Chapitre n° - géométrie TRIANGLES ISOMETRIQUES – TRIANGLES SEMBLABLES
I
Les triangles isométriques
1. Les transformations du plan
Activité sur les transformations du plan
Synthèse : Les symétries centrales, les translations, les symétrie orthogonales et les rotations sont des transformations qui conservent les longueurs et les angles. On les appelle isométrie, du grec isos qui signifie même et du terme latin metrum qui signifie la mesure. Une succession d’isométrie est une isométrie.
2. Définitions et propriétés Définition : Deux triangles ABC et A’B’C’ sont isométriques si A’, B’ et C’ sont images de A, B et C par une isométrie.
L’angle de rotation, qui amène [AB) sur [AC), est noté (AB, AC) ; c’est l’angle orienté de AB et AC . Si (AB, AC) et (A'B', A'C') sont de même sens, alors ABC et A’B’C’ sont directement isométriques. Si (AB, AC) et (A'B', A'C') sont de sens contraire, alors ABC et A’B’C’ sont indirectement isométriques. A’ exemples : A B’ B″ C″
B
C C’ A″
ABC et A’B’C’ sont directement isométriques. ABC et A″B″C″ sont indirectement isométriques.
Théorème :
Lorsque deux triangles sont isométriques, leurs cotés sont 2 à 2 de même longueur.
Démonstration : Supposons que les triangles ABC et A’B’C’ sont isométriques, donc A’, B’ et C’ sont images de A, B et C par une isométrie. Or une isométrie conserve les distances, j’en conclus que AB = A’B’, AC = A’C’ et BC = B’C’.
Remarque : deux triangles isométriques ont même aire.
Théorème :
Lorsque deux triangles sont isométriques, leurs angles sont égaux 2 à 2. A Démonstration : Supposons que les triangles ABC et A’B’C’ sont isométriques, il existe donc une isométrie qui transforme A, B et C en A’, B’ et C’. C C’ Or une isométrie conserve les angles, par conséquent : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ BAC = B' A'C' , BCA= B'C' A' et ABC = A'B'C'
B B’
A’ Remarque : la réciproque est fausse : 2 triangles, dont les angles sont égaux 2 à 2, ne sont pas toujours isométriques :
B
B’
A C C’
3. Théorèmes de caractérisation
Activité : Combien d’information faut-il pour construire un triangle ?
Théorème :
a)
ABC et EFG sont deux triangles quelconques. A
G
Un angle et ses deux cotés adjacents ˆ ˆ BAC = FEG Si AB = EF alors ABC et EFG sont isométriques AC = EG
F C B E A G
b) Deux angles adjacents à un coté ˆ ˆ A= E ˆ ˆ Si B = F alors ABC et EFG sont isométriques AB = EF
C B E
F
II
Les triangles semblables
Activité : triangles de même forme
1. Définition Définition : Deux triangles sont de même forme si leurs angles sont égaux 2 à 2. On parle aussi de triangles semblables.
A G C B E N M
F P
Remarque : - il suffit que deux angles du premier triangle soient égaux à deux angles de l'autre (somme angles = 180°) Caractérisation visuelle : Deux triangles de même forme se déduisent l'un de l'autre par une ou plusieurs isométries (translation, rotation, symétrie axiale ou centrale), suivies d'un agrandissement ou d'une réduction. Exemples : deux triangles isométriques ont même forme, de même que deux triangles équilatéraux.
2.
Propriété caractéristique
A
Exemple : Prenons une configuration du théorème de Thalès. ˆ Les triangles BAC et MAN ont l’angle A en commun.
ˆ ˆ ˆ ˆ De plus M = B et N = C comme angles correspondants. Ces deux triangles ont leurs angles égaux 2 à 2, donc BAC et MAN sont de même forme.
De plus AMN est une réduction de ABC, et les cotés du triangle AMN sont proportionnels aux cotés de ABC : d’après le théorème de Thalès AM = AN = MN = k AB AC BC
M
N
B
C
Théorème (admis) : Dire que deux triangles sont de même forme ou semblables équivaut à dire que leurs cotés sont 2
à 2 proportionnels. ABC et MNP sont de même forme ⇔ AM = AN = MN = k AB AC BC Autrement dit : - Si 2 triangles ont même forme, alors leurs cotés sont 2 à 2 proportionnels. - Si 2 triangles ont leurs cotés sont 2 à 2 proportionnels, alors ils ont même forme. Le rapport k est le coefficient d’agrandissement (ou réduction) des longueurs, on le nomme rapport de similitude.
Remarque : aire (MNP) = k2 aire (ABC)
Théorème (admis) : si 2 triangles ont un angle égal et compris entre 2 cotés respectivement proportionnels, alors ces
triangles sont semblables.
Exercice : Montrer que les triangles ABC, ABH et ACH sont de même forme :
A
B
ˆ ˆ ˆ ˆ CAB = AHB et CBA= HBA donc ABC et ABH sont semblables
H
ˆ ˆ ˆ ˆ CAB = AHC et BCA= HCA donc ABC et ACH sont semblables
C Par suite, ABC, ABH et ACH sont de même forme.