Eins, zwei, drei, vier, Eckstein � alles muss versteckt sein

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					SÜDWESTRUNDFUNK
SWR2 AULA für Kinder - Manuskriptdienst


Zählen ohne Ende -
Über die Magie der Zahlen


Autor und Sprecher: Prof. Albrecht Beutelspacher *
Redaktion: Ralf Caspary
Sendung: Sonntag, 22. Mai 2005, 8.30 Uhr, SWR 2
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Bitte beachten:
Das Manuskript ist ausschließlich zum persönlichen, privaten Gebrauch bestimmt.
Jede weitere Vervielfältigung und Verbreitung bedarf der ausdrücklichen
Genehmigung des Urhebers bzw. des SWR.

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Ansage:
Heute mit dem Thema : „Zählen ohne Ende, warum Mathematik Spaß macht“.

Diese Sendung, diese Aula, ist wieder eine Kinder-Aula. Also wenn ihr 8 oder 10
oder 14 Jahre jung seid, könnt ihr jetzt zuhören, die folgende halbe Stunde ist für
euch.

Es geht um Mathematik, und klar, jetzt werden viele von euch sagen, Mathe ist
langweilig, man muss Pauken und Rechnen, man versteht auch nicht immer alles,
was der Mathematiklehrer sagt, und man durchschaut manchmal nicht, wozu das
überhaupt alles gut ist. Erinnert Ihr euch an Pippi Langstrumpf? Die sprach ja immer
von der Plutimikation, und sie meinte natürlich die Multiplikation, über die sie sich
lustig machte.

Für die folgende Kinder-Aula müsst ihr das alles mal für kurze Zeit vergessen. Denn
Albrecht Beutelspacher wird euch jetzt erzählen, warum Mathe spannend sein kann,
auch die Multiplikation, so spannend wie z. B. die Erforschung des Weltalls.
Beutelspacher ist ein Mathematikprofessor, er arbeitet an der Universität, hält
Vorlesungen für Studenten, und er weiß auch, wie man Mathematik so erklären kann,
dass auch Kinder das verstehen. Denn Beutelspacher hat in Giessen ein
Mathematikmuseum gegründet, extra für Kinder, und wenn man da rein geht, packt
einen wirklich die Faszination für Primzahlen, für die Zahl pi und für alles andere
Mathematische.

So, und nun erklärt Albrecht Beutelspacher, warum wir eigentlich zählen, warum die
8 für ihn so faszinierend ist und was es mit der Null auf sich hat:


                                         *****
Albrecht Beutelspacher:
Eins, zwei, drei, vier, Eckstein - alles muss versteckt sein.
Eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben - eine alte Frau kocht Rüben - eine alte Frau
kocht Speck - und du bist weg.

Zählen, Abzählen, das können wir doch. Das ist doch kinderleicht! Wirklich?

Was uns heute so leicht fällt, ist überhaupt nicht selbstverständlich. Es hat in der
Geschichte der Menschen lange gedauert, unglaublich lange, bis man zählen konnte,
und noch viel länger, bis man mit den Zahlen richtig vernünftig umgehen konnte. Vor
zigtausend Jahren haben die Menschen vielleicht nur „eins, zwei“ gesagt, „ich und
du“, „ja und nein“, „draußen und drinnen“, „Tag und Nacht“ - „eins, zwei“. Das
wirkliche Zählen begann erst dann, als man „eins, zwei, viele“ sagen konnte. Das
waren immerhin schon drei Zahlen.

Wie kamen denn die Menschen darauf, zählen zu wollen, zählen zu müssen? Man
kann sich vorstellen, dass sie Dinge vergleichen wollten. Sie hatten Haustiere, z. B.
fünf Ziegen, und wollten wissen, ob sie am nächsten Tag noch genauso viele hatten.
Dazu mussten sie zählen. Aber ich glaube, noch viel wichtiger war die Zeiterfahrung.
Die Menschen erfuhren, beobachteten den Wechsel der Tage und der Jahre. Aus
einem Tag wird ein zweiter, nach einem Jahr kommt ein zweites; nach jeder Nacht
wird es wieder Tag, nach jedem Winter wird es wieder Frühling. Und sie begannen,
sich zu erinnern: „Weißt du noch, im vorigen Winter ... und im Winter davor ...“. Und
dann begannen sie zu zählen: vor einem Jahr, vor zwei Jahren, vor drei Jahren. Sie
zählten die Tage und die Jahre.

