formula

:‫ – מדגמים תלויים‬t ‫מבחן‬ 

.‫ ההפרש בין כל זוג דגימות‬d ‫יש לחשב את‬ X n

~ N ( , ) :‫התפלגות הדגימה‬

n

n 2

(  d i )  nd

2

d  2



(X i X )

n 2 2

2

‫כאשר‬ d

~t n ( X i )  n X

Sd  i 1



n 1 S 

2

 i 1 :‫אומד לשונות‬

S / n

d

i 1

n 1 n 1

df = n-1

:‫לבדוק האם‬

:‫ – מדגמים ב"ת‬t ‫מבחן‬

d  t critical 

2

(n1  1) S 1  (n2  1) S 2

2





S / n MSW  SS SS 1 2

 S  MSW (  )

2 1 1

d

n n 2 1 2 n n 1 2

2 n n 1 2



df = n1+n2-2

( X 2  X 1) ( X 2  X 1)  (   )

 t critical :‫לבדוק האם‬ 2 1

~t

S S

‫ניתוח שונות דו-גורמי בין נבדקים‬

:‫טבלת ניתוח שונות דו-גורמי‬    X  :‫אדיטיביות‬

Source SS df MS F

X ij  X i  X  j

‫אומדי אינטראקציה: הפרש בין הטבלה‬

MSA .‫האדיטיבית לבין טבלת הערכים שנצפו באמת‬

Factor A SSA a-1 SSA / df

MSE

MSB

Factor B SSB b-1 SSB / df :‫אינטראקציה = הסטייה מאדיטיביות‬

MSE

MSAB  ij

 X ij 

 X i 

 X  j   X  

Interaction SSAB (a-1)(b-1) SSAB / df

MSE ‫אינטראקציה מוגדרת כהפרש בין ממוצע התצפיות‬

.‫בפועל לממוצע התצפיות עפ"י אדיטיביות‬

Error SSE N-ab SSE / df

Total SST N–1



:‫ לאפקט אינטראקציה‬SS ‫חישוב‬ :SSE ‫חישוב‬ :‫ לאפקט עיקרי‬SS ‫חישוב‬

SSAB    nij  ij 

a

SSA   n ( X i   X )

a b 2 nij 2



SSE   ( X ijk  X ij)

a b

 

2



i 1 j 1   i 1

i

i 1 j 1 k 1

‫ = מס' תצפיות עבור צרוף רמות‬nij i ‫ = מס' תצפיות עבור רמת הטיפול‬ni

.A=i, B=j ‫הטיפול‬ .)B ‫ (מעבר לכל ערכי‬A ‫של פקטור‬

)‫ = אינטראקציה (פירוט לעיל‬αβij



:‫נוסחאות עבודה‬

 a b   a  

  TAi   b TB j

2 2

2 b n

 a 2

  T ij  T

2 ij



   X ijk

2

 TAi  T SSAB   

SSA          TAi j 1 k 1

 i 1 ni  N  i 1 j 1 nij   i 1 ni   j 1 n j  N

       T  T i

 a b

T ij   a b (  1) 2 SST 

2 2

 

all



 X ijk T

all 2

SSE   X ijk      nij

2

S ij

 i 1 j 1 nij  i 1 j 1

 

N

Xijk = μ + αi + βj + αβij + εijk

H 1  E (MSA)   X i  na 

2 2



‫ – תוחלת כללית‬μ

 i     i ‫ – התרומה של טיפול‬αi

 

H 1  E (MSAB)   X i  n  

2 2



 i 

.‫ – אפקט אינטראקציה‬αβij .j ‫ – התרומה של טיפול‬βj E ( MSE)   X

2



E(ε)=0 .‫ – טעות מקרית של תצפית מסויימת‬εijk i

H :   0

0 H :   0

1

‫ניתוח שונות חד-גורמי בין נבדקים‬

‫‪ – ANOVA‬מדוע לא לבצע סדרת מבחני ‪?t‬‬ ‫הרעיון ב-‪:ANOVA‬‬

‫סתירות לוגיות, למשל: 3‪μ1=μ2 μ2=μ3 μ1>μ‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪H0: E(MSB) = E(MSW‬‬ ‫)‪H1: E(MSB) > E(MSW‬‬

‫ניפוח ‪ α( α‬הכוללת גדולה יותר מ-‪ α‬לכל השוואה).‬ ‫‪‬‬ ‫‪MSB‬‬

‫~‬ ‫‪F df‬‬ ‫התפלגות מנת שונויות:‬

‫‪MSW‬‬ ‫(‬ ‫,‬ ‫) ‪df MSW‬‬

‫תורמים לשונות של ‪:MSB/MSW‬‬ ‫‪MSB‬‬





‫‪( ‬לשניהם) מהימנות כלי המדידה.‬ ‫‪MSB‬‬

‫‪‬‬ ‫ודוחים את 0‪ H‬אם‬

‫‪( ‬לשניהם) הבדלים בין הנבדקים.‬ ‫‪MSW F critical‬‬

‫‪( ‬רק ל-‪ )MSB‬ההבדלים בין הטיפולים השונים.‬ ‫יש להניח שוויון שונויות בין הקבוצות (אם לא: מבחן א-פרמטרי)‬

‫0‪ :H‬הטיפולים אינם תורמים כלום ‪MSB=MSW ‬‬



‫דרגות חופש:‬ ‫חישוב אומד ל-‪:)MSE( MSW‬‬

‫‪MSB‬‬ ‫1-‪k‬‬ ‫‪nj‬‬

‫)‪ ( X ij  X  j‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫2‬ ‫‪k‬‬



‫‪SSW  SS‬‬ ‫‪ (n‬‬

‫2‬

‫‪MSE‬‬ ‫‪N-k‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪j‬‬

‫‪ 1) S j‬‬

‫‪ MSW ‬‬ ‫‪‬‬

‫2‬

‫‪Total‬‬ ‫1-‪N‬‬ ‫1‪j ‬‬ ‫1‪j 1 i ‬‬ ‫1‪j ‬‬

‫‪SXi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪df‬‬ ‫‪N k‬‬ ‫‪N k‬‬ ‫‪N k‬‬

‫בניתוח שונות חד-גורמי:‬ ‫זה ממוצע משוקלל של אומדי השונות בתוך כל קבוצה. ‪df = N–k‬‬

‫‪SST = SSB + SSW‬‬ ‫ולמעשה: חישוב רגיל של שונות, כאשר ה-‪-X‬ים הם כל הדגימות, ו-‪ Xexpected‬הוא תוחלת‬

‫ובכל מקרה, תמיד:‬ ‫הקבוצה שאליה שייכת הדגימה.‬

‫‪N‬‬

‫‪SST   ( X i  X‬‬

‫2‬



‫1‪i ‬‬

‫)‪‬‬

‫‪MST  MSB + MSW‬‬ ‫חישוב אומד ל-‪:MSB‬‬



‫)‪SSB  n ( X  j  X ‬‬

‫‪k‬‬ ‫2‬

‫=ממוצע כל הדגימות.‬

‫‪X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪j‬‬



‫התפלגות ‪ F‬מול ‪:t‬‬ ‫‪ = k‬מס' הקבוצות‬ ‫‪MSB ‬‬ ‫‪‬‬

‫1‪j ