6. Series
1
Sucesiones
Veamos un ejemplo de sucesión compleja: {1 + in}:
1 i , 0, 1 i , 2, 1 i ,
n 1, n 2 , n 3 , n 4 , n 5 ,
Si limnzn = L,
decimos que la
sucesión es
convergente.
2
i n1
Otro ejemplo: la sucesión converge.
n
i n1
limn 0
n
3
Límite de una sucesión
Una sucesión {zn} de números complejos zn = xn + iyn
converge a c = a + i b sii la sucesión de partes reales {xn}
converge a a y la sucesión de partes imaginarias {yn}
converge a b. y
Demostración ( ):
b+
Si |zn-c| 0 dado, podemos hallar un N suficientemente grande tal
que para n> N se cumpla que:
|xn-a| 5/)
6
7
ni
La sucesión converge a i. Observa que
n 2i
Re(i) = 0 y Im(i) = 1. Entonces:
ni 2n n2
zn 2 i 2
n 2i n 4 n 4
2
2n n
Re( zn ) 2 0, Im(zn ) 2 1
n 4 n 4
cuando n .
8
Igual que hemos hecho mención a la parte real
e imaginaria para la convergencia de la sucesión,
podemos hablar del módulo y el argumento. Así:
Sea z n n e i n ,donde n | z n | n Arg zn
lim n 0
n i 0
Si ,entonces lim zn 0e
lim n 0 n
n
9
n
z
Sea por ejemplo la sucesión de términos: z n : 1 .
n
n/2
n
z x y
2 2
El módulo lim | z n | lim 1 lim 1 2
converge a: n n
n n
n n
n/2
x y 2 xn
2 2
lim 1 ex.
Y el argumento a:
n
n2
n
z z
lim n lim Arg z n lim Arg1 lim n Arg1
n n n
n n n
y
y
lim n arctan n lim n arctan y.
n 1 x n n x
n
Por tanto la sucesión n
z
converge a: lim 1 e x eiy e x iy e z .
n
n 10
Series
Dada una sucesión {zn}, una serie infinita o serie se puede
formar a partir de una suma infinita:
z
n 1
n z1 z 2 z3 ...
Los z1, z2, ..... son denominados términos de la serie.
La sucesión de sumas:
s1 = z1
s2 = z1 + z2
s3 = z1 + z2 + z3
........
sn = z1 + z2 +....zn
es la sucesión de sumas parciales de la serie infinita.
11
Series convergentes
Una serie convergente es aquella tal que la sucesión de
sumas parciales converge, i.e.:
lim sn s
n
donde s es la suma o valor de la serie y se expresa:
s z n z1 z 2 ...
n 1
Una serie divergente es aquella que no converge.
Llamaremos resto Rnde la serie a:
Rn zn 1 zn 2 zn 3
Si la serie converge y suma s, entonces
s sn Rn ó Rn s sn y lim Rn 0
n
12
Ejercicios: Demostrar que
(1) Una serie con zm= xm+iym converge con suma s = u+iv
sii
u = x1+x2+..... converge y v = y1+y2+..... converge.
(2) Si una serie z1+ z2 +.... converge, entonces lim zm 0
m
En caso contrario, la serie diverge.
(3) Que {zm} 0 es condición necesaria para la convergencia,
pero no suficiente.
Recuerda que para la serie harmónica 1+ ½ +1/3 +...
el término 1/n 0 cuando n tiende a infinito, pero la
serie diverge.
13
Serie geométrica
Para la serie geométrica:
az k 1 a az az 2 az n1
k 1
el término enésimo de la sucesión de sumas parciales es:
a(1 z n )
S n a az az 2 ... az n 1
1 z
Observa que zn 0 cuando n para |z| 0
podemos hallar un N tal que |zn+1+zn+2+...+zn+p| N y p =1, 2...
Convergencia absoluta.
Una serie z1+ z2 +... es absolutamente convergente si la serie de
los valores absolutos de sus términos
|z | = |z1| + |z2| + ......
m=1 m
es convergente. Si z1+ z2 +... converge pero |z1|+ |z2| +.... diverge,
la serie z1+z2.... es condicionalmente convergente.
Si una serie es absolutamente convergente es convergente
Ejemplo: La serie 1- 1/2+ 1/3- ¼ +... converge condicionalmente.
17
ik
¿Es la serie 2 convergente?
k 1 k
Es absolutamente convergente, puesto que
|ik/k2| = 1/k2 y la serie real
1
k2
k 1
es convergente.
De modo que la serie original es convergente.
18
Comparación de series:
Si dada una serie dada z1+ z2+ ... , podemos hallar una serie
convergente b1+ b2+ ... con términos reales no negativos tal que
|zn| bn para todo n = 1, 2, ...entonces la serie dada converge,
incluso absolutamente.
