potencias, ra�ces y logaritmos�

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potencias, ra�ces y logaritmos� Powered By Docstoc
					           Módulo de auto aprendizaje:




                               Autores:
                               -Franco Cantarutti
                               -Mauro Frías
                               -Tomas Ramírez
                               Docente encargado:
                               -Orlando Torres


créditos   Osorno, chile 13 / mayo / 2005
                                            Comenzar
                     Créditos
Acerca de los autores.
Franco Cantarutti
   (tercero medio A)
Mauro Frías
   (tercero medio B)
Tomás Ramírez
  (tercero medio B)
Plan diferenciado:
   Matemático
Alumnos del colegio San
   mateo de Osorno
Primero a nivel nacional
   en colegios
   subvencionados.
                           seguir
Edición y producción:
Departamento matemático
Ω .Inc.
Actualmente compuesto
por:
Dirección general:
Franco Cantarutti.
Corrección de estilo:
Mauro Frías.
Dirección grafica:
Tomás Ramírez
Diseño y diagramación:
Todo el equipo
Participación externa:
Orlando Torres (Docente)
                           Volver
                          Prologo
El módulo de autoaprendizaje para 1medio que tienes en tus manos, esta
orientado para que adquieras un aprendizaje en potencias, raíces y
logaritmos desde una perspectiva matemática, propiciándote una base
para la comprensión de fenómenos matemáticos, destacando el trabajo
individual, la constancia de trabajo, la idealización de un método de
trabajo y una discusión que te permitirá obtener conclusiones validas en
el ámbito de esta ciencia.
Esta obra se destaca por ofrecer una interesante red de actividades que
realizaras tu. El objetivo es que logres realizar un estudio comprensivo e
interactivo, basado en tu propia experiencia, que te impulse a
comprometerte con las metas u objetivos a lo largo de este trabajo.
El trabajo aquí entregado esta estructurado según los siguientes temas.


Capitulo 1 potencias.
Capitulo 2 raíces.
Capitulo 3 logaritmos.
                                                                   Seguir
                   contenidos
1. Potencias
1.1 potencias
1.2 propiedades de las potencias
1.3 ecuaciones exponenciales
2. Radicación
2.1 raíces
2.2 propiedades de las raíces
2.3 racionalización
2.4 ecuaciones irracionales
3. Logaritmos
3.1 logaritmos
3.2 propiedades


                                   Seguir
Representación grafica de la obra
              Hola yo soy Ahome y al igual que tu, estoy
             empezando en esto de las raíces, potencias
                             y logaritmos.
                Te pido un ratito de tu tiempo para que
              conozcas a mis amigos a quienes les pedí
             que me ayudaran en este modulo para que
                         podamos aprender.




                                                Seguir
Bueno estos son mis amigos que
  nos ayudaran durante este
           modulo.




              Yo soy Inuyasha, genio
                en potencias, yo les
              ayudare con los difíciles
                    exponentes


  Yo soy Miroku, el mejor en Raíces yo con mi
   sabiduría y tus ganas de aprender lograre
      enseñarles el mundo de las raíces.




                                                Seguir
          Yo soy el ultimo de los amigos de
         ahome, soy el mas sabio de los 3 y
         les voy a enseñar sobre los difíciles
                     logaritmos.




Ahora que te presente a
mis amigos podemos ir
 donde Inuyasha a ver
 que son las potencias




                                                 Seguir
Seguir
       El inventor del ajedrez, le presento su novedosa creación al rey de
Dirham, en la india, este quedo tan fascinado por el juego que le ofreció
cualquier cosa que el deseara como recompensa.
   Ante este ofrecimiento el ingenioso inventor le propuso al rey que le diera
simplemente, un grano de trigo por el primer casillero del tablero, dos por el
segundo, cuatro por el tercero, ocho por el cuarto y así sucesivamente
duplicando la cantidad del casillero anterior hasta llegar al ultimo.
   El rey se extraño por la modesta petición del súbdito y mando a que se
cumpliera su petición.
   Horas mas tarde llego el encargado de los graneros afligido diciendo que
no se podía cumplir con la petición del inventor...
               - ¿Adivinas que paso?
El encargado le explico a el rey, y le dijo que no había suficiente trigo en los
graneros del reino, ni siquiera en los de todo el mundo!
  El rey quedo atónito y no lo pudo creer,




                       ¿Y como es posible
                             esto?




