras,
     calculdora, etc.
    No consultes ningún material mientras la resolvés.
    Resolvela de mañana temprano o de noche tarde de modo que nadie te interrumpa, ni el
     teléfono, ni el timbre, ni amigos o familiares.
    Colocá un despertador que suene tres horas después de haberla comenzado y da por
     terminado tu tiempo disponible en cuanto suene.
    Entregásela a tu docente tutor lo antes posible sin volverla a mirar.
    Si no tenés docente tutor, mirá las respuestas en la página siguiente y autoevaluate.

                 Evaluación INICIAL correspondiente al Módulo 3
1) Resolver las siguientes ecuaciones:
                                                               x
a) 0,2 (– x + 2) = – 3 (– 2x – 0,1)              b)       2     7
                                                               4
                                                      x 2x x
c) 0,31 (2x – 1 ) = – 4,3x + 2                   d)       3
                                                      3 5 2

2) Resolver las siguientes ecuaciones:
     2                        2              2                         2
a) x -5x + 6 = 0       b) x - 25 = 0     c) x - 10x = -25         d) –x + 4x - 5 = 0
                          2
e) (x+1 )(x- 3) = -3   f)x - 5 = 0       g) (x+5) (x- 8) = 0

3) Resolver los siguientes sistemas:

   4 x  2 y  192
a) 
    x  y  60
      y  2x  1              xy  18
b)                      c)   
      x  y  11             ( x  3)( y  0,30)  18
4) Resolver los siguientes problemas:

a) Juan y Pedro son mellizos. Andrés tiene 3 años más que ellos y las edades de los tres
sumadas es 42 años. ¿Qué edad tiene Andrés?

b) Un comerciante vende cierto número de cajas de lápices en la siguiente forma: la
quinta parte a $58 la caja; la mitad del resto a $60 la caja y la otra mitad a $61 la caja;
recibe en total $7.200. ¿Cuántas cajas de lápices ha vendido?

c) Tres personas reúnen un capital de $9.500 para establecer un comercio minorista. Si
la primera persona aporta 3/5 de lo que aporta la segunda, y la tercera la mitad de lo que
aporta la primera, ¿a cuánto asciende la contribución de cada uno de ellos?

d) Con un pedazo cuadrado de cartón se construye una caja abierta cortando en cada
esquina cuadrados de 3 centímetros de lado y doblando hacia arriba los rectángulos
                                                                       3
resultantes (de 3 cm. de altura). Si la caja tiene un volumen de 432 cm . ¿De cuántos
   2
cm de cartón se disponía al principio?

e) El área de un campo rectangular es de 50 metros cuadrados. ¿Cuáles son sus
dimensiones si el ancho supera en 5 metros al largo?
Módulo 3                                 2
ECUACIONES

f) En un campeonato internacional de ajedrez, cada maestro debió jugar exactamente
una vez con cada uno de sus adversarios. Si en total se jugaron 45 partidas (y la
cantidad de maestros es un número par). ¿Cuál fue el número de maestros que participó
del campeonato?
 Módulo 3                                          3
 ECUACIONES

Respuestas a la evaluación INICIAL correspondiente al Módulo 3

       1                           1        b) x = 20
                       a) x                                      c) x 
                                                                            77
                                                                                       d) x 
                                                                                                 90
                                   62                                      164                   17


                              a) x = 2, x = 3                                             c) Única
           2                                               b) x = 5, x = - 5
                                                                                          solución
                                                                                            x=5

     d) No tiene                e) x = 0, x = 2            f) x = -5, x = 8
     solución real                                                                   g) x  5
                                                                                         x 5



         3                       a)                          b)
                            La solución                                       c) Las soluciones son
                          única es el par            La solución
                                                   única es el par            dos pares ( x, y ) :
                          ordenado (x, y):
                              (36, 24)             ordenado (x, y):             6             3
                                                        (4, 7)                 15,  ;   12;  
                                                                                5             2




                  a) Andrés tiene 16 años.             b) El comerciante ha       c) La contribución
   4                                                    vendido 120 cajas            de cada una
                                                             de lápices.          asciende a $3000,
                                                                                    $5000 y $1500.


                 d) La caja está hecha con un          e) El largo es de 5          f) El número de
   4            cartón cuadrado de 18 cm de            metros y el ancho             maestros que
               lado por lo tanto al principio se          de 10 metros.               participó del
                                         2
                     disponía de 324 cm .                                         campeonato fue 10.




 Para pasar a la evaluación final sin trabajar el módulo tres podés tener
  COMO MÁXIMO TRES errores en total, entre los 20 ítem propuestos.
  Respecto de los 6 problemas del ejercicio 4 uno mal como máximo,
   del total de 3. Si tenés más errores debés trabajar todo el módulo
                         antes de resolver la Evaluación Final.
Módulo 3                                     4
ECUACIONES

                                  1. Ecuaciones
              1.1. Ecuaciones de primero y de segundo grado. Problemas


1. Ecuaciones.
1.1. Ecuaciones. Concepto. Ecuaciones de primer grado
   ¿Te pusiste a pensar cuántas veces has escrito el signo “=” a lo largo de tu vida?
                                2 + 2 = 4 (primer caso)

                             3x + 7x = 10x (segundo caso)

                                 x + 1 = 4 (tercer caso)

            En todos los casos, ¿tiene el mismo significado el signo “=” ?

                                Te anticipamos que NO.

En el primer caso: 2 + 2 = 4 estamos en presencia de dos formas distintas de simbolizar
                     el número cuatro (dos más dos “alias” cuatro).

   En el segundo caso: 3x + 7x = 10x aparece una letra que representa un número
                                   desconocido.

  Es necesario que te des cuenta de que esta igualdad resulta cierta (o simplemente
           resulta una igualdad) para cualquier valor que le asignes a x.

               En ambos casos decimos que se trata de una identidad.
Te damos otros ejemplos de identidades, esperamos que los justifiques y que agregues
                                        más:
                                       5
                                      a = a.a.a.a.a
                                      5z – 3z = 2z
                                 2 (5+3) = 2.5 + 2.3 = 16

                                   En el tercer caso:
                                       x+1=4

                   también aparece una letra, como en el segundo.

              Pero, ¿es verdadera la igualdad para cualquier valor de x?

                                           Veamos

         si le asigno el valor 3 a la incógnita, la igualdad se transforma en

                                           3+1=4

   que es una igualdad con sentido de “alias” (dos nombres para una misma cosa).


                           Pero si le asigno el valor 2 resulta
                                         2+1=4
                                que no es una igualdad.

