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FUNCION CUADRATICA by 177P72yh

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									                     Estudio Completo


                                   de la


               FUNCIÓN CUADRÁTICA



          Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas disciplinas como,
por ejemplo, Física, Economía, Biología, Arquitectura. Son útiles para describir
movimientos con aceleración constante, trayectoria de proyectiles, ganancias y
costos de empresas, variación de la población de una determinada especie que
responde a este tipo de función, y obtener así información sin necesidad de
recurrir a la experimentación.

         Además las características geométricas de la parábola son tales que
tienen otras aplicaciones, tales como los espejos parabólicos en los faros de los
coches y en los telescopios astronómicos. Los radares y las antenas para
radioastronomía y televisión por satélite presentan también este tipo de diseño.




                          Prof. Viviana Lloret
                URL Blog: http://aulamatic.blogspot.com
                                                  Indice

Función Cuadrática.....................................................................................3
Signo y valor absoluto de a ..........................................................................3
Desplazamiento de f(x)= ax 2 .......................................................................3
Raíces o ceros de la función: ........................................................................4
Ecuaciones cuadráticas: ...............................................................................4
Construcción del gráfico ...............................................................................4
Análisis Completo ........................................................................................5
  Conjunto Imagen .....................................................................................5
  Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento ..................................................5
  Conjunto de Positividad y Negatividad .......................................................5
  Máximo o mínimo .....................................................................................6
Discriminante - Tipo de soluciones: ...............................................................6
Expresiones de la función cuadrática: ............................................................7
Problemas de máximos y mínimos: ...............................................................7
Propiedad de las raíces ................................................................................7
Sistema de dos ecuaciones (lineal y cuadrática - cuadrática y cuadrática) ..........8
Ecuaciones bicuadradas ...............................................................................8
Parábola determinada por tres puntos ...........................................................8
Ejercitación..............................................................................................10
                                 FUNCION CUADRATICA

Son las funciones de la forma: f(x)= a .x 2+ b. x + c. Dom f: 
Su gráfico es una curva llamada parábola.
a se llama término cuadrático, b término lineal y c término independiente




Signo y valor absoluto de a
                    a>0                                       a>0
                 |a1|>|a2|                                 |a1|>|a2|




                                                                 ) (
                                              Int. crecimiento         Int. decrecimiento




                     ) (
Int. decrecimiento         Int. crecimiento



Desplazamiento de f(x)= ax 2
Si trasladas el gráfico de f(x)= x2 p unidad hacia la derecha, y k unidades hacia
arriba obtienes el gráfico de la función: g (x)=a (x - p)2 + k, siendo su
vértice el punto: V = (p; k)



Ejemplo: La siguiente gráfica corresponde al
desplazamiento de la función f(x)= x2, 4.58 unidades
hacia la derecha y 3.92 unidades hacia arriba, su
fórmula es f(x)= (x – 4.58)2 + 3.92




Raíces o ceros de la función:
Son las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con el eje x. Para
hallarlas, si es que existen, en la fórmula de la función se reemplaza la variable y
por 0 y se resuelve la ecuación.

Ecuaciones cuadráticas:
Todas pueden resolverse aplicando la fórmula (primero se reducen a la forma
a .x 2+ b. x + c = 0 realizando todas las operaciones posibles):
                                             b  b  4ac
                                                      2

                                  x1, x 2 
                                                  2a
   Si la ecuación no tiene término lineal (b = 0), se despeja directamente la
    incógnita.

   Si la ecuación no tiene término independiente (c = 0), se extrae factor común
    x. En este caso, x =0 es siempre una de las soluciones. La otra se obtiene
    igualando a 0 el otro factor.

Construcción del gráfico



           Se calcula                     Se marca en el gráfico
           Se aplica la fórmula           Si las raíces son reales se
           resolvente y se obtienen las   marcan los puntos de
           raíces x1 y x2                 contacto con el eje x en x1 y
                                          x2




                                                                                    4
           Coordenadas del vértice :      Vértice : V ( xv ; yv)
           xv = (x1 + x2 ) /2
                       o

           xv = -b /2a                    Eje de simetría: recta vertical
                                          que pasa por xv (se marca
           yx = f(xv ) - Se reemplaza     con línea punteada).
           en la función x por xv -

                                          Punto de contacto con el eje
           Ordenada al origen : (0 ; c)   y. Se aprovecha el eje de
                                          simetría para obtener puntos
                                          simétricos.

