Docstoc

Chuyen desophucLTDH

Document Sample
Chuyen desophucLTDH Powered By Docstoc
					Chuyên đề
                                             SỐ PHỨCĐẠI SỐ TỔ HỢP
                                                   I. SỐ PHỨC
A. LÝ THUYẾT
I. Dạng đại số (vẫn còn nhớ)
II. Dạng lượng giác của số phức
      z  r  cos   i sin   (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b  R, z  0)
* r  a 2  b2 là môđun của z.
                                      a
                              cos   r
                              
*  là một acgumen của z thỏa 
                              sin   b
                              
                                      r
    1. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu z  r  cos   i sin   , z '  r '  cos  ' i sin  ' thì:
                                                                          z  r
* z.z '  r.r ' cos    '  i sin    '                     *      cos    '  i sin    ' 
                                                                        z' r'                               

   2. Công thức Moivre: n  N * thì  r  cos   i sin     r n  cos n  i sin n 
                                                                  n
                                                            
   3. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
                                                                                             
Căn bậc hai của số phức z  r  cos   i sin   (r > 0) là r  cos  i sin  và  r  cos  i sin 
                                                                   2        2              2    2
B. BÀI TẬP
1. (ĐH_Khối A 2009)
Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2+2z+10=0. Tính giá trị biểu thức A  z1  z 2 .
                                                                                          2   2


                                                                                  ĐS: A=20
2. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2 z 2  4 z  11  0 . Tính giá trị của biểu thức
          z1  z2
             2          2

     A                     .
           z1  z2 
                        2


                                                                                           ĐS: A=11/4
3. (CĐ_Khối A 2009)
a. Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z.
                                           4 z  3  7i
b. Giải phương trình sau trên tập số phức:               z  2i .
                                               z i
                                                                          ĐS: a. a=2, b=3
                                                                              b. z=1+2i, z=3+i
4. Tìm số phức z thoả mãn: z  2  i  2 . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.

                                                                                           
                                                               ĐS: z  2  2  1  2 i, z  2  2  1  2 i .      
5. (ĐH_Khối B 2009)
Tìm số phức z thỏa mãn z  2  i   10 và z.z  25 .
                                                                                        ĐS: z=3+4i hoặc z=5
                            z 1
                            z i 1                1
                           
6. Tìm số phức z thỏa mãn:                                .
                            z  3i  1              2
                            zi
                           
HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1.
                                                                                                             ĐS: z=1+i.

Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC                                                                                        1
                                   4
                       zi
7. Giải phương trình:         1.
                       z i 
                                                                                         ĐS: z{0;1;1}
                            2
8. Giải phương trình: z  z  0 .
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z.
                                                                                          ĐS: z{0;i;i}
                            2
9. Giải phương trình: z  z  0 .
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z.
                                                                                                  1   3
                                                                             ĐS: z=0, z=1, z         i
                                                                                                  2 2
                                   z2
10. Giải phương trình: z 4  z 3      z  1  0.
                                    2
HD: Chia hai vế phương trình cho z2.
                                                                                                1 1
                                                                                ĐS: z=1±i, z    i .
                                                                                                2 2
11. Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0.
HD: Đặt thừa số chung
                                                                               1     3         1     3
                                                                  ĐS: z  1, z      i, z          i.
                                                                               2 2             2 2
12. Cho phương trình: (z + i)(z22mz+m22m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương
    trình:
    a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức.           b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực.      c. Có ba nghiệm phức.
13. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết:
    a.  = 25i                             b.  = 2i 3                      c.  = 3 - i 2
14. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
    a. z3iz22iz2 = 0.                    b. z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0.
15. (ĐH_Khối D 2009)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện z  3  4i   2 .
                                                                          ĐS: (x3)2+(y+4)2=4
16. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 z  i  z  z  2i .

                                                                                                      x2
                                                                                            ĐS: y       .
                                                                                                       4
                                             3
17. Trong các số phức thỏa mãn z  2  3i     . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
                                             2
                                  3                               9
HD: *Gọi z=x+yi. z  2  3i   …   x  2    y  3  .
                                                   2          2
                                  2                               4
       * Vẽ hình |z|min z.
                                                                      26  3 13 78  9 13
                                                              ĐS: z                     i.
                                                                          13        26
18. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
       (1  i)10                             
                                
                                                           
                                                            7
    a.             .         b.  cos  i sin  i 5 1  i 3 .
                                           3
                 9
         3 i                        3

HD: Sử dụng công thức Moivre.
                   1
ĐS: a. Phần thực  , phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128.
                  16
19. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20.
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC                                                                        2
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN.
ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210+1.
                                        II. ĐẠI SỐ TỔ HỢP
A. LÝ THUYẾT
   1. Giai thừa: n!= n.(n1)!=n.(n1).(n2). … .3.2.1,        n≥0.
                                                    n!
   2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: An 
                                            k
                                                            , n≥k>0.
                                                 n  k !
                                                 n!
   3. Số tổ hợp chập k của n phần tử: C n 
                                        k
                                                         ,    n≥k≥0.
                                             k!n  k !
   4. Quy ước n!=0!=1.
   5. Nhị thức Newton a  b  Cn a n  Cn a n1b  Cn a n2b 2    Cn 2 a 2b n2  Cn 1abn1  Cn b n .
                                n   0       1             2             n                n            n


