TIPOS Y ESTUDIO DE LOS PRINCIPALES MOVIMIENTOS (CINEM�TICA) by Cd3PvA

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									 TIPOS Y ESTUDIO DE LOS
PRINCIPALES MOVIMIENTOS
      (CINEMÁTICA)
       Unidad 7-bis
                                                  2



           Contenidos (1)
1.- Definición de Cinemática.
2.- Clasificación de los movimientos:
3.- Movimiento rectilíneo uniforme.
4.- Movimiento rectilíneo uniformemente
    acelerado. Caída libre.
5.- Composición de movimientos:
      5.1. Dos movimientos MRU perpendiculares.
      5.2. Tiro horizontal.
      5.3. Tiro oblicuo.
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           Contenidos (2)
6.- Movimiento circular uniforme.
7.- Movimiento circular uniformemente
    acelerado.
                                                4



Definición de Cinemática
    Es la ciencia que estudia el movimiento
     sin preocuparse de las causas que lo
     producen, es decir, de las fuerzas.
    Las únicas magnitudes que se usan
     son, pues, la posición y el tiempo y las
     derivadas de ambas, es decir, la
     velocidad y la aceleración.
    Para medir el espacio definiremos un
     sistema de referencia y el vector
     posición r (r).
                                                   5



Tipos de movimientos
    Según sean ―‖at ―y ―an‖ los movimientos
     se clasifican en:
    Variación en ―at‖
       – at = 0; v = 0, es decir, la rapidez es
         constante  Mov. Uniforme.
       – at = k; es decir, la rapidez varía
         proporcionalmente al tiempo
          Mov. Uniformemente acelerado.
       – at  k; es decir, la rapidez no es
         directamente proporcional al tiempo
          Mov. Variado.
                                                      6



Tipos de movimientos (cont.)
      Variación en ―an‖
       – an = 0 (porque R= ); no hay variación en
         la trayectoria  Mov. Rectilíneo.
       – an  0 y R = k; la trayectoria es circular
          Mov. Circular.
       – an  0 y R  k ; la trayectoria cambia
         continuamente de radio
          Mov. Curvilíneo.
Movimiento Rectilíneo Uniforme
           M.R.U.
   Se cumple que a = 0
               at = 0
               an = 0
                                                        8


Ecuación del movimiento.
    Si a = dv/dt = 0, significa que v es constante y
     no depende del tiempo (no cambia ni el módulo
     ni la dirección), ya que sólo la derivada de una
     constante da 0.
    dv = a · dt. Integrando: v = ∫ dv = ∫ a · dt = k
    Ejemplo: Sea v = 3 i m/s  a = 0
    Para obtener la posición se vuelve a integrar:
     r = ∫ dr = ∫ v ·dt = v · t + r0      Ecuación
     (r0 = constante)                     vectorial
    Ejemplo: Sea r = ∫ (3 i) m/s · dt =
                      = (3 t + k) · i m
Ejercicio: Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad         9


   es: v = (3 i + 4 j –6 k) m/s. Determinar la ecuación
   vectorial de la posición suponiendo que para t = 0 su
   posición es r0 = (2 i + k) m, ¿cuál será su posición en el
   instante t = 2 s?

       r = ∫dr = ∫ v · dt = v · t + r0 =
        = [(3 i + 4 j –6 k) · t + (2 i + k)] m

              r = [(3 t + 2) i + 4 t j + (–6 t + 1) k] m
       r (t = 2 s) = [(3 · 2 + 2) i + 4 ·2 j + (–6 ·2 + 1) k] m
        = (8 i + 8 j– 11 k) m

                  r (t = 2 s) = (8 i + 8 j – 11 k) m
                                                       10

Ecuación escalar del movimiento.