Análisis Completo
Conjunto Imagen

En general: Si a > 0   el conjunto imagen de f(x) es [xv; +∞).

            Si a < 0 el conjunto imagen de f(x) es (-∞; xv].



Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento

Las funciones cuadráticas presentan un tramo en el que son crecientes y otro en
el que son decrecientes.

Si a>0, la función f(x) es creciente en el intervalo ( xv ;+ ∞) , y decreciente en
el intervalo (-∞;xv).

Si a<0, la función f(x) es creciente en el intervalo (-∞;xv) , y decreciente en el
intervalo (xv;- ∞).

Conjunto de Positividad y Negatividad



Las raíces reales de una función, si es que existen, nos permitirán determinar los
intervalos en los cuales la función es positiva y los intervalos en los cuales es
negativa.

Los intervalos de positividad (c+) de una función f(x) son los intervalos de x en
los cuales la función es positiva, es decir, donde f(x)>0.

Los intervalos de negatividad (c-) de una función f(x) son los intervalos de x en
los cuales la función es negativa, es decir, donde f(x)<0.



                                                                                     5
Máximo o mínimo



Si a>0 la ordenada del vértice ( yv) es el valor mínimo que alcanza la función, lo
toma en xv.

Si a< 0 la ordenada del vértice ( yv) es el valor máximo que alcanza la función,
lo toma en xv.

Se lo llama extremo.

Ejemplo: Dada la función f(x)= x2 +x - 3.75




Discriminante - Tipo de soluciones:

                                     > 0  Dos raíces reales
                       2
                                    distintas
               =b         -4ac      = 0  Una raíz real doble

                                     < 0 No tiene raíces reales, es decir, la
                                    gráfica no corta al eje x, las raíces son
                                    números complejos conjugados




                                                                                   6
             >0                     =0                              <0


Expresiones de la función cuadrática:




                  Forma                 Expresión              Parámetros
                Polinómica         f(x) = a x2 + bx +c           a, b, c
                 Canónica       f(x) = a ( x - xv ) 2 + y v     a, xv, yv
                Factorizada   f(x) = a ( x - x1 ). ( x - x2)    a, x1, x2




Problemas de máximos y mínimos:
   Si a > 0 la función alcanza un mínimo en la ordenada del vértice de su
    gráfica, es decir en x = xv la función alcanza su valor mínimo yv.

   Si a < 0 la función alcanza un máximo en la ordenada del vértice de su
    gráfica, es decir en x = xv la función alcanza su valor máximo yv.

Propiedad de las raíces
   Son las relaciones que existen entre las raíces x1 y x2 de una función
    cuadrática y los coeficientes a, b, y c de su fórmula polinómica.
                         x1 + x2 = - b                 x1 . x2 = c_
                                       a                           a

Esta propiedad es muy útil para hallar la fórmula de la función cuadrática
conociendo sus raíces.


Inecuaciones cuadráticas, intervalos de positividad y negatividad.
 Intervalos de positividad C +: Es el conjunto de valores de x en los cuales f(x)
  > 0.
 La curva está por encima del eje x

   Intervalos de negatividad C - : Es el conjunto de valores de x en los cuales




                                                                                   7
   f(x) < 0.
 La curva está por debajo del eje x
Ejemplo: Hallar los C +, C - de f(x) = 3 (x - 2) (x + 4)

Sistema de dos ecuaciones (lineal y cuadrática - cuadrática y cuadrática)
Dadas una función cuadrática f(x) y una función lineal g(x) para hallar los puntos
en que sus gráficos se intersecan - si es que lo hacen-, se igualan sus fórmulas y
se obtiene una ecuación cuadrática. Se opera para llevarla a la forma
a x2 + bx + c =0 y, de acuerdo con su discriminante, pueden presentarse estos
tres casos :
                                                                        g(x)
                            g(x)
                                             P
                        Q

                                                        g(x)
         P
                                                 f(x)                          f(x)


                > 0 F(x)              =0                        <0
En el caso de cuadrática y cuadrática se procede de igual forma.