   Công thức số hạng tổng quát: Tk 1  C n a n  k b k ,
                                          k
                                                                 0≤k≤n.
B. BÀI TẬP
1. (CĐ_Khối D 2008)
                                                                                    18
                                                                       1 
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của  2 x  5  , (x>0).
                                                                         
                                                                        x
                                                                                                  ĐS: 6528
2. (ĐH_Khối D 2004)
                                                                                    7
                                                                       1 
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của  3 x  4  với x>0.
                                                                         
                                                                        x
                                                                                                      ĐS: 35
3. (ĐH_Khối A 2003)
                                                                                n
                                                                1           
Tìm số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của  3  x 5  , biết rằng C n  4  C n 3  7n  3 ,
                      8                                                                          n 1   n

                                                               x            
(n nguyên dương, x>0, ( C n là số tổ hợp chập k của n phần tử).
                          k


                                                                                                          ĐS: 495
4. (ĐH_Khối D 2005)
                               A 4  3 An 3
Tính giá trị biểu thức M  n 1             , biết rằng C n 1  2C n  2  2C n 3  C n  4  149 (n là số nguyên
                                                          2         2          2        2

                                 n  1!
dương, Ank là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và C nk là số tổ hợp chập k của n phần tử)
                                                                                                               3
                                                                                                      ĐS: M 
                                                                                                               4
5. (ĐH_Khối A 2006)
                                                                            n
                                                                     1       
Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của  4  x 7  , biết rằng
                                                                    x        
C 2 n 1  C 2 n 1    C 2 n 1  2  1 , (n nguyên dương và C n là số tổ hợp chập k của n phần tử).
  1          2              n         20                          k


                                                                                                          ĐS: 210
6. (ĐH_Khối D 2008)
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C 2 n  C 2 n    C 2 n 1  2048 . ( C nk là số tổ hợp chập k của n
                                             1     3          2n


phần tử).
                                                                                               ĐS: n=6
7. (ĐH_Khối D 2007)
Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(12x)5+x2(1+3x)10.
                                                                                             ĐS: 3320
8. (ĐH_Khối D 2003)
Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n.
Tìm n để a3n3=26n.
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC                                                                                    3
                                                                                                                  ĐS: n=5
9. (ĐH_Khối D 2002)
                               0           2
Tìm số nguyên dương n sao cho Cn  2C1  4Cn 
                                     n
                                                                       n
                                                                  2n Cn  243 .
                                                                                                            ĐS: n=5
10. (ĐH_Khối B 2008)
                 n 1  1     1  1
Chứng minh rằng        k  k 1   k (n, k là các số nguyên dương, k≤n, C nk là số tổ hợp chập k
                      C
                n  2  n 1 C n 1  C n
                                    
của n phần tử).

11. (ĐH_Khối B 2007)
Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết:
3nCn03n1Cn1+3n2Cn23n3Cn3+ … +(1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, C nk là số tổ hợp chập k của n
phần tử).

                                                                                                           ĐS: 22
12. (ĐH_Khối B 2006)
Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2
phần tử của A. Tìm k{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất.
                                                                                             ĐS: k=9
13. (ĐH_Khối B 2003)
                                           2 2  1 1 23  1 2        2 n 1  1 n
Cho n là số nguyên dương. Tính tổng C n 
                                       0
                                                  Cn       Cn              C n , ( C nk là số tổ hợp chập
                                              2         3              n 1
k của n phần tử).
                                                                                              3 n 1  2 n 1
                                                                                       ĐS:
                                                                                                   n 1
14. (ĐH_Khối B 2002)
Cho đa giác đều A1A2…An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh
là 3 trong 2n điểm A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1A2…An,
tìm n.
                                                                                            ĐS: n=8
15. (ĐH_Khối A 2008)
Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, trong đó nN* và các hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức
      a         a
 a0  1    n  4096 . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,…an.
       2       2n
                                                                                        ĐS: a8=126720
16. (ĐH_Khối A 2007)
                      1 1    1 3   1 5                     1 2n 1 22n  1
Chứng minh rằng         C2n  C2n  C2n                     C2n         , ( C nk là số tổ hợp chập k của n phần
                      2      4     6                       2n       2n  1
tử).

17. (ĐH_Khối A 2005)
Tìm số nguyên dương n sao cho C 2 n 1  2.2C 2 n 1  3.2 2 C 2 n 1  4.2 3 C 2 n 1    2n  1.2 2 n C 2 n 1  2005 ,
                                1             2                3                4                             2 n 1


( C nk là số tổ hợp chập k của n phần tử).
                                                                                                       ĐS: n=1002
18. (ĐH_Khối A 2004)
Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1x)]8.
                                                                                                             ĐS: 238
19. (ĐH_Khối A 2002)
Cho khai triển nhị thức

Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC                                                                                                4
                         n          n            n 1                             n 1          n
           x2 1
                    x
                                x 1     x 1    x              x 1   x          x 
           2  2 3   C n  2 2   C n  2 2   2 3     C n 1  2 2  2 3   C n  2 3 
                              0          1                         n                        n
                                                                                      
                                                                                      
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó C n  5C n và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.
                                                         3     1


                                                                                     ĐS: n=7, x=4
20. Cho số phức z=1+i.
    a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)n.
    b. Tính các tổng S1=1Cn2+Cn4Cn6+…                      S2=Cn1Cn3+Cn5…
21. Chứng minh rằng C1000–C1002+C1004–C1006+ … –C10098+C100100=–250.
                                                   o0o




Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC                                                                          5

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:12
posted:11/22/2011
language:Vietnamese
pages:5
muoitt9 muoitt9
About