EJERCICIOS by HC111124142629

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									UNIVERSIDAD DEL VALLE. ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y ESTADISTICA
Curso: Simulación Discreta

PROFESOR: GABRIEL CONDE

Ejercicios tomados de los libros:
Investigación de Operaciones de Hiller y Lieberman. 2001, 7ª edición.
Simulación de Rios e Insúa, Editorial Alfaomega. 2000
Simulación de Ross Sh. Editorial Limusa 1998

Ejercicios para entregar resueltos el 09 de dic/2005: 24, 28, 29, 31, 33, 34, 52, 53.

1) El clima se puede considerar un proceso estocástico, porque evoluciona de una manera
probabilística de un día a otro. Suponga que para cierto lugar este comportamiento
probabilístico satisface la siguiente descripción:

La probabilidad de lluvia para mañana es 0.6 si hoy llueve. La probabilidad de un día
despejado para mañana es de 0.8 si hoy esta despejado.

   a) Genere números aleatorios uniformes con Excel para realizar la simulación del punto
      anterior en una hoja de cálculo.

2) Una empresa de entretenimiento abrirá una nueva taquilla donde los clientes puedan venir
a comprar boletas por adelantado para los eventos que se realizan en el área. Por ahora se
esta usando simulación para analizar si coloca uno o dos dependientes en la taquilla. Al
simular el inicio del día en la taquilla, el primer cliente llega a los 5 minutos después de abrir y
los tiempos entre llegadas para los siguientes 4 clientes son 3, 9, 1 y 4 minutos
respectivamente, después de lo cual hay un retraso largo hasta la llegada del siguiente
cliente. Los tiempos de servicio son, en orden, 8, 6, 2, 4 y 7 minutos.

   a) Para un servidor, grafique la evolución del número de clientes en la taquilla en este
      período.
   b) Use esta gráfica para estimar las medidas usuales de desempeño, L, Lq, W, Wq y las
      Pn, para este sistema de colas.
   c) Repita a) para la alternativa de dos servidores.
   d) Repita b) para la alternativa de dos servidores.

3) Use el método congruencial mixto para generar las siguientes sucesiones de números
aleatorios.

   a) Una sucesión de 10 números aleatorios enteros de un dígito, tal que xn+1 
      (xn+3)(módulo 10) y x0 = 2.
   b) Una sucesión de 8 números aleatorios enteros entre 0 y 7, tales que xn+1 
      (5xn+1)(módulo 8) y x0 = 1.
   c) Una sucesión de 5 números aleatorios enteros de dos dígitos, tales que xn+1 
      (61xn+27)(módulo 100) y x0 = 10.
4) Considerando el problema anterior, suponga ahora que se desea convertir estos números
aleatorios enteros en números con distribución uniforme (aproximada). Para cada inciso, dé
una fórmula para esta conversión que haga la aproximación tan cercana como sea posible.

5) Use el método congruencial mixto para generar una sucesión de 5 números aleatorios
enteros de dos dígitos, tales que xn+1  (41xn+33)(módulo 100) y x0 = 48.

6) Con el método congruencial mixto genere una sucesión de 3 números aleatorios enteros
de tres dígitos, tales que xn+1  (201xn+503)(módulo 100) y x0 = 485.

7) Genere 5 números aleatorios.

   a) Para esto use el método congruencial mixto y genere una sucesión de 5 números
      aleatorios enteros entre 0 y 31, tales que xn+1  (13xn+15)(módulo 32) y x0 = 14.
   b) Convierta estos números aleatorios enteros en números uniformes de modo
      aproximado como sea posible.

8) Se tiene un generador congruencial multiplicativo x0 = 1 y xn+1  7xn (módulo 13) para n =
0, 1, 2,...

   a) Calcule xn para n = 1, 2,..., 12.
   b) Con qué frecuencia aparece cada número entre 1 y 12 en la sucesión del punto
      anterior?
   c) Sin realizar cálculos adicionales, compare x13, x14,..., con x1, x2,...

