Activité 4 : Triangle de même forme et démonstration Le but de cette activité est de démontrer deux résultats du cours sur les triangles de même forme. I) Démontrons la propriété suivante : Propriété : Si deux triangles ont la même forme, les côtés de l’un sont proportionnels aux côtés correspondants de l’autre. α α α Soient ABC et MNP deux triangles de même forme tels que BAC = NMP, CBA α α α = PNM, ACB = MPN. On note N’ le point de [AB) tel que AN’ = MN et P’ le point de [AC) tel que AP’ = MP A N’ P’ N M P B N’
Activité 4 : Triangle de même forme et démonstration Le but de cette activité est de démontrer deux résultats du cours sur les triangles de même forme. I) Démontrons la propriété suivante : Propriété : Si deux triangles ont la même forme, les côtés de l’un sont proportionnels aux côtés correspondants de l’autre. α α α Soient ABC et MNP deux triangles de même forme tels que BAC = NMP, CBA α α α = PNM, ACB = MPN. On note N’ le point de [AB) tel que AN’ = MN et P’ le point de [AC) tel que AP’ = MP A P’ N M P
B
C
C
1) Montrer que les triangles AN’P’ et MNP sont isométriques. α α Que peut-on en déduire pour les angles AN’P’ et AP’N’ ? 2) Montrer que (N’P’) est parallèle à (BC). 3) On pose k = AB AC BC . Montrer que = = k. AN' AP' N'P'
1) Montrer que les triangles AN’P’ et MNP sont isométriques. α α Que peut-on en déduire pour les angles AN’P’ et AP’N’ ? 2) Montrer que (N’P’) est parallèle à (BC). 3) On pose k = AB AC BC . Montrer que = = k. AN' AP' N'P'
4) En déduire que
AB AC BC = = = k , conclure. MN MP NP Note : k est appelé facteur d'agrandissement, si k > 1, et de réduction si k 1, et de réduction si k < 1.
II) Démontrons que l’aire de ABC est égale à k2 × aire de MNP On appelle H le pied de la hauteur issue de A du triangle ABC. 1) Montrer que (AH) est aussi la hauteur du triangle AN’P’. On note H’ le point d’intersection de (AH) et de (N’P’) 2) Montrer que AH’ = k × AH. 3) Montrer que Aire(ABC) = k2 × Aire(AN’P’) = k2 × Aire(MNP).
II) Démontrons que l’aire de ABC est égale à k2 × aire de MNP On appelle H le pied de la hauteur issue de A du triangle ABC. 1) Montrer que (AH) est aussi la hauteur du triangle AN’P’. On note H’ le point d’intersection de (AH) et de (N’P’) 2) Montrer que AH’ = k × AH. 3) Montrer que Aire(ABC) = k2 × Aire(AN’P’) = k2 × Aire(MNP).