Devoir surveillé n° Conseils : • Faire les tracés graphiques proprement, la notation en tiendra compte • De très nombreuses questions sont indépendantes • Vérifier la cohérence entre les différentes questions (par exemple entre le tableau de signes et la courbe, entre les réponses du 4)b) et du 4)f)) Exercice 1 Un sous-marin, situé à une profondeur de 1 680 m, tire un missile. La fonction h(x) donne l'altitude atteinte (en m) par le missile, en fonction de la distance horizontale parcourue (en m) : h(x) = -5. 10-6 x² + 0,25 x – 1 680. Note : -5. 10-6 = -0,000 005. Quand l'altitude est négative, c'est que le missile se trouve sous le niveau de l'eau. On désire connaître le trajet du missile, pour x compris entre 0 et 50 000 m. 1) Donner un tableau de valeurs de la fonction avec un pas de 5 000 m 1 2) Tracer la courbe représentative de la fonction. On prendra comme unités 2,5 graphiques 1 cm pour 5 000 m suivant x, et 1 cm pour 250 m suivant y. 3) Le missile survole une tente située à une distance horizontale de 16 000 m. A quelle altitude se trouve-t-il alors ? 1 4) On désire connaître le trajet du missile au-dessus du niveau de l'eau : a) Tracer ce trajet par un trait bleu sur le graphique 1 b) Déterminer graphiquement les valeurs de la distance horizontale pour 1 lesquelles le missile est strictement au-dessus du niveau de l'eau. Donner 1 une valeur estimée des solutions sous forme d'intervalle c) Quelle inéquation faut-il résoudre si on veut connaître les valeurs de la 1 distance horizontale pour lesquelles le missile est strictement au-dessus du niveau de l'eau ? d) Montrer que pour toutes les valeurs de x : 2 h(x) = -5. 10-6 (x – 8 000) (x – 42 000) 2 e) Déterminer le tableau de signes de la fonction h, pour x∈[0 ; 50 000] f) En déduire la solution exacte de l'inéquation du c) 1,5 Exercice 2 1 f est la fonction définie par f (x) = sur ]0, +∞[ x 1 1) Donner le tableau de variations de f sur ]0, +∞[ 2) Comparer en justifiant correctement vos résultats f(3,125) et f(3,115). 2 Attention ! Il ne s'agit pas ici de donner des valeurs approchées ! Exercice 3 1) Déterminer l'ensemble des valeurs de x telles que |x + 3| = 2 1,5 1,5 2) Déterminer l'ensemble des valeurs de x telles que |x - 5| ≤ 7 3) Existe-t-il des valeurs de x répondant aux deux conditions ci-dessus ? 1
Devoir surveillé n° Conseils : • Faire les tracés graphiques proprement, la notation en tiendra compte • De très nombreuses questions sont indépendantes • Vérifier la cohérence entre les différentes questions (par exemple entre le tableau de signes et la courbe, entre les réponses du 4)b) et du 4)f)) Exercice 1 Un sous-marin, situé à une profondeur de 2 280 m, tire un missile. La fonction h(x) donne l'altitude atteinte (en m) par le missile, en fonction de la distance horizontale parcourue (en m) : h(x) = -5. 10-6 x² + 0,25 x – 2 280. Note : -5. 10-6 = -0,000 005. Quand l'altitude est négative, c'est que le missile se trouve sous le niveau de l'eau. On désire connaître le trajet du missile, pour x compris entre 0 et 50 000 m. 1) Donner un tableau de valeurs de la fonction avec un pas de 5 000 m 1 2) Tracer la courbe représentative de la fonction. On prendra comme unités 2,5 graphiques 1 cm pour 5 000 m suivant x, et 1 cm pour 250 m suivant y. 3) Le missile survole une tente située à une distance horizontale de 1 16 000 m. A quelle altitude se trouve-t-il alors ? 