9) Aplique el método de la transformación inversa como se indica para generar tres
observaciones de una distribución uniforme entre –10 y 40 con los siguientes números
aleatorios uniformes: 0.0965, 0.5692, 0.6658.

   a) Aplique este método mediante una gráfica.
   b) Aplique este método en forma algebraica.
   c) Escriba la ecuación que usaría en Excel para generar cada observación.

10) Obtenga números aleatorios uniformes, genere 3 observaciones aleatorias a partir de las
siguientes distribuciones de probabilidad.

   a) La variable aleatoria X tiene P{X = 0} = ½. Si X  0, tiene distribución uniforme entre –
      5 y 15.
                                                                           x  1 si1  x  2
   b) La distribución cuya función de densidad de probabilidad es f(x)  
                                                                           3  x si 2  x  3
   c) La distribución geométrica con parámetro p = 1/3
                   1  2  k 1
                              si k  1, 2,...
      P{X  k)   3  3 
                  0
                                de otra manera
11) Suponga que se necesitan observaciones aleatorias a partir de una distribución triangular
cuya función de densidad de probabilidad es

                                                  2x   si 0  x  1
                                           f(x)  
                                                  0    de otra manera

   a) Deduzca una expresión para cada observación aleatoria como función del número
      aleatorio uniforme r.
   b) Genere 5 observaciones aleatorias para esta distribución con los siguientes números
      aleatorios uniformes: 0.0956, 0.6695, 0.7634, 0.8426.
   c) Se usó el método de transformación inversa para generar las siguientes 3
      observaciones aleatorias para esta distribución: 0.09, 0.64, 0.49. Identifique los tres
      números aleatorios uniformes que se usaron.
   d) Escriba una ecuación para que Excel para que genere cada observación aleatoria
      para esta distribución.

12) Un juego de dados requiere que el jugador lance dos dados una o más veces hasta que
se llegue a una decisión de si pierde o gana. Gana si la primera tirada suma 7 u 11, o si la
primera suma es 4, 5, 6, 8, 9 o 10 y sale la misma suma antes de que aparezca una suma de
7. Por el contrario, pierde si el resultado de la primera tirada suma 2, 3 0 12, o si la primera
suma es 4, 5, 6, 8, 9 o 10 y aparece una suma de 7 antes de que la primera suma vuelva a
salir.

   a) Formule un modelo en una hoja de cálculo para simular la tirada de dos dados.
      Realice una réplica.
   b) Realice 25 réplicas de esta simulación.
   c) Analice estas 25 réplicas para determinar el número de veces que el jugador simulado
      habría ganado el juego de dados y el número de veces que lo habría perdido cuando
      cada jugador comienza con el siguiente lanzamiento después de que termina el juego
      anterior. Use esta información para calcular una estimación preliminar de la
      probabilidad de ganar una tirada.
   d) Para un número grande de jugadas, la proporción de veces que gana tiene
      distribución normal aproximada con media 0.493 y desviación estándar 0.5 n . Utilice
      esta información para calcular el número de jugadas simuladas requeridas para
      obtener al menos una probabilidad de 0.95 de que la proporción de veces que gana
      sea menor que 0.5.

13) Sean r1, r2,..., rn números aleatorios uniformes. Defina xi = -ln ri y yi = -ln (1 – ri) para i = 1,
                  n
2,..., n y z =   x
                 i 1
                        i   . Marque las siguientes afirmaciones como falsas o verdaderas y justifique

su respuesta.

   a) Los números x1, x2,..., xn y y1, y2,..., yn son observaciones aleatorias de una
      distribución exponencial.
      b) El promedio de x1, x2,..., xn es igual al promedio de y1, y2,..., yn.
      c) z es una observación aleatoria de una distribución Erlang (gama)

14) Considere la variable aleatoria X que tiene una distribución uniforme (probabilidades
iguales) en el conjunto {1, 2,..., 9}. Se quiere generar una sucesión de observaciones
aleatorias xi (i = 1, 2,...) de X. Se han hecho las siguientes propuestas. Para cada una,
analice si se trata de un método válido y, si no, diga cómo se puede ajustar.

      a) Propuesta 1. Generar números aleatorios uniformes ri (i = 1, 2,...) y establecer xi = n,
         donde n es un entero que satisface n/8  ri < (n + 1)/8.
      b) Propuesta 2. Generar números aleatorios uniformes ri (i = 1, 2,...) y establecer xi igual
         al entero mayor que es menor o igual a 1+ 8ri.
      c) Propuesta 3. Generar xi congruencial mixto xn+1  (5 xn + 7)(módulo 8) con un valor
         inicial x0 = 4.