   Como el movimiento es rectilíneo, lo más sencillo
    es situarlo en el eje de las ―x‖ con lo que:
   v = vx · i = k · i     r = x · i = (x0 + vx · t) · i
   Eliminando i de ambas miembros de las
    ecuaciones nos queda:
              vx = k      ;    x = x0 + v x· t

   que se les denomina ecuaciones escalares.
                                                                  11

Ecuaciones escalares del MRU en
tres dimensiones.
   Si no está situado en el eje ―x‖
   v = vx · i + vy · j + vz · k en donde vx, vy, vz son
    tres constantes.
   Entonces r = x · i + y · j + z · k =
    = (x0 + vx · t) · i + (y0 + vy · t) · j + (z0 + vz · t) · k
   Y las ecuaciones escalares quedarían:
                  vx = k1 ;       x = x 0 + v x· t
                  v y = k2 ;      y = y0 + vy· t
                  vz = k3 ;       z = z0 + vz· t
                                                           12
Ejercicio: Escribir las ecuaciones escalares del
   movimiento anterior cuya ecuación de velocidad era:
   v = (3 i + 4 j –6 k) m/s, y su posición inicial venía
   determinada por r0 = (2 i + k) m.

     Ecuaciones escalares
     de velocidad  de posición
     vx = 3 m/s ;    x = (2 + 3 t) m
     vy = 4 m/s ;    y=       4tm
     Vz = –6 m/s ;   z = (1 – 6 t) m
                                                         13

Representación gráfica x/t.

     Al representar ―x‖    x(m)
      frente a ―t‖ se
      obtiene una recta
      cuya pendiente es                                 x
                                        
      ―v‖ (v = tg ) y la
      ordenada en el                        t
      origen es x0.                x0


                                                 t(s)
                                                    14



Representación gráfica v/t

     Al representar ―v‖   v(m/s)
      frente a ―t‖ se
      obtiene una recta
      horizontal ya ―v‖ es
      constante y no varía
      con ―t‖.                      vx = k



                                             t(s)
  Movimiento Rectilíneo
 Uniformemente acelerado
        M.R.U.A
Se cumple que a = k · ut
            at = k = a
            an = 0
Como la dirección no varía ut puede coincidir
con cualquier vector unitario i, j o k.
                                                           16


Ecuaciones del movimiento. MRUA
     a = dv/dt = ax · i significa que la v varía con el
      tiempo siempre al mismo ritmo.
     dv = a dt.              Integrando:
     v = ∫dv = ∫a · dt = a · t + v0 (v0 = constante)
                        v = a · t + v0
     Para obtener la posición se vuelve a integrar:
     r = ∫dr = ∫v · dt = ∫(a · t + v0) · dt
      r = ½ a · t2 + v 0 · t + r 0      (r0 = constante)
     Si el movimiento transcurre a lo largo del eje
      ―x‖ la ecuación vectorial se expresará como:
       r = x i = (½ ax · t2 + v0x· t + x0) i
                                                         17
Ejemplo: Sea un el movimiento definido por las
siguientes constantes a = (5 i) m/s2 y v0 = 3 i m/s
r0 = 4 i m. Determina las ecuaciones vectoriales de la
velocidad y de la posición.

      v =∫ a · dt = ∫ (5 i) m/s2 dt
       v = (5 m/s2 · t + 3 m/s) i
      r = ∫ v · dt = ∫ (5 m/s2 · t + 3 m/s) i · dt
       r = (5/2 m/s2 · t2 + 3 m/s · t + 4 m) i
Ejercicio: Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad       18


   es: v = (4· t +2 ) j m/s. Determinar la ecuación vectorial de
   la aceleración y de la posición. Suponiendo que para t = 0
   su posición es r0 = 3 j m, ¿cuál será su posición en el
   instante t = 2 s?
       a = dv/dt = 4 j m/s2
       r = ∫ dr = ∫ v · dt = ∫(4· t + 2 ) j dt =
        = (½ ·4 t2 + 2 t + 3) j m

                       r = (2 t2 + 2 t + 3) j m

    r (t = 2 s) = [2 (2)2 + 2 ·2 + 3] j m =
        = (8 + 4 + 3) j m        r (t = 2 s) = 15 j m
                                                         19

Ecuaciones escalar del movimiento.
   Como el movimiento es rectilíneo, lo situaremos
    en uno de los ejes, por ejemplo el ―x‖ con lo que:
   v = vx · i = a t + v0 = (ax · t + v0x) · i
    r = x · i = (x0 + v0x · t + ½ · ax · t2 ) · i
   Eliminando el vector unitario i quedan las
    ecuaciones escalares:
   vx = ax · t + v0x ; x = x0 + v0x · t + ½ ax · t2

