Mathematik Formelsammlung

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					Mathematik Formelsammlung
Kantonsschule Zug


1. Algebra
1.1 Termumformungen
Binomische Regeln
a  b 2  a 2  2ab  b 2        a  ba  b  a 2  b 2
a  b 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
Binomischer Lehrsatz
                  n           n                         n
                                                                n
 a  b  a n    a n 1b    a n  2 b 2 ...b n     a n  k b k
        n

                 1            2                       k 0  k 



1.2 Binomialkoeffizienten

 n       n!        n         n   n  1  n  1
                        ;                
 k  k !n  k  !  n  k     k   k   k  1

1.3 Potenzen, Wurzeln

                                                       a x  b x   ab
                                                                             x
           1
ap                         a a  a    x y

                                                                                     a 
                              x   y
           ap                                                            x             x y
                                                                                              a xy
                                         x y                      a
  p
                             a :a  a
                              x   y
                                                       a x :b x   
a  ap
  q    q
                                                                   b

1.4 Logarithmen

log a b  x  a x  b
                                             u
log a (uv )  log a u  log a v       log a    log a u  log a v
                                             v
log a (u x )  x  log a u

Basiswechsel
                                                                                 n
          log b x                                                      1
log a x                              ln x  log e x    mit e:  lim1    2.71828...
          log b a                                                n   n




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1.5 Folgen und Reihen
Arithmetische Folge                                Arithmetische Reihe
an  1  an  d  an  a1  n  1d                        a a
                                                   sn  n  1 n
                                                             2

Geometrische Folge                                 Abbrechende geometrische Reihe
a n+1
             a  a1  q n 1                                 qn  1
      =q     n                                     sn  a1 
 an                                                          q 1

                                                   Unendliche geometrische Reihe

                                                   n 
                                                            a
                                                   lim sn  1
                                                           1 q
                                                                 unter der Voraussetzung q  1

Summe der ersten n natürlichen Zahlen              Summe der ersten n Kubikzahlen
                       nn  1                                         n 2  n  1
                                                                                     2
1  2  3  ....  n                              1  2  3 .... n 
                                                    3   3   3        3
                          2                                                    4

Summe der ersten n quadratischen Zahlen
                           nn  12n  1
12  2 2  32 .... n 2 
                                  6


Konvergenz
Monotoniekriterium für Folgen
Jede monoton wachsende (bzw. fallende) nach oben (bzw. nach unten) beschränkte
Folge hat einen Grenzwert.

Leibnizkriterium für alternierende Reihen
Jede alternierende Reihe a1  a 2  a3  a 4  ... , deren Glieder eine Nullfolge bilden, hat
einen Grenzwert s. Es gilt die Abschätzung s  sn  an1



1.6 Quadratische Gleichung

                                b  b 2  4ac
ax2  bx  c  0                   x1,2 
                                     2a
Die Diskriminante D  b2  4ac entscheidet über die Anzahl der reellen Lösungen.

Satz von Viëta
            b                   c
x1  x2           x1  x2 
            a                   a




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2. Planimetrie
2.1 Rechtwinkliges Dreieck
Satz des Pythagoras
a2  b2  c2

Kathetensatz (oder Satz des Euklid)
a 2  cp und b2  cq

Höhensatz
h 2  pq

2.2 Gleichseitiges Dreieck

      3 2             3
A     a       h       a
     4               2

2.3 Dreieck
     gh                                      a bc
A       s s  a  s  b s  c mit s 
     2                                          2

2.4 Quadrat

A  a2      d a 2

2.5 Parallelogramm
A  gh

2.6 Trapez
     ac
A       h  mh
      2

2.7 Kreis
u  2r      A  r 2

Bogen
   r                           
b          Einheitskreis
                        :   x           arc
   180                          180

Sektor
    r 2 r 2 x r  b
A            
    360   2     2

                                                 Seite 3
Segment
               r
                     2
                                       r2
A        sin        x  sin  
    180          2                  2

Zentriwinkelsatz
  2
Umfangwinkelsatz
  '
Sehnen-Tangenten-Winkelsatz
  '