15) Una compañía proporciona a sus 3 empleados un seguro de salud en un plan de grupo.
Para cada empleado, la probabilidad de incurrir en gastos médicos durante el año es 0.9, así,
el número de empleados que incurren en gastos médicos durante el año tiene una
distribución binomial con p = 0.9 y n = 3. Dado que un empleado incurre en gastos médicos
durante el año, el monto total para el año tiene una distribución $100 con probabilidad 0.9, o
$10000 con probabilidad 0.1. La compañía tiene una cláusula de deducible de $5000 de
forma que cada año la aseguradora paga los gastos médicos totales del grupo que excedan
a $5000. Utilice los números aleatorios 0.01 y 0.02, en ese orden, para generar el número de
reclamaciones con base en una binomial para cada 2 años. Use los números aleatorios
uniformes, en el orden dado, para generar el monto de cada reclamación: 0.80, 0.95, 0.70,
0.96, 0.54, 0.01. Calcule el monto total que paga la aseguradora en 2 años.

16) La fábrica Avery ha tenido problemas de mantenimiento con el tablero de control de sus
procesos de producción. El tablero contiene 4 relevadores electromecánicos idénticos, causa
del problema. Los relevadores fallan con frecuencia y se apaga el tablero de control (y por lo
tanto el proceso de producción) mientras se hace el reemplazo. La práctica actual es
reemplazar los relevadores sólo cuando fallan; pero se propone el reemplazo de los 4
relevadores cada vez que uno falle para reducir la frecuencia con la que se apaga el tablero.
El objetivo es comparar el costo de las dos alternativas.

Los datos pertinentes son: para cada relevador, el tiempo de operación antes de fallar tiene
distribución uniforme aproximada de 1000 a 2000 horas. El tablero debe apagarse a una hora
para reemplazar un relevador y 2 para reemplazar los 4. El costos total asociado es $1000
por hora más $200 por cada nuevo relevador.

Use simulación en una hoja de cálculo para evaluar y comparar el costo de las dos
alternativas. En cada caso, realice 100 iteraciones (donde el final de cada una coincida con el
final del reemplazo) y genere los resultados disponibles.


17)
a) Genere 10 números uniformes utilizando el método congruencial mixto de tal manera que
xn+1 = (41xn + 33) mod 100, x0 = 48.
b) Genere 5 números de una variable aleatoria T cuya función de masa esta dada por la
tabla:

 T     1     2     3
P(T) 0,437 0,500 0,062
       5     0     5

18)
a) Genere 10 números uniformes utilizando el método congruencial mixto de tal manera que
xn+1 = (61xn + 27) mod 100, x0 = 10.

Utilice estos 10 números para:

b) obtener 5 números normales con media 2 y varianza 9. Explique su procedimiento.
c) obtener 5 números de una variable aleatoria cuya función de masa es tal que p 1 = 0.4375,
p2 = 0.5000, p3 = 0.0625. Explique su procedimiento.

19)
a) Genere 5 números uniformes utilizando el método congruencial mixto de tal manera que
xn+1 = (13xn + 15) mod 32, x0 = 14.
b) Obtener 5 números normales con media 2 y varianza 16. Explique su procedimiento.


20) Dé un método para generar números aleatorios con función de densidad. Genere
algunas ejemplos:

                                          e 2x ,   x  0
                                   f(x)   2x
                                          e , 0  x  


21) Se requiere generar números aleatorios con distribución cuya función de masa de
probabilidad es: f(x) = 2x si 0  x  1. Encuentre una expresión para las observaciones
aleatorias requeridas en función del número aleatorio uniforme u. Utilice esta fórmula para
generar 5 observaciones con dicha distribución.