                                                                                   Seguir
Bueno ahome, esto es muy sencillo, En el primer casillero el
 numero de granos es igual a uno, en el segundo cuadro es
dos, en el tercero cuatro, en el cuarto ocho, y así hasta el 64,
            este es un procedimiento muy lento si.




       ¿Y que haríamos para simplificar este
                 procedimiento?




       •Para sacar el valor tendríamos que hacer lo
       siguiente: el primer cuadrado 1x1 en el siguiente 2x1
       luego 2x2 , de hay 2x2x2 y así sucesivamente.
       •Con potencias el primer numero quedaría como 20 ,
       el segundo como 21, el tercero como 22 y el cuarto
       como 23 Por que en potencias la base que en este
       caso es 2 se multiplica tantas veces como el numero
       de exponente tenga.




                                                                   Seguir
¿Ósea que tendríamos que sumar
  20+21+22+23..........hasta 263?
                                     Si ahome como veras es un numero muy grande, solo como
                                    ejemplo el 263 es igual a 2x2x2x2….x2 63 veces y ese numero
                                    me dio 9.223.372.036.854.775.808, lo que no es el total ya que
                                    nos falta sumar todos los números anteriores y como veras no
                                                  es un numero para nada pequeño.




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                              Definición de potencia
                              Bueno, ¿entendieron lo que es realmente
                                          una potencia?

                                Yo si, pero parece que mi amigo no mucho


                               Bueno, lo explicare mas detenidamente.
                                          Tomen atención.




Una potencia es un numero que llamaremos “a” que arriba
de este se encuentra otro numero que llamaremos “n”
de esta forma:
                                                    n               Al “n” se le llama exponente de la potencia

                                               a                    Al “a” se le llama base de la potencia
“a” es el número en cuestión,”n” es
la cantidad de veces que se          Se define de esta forma: an=a•a•a•a• •a (n veces)
multiplica por si mismo.
                                  Las potencias sirven para expresar la
                                  multiplicación de un dato que se repite una cierta
                                  cantidad de veces


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            Ahora veamos si entendiste
            Calculemos el valor de (-2)3

Aplicando la definición tenemos:
(-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8
Calculemos el valor de -34
Observamos que la base de la potencia es 3
 ( y no -3) expresándola en forma de
 producto nos queda:
-34 = -3 • 3 • 3 • 3 = -81



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         Ahora resuelve tú




                             Soluciones:
                             -16

2      4                   16




 2            
             4               Como conclusión se puede decir
                             que cuando un término que es
                             antecedido por un signo negativo
                             se eleva a un exponente impar el
                             término siempre será el mismo
                             que al inicio, en cambio elevado a
                             un número par se logrará el signo
                             contrario al inicial.

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     Potencias con exponente 1
Es igual a la base de la potencia, es decir:

a1=a ejemplos: 101=10; 31=3
Ejercita:
          Soluciones:
1) 71=    1)7
2) 221=   2)22
          3)4
3) 41=    4)6

4) 61=    En todo caso, sea cual sea, la base será igual a si misma
          si el exponente es 1.

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     Potencias con exponente -1
es igual al inverso multiplicativo de la base, es decir:
a-1=1/a ejemplos: 5-1=1/a ; (1/2)-1=2
Ejercita:
     1               Soluciones:
  2
1)   ___           1) 2
  4
2)2,3  ___
      1              2) 10/23
3)81  ___           3) 1/8
           1
    2             4) 3/10
4) 5      ___
           
    3 


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         Multiplicación de potencias de igual base


Para multiplicar potencias de igual base mantenemos la base y
  sumamos los exponentes, es decir:
an • am = an+m
al revés cuando tenemos una base con una suma en el
   exponente la podemos descomponer, es decir:
an+m = an • am




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          Ejercicio resuelto
  Expresemos en forma de potencias: aquí
  tenemos el producto del término (-1/2) cinco
  veces (el término se repite 5 veces).En este
  caso lo que se hace es sumar los
  exponentes de todos los términos, dejando
  solo un término.
                                                 5
 1  1  1  1  1   1 
              
 2  2  2  2  2   2 

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Resuelve estos ejercicios para ver
   como vas manejando esta
           propiedad
      1)a  a  ___
             3          5


          2)b  b  b  ___
                2       3    6


          3)5  5  ___
                    4

                2 x4 y          x2 y
          4)a               a            ___
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                      Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
   espero que te haya ido bien.
1)a8
2)b11
3) 55
4)a3x+2y

 Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes
 las nociones de esta propiedad clara, si crees que
 costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de
 reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de
 este módulo y encontrarás algunos links para
 reforzarte.



