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COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
2ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br
LISTA GERAL DE MATRIZES E SISTEMAS LINEARES - GABARITO
PARTE I. (Seleção de exercícios do Livro Ciência e Aplicações – Gelson Iezzi e outros)
2 1 1 1
1 – (AFA 2003) Sejam m e n números reais tais que m ≠ n e as matrizes A e B 0 1 . Qual a
3 5
relação necessária entre m e n para que a matriz C mA nB não seja inversível.
Solução. Multiplicando os escalares “m” e “n” pelas respectivas matrizes, temos:
2 1 1 1 2m n m n
i) C m. A n.B m. n. 0 1 3m
3 5 5m n
Para que a matriz C não seja inversível, seu determinante deve ser nulo.
2m n mn
ii) det C 0 0 (2m n).(5m n) (3m).(m n) 0 . Desenvolvendo a expressão e
3m 5m n
simplificando, temos: 10m2 2mn 5mn n2 3m2 3mn 0 7m2 6mn n2 0 . Resolvendo a
equação em relação a “m”, vem.
6n 8n 14 n
(6n) (6n) 4(7)( n ) 6n 36 n 28 n
2 2
6n 64 n
2 2 14 14 n
2
m m .
2( 7 ) 14 14 6 n 8n 2 n n
14
14 7
Como pelo enunciado m ≠ n, a matriz não será inversível se 7m + n = 0.
1 2 1
2 – Encontre o valor de x na matriz A sabendo que det A = 10 .
-1
3 x
1 1 1 1
Solução. Como det A conclui-se que . Logo, detA = - 10. Substituindo esse valor no
det A det A 10
1 2
cálculo do determinante de A, temos: 10 x 6 10 x 4 .
3 x
9 4
3 – Seja A-1 a inversa de A
. Determine A + A-1.
1 2
Solução. O determinante da matriz é diferente de zero. Logo, possui inversa.
9a 4c 1 9a 4c 1 22c 1 c 1 / 22
9 4 a b 1 0 a 2c 0 9a 18c 0 9a 18 / 22 a 1 / 11
1 2. c d 0 1
9b 4d 0 9b 4d 0 22d 9 d 9 / 22
b 2d 1 .
9b 18d 9 9b 36 / 22 b 2 / 11
9 4 1 / 11 2 / 11 100 / 11 42 / 11
A A1
1 2 1 / 22 9 / 22 21/ 22 53 / 22
1 2
4 – (UC – GO) Determine x a fim de que a matriz A
seja igual a sua inversa.
0 x
Solução. O produto da matriz A por ela mesma deverá resultar na matriz identidade.
1 2 1 2 1 0 1 2 2 x 1 0 2 2 x 0 x 1 2 2(1) 0
.
0 x 0 x 2
2 .
0 1 0 x 0 1 x 1 x 1 x 1 2 2(1) 0
Logo, o único valor que satisfaz é x = - 1.
a b c
x y
5 – Sabendo que 4 e d e f 10 , encontre o valor de:
z w
g h i
b a 4c a b c
5x 5 y 5 y 5x
a) 20 b) - 100 c) e d 4 f 40 d) 2d 2e 2 f - 60
z w 5w 5 z
h g 4i 3g 3h 3i
Solução. Aplicando as propriedades dos determinantes, temos:
a) A 1ª linha foi multiplicada por 5. Logo o determinante também ficará multiplicado por 5.
b) Houve uma troca de coluna que mudará o sinal do determinante. As duas linhas foram multiplicadas por
5. Logo o determinante ficará multiplicado por 25.
c) Houve a troca da 2ª coluna com a 1ª coluna mudando o sinal do determinante. A 3ª coluna foi multiplicada
por 4. Logo o determinante também o ficará.
d) A 2ª linha foi multiplicada por 2 e a 3º linha multiplicada por 3. Logo o determinante ficará multiplicado
por (2).(3) = 6.