22) Dé un método para generar números aleatorios con función de densidad. Genere
algunos ejemplo:
                                          ex
                                  f(x) 
                                         e 1

23) Aplique el método de la transformada inversa para generar 10 números aleatorios con
función de distribución acumulada:
                                               x2  x
                                      F(x)           , 0  x 1
                                                 2

24) Se lanzan de manera continua un par de dados legales, hasta que todos los posibles
resultados 2, 3, ...., 12 hayan aparecido al menos una vez. Desarrolle un estudio de
simulación para estimar el número esperado de lanzamientos necesarios.


25) a) Emplee 100 números aleatorios para explicar la forma de determinar una aproximación
     N      i
de    e N donde N = 10000. b) obtenga la aproximación. c) ¿Es buena su aproximación?
     i 1




26) Si Z es una variable aleatoria normal estándar, muestre por simulación que:
                1
          2 2
E[ Z ]     0.798
         π

27) Se baraja un conjunto de 100 cartas (numeradas del 1 al 100) y luego se voltean, una a
la vez. Decimos que ocurre un “éxito” si la cara i es la i-esima carta volteada, i = 1, ...., 100.
Escriba un programa de simulación para estimar la esperanza y la varianza del número total
de éxitos. Ejecute el programa. Compare sus resultados con la respuesta teórica.


28) Para U1, U2, .... variables aleatoria uniformes (0, 1), definimos :

                                                n
                                                          
                                        N  n :  U i  1 ,
                                             i 1        

es decir N es igual a la cantidad de números aleatorios que deben sumarse para exceder a 1.
a) Estime E[N] generando 100 valores de N. b) Estime E[N] generando 1000 valores de N. c)
Estime E[N] generando 10000 valores de N. d) ¿Cuál cree que sea el valor de E[N]?

29)
Para terminar su trabajo un obrero debe pasar por k etapas en orden. El tiempo necesario
para concluir la etapa i es una variable aleatoria exponencial con parámetro i, i = 1, 2, …, k.
Sin embargo después de concluir la etapa i el obrero pasará a la siguiente etapa con
probabilidad i , i = 1, 2, …, k-1, es decir el obrero puede dejar de trabajar. Si X denota la
cantidad de tiempo que dedica al trabajo, escriba un algoritmo para generarla. Implemente su
algoritmo en alguna utilidad computacional o compilador y genere un número adecuado de
ejecuciones de tal manera que podamos estimar la media de X con una diferencia no mayor
de un 2% de su verdadero valor y con una certeza del 95%.
30) Use simulación para calcular la probabilidad de que un estudiante gane un examen de 10
preguntas de opción múltiple cada una con 5 opciones, si cada pregunta es contestada
completamente al azar. Ejecute un número razonable de iteraciones de sus algoritmos de
acuerdo a sus condiciones de cálculo, escriba todos sus resultados. Explique sus
procedimientos.


31) Ross, pag 108, # 14, Tema = colas o líneas

Ciertos mensajes llegan a una instalación de comunicaciones de acuerdo a un proceso
Poisson con una tasa de 2 por hora. La instalación consta de tres canales, cada mensaje
llega a un canal libre si alguno de los tres están libres, o se pierde si todos los canales están
ocupados. El tiempo que los mensajes permanecen en los canales es una variable aleatoria
que depende de las condiciones meteorológicas al momento de llegada. Específicamente, si
el mensaje llega cuando las condiciones son “buenas” entonces su tiempo de procesamiento
es una variable aleatoria con función de distribución:

                                       f(x) = x, si 0 < x < 1

mientras que si las condiciones son “malas” su tiempo de procesamiento tiene una función de
distribución:
                                     f(x) = x3 si 0 < x < 1

Al principio las condiciones son buenas y alternan en períodos buenos y malos, los buenos
tienen una duración fija de 2 horas y los malos de 1 hora.