Natürlich haben verschiedene Völker die Zahlen verschieden benannt. Und vom
Aufschreiben war zunächst kaum eine Rede. Aber alle haben eine Erfahrung
gemacht: Mit den Zahlen kann man nicht nur in die Vergangenheit blicken, sondern
auch in die Zukunft. Man kann nicht nur sagen: „Vor zwei Tagen haben wir ein
Wildschwein erlegt“, sondern man kann auch sagen: „Dieser Vorrat wird noch fünf
Tage halten“. Wenn man zählt, blickt man in die Zukunft. Zählen heißt zu erkennen,
dass es prinzipiell immer weiter gehen könnte. Wer zählen kann, weiß schon, was
unendlich ist.

Das alles war in grauer Vorzeit, vor zigtausend Jahren. Im alten Griechenland, vor
etwa 2.500 Jahren, waren schon Zahlen bekannt. Die ersten, die sich wirklich mit
Mathematik beschäftigt haben, waren die Pythagoräer um den berühmten
Pythagoras. Die Schule des Pythagoras, etwa 500 v. Chr., war eine verschworene
Gemeinschaft. Man weiß nicht genau, ob es eine Universität war, ein Kloster oder
eine Sekte - wahrscheinlich von allem etwas. Man weiß auch nicht genau, was die
eigentlich wussten, denn die Pythagoräer hatten ein Gesetz: nichts nach außen zu
erzählen. Deswegen wissen wir heute so wenig davon. Aber sie machten Mathematik
und sie entdeckten etwas Unglaubliches: Sie entdeckten, wie die Zahlen, genauer
das Verhältnis von Zahlen und Musik, die Klänge zusammenhingen. Es gab damals
ein Instrument, das hieß Monokord. Das bestand aus einer einzigen Saite, die
gespannt war. Wenn man diese Saite anzupft oder anstreicht, gibt sie einen Ton.
Das ist nichts Besonderes. Wenn man die Saite genau in der Mitte abdrückt wie bei
einer Gitarre und dann noch mal anzupft oder anstreicht, gibt es wieder einen Ton,
aber einen ganz besonderen Ton. Der ist nämlich genau um eine Oktave höher als
der ursprüngliche Ton. Also der reinste Klang entsteht dann, wenn man die Saite im
Verhältnis eins zu eins teilt. Wenn man die Saite im Verhältnis eins zu zwei teilt,
entsteht eine Quinte. Das ist auch noch ein einigermaßen klarer Klang so wie C - G.
Und wenn man es in irgendwelchen abstrusen Verhältnissen teilt, so wie sieben zu
acht, neun zu dreizehn, dann entstehen schräge, interessante, wilde Klänge. Das
war eine unglaubliche Erkenntnis für die Pythagoräer, dass sie erkannten, je
einfacher das Verhältnis der Zahlen ist - eins zu eins, eins zu zwei -, desto reiner ist
der Klang. Je komplizierter das Verhältnis ist, desto rauer, schräger, interessanter ist
der Klang. Und so kamen sie zu ihrer Erkenntnis: Alles ist Zahl. Wenn die Zahlen
etwas Wesentliches in einem so weit entfernten Gebiet wie der Musik erklären
können, dann müssen die Zahlen wirklich der Schlüssel für alle Geheimnisse der
Welt sein. Davon waren die Pythagoräer zutiefst überzeugt.

Schon in dieser alten Zeit hat man angefangen, sich für besondere Zahlen zu
interessieren. Die Menschen hatten Lieblingszahlen. Meine Lieblingszahl zur Zeit ist
die Zahl 8. Ich mag sie deswegen, weil 2 x 2 x 2 x 2 ist 8. 2 ist schon eine Symmetrie,
es ist eine symmetrische Zahl, zwei gleiche Hälften. 4 ist die doppelte Symmetrie,
und 8 ist noch mal eins draufgesetzt, also eine ganz in sich ruhende, vollkommene,
besonders schöne Zahl.