Te anticipamos, aunque luego profundizaremos más esta idea, que la igualdad x + 1 = 4
es una ecuación. Por ahora diremos que una ecuación es una igualdad con sentido de
                                    problema.
Módulo 3                                     5
ECUACIONES



             1. Determinar cuáles de las siguientes igualdades son identidades:


1.1)                   3-x=x-3
1.2)                   3x + x + 3 - 5 = 4x - 1
                        2            2
1.3)                   x +1 = (x+1)
1.4)                   x+1=x+2
1.5)                   2(x+1) = 2 + 2x (sugerencia: aplicar la propiedad distributiva)




        Estudiaremos, por ahora, sólo ecuaciones de primer grado (te adelantamos que
se trata de aquellas que pueden “llevarse” a la forma:
                     mx  d donde m y d son números cualesquiera ) .

       Aunque no lo creas, ya desde muy chico resolvías ecuaciones de este tipo, lo
que ocurre es que te las presentaban de un modo diferente:

              Completar sobre la línea de puntos con el
                     número que corresponda:
              2 + . . . = 7 (quizá en primer grado)


              80    . . . . = 1200      (quizá en tercer grado)



              ...    :   15 = 30 (quizá en cuarto grado)



       ¿Lo recordás?

       Si en los lugares donde están los puntos suspensivos colocás la letra “x” (o
cualquier otra letra) que llamaremos incógnita de la ecuación, las expresiones que
obtengas resultarán ecuaciones de primer grado con una incógnita.

      El valor de la incógnita que hace que el número que se obtiene en el primer
miembro coincida con el del segundo miembro se llama solución o raíz de la ecuación.

                              2 + x = 7 tiene la solución x = 5
                            80 x = 1200 tiene la solución x = 15
                              x
                                 30 tiene la solución x = 450
                             15
Módulo 3                                            6
ECUACIONES



        Trataremos de darte ahora una primera aproximación a la definición de ecuación
y a lo que significa resolverla:


              Una ecuación es una igualdad con sentido de
                                problema.
                 Resolverla significa hallar, si existen,
          valores de la incógnita que hagan que esa “igualdad
              con sentido de problema” se convierta en un
            “igualdad con sentido de alias” (con “alias” queremos
                     significar: dos nombres para la misma cosa).




       Un poco antes utilizamos, entre comillas, la palabra “llevarse”. Veremos ahora en
qué sentido fue dicha.

        Para ello necesitamos recordar que dos ecuaciones son equivalentes si y sólo si
tienen exactamente las mismas soluciones (o ninguna de las dos tiene solución).

       Por ejemplo:

x + 1 = 4 (que tiene por solución sólo al valor 3), es equivalente a

x + 2 = 5 (que obtuvimos sumando 1 a ambos miembros de la primera y que también
tiene esa única solución: x=3 ), y ésta es equivalente también a

3x + 3 = 12 (que obtuvimos multiplicando por 3 a ambos miembros de la primera y que
también tiene esa única solución: x=3 ), a su vez, ésta a:

x 1
     1      (que obtuvimos dividiendo por cuatro a ambos miembros de la primera y que
  4
también tiene esa única solución: x=3 ).

Por último

7x + 1 = 6x + 4 (que obtuvimos sumando 6x a ambos miembros de la primera y que
también tiene esa única solución: x=3 ).

        Si la ecuación es de primer grado, nuestro trabajo consiste en transformar esa
ecuación en otra equivalente a ella y repetir esto todas las veces que sea necesario,
hasta llegar, si es posible, a una ecuación en donde un miembro sea sólo la expresión
“x” y el otro un número (solemos decir que “despejamos la x”).

       Tratamos de que fueras observando cómo pueden ir obteniéndose ecuaciones
equivalentes a partir de una dada, para que te resulte claro lo siguiente:

       Se puede demostrar (en este curso no lo haremos) que se mantiene la
equivalencia entre dos ecuaciones si:

 sumamos a ambos miembros de la ecuación una misma expresión,
o bien:

 si multiplicamos a ambos miembros de la ecuación por una misma expresión distinta
de cero.
Módulo 3                                   7
ECUACIONES

                                      Ejemplo 1:

                               Resolvamos la ecuación
                                        2x = 1 - 3x.

  Recordá cuál es nuestro objetivo: llegar, si es posible, a una ecuación en donde un
miembro sea sólo la expresión “x” y el otro un número (solemos decir que “despejamos
                                        la x”).

     Para ello elegimos, por ejemplo "que desaparezca" -3x del segundo miembro.

Para ello sumaremos la expresión “3x” a ambos miembros (En la escuela seguramente
  decías que "pasás" 3x, al primer miembro, sumando. Es ese un modo abreviado de
     aplicar una de las propiedades enunciadas antes de este ejemplo 1. Tratá de
 comprender el porqué de esta cuestión de "pasar" mediante esas propiedades. Quizá
haga varios años que venís hablando de "pasar al otro miembro" y nunca te preguntaste
                              qué justificaba ese hecho).

                                      2x + 3x = 1 - 3x +3x.
                                       Es decir
                                              5x=1
                                                        1
De una manera análoga multipliquemos ahora por            ambos miembros : (o lo que es lo
                                                        5
                             mismo dividámoslos por 5)
                                               1     1
                                           5 x.  1.
                                               5     5
                             y esta última es equivalente a
                                                    1
                                               x
                                                    5
                                                                          1
               Luego, la ecuación dada tiene la solución (única)     x
                                                                          5
                      Nuestra experiencia nos permite asegurar que si pensás
                        la equivalencia entre ecuaciones del modo en que te
                      explicamos en el ejemplo anterior, vas a cometer menos
                         errores que con ese "mecanismo" de "pasar de un
                                          miembro a otro".

        Algunos errores muy comunes y muy graves que muchos de nuestros alumnos
        suelen cometer (quizá vos no, entonces podés pensar como desees la forma en
        que resolvés la ecuación) son los siguientes:

                                      Ejemplo 2
                                                              x
                       Se pide resolver la ecuación:     2     7
                                                              4
   Muchos alumnos ¡ERRÓNEAMENTE! suelen decir que "pasan el 4 multiplicando al
  segundo miembro". (Con lo que obtienen 2 + x = 28, luego les queda: x = 26 que, por
             supuesto, no es solución de la ecuación dada pues 2  26  7 )
                                                                   4
   Si en cambio piensan que lo que hacen es multiplicar a ambos miembros por 4, les
                                        queda
                                       x
                                   (2  )4  7.4
                                       4
Módulo 3                                          8
ECUACIONES

               de donde (aplicando la propiedad distributiva) se obtiene
                                             8 + x = 28
          y luego, restando 8 a ambos miembros queda resuelta la ecuación:
                                               x = 20

                                             Ejemplo 3

                Otro ERROR (u horror) que solemos ver es el siguiente:
                                Se tiene la ecuación
                                       -2x = 8

                       Entonces suelen escribir ¡ERRÓNEAMENTE!
      8
 x     (porque dicen que pasan el 2 dividiendo y le cambian el signo, esto último, por
      2
                                    cambiarlo de miembro).