Estamos interesados en la distribución del número de mensajes perdidos hasta el instante T
= 100.

a) Defina los eventos, las variables y las condiciones de estimación para obtener, por
simulación las características de la distribución del número de mensajes perdidos.
b) Ejecute su simulación para estimar el número promedio de mensajes perdidos en las
primeras 100 horas de operación.

                                                                         
32) Se X una variable aleatoria con función de masa p j  P[X  j],  p j  1 . Sea
                                                                         j1

                                                        pn
                           λn  P X  n X  n 1        n 1
                                                                , n  1,2,
                                                     1 p j
                                                         j1

a) Demuestre que p1 = 1 y que pn = (1 - 1)(1 - 2)....(1 - n-1)n

b) Las cantidades n, n  1, son las tasas discretas de riesgo, pues si pensamos en X como
el tiempo de vida de algún artículo, entonces n representa la probabilidad de que alguno que
haya alcanzado la edad n muera durante ese período. El siguiente método para simular
variables aleatorias discretas, llamado método de la tasa discreta de riesgo, genera una
sucesión de números aleatorios y termina cuando el n-esimo número aleatorio es menor que
n. El algoritmo se puede escribir como sigue:

paso 1: X = 1
paso 2: Generar un número aleatorio U.
paso 3: Si U < X, terminar.
paso 4: X = X + 1
paso 5: ir la paso 2.

Si X es una variable aleatoria con densidad definida por la siguiente tabla:

   x      1        2      3      4
P[X = x] 0,4      0,1    0,2    0,3

muestre que el valor de x al terminar este proceso tiene la función de masa deseada.


33) La venta de dos tipos de productos (A y B) en el mercado se puede considerar un
fenómeno aleatorio, porque evoluciona de una manera probabilística de un día a otro.
Suponga que para cierto mercado este comportamiento satisface la siguiente descripción:

·    En un día determinado la venta de uno de los productos excluye la venta del otro.

·    La probabilidad de que se venda el producto A mañana es de 0.6 si hoy se vendió dicho
     producto A.

·    La probabilidad de que se venda el producto B mañana es de 0.8 si hoy se vendió dicho
     producto B.

Simule el comportamiento de las ventas de A y B durante 10 días, a partir de hoy y sabiendo

que ayer se vendió el producto A.

Escriba todos sus resultados. Explique sus procedimientos.


34) Ríos Insúa, pag 174, # 7. Tema = simulación y optimización

En una fabrica se dispone de n máquinas {M1, …, Mn} que pueden realizar n tareas {T1,…,
Tn} distintas, ciJ es el costo asociado de asignar a la máquina Mi la tarea TJ . Aplicar
búsqueda aleatoria pura para encontrar la asignación de coste mínimo. Utilice la siguiente
matriz de costes:

       T1    T2     T3     T4     T5   T6
M1     4     8      12     3      5    7
M2     9        1   6   4       3        8
M3     14       3   6   8       5        4
M4     6        5   7   9       11       4
M5     4        6   8   2       5        6
M6     3        5   9   8       10       4


35) Utilice la simulación para aproximar COV(U, eU) donde U es uniforme en (0; 1). Compare
su resultado con la respuesta exacta.

36) Un uso de la simulación es explorar la influencia de ciertos parámetros sobre el
comportamiento de un modelo. Aquí hacemos experimentos con un caso particular del
modelo dinámico lineal, que se utiliza en predicción (por ejemplo), del comportamiento de la
bolsa, de las entradas de aguas en un embalse) y control (de aviones, de robots). El modelo
define el comportamiento dinámico de una variable observable yt. viene definido por una
ecuación de observación

                                             xt  y t  vt

con vt con distribución normal de media 0 y varianza v; y una ecuación de sistema

y t  y t 1  wt

con wt con distribución normal de media 0 y varianza w. Todos los ruidos wt y vt son
independientes. Simular de este sistema, cuando y0 = 0, durante 500 períodos. Representar
las series temporales (xt, yt) cuado v = 1 y

                            (a) w = 1
                            (b) w = 10

sugerir alguna propiedad de la evolución del sistema en función del cociente w/v

37) Un sistema de computación esta servido por cinco impresoras. En promedio, resulta
necesario imprimir 30.3 trabajos por hora y cada impresora es capaz de imprimir 7.4 trabajos
por hora. Los tiempos entre llegadas de los trabajos, así como los tiempos de servicio de las
impresoras, se distribuyen exponencialmente, se desea:

        (a) simular el sistema de impresión y determinar cual seria el numero adecuado de
        impresoras para tener un servicio razonable.