PARTE II. (Seleção de exercícios do Professor Marcos José – CPII - UESCIII)
1 – Resolva os sistemas, classifique e indique o significado geométrico das soluções.
x 3 y 5 x y 3
a) b)
3x 2 y 1 4 x 4 y 6
Solução. Os sistemas podem ser resolvidos por qualquer método.
14
x 3 y 5 (3) 3x 9 y 15 y 11
a) 11y 14
3x 2 y 1 3x 2 y 1 x 5 3 14 55 42 13
11 11 11
13 14
Logo, S , . Sistema possível e determinado representado por retas concorrentes.
11 11
x y 3 (4) 4 x 4 y 12
b) 0 12 Im possível S . Retas paralelas distintas.
4 x 4 y 6 4 x 4 y 6
ax y 8
2 – Determine o valor de a para que o sistema seja possível e determinado (SPD).
2 x 4 y 6
Solução. O determinante da matriz dos coeficientes deverá ser diferente de zero.
ax y 8 a 1
(SPD) D 0 4a (2) 0 4a 2 a 1 / 2 .
2 x 4 y 6 2 4
x 2 y 1
3 - Determine o valor de k de modo que o sistema seja impossível (SI). Isto é, para que a
4 x 8 y k
representação geométrica da solução sejam retas paralelas distintas.
Solução. Para que o sistema seja possível e indeterminado (SI), basta que se verifique a proporcionalidade
entre os coeficientes de “x” e “y”, mas não em relação aos termos independentes. Isto é:
1 2 1 (1).(8) (2).(4) 8 8 ok.
.
4 8 k (2).(k ) (1).(8) 2k 8 k 4
Qualquer valor de “k” que não seja 4, tornará o sistema impossível.
4 – Discuta os sistemas abaixo em função do parâmetro k.
kx 2 y 3 3x 4 y 8
a) b)
4 x 6 y 9 6 x ky 7
Solução. No caso geral em sistemas 2 x 2 a análise pode ser feita partindo das situações:
a c a c e a c e
i) SPD ii) SPI iii) SI
b d b d f b d f
k 2
kx 2 y 3 4 6 6k 8 k 8 / 6 ( SPD )
a) . Não há valor de “k” que o torne impossível.
4 x 6 y 9 k 2 3 k 8 / 6 ( SPI )
4 6 9
3 4
3k 24 k 8 ( SPD )
3x 4 y 8 6 k
a) . Não há valor de “k” que o torne indeterminado.
6 x ky 7 3 4 8 k 8 ( SI )
6 k 7
OBS. Repare que em (a) o termo independente já estava na mesma razão que os coeficientes de “y”. O que
não ocorreu em (b). Isso acarreta que substituindo k = 8 no sistema (b) poderia haver a impossibilidade. Mas
esse sistema não seria indeterminado para nenhum valor de “k”.
PARTE III. (Seleção de exercícios do Professor Ivail Muniz – CPII - UE CENTRO)
1) Resolva os sistemas, se possível, e classifique-os.
x y 2z 4 x y z 6 x y 2z 5 x y 3z 4
a) 2 x 3 y z 0 b) 3 x 2 y z 4 c) 2 x 2 y 4 z 10 d) 2 x 3 y 4 z 5
5 x y z 3 5 x 4 y 3z 6 3 x 3 y 6 z 14 3 x 2 y 7 z 9
Solução. Os sistemas foram escalonados.
x y 2z 4 x y 2z 4 x y 2z 4
a) 2 x 3 y z 0 2 L1 L2 5 y 3 z 8 5 y 3 z 8 . Calculando o valor de z,
5 x y z 3 5 L1 L3 6 y 11z 17 6 L2 5L3 37 z 37
37 8 3z 8 3(1) 5 x 4 y 2z
temos: z 1; y 1; .