           Es claro que x = 4 no es solución de la ecuación pues                2. 4  8 .

Es este un error muy grave y desgraciadamente muy común que arrastran de la escuela,
 quizá porque nunca han pensado que lo que realmente deben hacer es dividir los dos
 miembros por  2 (menos dos) para que la x quede "despejada", de lo contrario (si
           dividen por 2) en el primer miembro quedará  x y no x .

                     Entonces lo correcto, para resolver la ecuación
                                        - 2x = 8
                           es dividir los dos miembros por           2:
                                            2x   8
                                                
                                           2 2
    Simplificando en ambos miembros obtenemos la única solución de la ecuación:
                                      x = -4

                2. Resolver las siguientes ecuaciones:

                          2.1) x - 9x + 5 = 2x + 3
                         2.2) (6x - 2) x = (2x - 1) 3x + 0,1
                                x  2 3x  4
                         2.3)        
                                  4     2
                         2.4) (10 - x + 0,5x) 0,2 = 31 - 3x
                         2.5) 0,31 (2x – 1 ) = - 4,3x + 2
                         2.6) 4 (x+1)-2=0
                                x 2x x
                         2.7)        3 (ayuda: multiplicá ambos          miembros por 30)
                                3 5 2
                          2.8) ((4 - 2x) 0,02) 1,5 = 1 (ayuda: primeramente quitá el paréntesis
              de adentro, aplicando la propiedad distributiva y luego el de afuera del mismo modo)
Módulo 3                                       9
ECUACIONES


          ¿Podremos aplicar todo esto para resolver problemas?

          Sí.

       Saber plantear y saber resolver ecuaciones son dos grandes herramientas para
poder resolver cierto tipo de problemas.

1.2. Resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado

                              Dijo George Polya en el año 1944:
 “Plantear una ecuación significa expresar en símbolos matemáticos una condición formulada
     con palabras; es una traducción de un lenguaje corriente al lenguaje de las fórmulas
 matemáticas. Las dificultades que podamos tener al plantear ecuaciones son dificultades de
  traducción ... En primer lugar, hemos de comprender totalmente la condición. En segundo
          lugar, hemos de estar familiarizados con las formas de expresión matemática.”

                    3. Escribir, sobre los puntos suspensivos, la expresión aritmética que
                   “traduce” cada una de las siguientes expresiones coloquiales (como
                   muestra el primer ejemplo):

   Si x es la edad en años de Juan hoy, entonces:

   “la edad de Juan dentro de 5 años”
    se expresa x + 5

   “la edad de Juan hace 2 años”
    se expresa .....................

   “el doble de la edad de Juan hoy”
    se expresa .................

   “el triple de la edad de Juan hoy aumentada en 20 años”
    se expresa ...............

   “la mitad de la edad que tenía Juan hace 6 años”
    se expresa ...................


          Tomá lápiz y papel y tratá de escribir la ecuación que representa la siguiente
          situación:

       “Si al dinero que me regalaron le resto su mitad y a este monto lo multiplico por
24 obtengo los cuatro tercios de la suma de dicha cantidad regalada más $16. ¿Cuánto
dinero me regalaron?

          ¿Te ayudamos?

           No olvides que el esfuerzo que hagas al intentar
          varias veces resolver una actividad es valiosísimo;
              ¡intentá de nuevo antes de seguir leyendo!

          Conviene que leas varias veces el enunciado de un problema hasta familiarizarte
con él.

          Luego, identificá la incógnita: cantidad de dinero que me regalaron.
Módulo 3                                      10
ECUACIONES


       Vamos a darle un nombre: x.

       Es decir, x es el dinero que me regalaron.

       Busquemos la manera de relacionar nuestra incógnita con los datos.

        El enunciado hace referencia a la mitad del dinero que me regalaron; este valor
es x/2. Y luego dice que multiplique por 24 al monto que resulta de la diferencia entre x y
x/2, es decir:

                                           x
                                        x   24
                                           2
       Y luego se agrega que esta cantidad es igual a los 4/3 de una suma, es decir 4/3
por esa suma; y ¿cuál es esa suma? Vuelvo a recordar los datos y me encuentro con que
esa suma es la suma de x y 16; es decir
                                           4
                                             x  16
                                           3
       Reúno toda la información y obtengo la siguiente ecuación:


                                   x              4
                                                      x  16
                                x   24       =                           Tanto lío por $2
                                   2              3
que tiene la única solución (resolvela):
                                             x=2

                               Respuesta: me regalaron $2.




                                Otros problemas resueltos
                                       Problema 1.

 Dos hermanos deciden ahorrar juntos las propinas que reciben de su padre durante un
año. Al final de este período lograron reunir $192. Si el hermano mayor ahorró el triple de
                     lo que ahorró el menor, ¿cuánto ahorró cada uno?

                                  PRIMERA SOLUCION:

                         Trato de estimar las cantidades pedidas.

  Sospecho que el menor debe haber ahorrado aproximadamente $40. Como el mayor
 ahorró el triple, esta cantidad es de $120. Luego sumo ambas cantidades para ver si mi
 estimación responde a los datos del problema:        $40+$120 = $160. ¡Me quedé corto!

    Pruebo con $50 para el menor. Entonces al mayor le corresponden $150. Sumo:
                                  $50+$150 = $200.

                                ¡Me pasé, pero no mucho!
Módulo 3                                   11
ECUACIONES


 Sigo tanteando. Supongo ahora que el menor ahorró $48. Entonces el mayor ahorró el
                  triple de $48 , o sea $144. Sumo ambas cantidades:

                                   $48+$144 = $192.

                       ¡Sí!, encontré la solución de mi problema.

          Respuesta: el hermano menor ahorró $48 y el hermano mayor $144.

       Habrás notado que esto de "probar" o "tantear" no nos resultó cómodo en esta
oportunidad, ¡pero es totalmente válido!

       Pero muchas veces puede ocurrir que nos cansemos antes de llegar a la
solución, o que el problema no tenga solución y no podamos convencernos de ello.