(Ejercicio: demostrarlo)
Criterio del cociente:
Si una serie z1+ z2+ .... con zn0 (n = 1, 2, ...) cumple que
|zn+1/zn| q N, con un q dado para cualquier N)
la serie converge absolutamente. En cambio si
|zn+1/zn| 1 ( n > N) la serie diverge.
(Ejercicio: demostrarlo) 19
Si tenemos una serie z1+ z2 +.... con z n 0 (n = 1, 2, ..) tal que
zn1
lim L Entonces se cumple que:
n z
n
a) Si L 1 diverge.
c) Si L = 1 “no sabe, no contesta”.
(Ejercicio: demostrarlo)
(100 75i ) n
(100 75i ) 2
Dado S 1 (100 75i )
0 n! 2!
¿Es S convergente o divergente?
z n 1
n 1
100 75i n 1! 100 75i 125
lim lim lim lim 0
n z
n
n
100 75i n!
n n n 1 n n 1
Converge. 20
Criterio de la raíz:
Si una serie z1+ z2 + ... cumple que para todo n > N
n|z |q N
lim n|zn| = L
n
entonces:
a) Si L 1 diverge
c) Si L = 1 no podemos extraer conclusiones
21
(1) n
4 i (4 i) (4 i) 2
1 1 1
S 2n
n
Dado 2 3
0 4 7 19
¿Es S convergente?
(4 i ) n
lim n lim (4 i ) lim 17
17
n 2 2n
3 n n 4 n 3 n n 4 n 3 4
Como el límite es mayor que 1, la serie diverge.
Ejercicio: demostrar que
La serie geométrica qm 1 q q2
m 0
converge con suma 1/(1-q) si |q| 1
149
Ejemplo Expandir la función 1/(i-z) en potencias de z-2
(Serie de Taylor)
1 1 1
i z i 2 ( z 2) (i 2)1 z 2
i
2
1 z 2 ( z 2) 2
1
i 2 i 2 (i 2) 2
1 z2 ( z 2) 2
i 2 (i 2) 2
(i 2) 3
1
Dado que 1 z z 2 converge para |z| Admite desarrollo de Taylor:
z
g ( k ) ( 2)
g ( z) ( z 2) k
k 0 k!
1 n n(n 1)
g ( z ) n ; g ( z ) n 1 ; g ( z ) n 2 ;
z z z
k ( n k 1)! 1 k ( n k 1)! 1
g ( z ) (1)
(k )
nk
; g (2) (1)
(k )
nk
(n 1)! z (n 1)! 2
(1) k (n k 1)! 1
g ( z ) nk ( z 2) f ( z ) g ( z )
k
k 0 2 k!(n 1)! ( z 2)
(1) k (n k 1)!
nk ( z 2) k 1
k 0 2 k!(n 1)!
172
Obtener el desarrollo en serie de Laurent de la función
a
sin( z )
f ( z) 2
( z 1) 2 z
válido en el disco |z| 4.
175
Respuesta.
a) La función f es el producto de dos funciones, luego no es analítica en
aquellos puntos en los que:
1
- El cociente 2 no es analítico, es decir, el punto z = 0.
z
4 z
- La función log es analítica. Para analizar el dominio
no
z 1
de holomorfía de esta función se debe considerar:
4 z
* Por un lado, los puntos singulares de , en este
z 1
caso, z = 1.
* Por otro lado, los puntos singulares de log w con la
determinación (0,2π). Esta determinación no es
analítica en w = 0 y en los puntos que cumplen
Im(w) = 0 y Re(w)>0. Introduciendo la variable z = x + iy
176
4 z (4 x) iy (4 x)( x 1) y 2 3y
w i
z 1 ( x 1) iy ( x 1) y
2 2
( x 1) 2 y 2
con lo que
w0 z 4
3y
Im(w) 0 ( x 1) 2 y 2 0
y 0
Re( w) 0 (4 x)(x 1) y 0 (4 x)(x 1) 0 1 x 4
2
( x 1) 2 y 2
4 z
Así, log no es analítica en todo el segmento real z x 1,4
z 1
177
Con todo, la función f es analítica en
Im (z)
todo el plano complejo menos en z = 0
y en el segmento z x 1,4
Re (z)
- Los puntos z x 1,4 no son aislados, luego la función no admite
desarrollo en serie en torno a ellos.
- El punto z = 0 es una singularidad aislada. Para analizar de qué tipo
g ( z)
observamos que f se puede expresar de la forma f ( z) con
z2
4 z
g ( z ) log analítica en z = 0 y g(0) = log(-4) = Ln(4) + iπ ≠.0Luego
z 1
z = 0 es un polo doble.
178
b) El único punto singular aislado es z0 = 0, por lo que se puede obtener
tanto la serie de Laurent de la función en torno a z0 = 0 válida en la
corona 0
4.