Viele Menschen haben die Zahl 7 als Lieblingszahl. Diese kommt auch an vielen
Stellen vor, in Märchen z. B.: Die sieben Zwerge hinter den sieben Bergen, Sieben
auf einen Streich, über sieben Brücken musst du gehen, die sieben Weltwunder, die
7 Tage der Woche usw. Ich mag auch die Zahl 5 sehr gerne. Fünf Finger hat eine
Hand. Es gibt fünf Erdteile: Europa, Asien, Afrika, Amerika und Australien. Und daher
gibt es auch fünf olympische Ringe. Die Zahl fünf ist auch wichtig, weil sie zum
Fünfeck gehört, und das Fünfeck ist etwas ganz Besonderes. Es ist eine der
wichtigsten geometrischen Formen. Auch außerhalb der Mathematik spielt das
Fünfeck aufgrund seiner interessanten, in sich stimmigen Symmetrie eine ganz
wichtige Rolle. Dass das Fünfeck mathematisch aus der Reihe von Dreieck, Quadrat
und Sechseck herausfällt, kann man schon daran erkennen, dass es schwierig ist,
ein Fünfeck zu zeichnen. Jeder kann ein Dreieck zeichnen, jeder kann ein Quadrat
zeichnen, mit ein bisschen Übung kriegt man auch ein gutes Sechseck hin. Aber ein
Fünfeck ist richtig schwer zu zeichnen. Wenn man innerhalb eines Fünfecks die
Diagonalen einzeichnet, entsteht ein Fünfstern und innerhalb dieses Fünfsterns noch
Mal ein kleines Fünfeck. Man könnte diese Konstruktion fortsetzen und erhält immer
kleinere Fünfecke und Fünfsterne.

Dieser Fünfstern, auch Pentagramm genannt, heißt in der Geschichte auch
Drudenfuß. Er taucht z. B. in dem berühmten Text von Goethe „Faust“ auf: Mephisto
kann Fausts Studierstube nicht verlassen, da auf der Schwelle ein Pentagramm
aufgemalt ist und das muss dann erst in einer dramatischen Szene von einer Ratte
aufgefressen werden.

In der Natur kommen fünfzählige Symmetrien erstaunlich häufig vor. An der
Sternfrucht ist das überdeutlich. Auch wenn man einen Apfel quer aufschneidet, sieht
man, dass die Kerne in Form eines Fünfsterns angeordnet sind. Ein ganz
besonderes Beispiel für die Verwendung des Fünfecks ist das amerikanische
Verteidigungsministerium, das nicht umsonst Pentagon heißt. Es hat als Grundriss
ein ganz regelmäßiges Fünfeck.
Auch sonst sieht man das Fünfeck oft in Form eines Pentagramms.
Weihnachtssterne z. B. sind in der Regel Pentagramme, viele Flaggen, z. B. von
Amerika oder verschiedenen islamischen Staaten haben eins oder mehrere
Pentagramme als Erkennungsmerkmal.

Ich habe jetzt häufig das Wort Symmetrie benutzt. Was bedeutet das eigentlich?
Zunächst denkt man bei Symmetrie an Achsensymmetrie: Zwei gleiche Hälften.
Wenn man einen Menschen in der Mitte durchschneiden würde, würde er aus zwei
gleichen Hälften bestehen. Das ist der Grundbegriff der Symmetrie. Es gibt auch den
Begriff der Dreh-Symmetrie. Das bedeutet, wenn ich etwas um ein Drittel drehe, sieht
es wieder gleich aus. Das ist auch etwas Symmetrisches. Wenn ihr z. B. mal die
Felgen von Autorädern anschaut, das ist das nie eine Vierer-Symmetrie, sondern oft
eine Fünfer-, Siebener- oder gar Neuner-Symmetrie: neun, sieben oder fünf gleiche
Teile, die, wenn man sie um den entsprechenden Winkel dreht, wieder gleich
aussehen. Das versteht man auch unter Symmetrie.

Ich finde, die herausragendste Zahl ist die Null. Die Null stellt nichts dar. Und
eigentlich denkt man, ist es blöd, das Nichts durch ein Zeichen darzustellen. Wer
zum ersten Mal die Null in unserem Sinne benutzt hat und wann das war, weiß man
nicht. Sicher ist, dass die Null in Indien erfunden wurde. Die erste zweifelsfrei
dokumentierte Null findet sich in einem Tempel in Gwalior, einer kleinen Stadt, etwa
400 km südlich von Delhi. Auf einer Steintafel aus dem Jahr 876 wird die Null gleich
zwei Mal benutzt, und zwar zur Darstellung der Zahlen 270 und 50.