        (b) estudiar el efecto de reemplazar en el sistema una de las impresoras actuales por
        otra mas rápida, que es capaz de imprimir en promedio 9.2 trabajos a la hora

38) Consideremos un sistema de colas G/G/1 bajo disciplina FIFO, correspondiente a la
ventanilla de caja de una oficina bancaria. Se pretende simular este sistema para determinar
las cantidades: tiempo promedio que un cliente esta en el sistema y tiempo promedio T
desde que el ultimo cliente dejo el sistema.

       (a) describir la simulación y escribir un programa que genere las salidas indicadas.

       (b) considerar el caso particular en el que la función de densidad de los tiempo entre
       llegadas de los clientes es exp (10) y la función de densidad de los tiempo de servicio
       es  r ,   (r entero).

       (c) si para el modelo anterior se desea obtener información sobre el tiempo que esta
       ociosos el servidor, explicar como se podría llevar a cabo.
       (d) si ahora se supone que hay dos servidores, ambos con la misma distribución de
       servicio G, y cuando llega un nuevo cliente al sistema, este puede ser servido por
       cualquiera de ellos, construir el diagrama de flujo correspondiente a la simulación de
       este nuevo modelo.

39) un sistema recibe sacudidas que le producen un deterioro y que ocurren de acuerdo con
una distribución de Poisson con tasa una por hora. Esos deterioros se suponen variables
aleatorias independientes (que también son independientes de los instantes en que se
producen las sacudidas) con función de densidad común f  x   xe  x , x > 0. los deterioros
desaparecen con el tiempo con tasa exponencial  , es decir, una sacudida que produce un
deterioro inicial x mantendrá un deterioro con valor xe t en el instante t después de haber
ocurrido la sacudida. Se supone, además, que los deterioros son aditivos, es decir, que si
hasta un instante s ha habido dos sacudidas, una en t 1 y la otra t2, con deterioros iniciales x1
y x2 respectivamente, entonces el deterioro total en s es i 1 xi e   s ti  . El fallo en el sistema
                                                             2


se produce cuando el deterioro total excede algún valor fijo M suponiendo que el interés del
estudio de simulación se refiere a la estimación del tiempo medio hasta el fallo, se pide:

       (a) definir las componentes y variables en este modelo, y construir un diagrama de
       influencia.
       (b) Usar Excel Implementar un programa que genere k pasadas.
       (c) asignando los valores   0.4 y M = 6, con k = 1000, utilizar la salida para estimar el
       tiempo medio hasta que el sistema falla.
       d) Determinar unas condiciones de precisión y confianza y ejecutar un número k de
       pasadas de acuerdo a tales condiciones.

40) Un sistema necesita n máquinas trabajando para que sea operativo. Si alguna máquina
se estropea hay disponibles máquinas de repuesto, de modo que cuando una falla se
sustituye inmediatamente. La máquina estropeada se envía para su reparación a un taller
donde trabaja un único operario que arregla las máquina de una en una. Una vez que una
máquina queda reparada, sirve como repuesto del sistema. Se supone que los tiempos de
reparación son variables aleatorias i.i.d. con función de distribución G. Además, la duración
de una máquina es una variable aleatoria independiente del pasado, con función de
distribución F. Se dice que el sistema estropea cuando falla una maquina y no existe otra de
repuesto. Si inicialmente hay n + s maquinas de las cuales n están en funcionamiento en el
sistema y s como repuesto, se desea

      (a) mediante simulación del sistema, indicar como aproximar E(t), donde T es el
      instante en que el sistema se estropea. Dibujar el diagrama de flujo que permita la
      simulación anterior.

