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									            COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III

            2ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU
                                                                         www.professorwaltertadeu.mat.br

                  LISTA GERAL DE MATRIZES E SISTEMAS LINEARES - GABARITO
PARTE I. (Seleção de exercícios do Livro Ciência e Aplicações – Gelson Iezzi e outros)

                                                                                    2 1        1 1
1 – (AFA 2003) Sejam m e n números reais tais que m ≠ n e as matrizes A                e B   0 1 . Qual a
                                                                                    3 5            
relação necessária entre m e n para que a matriz C  mA  nB não seja inversível.
Solução. Multiplicando os escalares “m” e “n” pelas respectivas matrizes, temos:

                        2 1      1 1 2m  n m  n 
i) C  m. A  n.B  m.       n. 0 1   3m
                        3 5                  5m  n
                                                        
Para que a matriz C não seja inversível, seu determinante deve ser nulo.
                  2m  n    mn
ii) det C  0                        0  (2m  n).(5m  n)  (3m).(m  n)  0 . Desenvolvendo a expressão e
                   3m       5m  n

simplificando,    temos:    10m2  2mn  5mn  n2  3m2  3mn  0  7m2  6mn  n2  0 . Resolvendo a
equação em relação a “m”, vem.

                                                                  6n  8n 14 n
    (6n)  (6n)  4(7)(  n ) 6n  36 n  28 n
                        2            2
                                                    6n  64 n
                                                     2      2     14  14  n
                                                                 
                                                                            2
m                                                          m                     .
               2( 7 )                  14               14        6 n  8n  2 n    n
                                                                                 
                                                                  14
                                                                            14      7
Como pelo enunciado m ≠ n, a matriz não será inversível se 7m + n = 0.


                                           1 2                        1
2 – Encontre o valor de x na matriz A          sabendo que det A =  10 .
                                                                   -1

                                          3 x

                   1         1                    1       1
Solução. Como det A              conclui-se que         . Logo, detA = - 10. Substituindo esse valor no
                            det A                det A    10
                                         1 2
cálculo do determinante de A, temos:               10  x  6  10  x  4 .
                                         3    x


                              9 4 
3 – Seja A-1 a inversa de A  
                                      . Determine A + A-1.
                                      
                               1  2
Solução. O determinante da matriz é diferente de zero. Logo, possui inversa.

                              9a  4c  1  9a  4c  1 22c  1  c  1 / 22
                                                        
 9 4  a b  1 0         a  2c  0   9a  18c  0    9a  18 / 22  a  1 / 11
  1  2. c d   0 1  
                        9b  4d  0   9b  4d  0  22d  9  d  9 / 22
                              b  2d  1                                               .
                                             9b  18d  9 9b  36 / 22  b  2 / 11
           9 4   1 / 11  2 / 11  100 / 11 42 / 11 
A  A1                                             
            1  2  1 / 22  9 / 22   21/ 22  53 / 22
                                                       1 2
4 – (UC – GO) Determine x a fim de que a matriz A  
                                                           seja igual a sua inversa.
                                                           
                                                       0 x
Solução. O produto da matriz A por ela mesma deverá resultar na matriz identidade.

1 2 1 2 1 0  1 2  2 x 1 0  2  2 x  0      x  1  2  2(1)  0
     .
0 x 0 x          2 
                                   2                                     .
        0 1  0   x  0 1      x  1  x  1  x  1  2  2(1)  0
Logo, o único valor que satisfaz é x = - 1.
                                a   b    c
                  x   y
5 – Sabendo que           4 e d    e    f  10 , encontre o valor de:
                  z   w
                               g    h    i
                                                           b   a    4c                  a      b    c
   5x 5 y                       5 y 5x
a)         20             b)             - 100        c) e   d   4 f  40         d) 2d      2e 2 f  - 60
    z w                         5w 5 z
                                                           h   g    4i                  3g     3h   3i
Solução. Aplicando as propriedades dos determinantes, temos:
a) A 1ª linha foi multiplicada por 5. Logo o determinante também ficará multiplicado por 5.
b) Houve uma troca de coluna que mudará o sinal do determinante. As duas linhas foram multiplicadas por
5. Logo o determinante ficará multiplicado por 25.
c) Houve a troca da 2ª coluna com a 1ª coluna mudando o sinal do determinante. A 3ª coluna foi multiplicada
por 4. Logo o determinante também o ficará.
d) A 2ª linha foi multiplicada por 2 e a 3º linha multiplicada por 3. Logo o determinante ficará multiplicado
por (2).(3) = 6.