      Veamos, entonces, otra alternativa para resolver nuestro problema.

                              OTRA POSIBLE SOLUCION

       Identifiquemos qué es lo que se pide y cuáles son los datos del problema.

                      Llamemos x al dinero que ahorró el menor.

                          Luego, el hermano mayor ahorró 3x.

                        Ya que juntos ahorraron $192 debe ser:

                                      x+3x = $192.

                   Resolvamos esta ecuación y encuentraremos que

                                         x=$48.

                        Es decir, el hermano menor ahorró $48.

                    Como el hermano mayor ahorró 3x, resulta:
                                   3.$48 = $144.
              Respuesta: el hermano menor ahorró $48 y el mayor $144.

                                      Problema 2.

 En el corral de una granja escuela hay sólo corderos y gallinas. Patricio y Ana deben
informar a su maestra cuántos animales hay allí. Cada uno cuenta a su manera. Cuando
    regresan Patricio dice que contó un total de 192 patas y Ana, que contó todas las
         cabezas, llegó a 60. ¿Cuántos animales de cada clase hay en el corral?

                                 PRIMERA SOLUCION:

           Teniendo en cuenta que las cabezas deben sumar 60, probemos:

Supongamos 50 corderos y 10 gallinas. Calculemos la cantidad de patas que tendría que
                                       haber:

Corderos: sabiendo que cada uno tiene 4 patas, el total de patas de corderos se obtiene
     multiplicando por 4 la cantidad supuesta de corderos, es decir, 4 . 50 = 200.

 Gallinas: sabiendo que cada una tiene 2 patas, el total de patas de gallinas se obtiene
       multiplicando por 2 la cantidad supuesta de gallinas, es decir, 2 . 10 = 20.
Módulo 3                                    12
ECUACIONES

                  El total de patas sería 200 + 20 = 220. ¡Nos pasamos!

 Vamos a suponer ahora que hay 20 corderos y 40 gallinas. En este caso, procediendo
    como lo hicimos anteriormente, resulta que el total de patas sería de 160. ¡Nos
                                quedamos cortos!

  Seguimos probando hasta encontrar que, si consideramos que hay 36 corderos y 24
                gallinas, se verifican las condiciones del problema.

                 Respuesta: En el corral hay 36 corderos y 24 gallinas.

                               OTRA POSIBLE SOLUCION

       Si llamamos c al número de corderos y g al número de gallinas, tenemos:

                                      4c + 2g = 192

                                        c + g = 60

                             De la segunda relación resulta

                                        g = 60 – c

                         que reemplazada en la primera nos dice

                                    4c + 2(60-c) = 192

                                         es decir

                                    4c + 120 – 2c =192

                                          o sea

                                         2c = 72

                                        de donde

                                          c = 36

      Para conocer g volvemos unos renglones atrás y nos encontramos con que

                                        g = 60 – c

                                         es decir

                                     g = 60 - 36 = 24

                  Respuesta: en el corral hay 36 corderos y 24 gallinas.

                                       Problema 3.

Un número de dos cifras es tal que: la suma de las cifras es 11, y la cifra de las unidades
    es igual al duplo de la de las decenas disminuido en 1. ¿Cuál es dicho número?

          Los datos están dados en función de las cifras del número que tengo que
encontrar, entonces nuestras incógnitas serán dichas cifras; por ejemplo: si el número
 que estamos buscando es 35, nuestras incógnitas serán el 3 y el 5. ¿Cómo hacemos
 para escribir al 35 “separando” el 3 y el 5? Recordando que se trata de un número en
                       base 10 (sistema posicional) la respuesta es:
Módulo 3                                     13
ECUACIONES


                                       35 = 3 . 10 + 5.

        Y esto lo podemos hacer con cualquier número de dos cifras; en general:
   si ab es un número donde a representa la cantidad de decenas y b la cantidad de
                    unidades (no interpretar como producto), resulta
                                      ab = a.10 + b.

                  Entonces volvamos a los datos de nuestro problema:

                     "...la suma de las cifras es 11..." , es decir, a + b = 11,
 "...la cifra de las unidades es igual al duplo de la de las decenas disminuido en 1...", es
                                               decir ,
                                             b = 2a – 1

Bastará reemplazar en la primera ecuación el valor de b, en función de a, que nos brinda
                             la segunda ecuación, es decir:
                                      a + (2a – 1) = 11
                                     lo que equivale a
                                         3a – 1 = 11
                                            o sea
                                           3a = 12
                                    de donde sale que
                                            a=4
          Para hallar el valor de b se reemplaza en la segunda ecuación el valor de a
                                        encontrado:
                                      b=2.4–1=7
                                         Entonces
                                    a=4 y          b=7

                          Respuesta: el número buscado es 47.

                                        Problema 4.

Ricardo compró dos libros y un cuaderno por $80. Si un libro cuesta la mitad del otro y el
      cuaderno $40 menos que el libro más caro, ¿cuánto pagó por cada artículo?
                            Llamemos x al libro más caro.

                         Entonces el libro más barato cuesta x/2.

                                Y el cuaderno cuesta x - 40.

               La suma de los precios de los tres artículos es $80. Luego:

                                    x + x/2 + x – 40 = 80

                              Esta ecuación es equivalente a

                                    2 x  x  2 x  80
                                                        80
                                            2
                        es decir,       5x – 80 = 160 por lo tanto

                                             240
                                        x        48
                                              5

                              Si x = 48 entonces x/2 = 24      y

                                         x – 40 = 8

         Respuesta: Ricardo pagó $48 y $24 por los libros y $8 por el cuaderno.
 Módulo 3                                       14
 ECUACIONES


             4. Resolver los siguientes problemas:
             4.1. Repartir $ 26.500 entre cuatro personas de manera que la primera reciba
             3/5 de lo que recibe la segunda; la tercera 1/6 de lo que recibe la primera y la
             cuarta 2/3 de lo que recibe la tercera. (Ayuda: Llamá P al dinero que recibe la
 primera, S al que recibe la segunda y así sucesivamente)

 4.2. Un comerciante vende cierto número de cajas de lápices en la siguiente forma: la
 quinta parte a $58 la caja; la mitad del resto a $60 la caja y la otra mitad a $61 la caja;
 recibe en total $7.200. ¿Cuántas cajas de lápices ha vendido? (Ayuda. Podés pensar
 que el dinero que recibe estará formado por la cantidad de cajas multiplicado por el
 precio de cada caja, pero cuidado: el total x de cajas no se vendió al mismo precio)

 4.3. Si a un número se le suma su tercera parte y a este resultado se le resta el mismo
 número aumentado en 5, se obtiene 1. ¿Cuál es dicho número?