   Si el movimiento sucede en el eje ―y‖ vertical
    (caída libre) y tomando g = 9’8 m/s2, ay = –g
    (sentido hacia abajo) y las ecuaciones serán:
     vy = v0y– g · t ; y = y0 + v0y · t – ½ g · t2
                                                            20

Ecuación vx = f(x).
Despejando ―t en la ecuación vx = ax · t + v0x :
      vx –vox
 t = ————
          ax
y sustituyendo en x = x0 + v0x · t + ½ ax · t2
                 vx –vox 1    (vx –vox)2
  x = x0 + v0x · ——— + — ax · ————
                   ax    2       ax2
2 ax( x – x0) = 2 vx·vox – 2 vox2 + vx2 + vox2 – 2 vx·vox
Despejando vx:
           vx2 = vox2 + 2 ax( x – x0)
                                                              21

Ejercicio: Sea el movimiento anterior cuya ecuaciones
   del movimiento eran: a = 4 j m/s2; v = (4· t +2 ) j m/s;
   r = (2 t2 + 2 t + 3) j m. Determinar sus ecuaciones
   escalares.
       vy = ay · t + v0y ; y = y0 + v0y · t + ½ ay · t2
       Comparando con la ecuación general
        observamos que las constantes del
        movimiento son:
       ay = 4 m/s2 ;     v0y = 2 m/s;       y0 = 3 m
       Y las ecuaciones escalares:
       ay = 4 m/s2
       vy = (4 t + 2) m/s
       y = (3 + 2 · t + 2 t2) m
                                                         22



Representación gráfica a/t
                             aX (m/s2)
     Al representar ―a‖
      frente a ―t‖ se
      obtiene una recta
      horizontal ya ―a‖ es
      constante y no varía
      con ―t‖.                           ax = k


                                                  t(s)
                                                                 23



Representación gráfica v/t
                              Vx (m/s)
     Al representar ―v‖
      frente a ―t‖ se
      obtiene una recta
      cuya pendiente es                                        vx
                                               
      ―ax‖ (ax = tg ) y la
      ordenada en el                               t
      origen es v0x.                     v0x


                                                        t(s)
                                                          24



Representación gráfica x/t

     Al representar ―x‖    x(m)                  Vx= 0
      frente a ―t‖ se
      obtiene una
      parábola cuya                     x
      pendiente ―v‖ varía                     
      con el tiempo y que          x0
                                             t
      vale 0 cuando el
      movimiento cambia
      de sentido (v = tg )                       t(s)
      y la ordenada en el
      origen es x0.
                                                                      25
Ejercicio: Representar las gráficas ay/t, vy/t, y/t del
    movimiento anterior cuyas ecuaciones eran: a = 4 j m/s2;
    v = (4· t +2 ) j m/s; r = (½ ·4 t2 + 2 t + 3) j m .
ay (m/s2)
                                 t(s) vy (m/s) Vy (m/s)
                                  0      2
     5                            1      6                      12 m/s
                                  2     10
                                  3     14       10
                                  4     18            
                                                       3s

                          t(s)                        2      4    t(s)
                                             tg  = (12m/s)/3 s = 4 m/s2

            (Continúa en la diapositiva siguiente)
                                                               26
Ejercicio: Representar las gráficas a/t, v/t, y/t del
    movimiento anterior cuyas ecuaciones eran: a = 4 j m/s2;
    v = (4· t +2 ) j m/s; r = (2 t2 + 2 t + 3) j m .
                       y (m)
     t(s)   y (m)
      0     3            40
      1     7
      2     15           30
      3     27
      4     43           20
                         10


                                    2      4     t(s)


            (Viene de la diapositiva anterior)
                                                    27



Composición de movimientos
    Se basan en dos principios:
    P. de Independencia: Cuando un móvil tiene
     dos movimientos simultáneos, su cambio de
     posición es independiente de considerarlos
     simultáneos o sucesivos.
     P. de superposición: La posición, velocidad
     y aceleración vienen dados por la sumas
     vectorial de los movimientos parciales.
    Si los movimientos transcurren en ejes
     distintos, se pueden considerar
     independientes. El tiempo es la única
     magnitud común para ambos.
                                                               28