PARTE II. (Seleção de exercícios do Professor Marcos José – CPII - UESCIII)
1 – Resolva os sistemas, classifique e indique o significado geométrico das soluções.
  x  3 y  5                                                                x  y  3
a)                                                                       b) 
  3x  2 y  1                                                               4 x  4 y  6
Solução. Os sistemas podem ser resolvidos por qualquer método.

                                                                14
    x  3 y  5   (3)  3x  9 y  15                 y  11
                                                           
a)                                         11y  14  
   3x  2 y  1          3x  2 y  1                     x  5  3 14   55  42  13
                                                                       
                                                           
                                                                      11      11      11

            13 14 
Logo, S      ,  . Sistema possível e determinado representado por retas concorrentes.
            11 11 


    x  y  3   (4)  4 x  4 y  12
b)                                        0  12  Im possível  S    . Retas paralelas distintas.
   4 x  4 y  6       4 x  4 y  6

                                               ax  y  8
2 – Determine o valor de a para que o sistema                seja possível e determinado (SPD).
                                               2 x  4 y  6
Solução. O determinante da matriz dos coeficientes deverá ser diferente de zero.

ax  y  8                  a 1
               (SPD)  D        0  4a  (2)  0  4a  2  a  1 / 2 .
2 x  4 y  6               2 4
                                                           x  2 y  1
3 - Determine o valor de k de modo que o sistema                         seja impossível (SI). Isto é, para que a
                                                           4 x  8 y  k
representação geométrica da solução sejam retas paralelas distintas.
Solução. Para que o sistema seja possível e indeterminado (SI), basta que se verifique a proporcionalidade
entre os coeficientes de “x” e “y”, mas não em relação aos termos independentes. Isto é:

  1 2 1 (1).(8)  (2).(4)  8  8  ok.
                                         .
  4 8 k (2).(k )  (1).(8)  2k  8  k  4
Qualquer valor de “k” que não seja 4, tornará o sistema impossível.

4 – Discuta os sistemas abaixo em função do parâmetro k.
       kx  2 y  3                                                          3x  4 y  8
a)                                                                        b) 
      4 x  6 y  9                                                          6 x  ky  7
Solução. No caso geral em sistemas 2 x 2 a análise pode ser feita partindo das situações:
       a c                                   a c e                                         a c e
 i)       SPD                        ii)       SPI                             iii)       SI
       b d                                   b d f                                         b d f

                   k 2
    kx  2 y  3   4  6  6k  8  k  8 / 6  ( SPD )
                   
a)                                                     . Não há valor de “k” que o torne impossível.
   4 x  6 y  9  k  2  3  k  8 / 6  ( SPI )
                   4 6 9
                   

                  3 4
                        3k  24  k  8  ( SPD )
   3x  4 y  8  6 k
                  
a)                                               . Não há valor de “k” que o torne indeterminado.
   6 x  ky  7   3  4  8  k  8  ( SI )
                  6 k 7
                  

OBS. Repare que em (a) o termo independente já estava na mesma razão que os coeficientes de “y”. O que
não ocorreu em (b). Isso acarreta que substituindo k = 8 no sistema (b) poderia haver a impossibilidade. Mas
esse sistema não seria indeterminado para nenhum valor de “k”.

PARTE III. (Seleção de exercícios do Professor Ivail Muniz – CPII - UE CENTRO)

1) Resolva os sistemas, se possível, e classifique-os.

   x  y  2z  4                x  y  z  6                x  y  2z  5                 x  y  3z  4
                                                                                            
a) 2 x  3 y  z  0          b) 3 x  2 y  z  4         c) 2 x  2 y  4 z  10       d) 2 x  3 y  4 z  5
   5 x  y  z  3               5 x  4 y  3z  6           3 x  3 y  6 z  14          3 x  2 y  7 z  9
                                                                                            
Solução. Os sistemas foram escalonados.

   x  y  2z  4                   x  y  2z  4                   x  y  2z  4
                                                                     
a) 2 x  3 y  z  0  2 L1  L2    5 y  3 z  8                   5 y  3 z  8 . Calculando o valor de z,
   5 x  y  z  3     5 L1  L3    6 y  11z  17  6 L2  5L3        37 z  37
                                                                     