Zweifellos ist die Null eine der genialsten Erfindungen der Menschheit. Eine, die das
Rechnen einfach und weniger fehleranfällig macht, eine Erfindung, die uns heute
vollkommen selbstverständlich erscheint, und eine Erfindung, die sich nur schwer
gegen Widerstände durchgesetzt hat. Man braucht die Null, wenn man große Zahlen
mit nur wenigen Zeichen darstellen will. Dann benutzt man ein Stellenwertsystem,
etwa das uns vertraute Dezimalsystem. Eine Ziffer hat nicht nur einen Wert an sich,
sondern es kommt darauf an, wo sie steht. Es ist etwas anderes, ob eine 1 an der
letzten Stelle (der Einer-Stelle) oder an der viertletzten Stelle (der Tausender-Stelle)
steht. Wenn die 1 an der Einer-Stelle steht, gilt sie als 1. Wenn sie an der Tausender-
Stelle steht, gilt sie als 1000.

Unsere gewohnten Zahlen wie etwa 276 sind Abkürzungen. Wenn wir wissen wollen,
was sie bedeuten, müssen wir sie ausschreiben. 276 ist 200 plus 70 plus 6, ist 2 X
100 plus 7 X 10 plus 6 X 1. Wenn eine Stelle keinen Beitrag zu einer Zahl liefert,
kann man versuchen, an dieser Stelle nichts zu schreiben. Wenn wir fünf Hunderter,
keine Zehner und drei Einer haben, könnten wir 5 3 schreiben. Tatsächlich machten
das manche Menschen so, etwa die Babylonier vor 5000 Jahren. Aber man erkennt
sofort, dass hier viele Fehler entstehen und dem Betrug Tür und Tor geöffnet wird.
Denn wenn der Abstand zwischen 5 und 3 nur klein geschrieben wird, könnte jemand
argumentieren, dass das gar kein Abstand sei und die Zahl in Wirklichkeit 53 sei und
nicht 503.

Irgendwann hatte irgendjemand die verrückte, aber geniale Idee, dass auch das
Nichts ein Zeichen braucht, dass man die Tatsache, dass eine Stelle keinen Beitrag
liefert, mit einem Symbol bezeichnen muss. Das war die Geburtsstunde der Null. Die
Geburtsstunde war in Indien und die 0 kam über die Araber auch nach Europa.
Dort herrschte bis dahin das römische System in gewissen Abwandlungen. Zum
Rechnen eignet sich das römische System praktisch nicht. Wenn wir uns eine
römische Zahl vorstellen: MCXXVI, was ist das? Klar:

I ist 1, V ist 5, X bedeutet 10, C ist hundert und M ist 1000.

Damit ist die Zahl prinzipiell einfach zu lesen. MCXXVI = 1000, 100, 10, 10, 5, 1. Das
muss man zusammenzählen und kann es dann darstellen. Die einzige merkwürdige
Regel im römischen Zahlensystem ist: wenn eine kleinere Zahl vor einer größeren
steht, wird sie von der größeren abgezogen. Das heißt: CM ist 900 (1000 - 100). IV =
4 (5 - 1). Damit wird das römische Zahlensystem noch ein bisschen schwieriger. Es
ist völlig ungeeignet zum Rechnen. Die römischen Zahlen eignen sich eigentlich nur
dazu, als Jahreszahlen oder als Beutezahlen in Stein gemeißelt zu werden. Die
Römer hatten im Prinzip auch keine Möglichkeit, Zahlen größer als 1000
darzustellen. Wenn sie 32.000 darstellen wollten, mussten sie 32 Mal ein M
schreiben.

Dieses komplizierte und für das Rechnen ungeeignete System herrschte in Europa.
Zum Rechnen brauchte man Rechenmeister. Das war ein richtiger Beruf. Wenn man
eine Rechnung auszuführen hatte, musste man diese Rechenmeister anstellen und
bezahlen. Und die lieferten dann das Ergebnis.

Mit der 0 und dem Dezimalsystem wurde es einfacher. Jeder konnte im Prinzip
rechnen. Als erster in Europa erkannt und propagiert hat das der berühmte Leonardo
Fibonacci, ein Rechenmeister aus Venedig, der im Jahre 1202 ein Buch schrieb.
Dieses Buch beginnt programmatisch mit einem Satz, der dem Leser ganz klar die
Überlegenheit des indischen Systems vor Augen führt. Fibonacci schreibt: „Die neun
indischen Figuren (Ziffern) sind 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Mit diesen neun Figuren und
dem Zeichen 0, welches die Araber „Zefirum“ nennen, lässt sich jede Zahl
schreiben.“ Jede beliebige Zahl, auch große Zahlen wie 32.000.000 oder
32.000.000.000 usw.