3. Stereometrie
                  Volumen V                     Oberfläche A          Mantelfläche
                                                                      M
Würfel           V  a3                         A  6a2

                                                                                         a,b,c
Quader           V  abc                        A  2(ab  ac  bc)
                                                                                         Seiten
Prisma           V  Gh                                                                  G
                                                                                         Grundfläche
                                                                                         h Höhe
                       Gh
Pyramide         V
                        3
Pyramiden-             h                                                                 G1
                 V      ( G1  G1G2  G2 )
stumpf                 3                                                                 Grundfläche
                                                                                         G2
                                                                                         Deckfläche
Zylinder          V  Gh  r 2h                                      M  2rh

                       Gh r 2 h
Kegel            V                                                  M  rs            s Mantellinie
                        3        3
                       h 2
Kegel-           V        (r1  r1r2  r22 )                         M  s(r1  r2 )
stumpf                  3
                       4 3
Kugel            V        r                    A  4r 2
                        3
Kugel-                 h 2                                                              h Höhe der
                 V         ( 3r  h)           A  2rh ( Kappe)
segment                 3                                                                Kugelkappe
                       2 2
Kugel-           V        r h                                                           h Höhe der
sektor                  3                                                                dazugehörige
                                                                                         n Kugelkappe




                                                   Seite 4
                         h
Kugel-              V        (3r12  3r22  h2 )                                         r1, r2 Radien
                         6                           A  2rh ( Zone)
schicht                                                                                   der
                                                                                          Schnittkreise
                         
Dreh-               V       r 2h
paraboloid             2
                       4
Ellipsoid           V    abc                                                             a, b, c,
                        3
                                                                                          Achsen




4. Trigonometrie
Einheitskreis                                              Rechtwinkliges Dreieck




                                                                   Gegenkathete      Ankathete
                                                           sin                 cos
                                                                    Hypotenuse       Hypotenuse
sin   cos(90)
                                                                    Gegenkathete       Ankathete
                                                           tan                  cot
                                                                     Ankathete        Gegenkathete
sin2   cos2   1
        sin                        cos
tan                    cot  
        cos                        sin 

                                              1                                     1
tan   cot   1         1  tan2                              1  cot2  
                                            cos2                                sin2 


4.1 Additionssätze:
sin     sin   cos   cos   sin 
cos     cos   cos   sin   sin 
                 tan   tan 
tan    
                1  tan   tan 

Formeln für doppelte, dreifache und halbe Winkel

sin( 2 )  2  sin   cos 
cos( 2 )  cos2   sin 2   1  2 sin 2   2  cos2   1
             2  tan 
tan( 2 ) 
            1  tan2 

                                                        Seite 5
sin(3)  3  sin   4  sin3                 cos(3)  4  cos3   3  cos

            1  cos                      1  cos 
sin 2    
        2                   cos 2    
                                    2
                2                             2
           1  cos       sin 
tan               
     2
             sin       1  cos 


Umformen von Summen in Produkte

                                        
sin   sin   2  sin             cos
                              2                 2
                                             
cos  cos  2  cos                   cos
                               2                2
                                              
cos  cos  2  sin                  sin
                                   2                2

4.2 Sinussatz (Gilt für beliebige Dreiecke)
  a     b     c
                 2r                  (r = Umkreisradius)
sin  sin  sin 

sin  : sin  : sin   a:b: c

4.3 Cosinussatz (Gilt für beliebige Dreiecke)
a 2  b 2  c 2  2bc cos
b 2  c 2  a 2  2ca cos
c 2  a 2  b 2  2ab cos



5. Analytische Geometrie der Ebene
5.1 Abstand zweier Punkte
    
  P1 P2         x2  x1  2   y2  y1  2

5.2 Parametergleichung der Geraden

  x   x 0   a1 
r        t 
     y  y 0   a 2 
                      Richtungsvektor
                Ortspfeil eines beliebigen Punktes