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División de potencias de igual base
• En este caso, mantenemos la base y restamos
   los exponentes, es decir:
an : am = an-m
al revés cuando tenemos una base con una resta
   en el exponente la podemos descomponer, es
   decir:
an-m = an : am




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                        Ejercicio resuelto
En el primer caso, se aplica la propiedad que si se tiene una misma base, se
      pueden restar los exponentes. Lo que se demuestra paso a paso.




                                        6 2
  x :x  x
       6              2
                                                    x          4


(a  b)          3
                   3 2
           (a  b)  (a  b)
(a  b) 2




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Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta
propiedad


                    16
                m
              1) 6  ____
                m
                x x
                  6  5
              2) 5 4  ____
                x x
                         4         5
                2 2
              3)  :    _____
                5 5
                  x 1 x 1
              4)m : m  _____
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                       Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te
   haya ido bien.
1)m10
2)x2
3) 2/5
4)m2


  Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes
  las nociones de esta propiedad clara, si crees que
  costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de
  reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de
  este módulo y encontrarás algunos links para
  reforzarte.


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     Potencia con exponente 0
                      Ejercita:
Es igual a 1:
                      1) 30=___       3)-20=___
a0=1, 00= no existe   2) (1/2)0=___   4) 10=___


                      Soluciones:
Ejemplos:
                      1)1 3)-1
 50=1                 2)1   4)1
-40=-1



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 Potencia con exponente negativo

Es la misma propiedad que con exponente a
  -1,solo que ahora, cuando se da vuelta al
  ser negativo el exponente, no queda en 1,
  sino que en n.
a-n=1/an ; a≠0 ejemplo: 3-2=(1/3)2=1/32=1/9
Ejercitemos:                   Soluciones:

1)-2-2=___ 3)(1/3)-2=___       1)-1/4 3)9
                               2)1/4 4)16
2)(-2)-2=___ 4) (22/23)-4=___

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    Potencia de una potencia
Aquí debemos elevar la base a la multiplicación
de los exponentes.
(am)n = an • m
En el caso contrario si tenemos una base con
exponentes multiplicándose se pueden
distribuir.
an • m = (am)n




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                Ejercicio resuelto
  1. Desarrollemos      (a2 :a6)2
  Primero tenemos que aplicar la propiedad, multiplicando
      los exponentes, luego aplicando las propiedades ya
      conocidas deberíamos poder llegar a un término.



a 
   2    2
        a     a  
                 22
                     1       4
                              1
 6   62  12  12 4   8  a 8
a 
      a    a   
                  a          a

       Seguir
Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando
                    esta propiedad

                  2
    a b   2 4
                 
  1) 6
     x            ___
                 
                
              2a b c 
           4 2 3 2
   2) 3a b c               2 5   3
                                       ___

  3)9 x y z   ___
                     1
           6     4 2 2



  4)a   ___
              3
       0 , 25 4




  Seguir
                      Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
   espero que te haya ido bien.
1) (a4b8)/x12
2) 72a2b19c9
3) 3x3y2z
4) a3/16
 Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes
 las nociones de esta propiedad clara, si crees que
 costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de
 reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de
 este módulo y encontrarás algunos links para
 reforzarte.


   Seguir
         Potencia de un producto
Elevamos el producto de las bases al
exponente común.
an • bn = (ab)n
Por el contrario si tenemos 2 un paréntesis
elevado a un numero, los componentes del
paréntesis se pueden separar.
(ab)n = an • bn



Seguir
              Ejercicio resuelto
 Primero se aplica la propiedad de mantener el exponente y multiplicar
 las bases, luego solo resolvemos la potencia resultante.




3  5  3  5  60
 4            4                             4




 Seguir
Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando
                    esta propiedad




      1) x  a  8  ___
           3      3


      2)a  b   2q   ___
                      2            2

            4 p 1        4 p 1
      3)a     b     ___
      4)8  27  ___
  Seguir
                      Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
   espero que te haya ido bien.
1) (2ax)3
2) [2q(a+b)]2
3) (ab)4p-1
4) 63
 Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes
 las nociones de esta propiedad clara, si crees que
 costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de
 reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de
 este módulo y encontrarás algunos links para
 reforzarte.