Die Interessantheit von Zahlen kann man auch daran erkennen, dass sie in
Zahlenfolgen eingeordnet sind. Man sagt nicht, eine einzige Zahl ist interessant,
sondern eine Abfolge von Zahlen. Das erinnert manchmal an Intelligenztests wie z.
B.: „Wie geht es weiter? 2, 4, 6, 8, 10.........?“ Kein besonders guter Intelligenztest,
das weiß jeder. Das sind die geraden Zahlen. Genauso: 1, 3, 5, 7, 9, das sind die
ungeraden Zahlen.

Gerade und ungerade sind ganz wichtige Eigenschaften von Zahlen. Und diese
Eigenschaften haben wie so oft zuerst die Pythagoräer untersucht, von denen wir
vorher schon sprachen. Die Pythagoräer untersuchten Zahlen, noch mehr, sie
untersuchten Eigenschaften von Zahlen. Und noch besser: sie untersuchten die
Beziehungen zwischen diesen Eigenschaften. Z. B. definierten sie gerade und
ungerade. Sie sagten, eine Zahl ist gerade, wenn sie durch 2 ohne Rest teilbar ist. 10
ist eine gerade Zahl, denn man kann 10 durch 2 teilen, es kommt fünf heraus, es
bleibt kein Rest. Eine Zahl ist ungerade, wenn sie bei Division durch 2 einen Rest
ergibt. 13 ist ungerade, denn 13 : 2 = 6, es bleibt der Rest 1. Und die Pythagoräer
entdeckten Eigenschaften von gerade und ungerade. Wenn man zu einer geraden
Zahl 1 addiert, ergibt sich eine ungerade Zahl (10 + 1 = 11 ,aus einer geraden Zahl
wird eine ungerade Zahl). Wenn man zu einer ungeraden Zahl 1 addiert, ergibt sich
eine gerade Zahl (11 + 1 = 12). Das ist nicht nur bei 10, 11 und 12 der Fall, sondern
es ist immer so:

Gerade + 1 = ungerade
Ungerade + 1 = gerade

Und dann entdeckten die Pythagoräer noch solche Gesetze wie:

Gerade + gerade = gerade (6 + 6 = 12)
Gerade + ungerade = ungerade (6 + 5 = 11)
Ungerade + ungerade = gerade (7 + 5 = 12)

Wenn man nun bei diesen Gesetzen das Wort „Gerade“ durch das Wort „Null“
ersetzt, und das Wort „Ungerade“ durch die Zahl 1 abkürzt, dann lauten die letzten
Beziehungen:

0 + 0 = 0 (gerade + gerade = gerade)
0 + 1 = 1 (gerade + ungerade = ungerade)
1 + 1 = 0 (ungerade + ungerade = gerade).
In diesem Sinne kann man sagen, dass die Pythagoräer eigentlich die Erfinder der
Bits waren, mit denen heute alle unsere Computer rechnen. 0 und 1 sind Bits (engl.
Binary Digits = Binäre Zahlen). Unsere Computer benutzen intern nur diese beiden
Zahlen. Aus ihnen setzt sich alles zusammen, was wir am Bildschirm sehen, alle
Bilder, alle Töne, alle Texte. Natürlich hatten vor 2.500 Jahren die Pythagoräer noch
keine Ahnung von unseren Computern. Aber die ersten Rechengesetze dafür haben
sie damals schon aufgestellt.

Eine andere, ganz spannende Zahlenfolge, die damals auch schon untersucht
wurde, ist folgende: 1 - 4 - 9 - 16 .... Wie geht es weiter? Wenn man das nicht genau
weiß, kann man versuchen, sich die Differenzen zwischen den Zahlen klarzumachen.
Von 1 bis 4 sind es 3, von 4 bis 9 fehlen 5, von 9 bis 16 fehlen 7. Aha, die ungeraden
Zahlen. Das heißt, die nächste Zahl müsste sein: 16 + 9 = 25. Und dann kommt 25 +
11 = 36 usw. Man kann diese Zahlenfolge 1 - 4 - 9 - 16 auch anders darstellen. Das
sind die sogenannten Quadratzahlen.