                                                           Seite 6
5.3 Koordinatengleichung der Geraden
y  mx  q          (Normalform),                                                      y
                                                                          m = tan =
              m Steigung q y- Achsenabschnitt
                       ,                                                               x


y  y1  m   x  x1            (Punkt - Steigungs - Form) x  y  1                                          )
                                                                                            (Achsenabschnittsform
                                                             p q

y - y1 y2  y1                                                        ax + by + c = 0       (allgemeine Form)
                                 (Zwei- Punkte- Form)
x - x1   x2  x1


5.4 Abstand-Punkt-Gerade

P1  x1 / y1               g: ax  by  c  0:
                   ax1  by1  c
 d  P1 , g  
                        a 2  b2

5.5 Schnittwinkel zweier Geraden mit den Steigungen m1 und m2
           m2  m1
tan  
           1  m1m2

5.6 Kreis mit Mittelpunkt M(u,v) und Radius r
 x  u 2   y  v 2         r2

Tangente im Punkt P1  x1 / y1  des Kreises
 x1  u x  u   y1  v  y  v  r 2
Polare des Kreises k bezgl. des Punktes P1 x1 / y1  k
 x1  u x  u   y1  v  y  v  r 2

5.7 Parabel mit Scheitelpunkt S(u / v) und Parameter p

 y  v 2  2  p   x  u
Tangente im Punkt P1 ( x1 / y1 ) der Parabel
 y1  v  y  v   p x1  u  p x  u

5.8 Ellipse/Hyperbel mit den Halbachsen a und b (Mittelpunkt. M(u/v))

 x  u 2  y  v 2
   a   2
            
                    b   2
                               1     c   2
                                                a 2  b2   

                                                                Seite 7
6. Vektorgeometrie im Raum
6.1 Punkt, Ortspfeil
                         x
                         
                                    
P( x / y / z), OP  r   y
                         
                         z
                           
                                   
6.2 Abstand zweier Punkte P1 P2  r2  r1  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2

6.3 Gerade durch P1 und P2
                                                              
g:     r  r1  t  ( r2  r1 ) mit Richtungsvektor a
                      
                                 a



6.4 Ebene durch P1 , P2 , P3
                                               
: r  r1  u  ( r2  r1 )  v  ( r3  r1 )
                      
                   
                                                  )
                  Richtungsvektoren (u,v Param eter



Normalenform der Ebenengleichung
                                                                       
: ( r  r1 )  n  0                           n Normalenvektor zu , P (r1 ) 
                                                                        1


Hessesche Normalform
                                            
                                        n
: ( r  r1 )  ne  0 ne   (Normaleneinheitsvektor)
                                            n
                                                  A           x
     Ax  By  Cz  D                                       
:                                        0 n   B      r   y
       A2  B 2  C 2                                         
                                                  C           z

Allgemeine Form

: Ax  By  Cz  D  0

                                                                                               Ax1  By1  Cz1  D
6.5 Abstand Punkt P1 ( x1 / y1 / z1 ) / Ebene                                  d ( P , ) 
                                                                                     1
                                                                                                   A2  B 2  C 2
                                                                                              
                                                                                       n  n2
6.6 Winkel zwischen 2 Ebenen                                                   cos   1 
                                                                                      n1  n2




                                                                 Seite 8
7. Determinanten und Vektoren
7.1 Determinanten
a b
    : ad  bc (zweireihige Determinante)
c d

a1 b1        c1
a2 b2        c2 : a1b2 c3  b1c2 a3  c1a2b3 - b1a2 c3 - a1c2b3 - c1b2 a3 (dreireihige Determinante)
a3 b3        c3

7.2 Vektoren

     a1            b1 
                                         
a   a2       b   b2          Betrag: a  a  a12  a 2  a 3
                                                           2     2

                   
     a3            b3 

Skalarprodukt = dotp()                                     Vektorprodukt = crossp()
                       
 a  b  ab cos( a , b )  a1b1  a2b2  a3b3                           a 2 b3  a 3b2 
                                                                                        
                                                           c  a  b   a 3b1  a1b3    b  a
                                                                                     
       a b                                                           a1b2  a 2 b1 
b         a
    a   a2                                                                      
                                                               c  a  b = ab sin(a , b )
                      
a b  0  a  b
                                                                    
                                                                                 
                                                           c  a , c  b und a , b , c  a  b bilden in
                                                           dieser Reihenfolge ein Rechtssystem