Ecuaciones bicuadradas

Son las expresiones de la forma a x 4 + b x 2 + c = 0, las cuales se resuelven
haciendo un cambio de variable:
Sea, por ejemplo, resolver x 4- 4 x2 - 12 = 0, sustituimos x2 por w

            Si w = x2       w2 - 4 w - 12 = 0 aplicando la fórmula para el cálculo
de raíces, obtenemos

             w1 = -2        y        w2 = 6, luego

             si w = -2 -2 = x2
                        -2 = x  x1 =  2 i          y x2 = - 2 i


             si w = 6  6 = x2
                         6 = x  x3 =  6 y             x4 = - 6
, es decir tiene en total 4 raíces.

Parábola determinada por tres puntos
Tal como vimos, la expresión de una función cuadrática requiere de tres
parámetros, que obtenemos a partir de los coeficientes, las coordenadas del
vértice y/o las raíces reales, si es que existen.
Obtengamos ahora la expresión de una función cuadrática conociendo tres



                                                                                      8
puntos cualesquiera que pertenecen a su gráfico.
Ejemplo: Hallar la expresión polinómica de la función cuadrática cuyo gráfico
contiene los puntos P1= (-1; 6), P2=(2; 3), P3=(3; 10)
Trabajaremos con la fórmula: y = ax2 + bx + c
Como los tres puntos pertenecen al gráfico de f(x), reemplazamos las
coordenadas de cada uno en su expresión:
P1= (-1; 6)  x = -1; y = 6  a(-1)2+ b(-1)+c = 6  1.a - 1 b + c = 6
P2= (2; 3)   x = .... ; y = …  a(2)2+ b(2)+c = 3   4a+2b+c=3
P3= (3; 10) x = ....; y = …  a(…)2+ b(…)+c = ….  9 a + 3 b + c = 10
Observen que nos quedo planteado un sistema de tres ecuaciones lineales con
tres incógnitas, para resolverlo utilizaremos determinantes:
          6 1      1                       1 6 1
          3 2       1                       4 3 1
         10 3       1                       9 10 1
      A=                 a=2         b=                  b = -3
          1 1      1                       1 1 1
          4 2       1                       4 2 1
          9 3       1                       9 3 1


         1     1    6
         4     2     3
         9     3    10
      c=                 c=1    , luego la fórmula pedida es f(x)= 2 x2 -3x
          1    1    1
          4     2    1
          9     3    1
+1




                                                                                9
EJERCITACIÓN FUNCION CUADRÁTICA

1-
a) Graficar las siguientes funciones:

f(x)= (x + 5 ) 2 - 8                           g(x) = -3 x 2 - 6 x + 12

h(x) = x 2 - 4 x + 4                            t(x) = - x 2 + 3x

b) Indiquen para cada una, cuál es el valor máximo o mínimo y los
intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

2-Completar la siguiente tabla :

                        A         vértice      Ecuación de la Parábola
                         2       ( 2 ; -3)
                        -1     ( -1 / 2 ; 1)
                       3/ 4     (0 ; 4/ 5)
                        3        (-5 ; 3)
                      - 1/ 2   ( 2 ; - 2)
                         4        (3 ; 0 )

3-Hallen las raíces de las siguientes funciones :
                      2
f(x) = ( x - 3 )          -9                    j(x) = x 2 + 3 x + 2
             2                                                2
g(x) = 4 x       -5x                           k(x) = - 4 x       +4x-1
             2
h(x) = - x       -4

4-Resuelvan las siguientes ecuaciones:

- 0,5 x 2 + 8 = 0
3 x 2 + 2,5 x = 0
(2 x ) 2 - 3 = 6
3x(7-x)=0
2 x2 - 3 x + 1 = 1/ 2 ( 2x + 2)
6 (1/ 3 X+ 1/ 2) = x 2 + 3

5- Hallen los números enteros que verifiquen la condición pedida en
cada uno de los siguientes casos:
a) La diferencia entre el cuadrado de su triple y el cuadrado de su
doble es 125.
b) El producto entre su consecutivo y su antecesor es 399.
c) El triple del cuadrado de su consecutivo es 147.