                37          8  3z 8  3(1) 5    x  4  y  2z
temos: z            1; y                 1;                                .
                37            5       5     5    x  4  (1)  2(1)  4  3  1
Logo a solução é S = { 1, 1, 1}. O sistema é possível e determinado.
   x  y  z  6                       x  y  z  6               x  y  z  6
                                                                   
b) 3 x  2 y  z  4  3L1  L2         y  4 z  14               y  4 z  14 . Calculando o valor de z,
   5 x  4 y  3z  6  5L1  L3        9 y  2 z  24  9 L2  L3   34 z  102
                                                                   
             102      y  14  4 z  14  4(3) x  6  y  z
temos: z         3;                         ;                               .
              34      y  14  12  2           x  6  (2)  (3)  6  5  1
Logo a solução é S = { 1, 2, 3}. O sistema é possível e determinado.


   x  y  2z  5                     x  y  2z  5
                                      
c) 2 x  2 y  4 z  10  2 L1  L2   0  0  0  0              . Logo o sistema não possui solução.
   3 x  3 y  6 z  14   3L1  L3    0  0  0  1  impossível
                                      


    x  y  3z  4                     x  y  3z  4            x  y  3z  4
                                                                
d) 2 x  3 y  4 z  5  2 L1  L2    5 y  2 z  3            5 y  2 z  3  . Calculando o valor de y,
   3 x  2 y  7 z  9   3L1  L3     5 y  2 z  3   L2  L3   0  0  0
                                                                
                    x  4  y  3z
           3  2z
temos: y         ;         3  2z        20  3  2 z 17  2 z . A variável z é chamada variável livre.
              5     x  4          3z              
                               5               5          5
                         17  2 z 3  2 z
Logo a solução é S = {           ,        , z }. O sistema é possível e indeterminado.
                            5        5

2 – (ITA – SP) Seja a um número real. Considere os sistemas lineares em x, y e z. Calcule o valor de a para que o

        x  y  z  0
        
sistema  x  3 y  z  1 admita infinitas soluções.
         2 y  z  a
        

                                x  y  z  0              x  y  z  0              x  y  z  0
                                                                                      
Solução. Escalonando o sistema:  x  3 y  z  1  L1  L2 4 y  2 z  1            4 y  2 z  1 .
                                 2 y  z  a               2 y  z  a    L2  2 L3 0  1  2a
                                                                                      
                                                                                                          1
Para que o sistema seja indeterminado o 2º membro da 3ª equação deve ser nulo. Logo, a                     .
                                                                                                          2

3 - Numa loja, os artigos A e B, juntos custam R$70,00. Dois artigos A mais um C custam R$105,00 e a diferença
de preços entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$ 5,00. Qual o preço do artigo C?

                                                                     A  B  70
                                                                    
Solução. De acordo com as informações do problema, temos o sistema: 2 A  C  105 . Escalonando, vem:
                                                                    B  C  5
                                                                    

 A  B  70                   A  B  70                  A  B  70
                                                         
2 A  C  105  2 L1  L2    2 B  C  35               2 B  C  35  .      Substituindo   nas      equações
B  C  5                    B  C  5      L2  2L3     C  25
                                                         
                         C  35 25  35
anteriores, temos: B                   30 ; A  70  B  70  30  40 . A resposta pedida é R$25,00.
                           2       2
4 - (UERJ) Um feirante separou um número inteiro de dúzias de tangerinas (t), de maçãs (m) e de pêras (p).
Observou que para cada maçã arrumada, havia 2 tangerinas. Com 90 dúzias, ele fez lotes de 6 tangerinas, lotes com
6 maçãs e lotes com 4 pêras. Colocou em cada lote, indistintamente, o preço de R$0,50. Arrecadou R$105,00 na
venda de todos eles. Calcule t, m, e p.
Solução. Utilizando os dados do problema e as letras representantes das frutas, montamos o sistema:

m  2t
                          6t  12t  4 p  1080           18t  4 p  1080  (2)
6t  6m  4 p  90(12)                                                          . Escalonando o
0,5t  0,5m  0,5 p  105 0,5t  t  0,5 p  105  (10)  15t  5 p  105  (5)


                               9t  2 p  540            9t  2 p  540
sistema simplificado, vem:                                             . Logo, p = 90. Substituindo na 1ª
                               3t  p  210     L1  3L2  p  90
                            540  2 p 540  2(90) 360
equação, encontra-se t                              40 e m  2t  2(40)  80 .
                               9           9       9