Para calcular el desarrollo en serie de la corona |z| > 4, derivamos
4 z
respecto de z la función g ( z ) log de modo que
,
z 1
3 1 1
g´( z )
(4 z )( z 1) 4 z z 1
y buscamos los desarrollos de cada fracción convergente en el dominio |z|
4
> 4 o, expresado de modo más conveniente, 1
z
179
1 1 1 1 4n 4
4 z z 1 z n 0
4 zn z
1
z
1 1 1 1 1 1
n 1
z 1 z 1 1 z n 0 z z
z
(... continuar el problema ...)
180
Obtener todos los posibles desarrollos en serie de potencias (Taylor y
Laurent) de las funciones complejas:
1 1
a) f ( z ) ; b) f ( z ) ,
1 z (1 z ) 2
alrededor de z = 1. Indicar el radio de convergencia de cada una de
las series obtenidas.
Respuesta.
a) Desarrollaremos primero en serie de Taylor alrededor de z = 1.
Observemos que f(z) tiene un punto singular en z = -1, de modo que el
desarrollo será válido para |z – 1| < 2, es decir, |(z – 1)/2| < 1.
181
Entonces:
1 1 1 1 (1) n
f ( z) n ( z 1) n
1 z 2 1 ( z 1) 2 n 0 2
2
(1) n
f ( z ) n 1 ( z 1) n
n 0 2
Ahora desarrollaremos fuera del círculo anterior, es decir, para
|z – 1| < 2 ó |(z – 1)/2| < 1, en serie de Laurent.
Observemos que |(z – 1)/2| < 1 y entonces:
182
1 1 1
f ( z)
1 z z 1 1 ( 2 )
z 1
1 (1) n 2n (1) n 2n
(1) n 1 2n 1
f ( z) ( z 1)n ( z 1)n1 ( z 1)n
z 1 n 0 n 0 n 1
1 d 1 df ( z )
b) Observemos que g ( z) ( ) ;
(1 z ) 2
dz 1 z dz
entonces derivando las series anteriores obtenemos:
d (1) n
(1) n 1 n
g ( z ) ( n 1 ( z 1) n ) ( z 1) n 1
dz n 0 2 n 1 2 n 1
(1) n (n 1)
g ( z) ( z 1) n , con z 1 2 (Serie de Taylor)
n 0 2n2
183
y
d (1) n 1 2 n 1 (1) n 1 2 n 1 n
g ( z)
n 1
dz n 1 ( z 1) n 1 ( z 1)
n
con z 1 2 (Serie de Laurent)
184
Obtener la serie de Laurent válida en el dominio 1 < |z| < 2 de la
función compleja:
1
f ( z)
z ( z 1)( z 2)
Respuesta.
1 1 1 1
f ( z)
z ( z 1)(z 2) z z 1 z 2
1
1
1
z z (1 1 ) 2(1 z )
z 2
185
1 1 1 1
z n
f ( z) n n
z z n 0 z
2 n 0 2
n 1
1 z
n 2 n 1
n 0 z n 0 2
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
Gracias al desarrollo de Laurent podemos encontrar
el valor de algunas integrales. Por ejemplo, calculemos:
e
1/ z Encontremos las serie de Laurent
dz
C de e1/z:
zn z2 z3
e z 1 z ; | z |
n 0 n! 2! 3!
(1 / z ) n 1 1 1
z 1 / z; e
1/ z
1 2
3 ; 0 | z |
n 0 n! z 2! z 3! z
1
Recordemos: b1 1
2 i C
e1/ z ( z 0)11 dz
1
bn
2 i C
f ( z )( z z0 ) n 1 dz
n 0,1, 2, ... C
e1/ z dz 2i
199
Otro ejemplo: Desarrollemos f(z) = 1/(z-i)2 en serie de
Laurent alrededor de z0 = i.
¡Ya está desarrollado! Todos los coeficientes an y bn
son cero a excepción de b2 = 1. Entonces, como:
1 f ( z)
an ( z z0 ) n1 dz, n 0,1, 2, ...
2 i C
1
bn
2 i C
f ( z )(z z0 ) n 1 dz, n 0,1, 2, ...
dz 0 si n 2 ¡Hemos resuelto
C ( z i)n3
2i si n 2
infinitas integrales
de una tacada!
200
Acabemos con la pregunta de la transparencia
sobre series de Taylor en variable real:
1
1 x x x ... , x 1
2 3
Es fácil ver
1 x por qué el
2 3 radio de
x x
ln(1 x) x ... , x 1 convergencia es
|x|<1.
2 3
1
1 x 2 x 4 ... , x 1 Pero, en este caso:
1 x2 ¿cuál es el motivo?
201
202
203