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             Potencias de 10
             •Se muestra cuando tenemos 10
             elevado a un número cualquiera:




100 = 1                104 = 10000
101 = 10               105 = 100000
102 = 100              106 = 1000000
103 = 1000             107 = 10000000

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             Notación científica
• Se utiliza para expresar grandes cantidades en
  números mas pequeños.
• Para poder expresar un numero como notación
  científica se debe elegir un numero entre 1 y 10 y
  luego hacer el producto entre este y una potencia de
  10.
• Ej.:
- La velocidad de la luz: 300.000 Km/s = 3•105 Km./s
- El tamaño de una célula: 0,000008 metros = 8•10-6
  metros


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 Ejercitemos juntos, para aprender
          esta propiedad
Primero se tiene que dejar
   lo mas reducido el
   número que multiplica al
                                             4
                               0,0003 3  10
   10, no puede ser decimal,
   ni menos pasarse de 10
   unidades, se cuentan los
   0, por cada cero será un
   digito más.                 800.000 000  8  10
                                      .           8

Si es decimal, o sea un
   número minúsculo, el
   exponente es negativo y
   si el número es muy
   grande, es positivo el
   exponente.

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 Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando
                     esta propiedad


1) 0,0000000065 3)0,00000000000121
2) 123.000.000  4) 567.000.000.000



Soluciones:
1) 6,5 • 10-9 3) 1,21 •10-12
2) 1,23 • 108 4)5,67 • 1011

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Potencia con exponente fraccionario
• Esta potencia consta del exponente fraccionario, que se trabaja
  de la siguiente forma, se eleva la base a el numerador de la
  fracción y luego se hace la raíz de esta, y cuyo índice
  corresponde a el denominador de la fracción.
         1                    m

       a n a
         n                  a  n am
                              n

• Y por otro lado se puede trabajar inversamente, es decir al ver
  una raíz la podemos transformar en potencia poniendo el índice
  como denominador y el exponente que tenga el radicando
  como numerador en la potencia que se formaría
                                  5
                3
                    a a
                      5           3


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     Resuelve estos ejercicios para ver como
         vas manejando esta propiedad


     1                                  Soluciones:

1)25 2    _____
                                        1)5
     1       2
2)64 2    814     _____               2)17
                                        3)-1
     1        1
                                        4)10
3)1253    2163        _____
      1           1
4)17283       16 4    ____


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    Ecuaciones exponenciales
• Aquí se trabaja con los exponentes como los
  elementos de la ecuación
• Lo mas difícil de estas ecuaciones es igualar las
  bases
• Una ves igualada las bases se aplica la siguiente
  propiedades y se igualamos exponentes:


             a a nm
               n       m



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                     En el ejemplo b, se igualo
• Ejemplos:
                   para poder hacer la ecuación,
a)
                    cuando ya se igualo esta, se
32x-5=3x-3
 2x-5=x-3
                   trabaja deforma normal como
x=2                una ecuación de primer grado.
b)4x+3=82x+9

b)
(22)x+3=(23)2x+9
x+3=2x+9

-4x=21
x= -4/21




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                      Resuelve estos ejercicios para ver tu aprendizaje,
                          ya queda poco, para terminar potencias




1)9      2 x 5
                   81                3)256 x  4  4 2 x  3
                                           1
         2( x 4)
2)3                   1              4)128 x  1

Soluciones:
1) x=7/2 3)x=-1
2) x=4    4) x=0/1= no solución en los reales


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Reforzamientos varios:

                         2 0  21  2 2  23  ___
   2  ___
     2

                         (12) 1  (12) 1  ___
   3  ___
     2
                         1  2 1  2  2  2 3  ___
   ( 2) 3  ___         (0,02) 2  (0,02)  2  ___
                                                          3
   10  ___
         1
                            4    1 
                                   1              2 0

                            3                            ___
   ( 1,1)  ___
             3
                            5 
                                   2 
                                        
     3 6                   3   2 
                                          1   0

   (    )  ___            11                   ___
      4                     5  
                                     
        1 3
   ( 1 )  ___               1
                         2 5 2
                                        2           3

        4                         ___
                         5 2 5
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  Problema de profundización:

Alfredo recibe una carta pidiéndole que
participe en una “cadena”, enviándole
copia de la misma carta a 3 otras
personas, cada una de las cuales debe
enviarle un cheque por $1000 a vuelta
del correo. Él, a su vez, debe enviar
$1000 al remitente de la carta que
recibió. Si cada persona que recibe una
carta de esta “cadena” procede como
indicado, todos harán beneficios.
¿dónde esta la trampa?
Descúbrelo a través de tus
conocimientos adquiridos.