 4.4. Un frutero vende su provisión de frutillas en la siguiente forma: la mitad, a $5,6 el
 kg.; la quinta parte de lo que queda, a $5,5, y el resto, a $5 el kg., recibiendo en total
 $267,5. ¿Cuántos kg. de frutillas vendió?

 4.5. Juan y Pedro son mellizos. Andrés tiene 3 años más que ellos y las edades de los
 tres sumadas es 42 años. ¿Qué edad tiene Andrés?

 4.6. Un maratonista está compitiendo en una carrera de 8.500 metros. Sufre una
 lesión y se retira cuando ha recorrido la cuarta parte de lo que le faltaba recorrer.
 ¿Cuántos metros corrió realmente hasta el momento de la lesión?

 4.7. Siendo 68 metros el perímetro de un rectángulo y 12,5 metros la longitud de uno de
 sus lados, ¿cuál es la longitud del otro?

 4.8. La suma de tres números pares consecutivos es 72. ¿Cuáles son esos números?

 4.9. Tengo $66 en billetes de $2 y de $5. Si en total tengo 18 billetes, ¿cuántos billetes de
 cada valor tengo? (Ayuda: Pensá de qué modo contarías el dinero si tuvieras una
 enorme pila de billetes de $2 y otra de billetes de $5)

 4.10. Dos toneles contienen en conjunto 108 litros de vino. Si pasáramos 4 litros de un
 tonel al otro, éste contendría el doble de vino que el primero. ¿Cuántos litros de vino
 contiene cada tonel?

 4.11. José nació 2 años después que Pablo y 3 años antes que César. ¿Cuántos años
 tiene cada uno si la suma de sus edades es 17?




Pablo                         José                                              César

          dos años                                    tres años
 4.12. Tres personas reúnen un capital de $9.500 para establecer un comercio minorista.
 Si la primera persona aporta 3/5 de lo que aporta la segunda, y la tercera la mitad de lo
 que aporta la primera, ¿a cuánto asciende la contribución de cada uno de ellos?

 4.13. Un comerciante quiere preparar 10 kilogramos de té para venderlo a $15 el
 kilogramo. Va a utilizar un té que está vendiendo a $22 el kg. y otro que está vendiendo a
 $12 el kg. Calculá cuántos kilogramos de cada clase de té debe colocar.
Módulo 3                                       15
ECUACIONES

2. Ecuaciones de segundo grado
       Consideremos la siguiente situación:

Con un pedazo cuadrado de cartón se construye una caja abierta cortando en cada
esquina cuadrados de 3 centímetros de lado y doblando hacia arriba los rectángulos
                                                                       3                 2
resultantes (de 3 cm. de altura). Si la caja tiene un volumen de 432 cm . ¿De cuántos cm
de cartón se disponía al principio?
                                                  x




       Nuestra incógnita es x : medida del lado del cartón

        Al cortar las esquinitas y doblar las paredes de la caja (por las líneas de puntos) ,
la base de ésta es un cuadrado cuyo lado mide       (x - 6) cm.

       Otro dato que aparece se refiere al volumen de la caja.        Recordemos que éste
se calcula multiplicando el ancho por el largo y por el alto de la misma.

En este caso: el ancho es (x - 6) cm

                  el largo es (x - 6) cm

                  y el alto es 3 cm.

       Llegamos entonces, quitando las unidades, a la siguiente ecuación:

                                       3(x - 6)(x - 6) = 432

que es equivalente a
                                         2
                                       3x - 36x - 324 = 0.

         Se trata de una ecuación de segundo grado. (Observá que es una igualdad entre
la función de segundo grado:
       2
 y = 3x - 36x - 324 y la función y = 0).

       Pero, ¿cómo la resolvemos? Intentá hacerlo de modo análogo al usado con las
ecuaciones de primer grado y seguramente te encontrarás con dificultades.

       Analicemos primero los siguientes ejemplos de ecuaciones de segundo grado
        2
1)     x +1=5                                    4)       (x-2)(x+8) = 0

        2                                                  2
2)     x +1=0                                    5)       x + 5x + 6 = 0

3) 3x2 = 9x                                      6)       2x(x+4) = 8x+2
Módulo 3                                           16
ECUACIONES

      Vamos a necesitar más herramientas
para poder resolverlas.


         Intentemos con la 1):
                                            2
                                           x +1=5

sumamos a ambos miembros la función (-1) y obtenemos:
                                                2
                                               x =4

¿cómo despejamos x?:

3. Algo sobre radicación
  Tomemos las raíces cuadradas de cada miembro (observemos que esto es posible
pues ambos miembros son no negativos)


                                                    
                                               2
                                           x                 4
O sea,
                                                   2
                                            x          2
Vemos que esta igualdad se verifica para x = 2 y para x = -2, pues


                                 22  2                y       22   2

Esto es así pues, para cualquier real x:                   x2  x

¿Estás convencido? Veamos:                 22  2  2

                                            22            2 2

                                                            3 3
                                                       2
                                                3
                                            32            3 3

¿Valdrá una igualdad análoga para raíces cúbicas de potencias cúbicas? Rta: NO.


                                 5  125  5
                            3     3 3




                                   5
                                       3
                            3
                                            3  125  3 125  5
Módulo 3                                       17
ECUACIONES




Es decir
                                    3
                                        x3  x

                                        ¿Y para
                                                  4
                                                      x4 ?
Luego, completá:

                              n
                                  x n  x , si n es ............
                              n
                                  x n  x,     si n es ...........

4. Volvamos a las ecuaciones de segundo grado
           Volvamos a nuestra ecuación original:


                                                  x 2
                                                   2

   equivale a


                                           x 2
es decir

                               x = 2 ó x = -2

Respuesta: la ecuación tiene exactamente las dos soluciones

                                          x = 2, x = -2.

                                        La ecuación 2):

                              2                                 2
                             x + 1 = 0 es equivalente a x = -1.

               ¿Podemos tomar las raíces cuadradas a ambos miembros de esta última
                                        igualdad?

                               ¿Por qué? (Tratá de contestar)

                             Rta: la ecuación no tiene solución.
                                                                       2
                          Resolvamos la ecuación 3):                 3x = 9x

                         Restamos a ambos miembros la función 9x
                                                  2
                                               3x - 9x = 0

           Sacamos x como factor común (aprovechando la propiedad distributiva):

                                           x(3x-9) = 0

                        obteniendo un producto que es igual a cero.
Módulo 3                                      18
ECUACIONES

     ¿Qué podés afirmar si te presentan un producto de dos números que da cero?