1=1x1
4=2x2
9=3x3
16 = 4 x 4
25 = 5 x 5
usw.

Und diese beiden Darstellungsformen, einmal als Quadratzahl, einmal durch die
Tatsache, dass die Differenzen jeweils ungerade Zahlen sind, zeigt einen ganz
engen interessanten Zusammenhang zwischen den ungeraden Zahlen und den
Quadratzahlen.

Die spannendste Zahlenfolge überhaupt ist folgende: 2 - 3 - 5 - 7 - 11 - 13 - 17 - 19
usw. Das sind die sogenannten Primzahlen. Primzahlen sind diejenigen natürlichen
Zahlen größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. 2 ist die kleinste
Primzahl, dann folgt die 3 usw. Primzahlen sind die wichtigsten natürlichen Zahlen,
denn man kann jede Zahl als Produkt von Primzahlen darstellen. Z. B.:

6=2x3
8=2x2x2
12 = 2 x 2 x 3
usw.

So kann man jede Zahl, so groß sie auch sein mag, als Produkt von Primzahlen
schreiben. D. h. im Reich der Zahlen spielen die Primzahlen die Rolle wie in der
Chemie die Atome. Die Primzahlen sind sozusagen die Atome unter den Zahlen. Der
wichtigste Satz über die Primzahlen steht bereits in dem berühmten Buch „Die
Elemente“ von Euklid. Euklid hat etwa 300 v. Chr. in Alexandria, der damaligen
Welthauptstadt des Wissens, gelebt und hat dort Mathematik gelehrt. Sein Buch „Die
Elemente“ ist das wichtigste Mathematikbuch der Welt und es prägt die Mathematik
bis heute. Euklid beweist darin - neben vielen geometrischen Elementen - vieles über
Zahlen, z. B. dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Die Reihe der Primzahlen hört
nie auf, sie geht immer weiter, es gibt keine größte Primzahl.

Aber es ist unglaublich schwer, Primzahlen zu finden. Was kommt nach 19? Da
müssen wir ein bisschen überlegen ... das ist 23. Was kommt nach 23? Da müssen
wir schon mehr überlegen ... 29, dann 31. Es ist jedes Mal ein Abenteuer, eine neue
Primzahl herauszukriegen. Und die Menschen versuchen seit Euklid, also seit 2.500
Jahren, Primzahlen zu finden, immer größere Primzahlen. Die heute größte Primzahl
hat 7.816.230 Stellen. Die wird man nie ausgedruckt oder ausgeschrieben darstellen,
sondern man stellt sie sich viel einfacher vor: sie ist 2 hoch 25.924.951 minus 1. Das
bedeutet, man muss die Zwei 25.924.951 Mal mit sich selbst multiplizieren und dann
noch 1 abziehen, dann erhält man diese Primzahl. Diese Primzahl wurde dieses Jahr
entdeckt von einem deutschen Augenarzt, der viele Computer besitzt. Er hat seine
Computer einfach laufen lassen. Allerdings steckt in seinem Computerprogramm
schon ganz schön viel Mathematik drin. Wenn man das einfach so ohne Computer
probiert, würde man nie auf eine solche Zahl kommen.

Für den Mathematiker sind die Primzahlen deswegen so spannend, weil zwischen
dem, was uns über Primzahlen bekannt ist und dem, was wir wissen wollen, noch ein
tiefer Graben herrscht. Wir wissen, es gibt unendlich viele Primzahlen. Aber wir
können sie nicht konstruieren. Es gibt keine Formel für die Primzahlen. Deswegen
müssen wir wirklich jede neue Primzahl suchen. Und wir wollen noch viel viel mehr
über die Primzahlen wissen. Das ist ein Ansporn, den die Mathematiker haben. Für
die riesigen Primzahlen gibt es keine Anwendung. Aber für die etwas kleineren, die
vielleicht 100 oder 200 Stellen haben, gibt es sehr interessante Anwendungen,
nämlich bei den Geheimcodes. Viele Geheimcodes basieren auf diesen Primzahlen.
100 oder 200 Stellen sind auch schon ganz schön viel, aber von ihnen gibt es viele,
da können wir auch unglaublich viele finden. Und benutzt werden sie, um z. B. ganz
besonders gute Geheimcodes zu machen.