Spatprodukt
                                               a1    b1   c1
                       a
 a b c  b c a  c a b                           b2   c2
                                           2

                                               a3    b3   c3




                                                     Seite 9
8. Differential- und Integralrechnung
8.1 Ableitung
                     dy         f ( x  h)  f ( x )
y ':  f '( x ):       :  lim
                     dx     h0          h

8.2 Ableitungsregeln
Konstantenregel                                               Produktregel
(c  f ( x))'  c  f '( x)                                   (u  v)'  u' v  uv'

Summenregel                                                   Quotientenregel
(u  v)'  u' v'              (mit u(x) und v(x))                 
                                                               u   u' v  uv '
                                                                
                                                               v       v2
Kettenregel
          
          
 u v x  u  v x  v  x



8.3 Integrationsregeln

 c  f ( x)dx  c   f ( x)dx                               Integration durch Substitution
                                                                f (u( x))  u' ( x) dx   f ( z) dz mit z  u( x)
 (u  v)dx   udx   vdx
                                                              b                                     u (b )

                                                               f (u( x))  u' ( x) dx   f ( z) dz
                                                              a                                     u(a )
Partielle Integration
 uv' dx  uv   u' vdx
Bestimmtes Integral
b                                                             b                a                             c                  b

 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
                                       wobei F'(x) = f(x)      f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
                                                              a                b                             a                  c



8.4 Anwendungen der Integralrechnung: Formeln
Volumenberechnung
                                                                                   b
Körper mit bekannter Querschnittsfunktion Q(x):                           V   Q( x) dx
                                                                                   a
Rotationskörper:
                                                                                       b
                                                                          V            f ( x) 
                                                                                                         2
Graph von f rotiert über [a;b] um x-Achse:                                                                       dx
                                                                                       a
Rotation um y-Achse (f monoton wachsend oder fallend):
                                                                                       f (b )                         b
                                                                          V              x       dy              x       f ( x) dx
                                                                                                2                          2

                                                                                       f (a)                          a


                                                       Seite 10
Bogenlängen
                                                                                 b
                                                                            l   1   f ( x)  dx
                                                                                                          2
Länge des Graphen von f über [a;b]:
                                                                                 a


Mantelflächen
                                                                                           b
                                                                            M  2          f ( x)       1   f ( x)  dx
                                                                                                                           2
Mantelfläche des Rotationskörpers zu f über [a;b]:
                                                                                            a


Schwerpunkte
(Die Dichte ρ ist je nach Zusammenhang bezogen auf eine Längen-, Flächen- oder
Volumeneinheit, hier ist ρ = 1 gesetzt.)
                                                          b
                                                   x S   x 1   f ( x)  dx
                                                        1                   2
Kurvenstück über [a;b]:
                                                        l a
                                                                                       b
                                                                             y S   f ( x) 1   f ( x)  dx
                                                                                  1                        2
(l = Länge)
                                                                                  l a

                                                                                        b
                                                                                 1
Fläche unter dem Graphen über [a;b]:                                        x S   x f ( x) dx
                                                                                 Aa
                                                                                                b

                                                                                                  f ( x) 
                                                                                      11
                                                                             yS 
                                                                                                              2
(A = Flächeninhalt)                                                                                               dx
                                                                                      2A        a


                                                                                                b

                                                                                                 x  f ( x) 
                                                                                      1
Rotationskörper (um x-Achse, V = Volumen):                                  xS                                  2
                                                                                                                      dx
                                                                                      V         a




Trägheitsmomente
                                                                               r 2 dm   r 2  dV
                                                                                  K                  K
(r = Abstand des Massenelements dm des Körpers K von der Rotationsachse,
ρ = Dichte)