        Seguramente dirías que por lo menos uno de esos dos factores es cero.

                                  Esto significa que es

                                 x = 0 o bien (3x - 9) = 0

                     Es decir, x = 0 es una solución de la ecuación.

                  Si ahora despejamos x en la otra posibilidad, resulta

                                          3x = 9

                                           o sea
                                          x=9:3

                es decir,   x = 3 que es la otra solución de la ecuación.

           Rta: la ecuación dada tiene exactamente dos soluciones: x=0, x=3.

    En la ecuación 4): (x-2)(x+8) = 0, como en la anterior, observá que se trata de un
producto entre dos factores que es igual a cero (pensá cuándo el producto de dos
números es cero).


     Yo soy cero                                                    O yo soy cero

                                    A.B=0




           A                                                           B

                        En nuestra ecuación esto significa que

                                          x-2=0

                                          o bien

                                         x+8=0

                                         es decir

                                    x=2       ó     x=-8

               Respuesta: la ecuación tiene exactamente dos soluciones:

                                     x = 2,       x = - 8.
Módulo 3                                                  19
ECUACIONES

              5. Decir cuál es el error cometido si resolvemos la ecuación última así:

                                                                    2
                                                                  3x = 9x

     multiplicamos a ambos miembros por 1/x (o lo que es lo mismo dividimos ambos
                            miembros por x) y obtenemos

                                                         3x = 9

                       luego dividimos a ambos miembros por 3 y resulta

                                         x = 3 única solución.

               ¡Perdimos una solución! ¿Cuál es ? y ¿Por qué la perdimos?



                                     Respecto de la ecuación 6):

                                            2x (x + 4) = 8x + 2

                            te pedimos que la resuelvas ahora mismo
            (no se lo comentes a nadie, pero te anticipamos que tiene dos soluciones: x = 1, x = -1).



                                              La ecuación 5):
                                                 2
                                                x + 5x + 6 = 0

   tiene cierta dificultad: observemos que con las propiedades que aplicamos en las
 anteriores no logramos despejar la x; tiene la particularidad de poseer un término de
 segundo grado, otro de primero y un término constante (observá que en la 1) falta el
              término de primer grado y en la 3) falta el término constante).

 Para resolver cualquier ecuación de segundo grado podemos hacer uso de la fórmula
   que aparece enseguida (cuya deducción está desarrollada en cualquier texto de
                                  enseñanza media)

          Dada una ecuación genérica ax + bx + c = 0, con a, b y c reales y a  0, resulta:
                                                     2




                                              b  b2  4ac
                                       x
                                                   2a

si   b 2  4ac  0 , la ecuación no tiene solución en R (con R simbolizamos el conjunto
                                        de los números reales).


                  si   b 2  4ac  0 , la ecuación tiene única solución en R.

                 si   b 2  4ac  0 , la ecuación tiene dos soluciones en R.
Módulo 3                                         20
ECUACIONES


                                        Ejemplo:
                                             2
                         En la ecuación x + 5x + 6 = 0 resulta :

                                                     a=1
                                                     b=5
                                                     c=6
                                                 2         2
                                entonces b - 4ac = 5 - 4.1.6 = 1

  Como este valor es positivo, la ecuación tiene dos soluciones. Vamos a calcularlas:


                             5  5 2  4 .1 .6
                         x
                                  2 .1
                 Al considerar el "+" aparece la primera solución: -2

                      Y al considerar el "-" aparece la segunda: -3.

              Respuesta: la ecuación tiene exactamente dos soluciones:

                                    x = -2            o    x = –3.

     Podíamos haberla utilizado en los ejercicios anteriores, pero no valía la pena.


  Ahora estamos en condiciones de resolver nuestro problema original de la caja (si
      necesitás recordarlo, volvé a la página correspondiente y volvé a leerlo)

                                                               2
                  Habíamos llegado a la ecuación           3x - 36x -324 = 0.

                                 En este caso resultan

                     a=3            b = -36                        c = -324
                           2            2
                entonces b - 4ac = (-36) - 4.3.(-324) = 1296 + 3888 = 5184


                                 36  5184 36  72
        Luego            x                   
                                      2.3         6
                 De donde aparecen las dos soluciones: x = 18 , x = -6.

                                Pero, ¿qué representa x?

                           x es la medida del lado del cartón.

              ¿Tiene sentido pensar, entonces, que dicha medida sea –6?

                  No, luego la única posibilidad para x es que sea 18.

 Respuesta: la caja está hecha con un cartón cuadrado de 18 cm de lado por lo tanto al
                                                          2
                           principio se disponía de 324 cm .
Módulo 3                                         21
ECUACIONES




                6. Resolver las siguientes ecuaciones

                                2
6.1)                           x -5x + 6 = 0
                                2
6.2)                           x - 25 = 0
                                2
6.3)                           x - 10x = -25
                                    2
6.4)                           –x + 4x - 5 = 0

6.5)                            (x+1)(x-3) = -3

6.6)                           (x+5)(x-8) = 0
                                 2
6.7)                            x -5=0


5. Problemas que se resuelven con ecuaciones de segundo grado.
       Te resolvemos uno de nuestros problemas preferidos.

   En un campeonato internacional de ajedrez, cada maestro debió jugar exactamente una
    vez con cada uno de sus adversarios. Si en total se jugaron 45 partidas (y la cantidad
     de maestros es un número par). ¿Cuál fue el número de maestros que participó del
                                      campeonato?

        En general este problema no resulta nada sencillo. Sólo aparece un dato
numérico explicitado y no son obvias las vinculaciones entre el mismo, los demás datos
y la pregunta.
        Pero observaremos cómo todo esto se vuelve más claro cuando logramos ver el
"paralelo" entre esta situación problemática y el campeonato de Primera División “A”
que organiza semestralmente la Asociación del Fútbol Argentino.
        Aquí va la tabla de posiciones al finalizar el torneo clausura 1997 copiada de un
diario argentino:
                                    Equipo             Puntos     Partidos
                                                      obtenidos   jugados
                                River Plate              41         19
                                  Colón                  35         19
                                 Newell´s                35         19
                              Independiente              34         19
                              Vélez Sarsfield            32         19
                               San Lorenzo               30         19
                                  Racing                 27         19
                                 Platense                26         19
                               Boca Juniors              25         19
                                  Lanús                  24         19
                             Ferrocarril Oeste           24         19
                                  Unión                  24         19
                              Gimnasia (LP)              23         19
                                 Huracán                 22         19
                             Huracán de Ctes             21         19
                               Estudiantes               19         19
                             Deportivo Español           19         19
                             Rosario Central             18         19
                                Banfield                 16         19
                             Gimnasia (Jujuy)            14         19
Módulo 3                                     22
ECUACIONES


       En base al cuadro anterior contestaremos las siguientes preguntas:
   ¿Cuántos equipos participaron?
   ¿Cuántos partidos por fecha se disputaron?
   ¿Cuántas fechas se jugaron?
   ¿Cuántos partidos se jugaron en total?