5 - Misturam-se dois tipos de leite, um com 3% de gordura outro com 4% de gordura para obter, ao todo, 80 litros
de leite com 3,25% de gordura. Quantos litros de leite de cada tipo foram misturados?
Solução. Representando a quantidade de litros de leite com 3% de gordura como “x” e com 4% como “y”, o

                                                          x  y  80             x  y  80
resultado final deverá ser (x + y).3,25%. O sistema é:                                               .
                                                         3x  4 y  3,25( x  y)  0,25x  0,75 y  0
                                                                  x  y  80                 x  y  80
Multiplicando por 100 a 2ª equação e escalonando, vem:                                                  .
                                                                  25x  75 y  0 25L1  L2 100 y  2000
                               2000
Calculando “y”, temos: y            20 ; x  80  20  60 . Logo serão misturados 60 litros de leite.
                               100

6 - (UFF – 2000) As ligações entre as cidades A, B e C figuram num mapa rodoviário conforme ilustrado. Seguindo
esse mapa, uma pessoa que se deslocar de A para C, passando por B, percorrerá 450km. Caso a pessoa se desloque
de A para B, passando por C, o percurso será de 600km. Para se deslocar de B para
C, passando por A, a pessoa vai percorrer 800km. Determine quantos quilômetros
esta pessoa percorrerá ao se deslocar de A para B, sem passar por C.

Solução. Considerando as distâncias AB  x ; BC  y ; AC  z , temos:

a) ABC  z  y  600km (distância de A até B passando por C).

b) AC B  x  y  450 km (distância de A até C passando por B).

c) BC A  z  y  800 km (distância de B até C passando por A).

                                        x  y  450                    x  y  450               x  y  450
                                                                                                
i) Construindo e resolvendo o sistema:  y  z  600  L1  L2          x  z  150             x  z  150 .
                                        x  z  800                    x  z  800    L2  L3    2 z  950
                                                                                                
                         950
ii) Valor de “z”: z           475 ; x  z  150  475  150  325 ; y  450  x  450  325  125 .
                         2

A distância pedida é AB  325km. .
7 - A soma das quantias que Fernando e Beth possuem é igual à quantia que Rosa possui. O dobro do que possui
Fernando menos a quantia de Beth mais a de Rosa é igual a 30 reais. Sabendo que a quantia que Fernando possui,
adicionada a 1/3 da quantia de Rosa, vale 20 reais, calcule a soma das quantias de Fernando, Beth e Rosa.
Solução. Considerando as quantias “x” e “y” respectivamente de Fernando e Beth, temos de acordo com as
informações que Rosa possui (x + y). Ainda de acordo com o enunciado temos o sistema:

2 x  y  x  y  30
                      3x  30          x  10
     x y                                                              . Logo, Rosa possui 30. O
 x  3  20           3x  x  y  60 4 x  y  60  y  60  4(10)  20

valor pedido é a soma das quantias de cada um: 10 + 20 + 30 = 60.

8 – (UERJ 2004) Numa granja há patos, marrecos e galinhas num total de 50 aves. Os patos são vendidos a R$12,00
a unidade, as galinhas a R$5,00 e os marrecos a R$15,00. Considere um comerciante que tenha gastado R$440,00
na compra de aves desses três tipos e que tenha comprado mais patos do que marrecos. Qual o número de patos
comprados pelo comerciante.
Solução. Considerando as quantidades “x”, “y” e “z” respectivamente de patos, galinhas e marrecos

                        x  y  z  50          (5)  5x  5 y  5z  250
montamos o sistema:                                                          7 x  10z  190 . Na forma
                       12x  5 y  15z  440          12x  5 y  15z  440
em que está apresentado, o sistema é indeterminado. Precisamos considerar:

i) O valor de “x” é inteiro. Logo, 190 - 10z deve ser múltiplo de 7 e 10. Isto é de 70. Os múltiplos de 70
possíveis são 70 para z = 12 ou 140 com z = 5.
ii) Os valores de “x”, “y” e “z” apresentam as possibilidades:
                                      Patos (x)               Galinhas (y)          Marrecos (z)
                                    190  10(5)
                               x                20     y  50  (20  5)  25           5
                                         7
                                    190  10(12)
                              x                  10    y  50  (10  12)  28         12
                                         7

iii) O número de patos é maior que o número de marrecos (x > z). Logo a única possibilidade é z = 5.

              20  25  5  50
Conferindo: 
              12(20)  5(25)  15(5)  240  125  75  440
Foram comprados 20 patos pelo comerciante.

								
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