6-Grafiquen las siguientes funciones. Para ello determinen
previamente las raíces reales, las coordenadas del vértice, la
ecuación del eje de simetría y el punto de intersección con el eje de
las ordenadas.
                   2                                                    2
        m(x) = x       -2x-8                   p(x) = - 0,5 ( x + 1 )       - 1,5

        n(x) = - x 2 + 6 x - 9
                       2
        q(x) = - x         -x-2                l (x) = (2 x - 1 ) ( x + 2,5 )

7- Hallen la fórmula de una función cuadrática que cumpla con las
condiciones pedidas en cada caso.

a) Su gráfico pasa por el punto (3 ; - 1/ 2 ) y su vértice es
V =(-2 ; 0 ).

b) El vértice de su gráfico es: V = (0 ; 3 ) y x = 2 es raíz.

c) El vértice de su gráfico es V = (-2 ; 1) y la ordenada al origen es 4.

d) Las raíces son x1 = - 3 y x2 = 3 y el máximo es 4.


8- Sin resolverlas, indiquen el tipo de raíces que tiene cada una de las
siguientes ecuaciones:

3 x - x2 + 0,1 =0                 b) x   2
                                             + 4 =0         c) 3 x 2- 1/ 2 = 0

9- Hallen los posibles valores que puede tener k para que se cumpla
la condición pedida en cada caso.

a) La función f(x)= - x 2 + x - k tiene una raíz doble.

b) La ecuación 3 x2 + k = 0 no tiene solución en R.

c) El gráfico de la función g(x) = - k x2 + 1 interseca el eje de
abscisas en dos puntos.

d) La ecuación x 2 + x = 5 k tiene dos raíces reales distintas.

10- Cuál es la máxima superficie que se puede abarcar con una soga
de 100 m dispuesta en forma rectangular sobre el piso ?

11- Al poner a prueba un nuevo automóvil se comprobó que para
velocidades mayores que 10 km/h y menores que 150 km/h, el
rendimiento de nafta r (en km/litro) está relacionado con la velocidad
v (en km/hora) mediante la función:
                  r (v) = 0,002 v ( 180 - v ),



                                                                                11
Completen la tabla:


                    v(km / h )      40            110
                    R (km / l )           6,4


Calculen a qué velocidad el rendimiento es máximo y calculen dicho
rendimiento.

12- Hallen la superficie de un cuadrado cuya diagonal mide 10 cm

13- Un matrimonio tiene, de cada hijo, tantos nietos como hijos. Si la
cantidad de hijos y de nietos es 56, Cuántos hijos y nietos tiene?

14- Se dispara desde la superficie una bala de cañón que sigue una
trayectoria parabólica con un alcance de 100 metros y una altura
máxima de 15 metros. Hallen la fórmula de la función cuadrática que
describe su trayectoria

15- Resolver las siguientes ecuaciones:

x ( x 2 - 3x ) - 4 ( x - 1 ) = x3               b) x   2
                                                           + x   +1=0
          2              2
(x + 1)       =(1-3x)                            d) 2 x - 1 =    x___
                                                        x     -3 x + 4

16- El cuadrado de un número entero es igual al siguiente
multiplicado por - 4. Cuál es el número?
17- La suma de los cuadrados de tres números enteros consecutivos
es 50. Cuáles son esos números?
18- Por qué número natural hay que dividir al número 156 para que
el cociente, el resto y el divisor coincidan?

19- El área del rectángulo de la figura es 18 cm 2 . Calcula su
perímetro.
                         x-2


                                         x+1


20- Los lados de un rectángulo tienen 5 cm y 8 cm de longitud. Se
cortan los cuatro lados en un misma longitud x con lo cual el área
disminuye 22 cm 2. Cuánto se acortaron los lados?

21- Reconstruye las ecuaciones de segundo grado conociendo sus



                                                                         12
raíces:

a) x1 = 5 ; x2 = -3
b) x1 = x2 = 5
c) x1= 2 + i ; x2= 2 - i
d) x1 = 1 + 2  2    ;      x2 = 1 -2  2

22- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:


   y = 2 x 2+ 3 x – 5           y = 2 x 2- 2 x - 2

   y = (x - 1)   2              y = 2x + 4


  y = 2 x 2+ x - 3              y=-x    2
                                            - 4 x +12

  y = -2x + 2                   y = x 2+ 6



23- Indicar cómo es el discriminante asociado a cada una de las
funciones graficadas




24- Para cada una de las siguientes funciones cuadráticas, hallar las
coordenadas del vértice de la parábola correspondiente, la imagen y
los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Trazar el gráfico
correspondiente.

a) f(x) = -3 (x-2)(x+5)

b) f(x)= 1- (x+6)2


                                                                    13
c) f(x)= x2 - 2x -15

d) f(x)= 6 x2 -x -1

e) f(x)= -2x2 -5x +3

25- Elegir cuál de las siguientes funciones corresponde a cada uno de
los gráficos

F1(x)= x2 - 4x + 4

F2(x)= 1/3 x2 – 2/3x – 2

F3(x)= -x2 + 3x – 3

F4(x)=-2 x2 + 12x -2




26- Completa en tu carpeta.