Wir haben angefangen, über das Zählen nachzudenken: 1 - 2 - 3 - 4 - 5. Wir haben
dann über Zahlenreihen gesprochen 2 - 4 - 6 oder die Quadratzahlen 1 - 4 - 9 - 16
oder die Primzahlen 2 - 3 - 5 - 7 - 11 - 13 usw. Das sind alles Zahlenreihen, bei
denen am Ende sozusagen drei Punkte stehen, die andeuten, es geht immer weiter.
Selbst nach der größten Primzahl geht es immer noch weiter. Es gibt keine größte
Zahl, keine größte Primzahl, auch keine größte Quadratzahl, es geht immer noch
weiter. Das finde ich einen der faszinierendsten Aspekte der Mathematik, dass man
über das Unendliche Aussagen machen kann, und zwar ganz objektive Aussagen,
nicht irgendwelche mystischen oder gefühlvollen, sondern richtig gute Aussagen, die
wir gegenseitig nachprüfen können, von denen wir uns überzeugen können, es gibt
unendlich viele Quadratzahlen, unendliche viele Primzahlen, es hört nie auf, es geht
immer weiter.

Ich weiß noch ganz genau, wie ich die Unendlichkeit der Zahlen entdeckt hatte. Ich
habe einen Bruder. Und als wir die Zahlen gelernt haben, haben wir miteinander das
Spiel gespielt, wer kann die größte Zahl sagen. Und ich habe gesagt: „25.738.925“.
Dann hat sich mein Bruder angestrengt und mit noch viel lauterer Stimme gesagt:
„78.935.857.517“. Und dann habe ich eine noch größere Zahl gesagt usw.
Irgendwann hatten wir die Idee, wir brauchen uns gar nicht so anzustrengen, ich
lasse meinen Bruder seine Zahl sagen, ich höre nicht mal zu, sondern sage dann
einfach: „Plus 1“, und dann weiß ich, meine Zahl ist größer. Dieses „Plus 1“
symbolisiert das Immerweitergehen, es gibt keine größte Zahl. Das Spiel „Wer sagt
die größte Zahl“ ist eigentlich unsinnig, weil es keine größte Zahl gibt.

Gerechnet haben wir mit den Zahlen bisher noch gar nicht. Das soll jetzt zum
Schluss kommen. Man kann mit Zahlen viele Zauberkunststücke machen. Ein ganz
einfaches zum Einstimmen: Man denkt sich irgendeine Zahl und merkt sie sich gut,
denn man braucht sie später noch. Dann sage ich: „Diese Zahl plus 3, mal 2, das
Ergebnis plus 8, und das Ganze jetzt geteilt durch 2 und davon jetzt die gedachte
Zahl abziehen“. Egal, mit welcher Zahl man begonnen hat, es kommt immer das
Gleiche raus, nämlich immer die Zahl, die ihr jetzt auch ausgerechnet habt.

Eine Aufgabe, die ich noch viel schöner finde: Ihr müsst euch zunächst etwas
vorstellen, was ihr gerne macht. Vielleicht euren Freund oder eure Freundin
besuchen. Das macht ihr an jedem Tag, also an sieben Tagen in der Woche,
vielleicht auch nur an drei Tagen in der Woche oder an vier. Jedenfalls die Anzahl
der Tage, an denen ihr das macht, müsst ihr euch merken. Diese Zahl multipliziert ihr
mit 2. Dann werden 2 dazu addiert. Und jetzt diese Zahl mit 50 multipliziert. Das ist
ein bisschen schwierig. Und jetzt wird es noch ein bisschen schwieriger: Falls ihr in
diesem Jahr noch keinen Geburtstag gehabt habt, addiert ihr noch 4. Und diejenigen,
die schon Geburtstag gehabt haben, die addieren 5. Jetzt kommt noch eine
Operation, die schwerste vielleicht: Ihr müsst von der Zahl, die ihr jetzt erhalten habt,
noch euer Geburtsjahr abziehen, d. h. wenn ihr im Jahr 1990 geboren seid, müsst ihr
90 abziehen. Das Ergebnis ist eine dreistellige Zahl, die vieles über euch verrät.
Nämlich die erste Ziffer, die Hunderterstelle sagt, an wie vielen Tagen in der Woche
ihr euren Freund, eure Freundin besuchen wollt, und die beiden letzten Ziffern geben
euer Alter an.