8.5 Taylorentwicklung
Taylorformel mit Restglied (Entwicklungspunkt x 0 ):
                                         1                             1
 f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )(x  x0 )  f ( x0 )(x  x0 ) 2  ...  f ( n ) ( x0 )(x  x0 ) n  Rn1 ( x, x0 )
                                         2                             n!
  n
      1 (k )
 k! f ( x0 )( x  x0 ) k Taylorpolynom n-ten Grades von f
k 0
                                                            x
                                                          1
                                                              ( x  t ) f (t ) dt
                                                                          ( n 1)
Formen des Restglieds:                Rn 1 ( x, x0 )                  n
                                                                                       (Cauchy)
                                                          n! x0
                  f ( n 1) (ξ )
Rn 1 ( x, x0 )                 ( x  x 0 ) n 1 für ein  zwischen x und x0 (Lagrange)
                   (n  1)!

                                                          Seite 11
Einige Taylorreihen:
      
           xk
ex           1  x  2! x 2  3! x 3  4! x 4  ....
                        1        1        1

     k  0 k!
             
                  ( 1) k 2 k
cos( x )                 x  1      1
                                       2!   x2    1
                                                   4!   x4    1
                                                               6!   x 6 ....
            k  0 ( 2 k )!
            
                  (1) k 2 k 1
sin( x)                  x     x  3! x 3  5! x 5  7! x 7  ....
                                      1        1        1

            k 0 (2k  1)!


8.6 Zusammenstellung einiger Funktionen
f(x)         
                         f '(x)                                               f(x)          
                                                                                                   f '(x)

F(x)        
                       f(x)                                                   F(x)          
                                                                                                  f(x)


xn                         n  x n1                                            ex                   ex

x n1                                                                           ax                   a x ln a
                           xn
n 1
                                                                                                     1
                                                                                ln x          
                                                                                              
sin x                      cos x                                                                     x

cos x                      -sin x                                                                       1
                                                                                log a x       
                                                                                              
                                                                                                     x ln a
                             1
tan x                              1  tan2 x                                  x(ln (x)-1)          ln x
                           cos2 x

                                 1                                                                         1
cot x                                1  cot2 x                              arc sin x
                                  2
                               sin x                                                                     1 x2

                                                                                                       1
                                                                                arc tan x
                                                                                                     1 x2


                           u' ( x )                                             ( u( x )) 2
ln u( x )                                                                                          u( x)  u'( x)
                           u( x )                                                   2




                                                               Seite 12
9. Differentialgleichungen
9.1 Differentialgleichung 1. Ordnung
Trennbare (separierbare) DGL
                                                                      1
In y   f ( x)  g ( y) können die Variabeln getrennt werden:             dy  f ( x)dx
                                                                    g ( y)

Lineare inhomogene DGL            y   a( x) y  b( x)
Lösungsverfahren „Variation der Konstanten“:
Man bestimmt zuerst die Lösung y h (x) der zugehörigen homogenen DGL
y   a( x) y durch Trennung der Variablen und variiert dann die Integrationskonstante
C in y h (x) .



10. Kombinatorik
10.1 Permutationen von n Elementen
(Anzahl der Anordnungen ohne Wiederholungen)

1 2  3.........n  n!

10.2 Permutation mit Wiederholungen
(Jeweils    ki Elemente sind gleich)

             n!
                             ,   wobei   k1  k 2 ...  k j  n
k1 ! k 2 !..........k j !

10.3 Variationen ohne Wiederholungen
(geordnete k-Tupel ohne Wiederholungen aus n Zeichen;
Anzahl geordneter k-Stichproben ohne Zurücklegen aus einer Menge von n Elementen)

                                                        n!
n  n  1  n  2...... n  k  1  n k 
                                                     (n  k )!

10.4 Variationen mit Wiederholungen
(geordnete k-Tupel mit Wiederholungen aus n Zeichen;
Anzahl geordneter k-Stichproben mit Zurücklegen aus einer Menge von n Elementen)

nk

10.5 Kombinationen ohne Wiederholungen
(k-Teilmengen aus einer n- Menge;
Anzahl ungeordneter k-Stichproben ohne Zurücklegen aus einer Menge von n Elementen)

n  n  1  n  2..... n  k  1     n        n!
                                           
                      k!                   k  k ! (n  k )!