Respuestas:
 20 equipos
 10 partidos por fecha
 19 fechas
 190 partidos en el total del campeonato

       Analicemos ahora con mucha atención para ver claramente las similitudes entre
el problema planteado y nuestro campeonato de fútbol, comprendiendo la
correspondencia entre los siguientes pares (Llamamos x a la cantidad de maestros,
incógnita del problema):

  CANTIDAD DE EQUIPOS DE PRIMERA "A"             CANTIDAD DE MAESTROS
                                    20    x
                               Otro par es:
CANTIDAD DE PARTIDOS QUE SE JUEGAN EN       CANTIDAD MÁXIMA DE PARTIDAS QUE
              UNA FECHA                     PUEDEN JUGARSE SIMULTÁNEAMENTE

                                               10    x/2
                        Pero el par anterior también puede pensarse
              MITAD DE LOS EQUIPOS                           MITAD DE LOS MAESTROS

                                            10     x/2
                  Otro de los pares (se suele decir "isomorfos") es:
    CANTIDAD DE FECHAS DE UNO DE ESTOS             CANTIDAD DE VECES QUE SE REÚNE CADA
          CAMPEONATOS DE A.F.A.                         UNO DE LOS MAESTROS A JUGAR

                                           19     x-1
       Lo anterior viene de pensar que cada equipo (o que cada maestro) juega una vez
con cada uno de los otros, pero no con sí mismo.
               Por último puede colocarse el dato numérico del problema:

    CANTIDAD TOTAL DE PARTIDOS QUE SE                   CANTIDAD TOTAL DE PARTIDAS QUE SE
    JUEGAN EN UN CAMPEONATO DE A.F.A                  JUGARON EN EL CAMPEONATO DE AJEDREZ

                                             190          45

          Pero si ahora pensamos ¿Cómo se obtuvo el número 190? La respuesta será:
          Multiplicando el número de fechas por la cantidad de partidos por fecha, o sea 19
por 10.
       Dicho de otro modo: multiplicando la cantidad de equipos menos uno por la
mitad de los equipos participantes.
       Si recordamos que x es el número de maestros (incógnita del problema) el
producto isomorfo con
                                    19 . 10 = 190
será:
                                                 x
                                      ( x  1)      45
                                                 2
que es una ecuación de segundo grado cuya única solución positiva es x = 10
(verificarlo) que, además es nada más ni nada menos que la respuesta al problema.
Módulo 3                                            23
ECUACIONES

                                        Te resolvemos otro:

                             Jorge reparte 35 revistas entre sus amigos, dándole a cada
                      uno tantas revistas como amigos son, más dos revistas. ¿Cuántos
                      amigos tiene Jorge?

                              Si simbolizamos con x a la cantidad de amigos de Jorge, la
REVISTAS
                      cantidad de revistas que reparte a cada uno es x+2. Resulta que la
                      cantidad de amigos por la cantidad de revistas que recibe cada amigo
                      es 35 o sea la cantidad total a repartir, en símbolos:
                                                      x(x+2) = 35

Cuya solución positiva (hacé vos las cuentas) es 5.

Respuesta: Jorge tiene 5 amigos.

                                     Y ahora el último resuelto:

        Guillermo fue a comprar las gaseosas para un cumpleaños. Disponía para esto
de $18. Se encontró con que cada una costaba 30 centavos más de lo esperado y por
eso el dinero le alcanzó para 3 botellas menos de las planeadas. ¿Cuántas compró?

       A veces en el aula decimos, expresándonos abreviadamente: "uno baja y el otro
sube". Nos referimos a que si el producto de dos números positivos es un cierto número
"A" y uno de los factores disminuye, para que dicho producto continúe dando por
resultado "A" el otro factor debe aumentar.

      Observá que inicialmente el número de gasesosas (n) por el precio de cada
gaseosa (p) es dieciocho. En símbolos

                                      n . p = 18                (I)

pero al aumentar "p" ($0,30 más caras), si se mantiene el dinero en $18 podrá comprar
menos cantidad de gaseosas (3 gaseosas menos)
por lo tanto la (I) se transformará en

                           (n - 3)(p + 0,30) = 18            (II)

           Para resolver podés, por ejemplo, despejar p en la (I): p = 18/n

y reemplazar en la (II):

                                 n  3 18  0,30   18
                                                   
                                       n            
           Quizá te resulte algo complicada la resolución de esta ecuación. Te sugerimos
aplicar la propiedad distributiva y luego multiplicar a ambos miembros por    n  0,
llegarás a la ecuación: n  3n  180  0 .
                             2



           De donde resulta n = 15. Luego la respuesta será que compró 12 gaseosas.


        En las parte 2 y 4 del apéndice (al final del material) podrás encontrar algunas
  consideraciones acerca de temas que se abordan en los problemas siguientes como cálculo
                                de áreas y teorema de Pitágoras
Módulo 3                                    24
ECUACIONES

7. Resolver los siguientes problemas:

7.1   El área de un campo rectangular es de 50 metros cuadrados. ¿Cuáles son sus
dimensiones si el ancho supera en 5 metros al largo?

7.2 Un grupo de escolares alquiló un colectivo en $80. Cuatro de ellos no pudieron ir a
la excursión y entonces cada uno de los que fue debió pagar $1 más. ¿Cuántos
escolares había al principio?

7.3    En un triángulo rectángulo, el cateto menor es igual a 3/5 de la hipotenusa. Ésta
supera por 3 cm al cateto mayor. ¿Cuál es la medida de cada lado? (Ayuda: recordá el
teorema de Pitágoras)

7.4     Un problema de origen hindú se presentaba en esta forma:
      Regocíjanse los monos
                                                                                     ¡Que
      divididos en dos bandos.                                                       vengan a
                                                                                     contarnos y
      Su octava parte al cuadrado                                                    listo!
      en el bosque se solaza.       Primer bando.

      Con alegres gritos, doce
      atronando el campo están.     Segundo bando.