Damit ihr das alles gut versteht, noch mal zum Mitschreiben: Wir stellen uns vor, ihr
wollt vier Mal in der Woche Eis essen:

4 x 2 = 8.
8 + 2 = 10.
10 x 50 = 500.
Und jetzt, falls ihr noch nicht Geburtstag gehabt habt, plus 4. Falls ihr schon
Geburtstag gehabt habt, plus 5. Und von dem Ergebnis euer Geburtsjahr abziehen.
Diese Zahl verrät, dass ihr vier Mal in der Woche Eis essen wollt, und die letzten
beiden Ziffern geben euer Alter an.

Dieses Beispiel gefällt mir so gut, weil es zeigt, wie faszinierend Zahlen sein können.
Mathematiker beschäftigen sich mit Zahlen natürlich, weil sie nützlich sind, weil sie
wichtig sind, weil man mit ihnen vieles ausrechnen kann. Aber nicht nur deswegen.
Sie beschäftigen sich mit den Zahlen, weil die Zahlen an sich interessant und
faszinierend sind, jede einzelne Zahl - es gibt keine uninteressante Zahl -, aber auch
die Zahlenfolge und das Zählen, das von 1 - 2 - 3 bis in die Unendlichkeit führt. Und
die Unendlichkeit ist etwas, was die Mathematiker und die Mathematik immer ganz
besonders interessiert und was sie von jeher beschäftigt hat.


                                         *****


Absage:
Das war der Vortrag von Albrecht Beutelspacher über die Magie der Zahlen. Wenn
ihr das alles nachlesen wollt, müsst ihr euren Laptop starten, ins Internet gehen und
folgende Adresse eintippen: swr2.de/wissen. Dort könnt ihr das Manuskript
herunterladen und alles über die Primzahlen nachlesen. Ihr könnt die ganze
Sendung aber auch zuhause nachhören, ihr könnt eine Kassette bestellen, bei uns
im Funk, unter der Telefonnummer: 0180 5 929 - 222, das ist der Hörerdienst.

Und die nächste Kinder-Aula kommt nächsten Donnerstag, ab 8.30 Uhr, dann erklärt
ein Astrophysiker, ob wir mit Warp 4 wirklich zu anderen Planetensystemen reisen
können. Bis dahin, Tschüss!


                                         *****


* Zum Autor:
Albrecht Beutelspacher, Jahrgang 1950, ist ein Unikum. Er ist Professor für
Mathematik an der Universität Gießen, er hat mehrere Bücher geschrieben, die
wahrscheinlich nur eine handvoll Experten verstehen, und zugleich hat er schon
lange den universitären Elfenbeinturm verlassen.

Beutelspacher ist Leiter und Initiator des einzigen Mathematik-Mitmach-Museums in
Deutschland, das seit seiner Eröffnung vor gut einem Jahr eine sechsstellige
Besucherzahl vermelden kann. Das Gießener Mathematikum ist der Renner; Jung
und Alt besuchen das Museum, weil hier auf spannende und unterhaltsame Weise
Einsichten in die Welt der Mathematik vermittelt werden, weil hier die gängigen
Vorurteile, die es über die Mathematik gibt, konterkariert werden.


Bücher:
- "Moderne Verfahren der Kryptographie". Vieweg (Februar 2004). Broschiert.
Preis: EUR 21,90.
- "Vieweg Studium, Nr. 41, Projektive Geometrie“, Albrecht Beutelspacher und Ute
Rosenbaum. Vieweg (Februar 2004). Broschiert.
Preis: EUR 24,90.
- "Lineare Algebra". Vieweg (September 2003). Broschiert.
Preis: EUR 19,90
-"Geheimsprachen". Beck (Februar 2002). Broschiert.
Preis: EUR 7,90.
- "Diskrete Mathematik für Einsteiger. Mit Anwendungen in Technik und Informatik"
von Albrecht Beutelspacher und Marc-Alexander Zschiegner. Vieweg (30. August
2002). Broschiert.
Preis: EUR 18,90.
- "’In Mathe war ich immer schlecht ...’ Berichte und Bilder von Mathematik und
Mathematikern, Problemen und Witzen, Unendlichkeit und Verständlichkeit, ...
angewandter, heiterer und ernsterer Mathematik“. Vieweg (14. März 2001).
Broschiert.
Preis: EUR 16,--.
- "Mathematik für die Westentasche". Piper (September 2001). Broschiert.
Preis: EUR 9,90.

				
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