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                                  Raíces
                    En este nuevo capitulo encontramos lo contrario de la
                  potencias, las raíces, es decir las potencias se simplifican
                             (eliminan) con las raíces y viceversa


               ¿Pero con que términos trabajaremos ahora en este capitulo
               de raíces, si en potencias a=base, y n=exponente, ahora
               como es esto?


               Bueno tenemos 3 terminos con los que trabajaremos los
                                   cuales son:

Índice de la raíz                                         Operante
                                 n
                                      a                  Cantidad subradical o radicando

Las raíces tienen sus comienzos en las potencias y por ello se puede
  hacer el proceso inverso que en el caso de las potencias, por lo tanto:
                 1
    n
        a a     n

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       Propiedades de las raíces
      Bueno apliquemos lo anterior aprendiendo las
      propiedades de las raíces, veamos la primera:


Raíz de una potencia con exponente igual al índice.
• Si se tiene un índice igual a el exponente que tiene el
  radicando, que esta dentro de la raíz se puede dejar el
  radicando como potencia, una base elevado a una
  fracción de la siguiente forma:


                 1     
                       n              Al elevar a n la raíz n-esima de
                                      a estamos simplificando el
n
    a n  ( a )  a  a1
               n n     
                       n              proceso anterior por lo cual el
                                      numero quedaría el numero




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• Veamos unos ejemplos:


               2               Aplicando la propiedad,
    5 5 5 5
     2         2   1           vemos que el índice y el
                               exponente del radicando
                               se deja en forma de
               3
                               potencia, por lo tanto igual
3
    7 3  7  71  7
               3               numerador y denominador
                               dan como resultado 1, así
               p               se dice que se simplifico o
                               elimino la raíz y se
    x x x x
p    p         p       1       convierte en una simple
                               base elevado a 1 lo que
                               da como resultado la
                       5
           5               1   misma base, como vemos
    2 2 2 2    5       en los ejemplos.
5          
    5 5 5 5

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Ahora te toca a ti trabajar:


            1. 6     2


             2. 59 
                 4        4


             3. 23 
                 3        3


             4. 48 
                 5        5




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Raíz de un producto:
        Ahora si se tiene una raíz de 2 o más términos que se estén
  multiplicando, se pueden separar en otras dos raíces (las cuales tienen
    el mismo índice que la primera raíz) que se multipliquen, como se
                           muestra a continuación.


   n
        a b  n a  n b

   Así también podemos hacer el proceso inverso,
 donde el producto de dos raíces de igual índice que
           puede agrupar en una sola raíz


    n
        a  n b  n a b


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                   Resolvamos juntos estos ejercicios, separando
                   cada raíz en dos productos de raíces y
                   resolviéndolas por separado, luego se multiplica y
                   se obtiene el resultado correspondiente:



4
    1296  4 16  81  4 16  4 81  2  3  6
3
    27000  3 125  216  3 125  3 216  5  6  30
    4  25  4  25  100  10
3
    8  3 27  3 8  27  3 216  6



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 Trabaja tu:


1. 3  12 
2. 3a  2a  6 
3. 2 x  4 x  8 x 
  3            3       3


4. 5 p  5 p  25 p 
  4       3        4   7   4   6




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                      Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
   espero que te haya ido bien.
1) 6
2) 6a
3) 4x
4) 5p4

 Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes
 las nociones de esta propiedad clara, si crees que
 costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de
 reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de
 este módulo y encontrarás algunos links para
 reforzarte.