Composición de dos movimientos
uniformes perpendiculares.
    La ecuación de velocidad será:
     v = vx · i + vy · j , siendo vx y vy constantes.
    La ecuación de la posición será:
     r = x · i + y · j = (x0 + vx· t) · i + (y0 + vy· t) · j
    En la práctica se tienen dos ecuaciones
     independientes con el ―tiempo‖ común:
    vx = k ; vy = k’ ; x = x0 + vx· t ; y = y0 + vy· t
    Despejando ―t‖ en una ecuación y sustituyendo en
     la otra se obtiene la ecuación de la trayectoria:
             vy
     y = y0 + —– · (x – x0) Ec. de una recta
              vx
Ejemplo: Se desea cruzar un río de 50 m de ancho con una         29


   barca llevando un velocidad de 5 m/s. ¿Que dirección
   deberá tomar para cruzar justo enfrente si la velocidad del
   agua es de 3 m/s y qué tiempo tardará en conseguirlo?



50 m                        Vbarca = (5 ·cos  i + 5 ·sen  j) m/s

                                    Vrío = –3 m/s i
                        

    Ecuaciones escalares de velocidad:
    Vx= 5 m/s · cos  – 3 m/s ; Vy= 5 m/s · sen 

         (Continúa en la diapositiva siguiente)
Ejemplo: Se desea cruzar un río de 50 m de ancho con una         30


   barca llevando un velocidad de 5 m/s. ¿Que dirección
   deberá tomar para cruzar justo enfrente si la velocidad del
   agua es de 3 m/s y qué tiempo tardará en conseguirlo?
          Ecuaciones escalares de posición:
          x = (5 m/s · cos  – 3 m/s) · t
          Para cruzar justo enfrente x = 0
          0 = 5 m/s · cos  – 3 m/s  cos  = 3/5
            =arc cos 3/5 = 53’13 º
          y = 5 m/s · sen  · t = 5 m/s · 0,8 · t
          Para y = 50 m; 50 m = 4 m/s · t
                           t = 12,5 s

           (Viene de la diapositiva anterior)
                                                           31



Tiro parabólico
    Es una composición de dos movimientos: un
     MRU en el eje horizontal (de las ―x‖) y un MRUA
     (caída libre) en el eje vertical (de las ―y‖).
 Ecuaciones del movimiento:
 a=–g·j ;              v = v0x · i + (v0y – g · t) · j
 r = (x0 + v0x · t) · i + (y0 + v0y · t – ½ g · t2) · j
 v0x = v0 · cos  ; v0y = v0 · sen 
 Normalmente tomaremos x0 = 0 e y0 = h con lo
    que:
 v = v0 · cos  · i + (v0 · sen  – g · t) · j
 r = v0·cos  · t · i + (h + v0·sen  · t – ½ g · t2)· j
                                                        32

 Tiro parabólico (continuación).
Ecuaciones escalares (paramétricas):
 vx = v0 · cos  ; vy = v0 · sen  – g · t
 x = v0 · cos  · t; y = h + v0 · sen  · t – ½ g · t2
Ecuación de la trayectoria (se obtiene
eliminando ―t‖ en las ecuaciones de posición):
       x                             x             g x2
t = ———–  y = h + v0 sen  ———— – —————2
    v0 cos                         v0 cos  2 (v0 cos )
                               g
     y = h + tg  · x – —————— · x2
(parábola)
                        2 (v0 cos )2
                                                 33

Tiro horizontal (se cumple que:
 = 0  vx = v0 ; v 0y = 0  vy = – g · t)
  Se suele llamar ―h‖ a la altura inicial (y0)
  Ecuaciones escalares (paramétricas):
  vx = v 0 ;       vy = – g · t
  x = v0 · t ;     y = h – ½ g · t2
  Ecuación de la trayectoria:
                      g
             y = h – –—— · x2
                     2 v 02
  Tiempo de impacto con el suelo (y = 0):
                                –——
     0=h–½g·      t2      t =  2 h/g
                                                         34