4) On désire connaître le trajet du missile au-dessus du niveau de l'eau : a) Tracer ce trajet par un trait bleu sur le graphique 1 b) Déterminer graphiquement les valeurs de la distance horizontale pour 1 lesquelles le missile est strictement au-dessus du niveau de l'eau. Donner 1 une valeur estimée des solutions sous forme d'intervalle c) Quelle inéquation faut-il résoudre si on veut connaître les valeurs de la 1 distance horizontale pour lesquelles le missile est strictement au-dessus du niveau de l'eau ? d) Montrer que pour toutes les valeurs de x : 2 h(x) = -5. 10-6 (x – 12 000) (x – 38 000) 2 e) Déterminer le tableau de signes de la fonction h, pour x∈[0 ; 50 000] f) En déduire la solution exacte de l'inéquation du c) 1,5 Exercice 2 1 f est la fonction définie par f (x) = sur ]0, +∞[ x 1 1) Donner le tableau de variations de f sur ]0, +∞[ 2) Comparer en justifiant correctement vos résultats f(4,125) et f(4,115). 2 Attention ! Il ne s'agit pas ici de donner des valeurs approchées ! Exercice 3 1) Déterminer l'ensemble des valeurs de x telles que |x + 2| = 3 1,5 1,5 2) Déterminer l'ensemble des valeurs de x telles que |x - 7| ≤ 5 3) Existe-t-il des valeurs de x répondant aux deux conditions ci-dessus ? 1
Correction du devoir surveillé n° Exercice 1 1) 0 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000 40 000 45 000 50 000 -1 680 -555 320 945 1 320 1 445 1 320 945 320 -555 -1 680 2)2000 1000 0 -1000 -2000 3) h(16 000) = 1 040. Le missile est à une altitude de 1 040 m 4)a) Le missile est hors de l'eau lorsque h(x) est positif, d'où le tracé en gras sur la courbe représentative. 4) b) Les solutions sont les valeurs de x telles que h(x) soit positif, soit : 8 000 0 d) Pour tout x appartenant à [0 ; 5000], -5. 10-6 (x – 8 000) (x – 42 000) = -5. 10-6 (x² – 50 000 x + 336 000 000) = -5. 10-6 x² + 0,25 x – 1 680 = h(x). Les deux expressions correspondent donc à la même fonction e) x0 8 000 42 000 50 000 x – 8 000 0 + + x – 42 000 0 + h(x) 0 + 0 f) D'après le tableau de signes, h est strictement positive pour 8 000 f(3,125) Exercice3 1) S1 = {–5 ; –1} 2) -2 ≤ x ≤ 12 ou S2 = [-2 ; 12] 3) -1∈[-2 ; 12], donc –1 répond aux deux conditions précédentes
Correction du devoir surveillé n° Exercice 1 1) 0 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000 40 000 45 000 50 000 -2 280 -1155 -280 345 720 845 720 345 320 -1 155 -2 280 2) 1000 0 10 000 -1 000 20 000 30 000 40 000 50 000
10000
20000
30000
40000
50000 -2 000 -3 000 3) h(16 000) = 440. Le missile est à une altitude de 440 m 4)a) Le missile est hors de l'eau lorsque h(x) est positif, d'où le tracé en gras sur la courbe représentative. 4) b) Les solutions sont les valeurs de x telles que h(x) soit positif, soit : 12 000 0 d) Pour tout x appartenant à [0 ; 5000], -5. 10-6 (x – 12 000) (x – 38 000) = -5. 10-6 (x² – 50 000 x + 456 000 000) = -5. 10-6 x² + 0,25 x – 2 280 = h(x). Les deux expressions correspondent donc à la même fonction e) x0 12 000 38 000 50 000 x – 12 000 0 + + x – 38 000 0 + h(x) 0 + 0 f) D'après le tableau de signes, h est strictement positive pour 12 000 f(4,125) Exercice3 1) S1 = {–5 ; 1} 2) 2 ≤ x ≤ 12 ou S2 = [2 ; 12] 3) Aucune des solutions de la première équation n'est incluse dans S2