                                                       Seite 13
10.6 Kombinationen mit Wiederholungen
(ungeordnete k-Tupel mit Wiederholungen aus n Zeichen;
Anzahl ungeordneter k-Stichproben mit Zurücklegen aus einer Menge von n Elementen)


 n  k  1
          
     k 



11. Statistik
11.1 Stichprobe vom Umfang n mit den Einzelwerten x1 , x2 ,......, xn
Mittelwert                                           Standardabweichung
    1 n
x   xi                                                      1 n
                                                     s            xi  x 
                                                                              2
    n i 1                                                  n  1 i 1


11.2 Klasseneinteilung
Einteilung der Einzelwerte in k Klassen mit den Klassenmitten xi
Die absolute Häufigkeit der Werte in das Klasse i ist ni . Die relative Häufigkeit ist
hi  ni / n:
 k                       k

 ni  n
i 1
                       h
                        i 1
                               i   1


Mittelwert                                           Standardabweichung
    1 k
x   ni xi                                                  1 k
                                                      s         ni  xi  x 
                                                                                2
    n i 1                                                 n  1 i 1



12. Wahrscheinlichkeitsrechnung
12. 1. Sätze über Wahrscheinlichkeiten
Additionssatz
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)

Bedingte Wahrscheinlichkeit
          P( A  B)
PB ( A)            (ev. auch mit P( A B) bezeichnet)
            P( B)
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Voraussetzung, dass B eingetreten ist.

Unabhängige Ereignisse
A, B sind unabhängig  P( A  B)  P( A)  P( B)




                                              Seite 14
12. 2. Zufallsvariablen / Zufallsgrössen
Voraussetzungen

 = Grundmenge des Zufallsversuchs, Zufallsvariablen X :   R, Y:   R
X    x1 ......, x m 

Definitionen

Erwartungswert
           m
E ( X )   x i  P X  x i  = 
           i 1


Varianz
           n
V ( X )    E ( X )  x i   P X  x i    2
                            2

          i 1


Formeln

E (aX  bY )  a  E ( X )  b  E (Y )
V (aX )  a 2  V ( X )     V ( X  a)  V ( X )
X , Y unabhängig  E ( XY ) = E ( X )  E (Y )V ( X + Y ) = V ( X ) + V (Y )

Tschebyschev:
                    2
P X    c  
                    c2

12. 3. Spezielle Verteilungen
Binomialverteilung
X = Anzahl Erfolge beim n-fachen Münzenwurf
(Erfolg = Ausfall 1, Wahrscheinlichkeit von 1: p(1)= p,
Fehlschlag = Ausfall 0, Wahrscheinlichkeit von 0: p(0) = q = 1-p)
              n
 P( X  k )     p k q nk : Bn, p (k )
              k 
               
Erwartungswert E ( X )  np ,             Standardabweichung σ( X )  npq

Poisson-Verteilung und Exponentialverteilung
Poissonprozess mit Intensität : Von einander unabhängige Ereignisse, die über den
Beobachtungszeitraum zufällig verteilt sind.
X : Anzahl Ereignisse in einem Intervall der Länge t ist poissonverteilt.
T : Wartezeit auf ein Ereignis ist exponentialverteilt.
             ( λ t ) k  λt
P( X  k )           e ,   P(T  t )  1  e  λt
                k!



                                                     Seite 15
Normalverteilung
X = normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert  und Standardabweichung 

 P(a  X  b)  (u2 )  (u1 )
             a            b
                                                     u
                                                1            2


                                                     e
                                                           z2
wobei u1          , u2           und (u)                     dz
                                              2   



Tabelle der standardisierten Normalverteilung (u)




                                         Seite 16
13. Komplexe Zahlen
14. Angewandte Mathematik

wie in der „alten“ Formelsammlung




                                    Seite 17

				
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