Tiro horizontal (continuación).
  Alcance (―x‖ para y = 0):
                      –——
            x = v0 ·  2 h/g
  Velocidad de impacto con el suelo:
                                    ——–         ——–
    vx = v 0 ;          vy = – g ·  2 h/g = –  2 g h
         –——–—
    v =  vx2 + vy2 ;
                      –——–———
                 v =  v 02 + 2 g h
Ejemplo: Una persona lanza piedras horizontalmente             35

   desde lo alto de un acantilado de 25 m de altura. Si
   pretende que caigan a 30 m de la base del acantilado,
   calcula: a) la velocidad con que debe lanzar las piedras;
   b) el tiempo que tardan en caer éstas.

   a) De la ecuación del alcance [x = v0 · (2 h/g)½]
     despejamos ―v0‖:
               x            30 m
      v0 = ———— = ————————— = 13,28 m/s
           (2 h/g)½   (2 ·25 m/9,8 m/s2)½
   b) De la ecuación [ x = v0 · t] despejamos ―t‖:
           x      30 m
      t = —— = ————— = 2,26 s
           v0   13,28 m/s
                                                           36

Tiro oblicuo (para simplificar, vamos a
suponer que se lanza desde el suelo: y0 = h = 0).

Ecuaciones escalares (paramétricas):
vx = v0 · cos  ; vy = v0 · sen  – g · t
x = v0 · cos  · t; y = v0 · sen  · t – ½ g · t2
Ecuación de la trayectoria (se obtiene
eliminando ―t‖ en las ecuaciones de posición):
        x                        x             g x2
t = ———–  y = v0 sen  ———— – —————–
    v0 cos                    v0 cos     2 (v0 cos )2
                           g
      y = tg  · x – —————— x2
                     2 (v0 cos )2
                                        37

Tiro oblicuo
Tiempo de impacto con el suelo (y = 0):

      0 = v0 · sen  · t – ½ g · t2
      Sacando factor común ―t‖:
      0 = (v0 · sen  – ½ g · t) · t
      Cuyas soluciones son: t = 0
                      2 v0 · sen 
                  t = ———————
                            g
                                                         38

Tiro oblicuo.
Alcance (x para y = 0):
    Sacando factor común ―x‖ de la ecuación de la
     trayectoria e igualando a 0:
    0 = [tg  – ½ g / (v0 cos )2 · x] · x
    Cuyas soluciones son: x = 0
     x = 2 v02 · cos2  · tg  /g = 2 v02 sen  · cos  /g
                     v02 · sen 2
                x = ——————
                             g
    A igualdad de velocidad de lanzamiento el valor
     máximo se obtendrá cuando  = 45º
Tiro oblicuo.                                        39




Velocidad de impacto con el suelo
    vx = v0 · cos  ; vy = v0 · sen  – g · t
  Sustituyendo ―t‖ por ‖2 v0 · sen  / g‖ en vy
    que es la que varía se tendrá:
    vy = v0 · sen  – g · ( 2 v0 sen  / g)
    vy = – v0 · sen  ; vx = v0 · cos 
      ————           —————————————
 v =  vx2 + v 2 = (v · cos )2 + (– v · sen  )2
               y       0                0
      —————————                  ——
 v =  v0 2(cos2  + sen2 ) =  v 2 = v
                                  0      0
    Es decir, siempre que se lance desde el
     suelo, la velocidad de caída es igual a la de
     lanzamiento.
Tiro oblicuo.                                      40




Altura máxima (y para vy = 0).
      0 = v0 · sen  – g · t
 De donde t = v0 · sen / g (observa que es
  justo la mitad que el tiempo de impacto con el
  suelo)
 Sustituyendo ―t‖ por ―v0 · sen / g‖ en la
  ecuación de posición ―y‖
y = v0·sen  ·(v0·sen /g) – ½ g·(v0·sen / g)2=
= v02· sen2 / g – ½ (v02· sen2 / g)
                   v02 · sen2 
             y=
                      2g
Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una           41

   velocidad de 15 m/s. Calcula: a) el alcance para un ángulo
   de tiro de 30º, 45º y 60 º; b) el tiempo que el balón
   permanece en el aire en cada tiro; c) la altura máxima en
   cada caso.
  a)               v02 · sen 2      (15 m/s)2 · sen 60º
       x(= 30º) = —————— = ————————— = 19,9 m
                     g          9,8 m/s2
                   v02 · sen 2 (15 m/s)2 · sen 90º
       x(= 45º) = —————— = ————————— = 23,0 m
                       g              9,8 m/s2
                    v02 · sen 2 (15 m/s)2 · sen 120º
       x(= 60º) = —————— = ————————— = 19,9 m
                       g               9,8 m/s2