      (b) estimar E(T) en el caso particular de n = 5, s = 3, F(x) = 1 - e  x y G(x) = 1 - e 3 x .

41) El siguiente modelo sencillo de Reed Y Frost describe una epidemia, la enfermedad se
propaga solo a partir de individuos infectados (casos) a otros (susceptibles) que no sean
inmunes , por medio de un contacto adecuado. Los individuos se inmunizan tras tener la
enfermedad. Al comienzo de la epidemia, hay una población p 0 con c0 casos y s0 = p0 – c0
susceptibles para cualquier otro individuo en cada instante. Una vez adquirida la enfermedad,
se tiene durante un periodo después del cual se permanece inmune. El tamaño de la
epidemia es el numero de casos en cada periodo. Se pide:

      (a) construir un programa que permita la simulación de este modelo.
      (b) explorar el impacto de los parámetros del modelo.
      (c) discutir como puede hacerse más realista el modelo.

42) Sea U uniforme en (0, 1). Utilice simulación para aproximar lo siguiente:

             
      (a) Cov U , 1  U 2   
      (b) Cov ,
             U   2
                     1U 2 .    
43) Considere los eventos A1,......, An donde los A1, i = 1,....,n consisten en los siguientes ni
   resultados: A1 = {ai,1, ai,2,.......ai,ni }. Suponga que para cualquier resultado dado a, se
   conoce P{a}, la probabilidad de que el experimento produzca el resultado a. Explique la
   forma de utilizar los resultados del ejercicio 8 para estimar P in1 Ai , la probabilidad de
   que al menos uno de los eventos Ai ocurra. Observe que no suponemos que los eventos
   Ai, i = 1,.......n sean mutuamente excluyentes.

44) Sea X una variable aleatoria exponencial con media 1. Dé un algoritmo eficiente para
    simular una variable aleatoria cuya distribución es la distribución condicional de X, dado
    que X <0.05. (Encuentre primero la función de densidad condicional)

Genere 1000 de tales variables y utilícelas para estimar E[X 1 X < 0.05]. Luego, determine el
valor exacto de E[X Ix < 0.05].

45) (El método de composición) Suponga que es relativamente fácil generar variables
    aleatorias a partir de las distribuciones F1, i = 1, . . . , n. ¿Cómo podríamos generar una
    variable aleatoria con la función de distribución.
                                                    n
                                          F(x) =    p F x 
                                                   i 1
                                                          i   i
 donde pi, i = 1,....,n son números no negativos cuya suma es 1?




47) Utilice los resultados del problema 45 para dar algoritmos que generen variables
aleatorias a partir de las siguientes distribuciones.

                                    x e  
                                    1 x 2 x x 2 x
                                             3    5
       (a)                 F x                     si 0  0  1  1
                                                              xx
                                    
                           F x   
                                         33
                                           2 x
       (b)                          3  e            si 1  x  
                                    n 3 i
                                                                                      n
       (c)                 F x     i x ,        0  x  1,      donde  i  0,        i   1
                                      i 1                                            i 1




48) De un método para generar una variable aleatoria con función de distribución

                           
                  F x    x y e  y dy        0  x 1
                            0


Sugerencia: Piense en términos del método de composición del problema 45. En particular,
sea F la función de distribución de X y suponga que la distribución condicional de X dado que
Y = y es
                 P{X  xIY = y} = xy,  0  x 1

49) Los autobuses llegan a un encuentro deportivo de acuerdo con un proceso Poisson a
    razón de cinco por hora. Con la misma probabilidad, cada autobús puede transportar 20,
    21, . . . , 40 aficionados y el número de autobuses distintos es independiente. Escriba un
    algoritmo para simular la llegada de aficionados al encuentro en el instante t = 1.