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    * Pasemos a Raíz de un cuociente:

• De la raíz de una fracción o división se puede separar en
  2 raíces pero que poseen el mismo índice que la anterior
  y esas dos nuevas raíces se dividen ahora.
           a na            ** Ahh!!!!!! pero entonces es muy similar a
      n      n            raíz de un producto
           b    b
  * Ahora se puede invierte la situación donde se une el numerador con raíz y
  el denominador con raíz siempre y cuando tengan el mismo índice, como se
  muestra a continuación:

       n
           a n a
       n
             
           b   b

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         Resolvamos algunos ejemplos para
                 aprender mejor:


         18
18 : 2      6                             Pero parta poder
          2                                 resolver algunos
                                            ejercicios no solo
          125                               debemos dividir,
125 : 5       25  5                      sino también
           5                                aplicar
                                            propiedades de
           26a
26a : 2a       13                         las potencias
                                            como es la resta
           2a                               de exponentes

                444a 3
444a 3 : 111a          42
                111a


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• Vamos te toca ahora

                           Si tienes alguna duda
           240
                ______    no vaciles en repasar
                           la materia.!!!!
           60
      3
           216
          3
                ______
            8
           4096
      4          ______
            16
           600
                ______
            6


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                Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios
  anteriores, espero que te haya ido bien.
1) 2
2) 3
3) 2
4) 10
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya
  tienes las nociones de esta propiedad clara, si
  crees que costo, o tienes dudas, consulta
  bibliografíca de este módulo y encontrarás
  algunos links para reforzarte.

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                   ¿Y que pasa ahora con Raíz de una raíz?



*            Bueno aquí simplemente se multiplican los
             índices y se deja al final una sola raíz con
             índice igual al producto de los índices. Como
             se puede ver:




       n m
             a      nm
                            a



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Bueno ya que vamos tan avanzados estos ejemplos, los pasaremos volando,
¿o no?:




          2  22 2  4 2
    a b
          x    ab
                      x   ab
                                 x
    3 4
          531441          34
                                 531441  531441  3
                                              12


    3 a
          1    3a
                      1  1 1
                         3a




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              Sigue multiplicando tu los índices
                  y resuelve los siguiente:




         1.       4
                      64  ____

         2.   5 4 3
                       1  ____
         3.           81  ____
         4.   4
                      729  ____


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                Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios
  anteriores, espero que te haya ido bien.
1) 2
2) 1
3) 3
4) 13
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya
  tienes las nociones de esta propiedad clara, si
  crees que costo, o tienes dudas, consulta
  bibliografíca de este módulo y encontrarás
  algunos links para reforzarte.

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   Pasemos a amplificación y
   simplificación del índice de una
   raíz:


Para esto se amplifica o simplifica tanto el índice
  como el exponente de la cantidad subradical,
  por un termino o numero en particular, ejemplo:

                       n p       1 p
              n
                  a          a

                          a 
                      n       x          n: y       x: y
                                                a
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       Resolvamos estos ejercicios:




10
     25  5     10:5
                       25   5:5
                                   25  5
                                         12
     3 4 
         3         2 •3
                          3 
                            1•3   3• 2
                                         4      3  4  432
                                                6   3     2     6



     * • En el primer ejercicio hay que reducir la raíz para resolver
     mas fácilmente, así queda como resultado 5
     • En el segundo se debe amplificar para igualar denominadores,
     ya que no se puede multiplicar raíces de distinto índice, luego se
     puede resolver como cualquier otro problema.




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• Comprobemos si aprendiste bien de que se trata la
  amplificación y simplificación de raíces.

              6
                   7  _____
                    2


              2
                   5  _____
                   3


              15
                   4  _____
                    5


              3
                   p  _____
                    4




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                   Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
  espero que te haya ido bien.
    1. 3 7
     2. 5 5
    3. 3 4
     4. p 3 p
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las
   nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o
   tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y
   encontrarás algunos links para reforzarte.


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Factor de una raíz como factor:
* En palabras simples es pasar un número que
multiplique toda la raíz dentro de ella, para esto se debe
elevar el termino al índice de la raíz y ponerlo dentro
multiplicándolo por los otros términos dentro de ella, así
se pueden aplicar otras operaciones como la suma de
raíces de igual índice.
Se da de la siguiente forma: a b  ban        n        n


** Entonces se utiliza para simplificar una raíz que pareciera ser
no entera a un termino mas fácil de comprender y trabajar:

                288  12  2  12 2
                               2



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Vamos resolvamos:



           20  2  5  2 5
                        2


       7 2  7  2  98 2           * Se puede ver dos
                                    posibilidades:
                                    • simplificar una
       3
           250  5  2  5 2
                    3       3   3   raíz, dejándola mas
                                    simple
                                    • O realizar una
                                    raíz, juntando
                                    términos, pero de
                                    esta forma queda
                                    una raíz muy
                                    compleja.