      ¿Sabes cuántos monos hay
      en la manada, en total?
7.5 En un campeonato de fútbol en el que cada equipo juega una vez con cada uno
de sus adversarios se jugaron, en total, 66 encuentros ¿cuántos equipos
participaron?
Módulo 3                                         25
ECUACIONES

6. Respuestas
A las actividades propuestas en el módulo 3.


 1.     1.1 no                   4                     4.9 8 billetes de $2 y 10
        1.2 no                   4.1                   de $5.                      6.    x = 2, x = 3
        1.3 no                Primera persona:                                          x = 5, x = -5
                               $9.000                  4.10 40 litros y 68              única solución x =
        1.4 no
                              Segunda persona:         litros.                                5
        1.5 si                                                                          no tiene solución
                              $15.000
                              Tercera persona:         4.11 José 6 años, Pablo          x = 0, x = 2
                              $1.500                   8 años y César 3 años.           x = -5, x = 8
 2.     x = 1/5               Cuarta persona: $1.000                               x=   5, x=- 5
        x = 0,1                                        4.12 $3000, $5000 y
        x=2                                            $1500.
                              4.2 120 cajas de
       x = 10                                                                      7.
 x =77/164 (aprox. 0,46951)       lápices;             4.13 3kg del de $22 y 7     7.1 largo: 5 m. ancho:
       x = -1/2                                        kg del de $12.                  10 m.
       x = 90/17              4.3 18;
       x = -44/3                                       5. En el segundo paso       7.2 20 escolares.
                              4.4 50 kg;               dividimos      ambos
                                                       miembros por x, sin         7.3 9, 12 y 15.
 3.     x–2                                            recordar que lo que
       2x                     4.5 16 años;
                                                       sigue es válido             7.4 Existen dos
       3x + 20                                         suponiendo que x es
                              4.6 1700 metros                                      respuestas: 16 y 48.
       (x – 6)/2                                       distinto de 0. Y éste es
                                                       el valor que perdimos,      7.5 12 equipos.
                              4.7 21,5 metros          pues al analizar aparte
                                                       si 0 es o no solución,
                              4.8 22, 24 y 26          nos encontramos que sí
                                                       lo es.
Módulo 3                                      26
ECUACIONES

Te sugerimos los siguientes pasos para resolver esta evaluación:

   Imprimila o fotocopiala
   Tomá todos los elementos que acostumbres usar: papel, lápiz, corrector, goma, lapiceras,
    calculdora, etc.
   No consultes ningún material mientras la resolvés.
   Resolvela de mañana temprano o de noche tarde de modo que nadie te interrumpa, ni el
    teléfono, ni el timbre, ni amigos o familiares.
   Colocá un despertador que suene tres horas después de haberla comenzado y da por
    terminado tu tiempo disponible en cuanto suene.
   Entregásela a tu docente tutor lo antes posible sin volverla a mirar.
   Si no tenés docente tutor, mirá las respuestas en la página siguiente y autoevaluate.

                           Evaluación FINAL del Módulo 3

1) Resolver la siguiente ecuación:
                                  0,3 (- x +2) = 4,1x - 2
2) Resolverla siguiente ecuación de segundo grado:
                                       1 2 3
                                         x  x2
                                       2    2
3) En un quiosco se venden hamburguesas y gaseosas. Si en total se vendieron 596
unidades y se sabe que el número de gaseosas fue el triple que el de hamburguesas,
que el total recaudado fue de $543,85 y cada hamburguesa costaba 25 centavos más que
cada gaseosa ¿A qué precio se vendió cada producto?

4) Un triángulo rectángulo tiene sus lados tales que sus medidas son números naturales
consecutivos (en metros). Calcular la medida de la hipotenusa.

5) Dos personas poseen juntas $350.000. El dinero de la primera es tal que si poseyera
$100.000 más duplicaría el capital que ahora tiene la segunda ¿cuánto dinero posee cada
una?

6) Sabiendo que un kilogramo de naranjas y cuatro kilogramos de peras cuestan $6,50 y
que cinco kilogramos de naranjas y diez kilogramos de peras cuestan $17,50 (y que los
precios unitarios no varían) averiguar cuánto cuesta el kilogramo de cada fruta.

7) En una reunión de 420 personas se hace una colecta y se juntan $21.105 habiendo
contribuido cada adulto con $60 y cada menor con $25 ¿Cuántos adultos y cuántos
menores había en la reunión?

8) Tengo en total 60 monedas. Algunas de 50 centavos, otras de 25 centavos y el resto
de 10 centavos. El número de monedas de 25 centavos es igual al número de 10
centavos. Si en total tengo $19,60 te pregunto: ¿Cuántas monedas de cada valor tengo?

9) Un terreno rectangular tiene la medida del largo de 1,3 metros más que la del ancho. Si
es área es de 29,28 metros cuadrados. Calcular sus dimensiones (largo y ancho).

10) Un grupo de jubilados alquiló un colectivo en $2880. Doce de ellos no pudieron ir a la
excursión y entonces cada uno de los que fue debió pagar $40 más. ¿Cuántos jubilados
había al principio?
Módulo 3                                 27
ECUACIONES

 Respuestas a la evaluación FINAL correspondiente al Módulo 3

                         13                               2) x1  4
                1) x 
                         22                                  x2  1
  3) Se trata de dos problemas. Para poder
responder a lo que se pregunta primero hay
     que averiguar (cosa muy sencilla) el
   número de hamburguesas: 149 y el de
                gaseosas: 447.                4) La medida de la hipotenusa será
  Luego se averiguará lo que se pregunta.                de 5 metros.
      Respuesta: Las hamburguesas se
 vendieron a $1,10 y las gaseosas a $0,85.


 5) La primera posee $200.000 y la            6) El kilogramo de naranjas cuesta
         segunda $150.000.                   $0,50 y el kilogramo de peras cuesta
                                                              $1,50.
 7) En la fiesta había 303 adultos y              8) Tengo 28 monedas de 50
             117 menores.                         centavos, 16 monedas de 25
                                                 centavos y 16 monedas de 10
                                                            centavos.
   9) El largo es de 6,1 metros y el         10) Al principio había 36 jubilados.
         ancho de 4,8 metros.


 Muy importante: para continuar con el módulo 4 debés haber
  resuelto perfectamente al menos 7 de estos 10 ejercicios y
                         problemas.

ADEMÁS TE SUGERIMOS QUE VUELVAS A RESOLVER
            LA EVALUACIÓN INICIAL
                         FINAL DEL MÓDULO 3

								
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