50) Suponga que los trabajos llegan a un sistema de línea de espera con un servidor de
acuerdo con un proceso Poisson no homogéneo. cuya razón inicial es 4 por hora y que crece
con una velocidad constante hasta llegar a 19 por hora después de 5 horas, para luego
descender en proporción constante hasta 4 por hora, después de otras 5 horas. La razón
comienza a repetirse de esta manera; es decir, t  10   t  Suponga que la distribución del
servicio es exponencial con razón de 25 por hora. Suponga además que siempre que el
servidor concluya un servicio y no encuentre trabajos esperando. entra en un receso que se
distribuye de manera uniforme en (0, 0.3). Si al regresar de este receso no hay trabajos
esperando. entonces toma otro receso. Utilice la simulación para estimar la cantidad
esperada de tiempo que el servidor estará en receso durante las primeras 100 horas de
operación. Realice 500 ejecuciones de simulación. Determinar unas condiciones de precisión
y confianza y ejecutar un número k de pasadas de acuerdo a tales condiciones.


51) Considere un modelo de línea de espera con un servidor, en el cual los clientes
    llegan de acuerdo con un proceso Poisson no homogéneo. Al llegar, entran a servicio si
    el servidor está desocupado o bien se forman en una fila. Sin embargo, suponga que
    cada cliente sólo puede permanecer formado una cantidad aleatoria de tiempo. con una
    distribución F, antes de salir del sistema. Sea G la distribución del servicio. Defina las
    variables y los eventos para analizar este modelo y dé los procedimientos de
    actualización. Suponga que estamos interesados en estimar el número promedio de
    clientes perdidos hasta el instante T; un cliente se considera perdido si se va antes de
    recibir servicio. Considere valores y condiciones específicas para ejecutar la simulación.

52) En el modelo de sistema de línea de espera con dos servidores en paralelo (ver sección
6.4 del libro de simulación de S. M. Ross), suponga que G1 es la distribución exponencial con
razón 4 y que G2 es exponencial con razón 3. Suponga que las llegadas constituyen un
proceso Poisson con razón 6. Escriba un programa de simulación para generar datos
correspondientes a las primeras 1000 llegadas. Empléelo para estimar:

     (a) el tiempo promedio de estos clientes dentro del sistema
     (b) la proporción de servicios realizados por el servidor 1.
     (c) Realice otra simulación de las primeras 1000 llegadas y utilícela para responder
          las partes (a) y (b). Compare sus respuestas con las ya obtenidas.
      (d) Determinar unas condiciones de precisión y confianza y ejecutar un número k de
   pasadas de acuerdo a tales condiciones.

53) Un sistema experimenta un choque que ocurre de acuerdo con un proceso Poisson, a
    razón de uno por hora. Cada choque causa cierto daño. Suponemos que estos daños
son variables aleatorias independientes (que además son independientes de los instantes en
    que ocurren), con la función de densidad común

                     f(x)=x e  x ,   x>O

   Los daños se disipan con el tiempo a una razón exponencial ; es decir, un choque cuyo
                                                                  s
   daño inicial es x tendrá un valor de daño restante igual a x e , en el instante s después
   de haber ocurrido. Además, los valores de daño son acumulativos (así, por ejemplo, si
   hasta el instante t ha habido un total dedos choques, originados en los instantes t1 y r2 con
                                                                          2
   daños iniciales x1 y x2, entonces el daño total] en el instante t es  x i e  t ti  .El sistema
   falla cuando el daño total excede cierta constante fija C.           i 1



   (a) Suponga que estamos interesados en realizar un estudio de simulación para estimar el
   tiempo promedio de falla del sistema. Defina los “eventos” y las “variables” del modelo y
   trace un diagrama de flujo indicando la forma de ejecutar la simulación.
   (b) Escriba un programa. que genere k ejecuciones.
   (c) Verifique su programa comparando la salida con un cálculo a mano.
   (d) Si  = 0.5, C = 5 y k 100, ejecute su programa y use las salidas para estimar el tiempo
   esperado hasta que falle el sistema.

                                               
54) Utilice la simulación para aproximar   
                                           0
                                                   x(1  x 2 )  2 dx
55) Utilice la simulación para resolver el siguiente problema de programación lineal:

Ver Lieberman

								
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