  b)                2 v0 · sen  2 · 15 m/s · sen 30º
       t (= 30º) = ————— = ————————— = 1,53 s
                        g             9,8 m/s2
  Análogamente t (= 45º) = 2,16 s; t (= 60º) = 2,65 s
Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una           42

   velocidad de 15 m/s. Calcula: a) el alcance para un ángulo
   de tiro de 30º, 45º y 60 º; b) el tiempo que el balón
   permanece en el aire en cada tiro; c) la altura máxima en
   cada caso.
 c)                v02 · sen2     (15 m/s)2 · sen 2 30º
     y (= 30º) = —————— = ————————— = 2,87 m
                    2g      2 · 9,8 m/s2
                   v02 · sen2  (15 m/s)2 · sen 2 45º
     y (= 45º) = —————— = ————————— = 5,74 m
                     2g           2 · 9,8 m/s2
                  v02 · sen2  (15 m/s)2 · sen 2 60º
     y (= 60º) = —————— = ————————— = 8,61 m
                      2g          2 · 9,8 m/s2




         (Viene de la diapositiva anterior)
MOVIMIENTOS
CIRCULARES
                                              44


Movimientos circulares
    El vector posición r va cambiando
     continuamente de dirección y sentido
     pero no así su módulo: r= R (radio)
    Periodo (T): Es el tiempo que tarda en
     dar una vuelta completa. Se mide en
     segundos.
    Frecuencia (): Es el número de
     vueltas que da por unidad de tiempo.
     Se mide en herzios = s–1.
                  T = 1/ 
                                                    45



Movimientos circulares (cont.).
      Ángulo (): Se mide en rad. Es un vector
       perpendicular al plano del ángulo y sentido el
       del avance del tornillo.
      Como 1 vuelta = 360º = 2 rad
      La distancia recorrida (e) escalar toma el
       valor:
                e =   · R =   · R
      Existen otras dos magnitudes vectoriales que
       son la velocidad angular () y la aceleración
       angular () con definiciones similares a sus
       correspondientes lineales.
                                           46

Movimientos circulares (cont.).
    Velocidad angular ():
                 =d/dt
    Tiene la misma dirección y sentido que
      y se mide en rad/s.
    Aceleración angular ():
                 =d/dt
    Tiene la misma dirección que  y su
     mismo sentido si ésta aumenta y
     sentido contrario si disminuye. Se mide
     en rad/s2.
Movimiento Circular Uniforme
          M.C.U.
  Se cumple que a  0
         at = 0 (v = cte)
         an = k (como v = cte  R = cte)
                                                     48

Mov. Circular uniforme (MCU).
     Como at = at= v / t = 0  v= k
     La velocidad angular es constante:  =  · k
         = = 2 rad / T (s) = 2 rad · 
     Integrando:  = ∫ d  = ∫  · d t =  · t + 0
     En la práctica utilizaremos la ecuación escalar
      que es similar:
                      =  · t + 0
     La celeridad ―v‖ depende lógicamente del
      radio:
                   e      ·R
                v = —— = ——— =  · R
                    t        t
Ejemplo: Las aspas de un molino giran con velocidad         49

   angular constante. Si dan 90 vueltas por minuto, calcula:
   a) la velocidad angular en radianes por segundo; b) la
   velocidad lineal de un punto de las aspas que se encuentra
   a 0,75 m del centro; c) el ángulo girado en 10 s.

     a)      90 vueltas min  2  rad
            = ————— · ——— · ———— = 3  rad/s
                 min     60 s  vuelta
     b)            3  rad
        v =  · R = ———— · 0,75 m = 7,1 m/s
                       s
     c)             3  rad
         =  · t = ———— · 10 s = 30  rad = 15 vueltas
                       s
 Movimiento Circular
Uniformemente acelerado
       M.C.U.A
Se cumple que a  0
            at = k
            an  k’
                                                        51