                                                                   14
                                             2                2
                               m(x)=(x - 1) +2 n(x)=(x+3)         -1
             Eje de simetría                          x= -3
             Vértice                 (1;2)
             Conjunto imagen


27- La fórmula y = (x+4)2 +3 corresponde a la parábola y=x2
desplazada .........unidades hacia ............. y ...............unidades
hacia .................. Su vértice es el punto (.....;.....).

28- Halla los ceros, el conjunto de positividad y negatividad de las
siguientes funciones.

a) f(x) = -3 (x-2)(x+5)

b) f(x)= 1- (x+6)2

c) f(x)= x2 - 2x -15

d) f(x)= 6 x2 -x -1

e) f(x)= -2x2 -5x +3

29- Hallar las funciones f, g y h

a) El gráfico de f es una parábola de vértice (3,5) y pasa por el punto
(2,3).

b) El conjunto de ceros de g es {-3,4} y la Imagen de g es

Im g [2; -∞)

c) El intervalo de positividad de h es (2,8) y la Im h = (-∞; 1].

d) Su gráfico pasa por el punto ( 3 ; - 1/ 2 ) y su vértice es

V = ( -2 ; 0 ).

e) El vértice de su gráfico es : V = ( 0 ; 3 ) y x = 2 es raíz.

30- Un artesano hace cajas de madera con tapa, en forma de
paralelepípedo de base cuadrada. El lado de la base es el doble de la
altura de la caja. La placa de madera tiene un costo de $5 el metro
cuadrado y las varillas que adornan todas las aristas cuestan $0,20 el
metro. ¿Cuáles son las dimensiones de una caja cuyo costo en
materiales es de $4?




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31- Dos fabricantes de cierto artículo con una producción x ( en miles
de unidades) obtienen respectivamente una ganancia p ( en miles de
pesos) de:

            p1(x)= -x2 + 7.5 x - 8.5         p2(x)= x- 0.7

a) Grafiquen ambas funciones.

b) ¿Cuántas unidades deben producir ambos fabricantes para obtener
la misma ganancia? ¿A cuánto asciende dicha ganancia?

32- Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba. Su altura (en
metros) sobre el suelo, t segundos después del disparo, está dada
por                    s(t)= -4,9 t2 + 110 t

a) ¿Para qué valores de t el proyectil asciende? ¿Para cuáles
desciende?

b) Hallar el instante en que alcanza la altura máxima y calcularla.

c) Hallar el tiempo en que demora el proyectil en llegar al suelo.

d) Si otro proyectil es disparado en iguales condiciones, pero a 50 m
del suelo, hallar su altura sobre el suelo t segundos después del
disparo. Resolver a), b) y c) para este caso.

33- Un constructor debe hacer una ventana rectangular. Para el
marco dispone de 3,20 metros de varilla metálica. Hallar las
dimensiones de modo que el área de abertura sea máxima.

34- Encontrar el punto perteneciente al gráfico de f(x)= 3x – 1 más
cercano al punto P = (4,1).

35- Hallen la expresión polinómica de la función cuadrática f(x) cuyo
coeficiente cuadrático es 2 y cuyo gráfico contiene los puntos (2;18)
y (-2;2).

36- El gráfico de la función cuadrática g(x) interseca el eje y en y =
24 y contiene los puntos P=(1;24) y Q=(2;16). Encuentren una
expresión de g(x).

37- La función cuadrática h(x) carece de término lineal y su gráfico
pasa por el punto P=(3;15) y por el punto Q=(2;0). Hallen una
expresión de h(x).

38- El gráfico de la función cuadrática j(x) contiene el punto P=(3;2)
e interseca los ejes exactamente en los mismos puntos en los que lo



                                                                         16
hace el gráfico de la función lineal r(x)=-4x + 8. Hallen una expresión
de j(x).




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