37 5 5 5 x 4 (1) 2(1) 4 3 1
Logo a solução é S = { 1, 1, 1}. O sistema é possível e determinado.
x y z 6 x y z 6 x y z 6
b) 3 x 2 y z 4 3L1 L2 y 4 z 14 y 4 z 14 . Calculando o valor de z,
5 x 4 y 3z 6 5L1 L3 9 y 2 z 24 9 L2 L3 34 z 102
102 y 14 4 z 14 4(3) x 6 y z
temos: z 3; ; .
34 y 14 12 2 x 6 (2) (3) 6 5 1
Logo a solução é S = { 1, 2, 3}. O sistema é possível e determinado.
x y 2z 5 x y 2z 5
c) 2 x 2 y 4 z 10 2 L1 L2 0 0 0 0 . Logo o sistema não possui solução.
3 x 3 y 6 z 14 3L1 L3 0 0 0 1 impossível
x y 3z 4 x y 3z 4 x y 3z 4
d) 2 x 3 y 4 z 5 2 L1 L2 5 y 2 z 3 5 y 2 z 3 . Calculando o valor de y,
3 x 2 y 7 z 9 3L1 L3 5 y 2 z 3 L2 L3 0 0 0
x 4 y 3z
3 2z
temos: y ; 3 2z 20 3 2 z 17 2 z . A variável z é chamada variável livre.
5 x 4 3z
5 5 5
17 2 z 3 2 z
Logo a solução é S = { , , z }. O sistema é possível e indeterminado.
5 5
2 – (ITA – SP) Seja a um número real. Considere os sistemas lineares em x, y e z. Calcule o valor de a para que o
x y z 0
sistema x 3 y z 1 admita infinitas soluções.
2 y z a
x y z 0 x y z 0 x y z 0
Solução. Escalonando o sistema: x 3 y z 1 L1 L2 4 y 2 z 1 4 y 2 z 1 .
2 y z a 2 y z a L2 2 L3 0 1 2a
1
Para que o sistema seja indeterminado o 2º membro da 3ª equação deve ser nulo. Logo, a .
2
3 - Numa loja, os artigos A e B, juntos custam R$70,00. Dois artigos A mais um C custam R$105,00 e a diferença
de preços entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$ 5,00. Qual o preço do artigo C?
A B 70
Solução. De acordo com as informações do problema, temos o sistema: 2 A C 105 . Escalonando, vem:
B C 5
A B 70 A B 70 A B 70
2 A C 105 2 L1 L2 2 B C 35 2 B C 35 . Substituindo nas equações
B C 5 B C 5 L2 2L3 C 25
C 35 25 35
anteriores, temos: B 30 ; A 70 B 70 30 40 . A resposta pedida é R$25,00.
2 2
4 - (UERJ) Um feirante separou um número inteiro de dúzias de tangerinas (t), de maçãs (m) e de pêras (p).
Observou que para cada maçã arrumada, havia 2 tangerinas. Com 90 dúzias, ele fez lotes de 6 tangerinas, lotes com
6 maçãs e lotes com 4 pêras. Colocou em cada lote, indistintamente, o preço de R$0,50. Arrecadou R$105,00 na
venda de todos eles. Calcule t, m, e p.
Solução. Utilizando os dados do problema e as letras representantes das frutas, montamos o sistema:
m 2t
6t 12t 4 p 1080 18t 4 p 1080 (2)
6t 6m 4 p 90(12) . Escalonando o
0,5t 0,5m 0,5 p 105 0,5t t 0,5 p 105 (10) 15t 5 p 105 (5)
9t 2 p 540 9t 2 p 540
sistema simplificado, vem: . Logo, p = 90. Substituindo na 1ª
3t p 210 L1 3L2 p 90
540 2 p 540 2(90) 360
equação, encontra-se t 40 e m 2t 2(40) 80 .
9 9 9
5 - Misturam-se dois tipos de leite, um com 3% de gordura outro com 4% de gordura para obter, ao todo, 80 litros
de leite com 3,25% de gordura. Quantos litros de leite de cada tipo foram misturados?