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Racionalización de denominadores:
• La idea es dejar los denominadores sin expresiones con
raíces para poder trabajar mas fácilmente.
• Consiste en eliminar los radicales de los denominadores.

     3    3 2    3 2 3 2
                    
      2    2 2     4   2
      3   3 2     3
                     3 22
                               3 2 3    2
                                        3 2      3    2       3    2
                                   
    3
       2 3 2  3 22 3 2  22    3
                                  2 3     2
En el segundo caso debemos amplificar por una cifra, para que el
radicando quede, al multiplicarse, elevado al mismo índice, para así poder
eliminarse con la raíz, y en el denominador queda sin términos con raíces.

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• En el caso de tener una sustracción o adición de raíces cuadradas, se aplica
la suma por diferencia con la cual las raíces en los denominadores se
eliminan, multiplicando el numerador denominador por su diferencia (positiva
o negativa), así se eliminan las raíces en el denominador.
• Se presentan los siguiente casos de expresiones:


 1                1 5  2                        5 2              5 2
                                                                
5 2                   
                 5 2  5 2              5   22        2
                                                                     3
 1                 1 5  2                       5 2              5 2
                                                                
5 2                   
                 5 2  5 2              5   22        2
                                                                     3




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    Luego tenemos un caso complejo de raíces cúbicas, y para ello se debe
    amplificar usando la formula dada de potencias cúbicas:

                   a   3
                             b3   a  b   a 2  ab  b 2 
                   a   3
                             b3   a  b   a 2  ab  b 2 

     2       2                    3
                                  3    2
                                            6  3 22     2 3
                                                                3   2
                                                                         6  3 22   
                                  3                  2 
         3      
3
    3 2
       3
            3 2
               3                  3    2
                                            6   3    2                 5

    Hay otros tipos mas de nacionalización que son mucho mas específicos pero
    evoquémonos en lo esencial, y vamos resolvamos ejercicios.




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             • Cuando  tenemos una adición en trinomios se agrupan
             dos términos para dejarlos como suma por diferencia a
             la hora de multiplicar, así luego de resolver queda una
             suma por diferencia simple:
    3                                
                               3 5  2  3                            
                                                                     5 2  3                              
                                                                                        3 5  2  3 3 5  2  3                
 5 2 3
         
                                    
                            5 2  3  5 2  3
                                                
                                                             5 2   3 
                                                                         2      2
                                                                                    
                                                                                         5  2  3  2 10
                                                                                                          
                                                                                                            4  2 10
                                                                                                                     

3      5 2          3 3 
                           
                                  5  2  3  2  2  10    5  2  3  2       10                        
                                                                                                         5  2  3  2  10   
         
         4  2 10                4  10  4  2 10   16  8 10  8 10  4       100
                                                                                            
                                                                                                               4




                            Luego de resolver el trinomio, se resolvemos
                            el binomio resultante igual que si fuera suma
                            por diferencia, y así se elimina términos con
                            raíces en el denominador, y en este caso nos
                            queda con denominador 4.



                    Seguir
Te invitamos a resolver los siguientes ejercicios:




         2
     1)       _____
          2
             3
     2)            _____
           2 5
          1
     3) 3     _____
           9




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                   soluciones
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
  espero que te haya ido bien.

      1. 2
       2. - 2  5
             3
          81
       3.
          9
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las
   nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o
   tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y
   encontrarás algunos links para reforzarte.
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Ecuaciones irracionales:
son aquellas en que la incógnita está como cantidad subradical,
para poder resolverás necesitas elevar la ecuación al índice de
la raíz, para eliminarla:

        Ejemplos:                            6  3 3x  3   3       / ()2
                                             6 + 3 3x + 3   9       /-6
                                                  3
                                                      3x + 3  3     / ()3
 2x  1  2  7                   /   -2              3x + 3 = 27      /- 3
    2x - 1        = 5             /   () 2                 3x = 24    :
                                                                     /3
   2x - 1       2
                        5 
                              2
                                                            x =8
    2x - 1            = 25        / +1
         2x           = 26         / : 2
            x         =   13




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     Practiquemos un poco

   1. x  1  x  3

               2. x  3  5
  3. x( x  3)  x  5

               4. x  4  3  x  2
                   2



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                    Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
  espero que te haya ido bien.
    1. x1  5   x2  2
    2. x  28
             25
      3. x 
             13
             3
      4. x 
             2
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las
   nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o
   tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y
   encontrarás algunos links para reforzarte.