Movimiento circular uniformemente
acelerado (MCUA).
               dv d v      d (·R) d 
      at=at= —— = —— = ——— = —— ·R =  · R
                 dt    dt       dt       dt
     Integrando d  =  · d t se obtiene la ecuación
      de la velocidad angular en función del tiempo:
                     =  · t + 0
     Volviendo a integrar se obtiene la ecuación del
      ángulo en función del tiempo:
               = ½  · t2 + 0 · t + 0
                                                52

Relación entre ecuaciones
lineales y angulares.
   MRU                   MCU
   v = k (constante)      = k (constante)
   Ecuación e = f(t):    Ecuación  = f(t):
   e = e0 + v · t         = 0 +  · t



                 e =·R
                 v =·R
                                                          53

Relación entre ecuaciones
lineales y angulares (cont.).
   MRUA                 MCUA   
   a = k (constante)    = k (constante)
   Ecuación v = f(t):  Ecuación  = f(t):
   v = v0 + a · t       = 0 +  · t
   Ecuación e = f(t):  Ecuación  = f(t):
     e = e0 + v0 t + ½ a ·t2       = 0 + 0 t + ½  ·t2
                         e =·R
                         v =·R
                         at =  · R
Ejemplo: Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en                    54


      reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una veloci-
      dad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleración
      angular del disco; b) la velocidad lineal de un punto de la
      periferia a los 25 s de iniciarse el movimiento; c) las
      componentes intrínsecas de la aceleración en un punto del
      borde del disco; d) el nº de vueltas que da en 1 minuto.

      a)        5 rad/s – 0
          = —— = —————— = 0,083 rad/s2
              t      60 s
      b)  (t = 25 s) = 0 +  · t = 0,083 rad/s2 · 25 s = 2,1 rad/s
           v (t = 25 s) =  · R = 2,1 rad/s · 0,15 m = 0,31 m/s


             (Continúa en la diapositiva siguiente)
Ejemplo: Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en                      55


      reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una veloci-
      dad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleración
      angular del disco; b) la velocidad lineal de un punto de la
      periferia a los 25 s de iniciarse el movimiento; c) las
      componentes intrínsecas de la aceleración en un punto del
      borde del disco; d) el nº de vueltas que da en 1 minuto.

      c) at =  · R = 0,083 rad/s2 · 0,15 m = 0,012 m/s2
      an= v2 /R = 2 · R = 2 · t2 · R = (0,083 rad/s2 )2 · 0,15 m· t2
      an = 1,03 · 10–3 · t2 m/s2        (an depende de ―t‖)
      d)  (t = 1 min) = 0·t + ½  · t2 =
      ½ · 0,083 rad/s2 · (60 s)2 = 150 rad = 23,9 vueltas

            (Viene de la diapositiva anterior)
Ejercicio: Un tiovivo se pone en marcha y tarda 5 s, durante 56

   los cuales acelera uniformemente, en adquirir los caballitos
   situados a 5 m del centro la velocidad de 5 m/s con la cual
   permanece durante todo el tiempo que dura la atracción.
   Calcula las componentes intrínsecas de la aceleración a los
   2 y a los 8 segundos de iniciado el movimiento, así como
   los valores de sus módulos.

                v    5 m/s
   (t = 5 s) = — = ——— = 1 rad/s
                R    5m
       – 0 1 rad/s – 0
   = ——— = ————— = 0,2 rad/s2
        t        5s
   (t = 2 s) = 0 + ·t = 0,2 rad/s2· · 2 s = 0,4 rad/s
  v (t = 2 s) =  · R = 0,4 rad/s · 5 m = 2 m/s
                                                       57




               v2 (2 m/s)2
an (t = 2 s) = — = ———— = 0,8 m/s2
               R    5m
at (t = 2 s) =  ·R = 0,2 rad/s2 · 5 m = 1 m/s2
a (t = 2 s) = [(0,8 m/s2)2 + (1 m/s2)2]½ = 1,28 m/s2
               v2 (5 m/s)2
an (t = 8 s) = — = ———— = 5 m/s2
               R    5m
at (t = 8 s) =  ·R = 0 rad/s2 · 5 m = 0 m/s2
a (t = 8 s) = [(5 m/s2)2 + (0 m/s2)2]½ = 5 m/s2

								
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