Solução. Representando a quantidade de litros de leite com 3% de gordura como “x” e com 4% como “y”, o
x y 80 x y 80
resultado final deverá ser (x + y).3,25%. O sistema é: .
3x 4 y 3,25( x y) 0,25x 0,75 y 0
x y 80 x y 80
Multiplicando por 100 a 2ª equação e escalonando, vem: .
25x 75 y 0 25L1 L2 100 y 2000
2000
Calculando “y”, temos: y 20 ; x 80 20 60 . Logo serão misturados 60 litros de leite.
100
6 - (UFF – 2000) As ligações entre as cidades A, B e C figuram num mapa rodoviário conforme ilustrado. Seguindo
esse mapa, uma pessoa que se deslocar de A para C, passando por B, percorrerá 450km. Caso a pessoa se desloque
de A para B, passando por C, o percurso será de 600km. Para se deslocar de B para
C, passando por A, a pessoa vai percorrer 800km. Determine quantos quilômetros
esta pessoa percorrerá ao se deslocar de A para B, sem passar por C.
Solução. Considerando as distâncias AB x ; BC y ; AC z , temos:
a) ABC z y 600km (distância de A até B passando por C).
b) AC B x y 450 km (distância de A até C passando por B).
c) BC A z y 800 km (distância de B até C passando por A).
x y 450 x y 450 x y 450
i) Construindo e resolvendo o sistema: y z 600 L1 L2 x z 150 x z 150 .
x z 800 x z 800 L2 L3 2 z 950
950
ii) Valor de “z”: z 475 ; x z 150 475 150 325 ; y 450 x 450 325 125 .
2
A distância pedida é AB 325km. .
7 - A soma das quantias que Fernando e Beth possuem é igual à quantia que Rosa possui. O dobro do que possui
Fernando menos a quantia de Beth mais a de Rosa é igual a 30 reais. Sabendo que a quantia que Fernando possui,
adicionada a 1/3 da quantia de Rosa, vale 20 reais, calcule a soma das quantias de Fernando, Beth e Rosa.
Solução. Considerando as quantias “x” e “y” respectivamente de Fernando e Beth, temos de acordo com as
informações que Rosa possui (x + y). Ainda de acordo com o enunciado temos o sistema:
2 x y x y 30
3x 30 x 10
x y . Logo, Rosa possui 30. O
x 3 20 3x x y 60 4 x y 60 y 60 4(10) 20
valor pedido é a soma das quantias de cada um: 10 + 20 + 30 = 60.
8 – (UERJ 2004) Numa granja há patos, marrecos e galinhas num total de 50 aves. Os patos são vendidos a R$12,00
a unidade, as galinhas a R$5,00 e os marrecos a R$15,00. Considere um comerciante que tenha gastado R$440,00
na compra de aves desses três tipos e que tenha comprado mais patos do que marrecos. Qual o número de patos
comprados pelo comerciante.
Solução. Considerando as quantidades “x”, “y” e “z” respectivamente de patos, galinhas e marrecos
x y z 50 (5) 5x 5 y 5z 250
montamos o sistema: 7 x 10z 190 . Na forma
12x 5 y 15z 440 12x 5 y 15z 440
em que está apresentado, o sistema é indeterminado. Precisamos considerar:
i) O valor de “x” é inteiro. Logo, 190 - 10z deve ser múltiplo de 7 e 10. Isto é de 70. Os múltiplos de 70
possíveis são 70 para z = 12 ou 140 com z = 5.
ii) Os valores de “x”, “y” e “z” apresentam as possibilidades:
Patos (x) Galinhas (y) Marrecos (z)
190 10(5)
x 20 y 50 (20 5) 25 5
7
190 10(12)
x 10 y 50 (10 12) 28 12
7
iii) O número de patos é maior que o número de marrecos (x > z). Logo a única possibilidade é z = 5.
20 25 5 50
Conferindo:
12(20) 5(25) 15(5) 240 125 75 440
Foram comprados 20 patos pelo comerciante.