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Cotrol: veamos si aprendiste

                                       3n 
                                2n n    2




   3
        8 + 6 82 + 6 43        15
                                       64a6 
         1                  1

   64 + 0,027 
         3                  3

         1          1
                                n
                                    a 3nb4n 
                 
   4     2
             +8     3
                        
                                    18a 5
                                          
    2 64 + 73 27                   16c 3


                                    16x3
    n
         a b c 
             4n 2 n n
                                          
                                     9 y5
        7a8b4 
                                    3 + 3 - x - 1 2
         x 2 3
                               5 - 3x + 1  0
         x 2 2
           2
                                   8x2  9  2x  3
          52                        1 - 2 14
              3                               
                                      7 2
             5 3

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              La definición de logaritmo es la siguiente:
 El logaritmo en base a de un número n, es otro número b, tal que
                    cumple esta ecuación: ab = n.
           Dicho matemáticamente loga n = b ==> ab = n.
 No continúes mientras no te grabes esta definición en tu cabeza
              de tal manera que no se te olvide nunca.
Si lo comprendes puedes continuar.
Supongamos que el logaritmo en base a de un numero n1 sea b1 (loga
n1 = b1).
Entonces ab1 = n1.
Supongamos que el logaritmo en base a de un numero n2 sea b2 (loga
n2 = b2).
Entonces ab2 = n2.
Supongamos que nos piden que calculemos el logarítmo del producto
n1.n2, y digamos que es b. Si tenemos en cuenta las igualdades
anteriores nos queda:
loga n1.n2 = loga ab1.ab2 = b
ab = ab1.ab2 = ab1+b2



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  Para que esta igualdad se cumpla b = b1 + b2, por lo tanto el
  logarítmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de
  los factores.

De igual manera se demostraría que el logarítmo de un cociente es la
  diferencia de los logaritmos del numerador y denominador, y con
  un poco más de trabajo que el logarítmo de una exponenciación es
  igual al exponente por el logarítmo de la base.

  Ya podemos responder a la pregunta de para qué sirven los
  logaritmos: Hace no muchos años, no había ordenadores, ni
  calculadoras, y por lo tanto multiplicar y dividir (y muchisimo mas la
  exponenciación) cuando los números implicados eran grandes, era
  una tarea árdua (y casi seguro que se cometían errores). Con los
  logarítmos las multiplicaciones se convierten en sumas, las
  divisiones en restas y la exponenciación en multiplicaciones, con lo
  que se facilitaban mucho las operaciones. Una vez obtenido el
  resultado se calculaba el antilogarítmo para obtener el numero real.




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Vamos a hacer algunos ejercicios




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   Ejercicios para resolver:




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            Gratificaciones:
• Haz pasado todo el modulo, espero que te
  haya servido de mucho, ya que a mi si,
  consúltalo cada vez que quieras repazar
  algún concepto o algún dato especifico.
• A continuación están los links y la
  bibliografía mas exhaustiva para tu
  comodidad, para poder profundizar mas
  aun los temas propuestos en este
  programa.

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                     Bibliografía:
• Libros:
- algebra arrayán.
 potencias páginas 295 a 307
 Raíces páginas 307 a 329
 logaritmos páginas 329 a 353
- Mare nostrum primero medio
 Potencias páginas 26 a 35
- Mare nostrum tercero medio
 Potencias y raíces páginas 14 a 41
- Mare nostrum cuarto medio
 potencias, exponenciales, funciones páginas 10 a 38
- Libro san mateo tercero medio matemático 2005
 potencias páginas 15 a 24
 Raíces páginas 24 a 31


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• Recurso “software e Internet”
- Encarta 2004 “software” definiciones.
-www.areamatematica.cl
 Apuntes y talleres.
-http://soko.com.ar/matem/matematica/logaritmos.html
Consultas habladas a:
Sra. Paola Cantarutti (ingeniera electrónica)
Sr. Álvaro Orellana (ingeniero civil electrónico)

Gracias a:
 Docente a cargo del proyecto, Orlando torre.
 Web master de la pagina del colegio, JC Palma.




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Fin!!!!!!

				
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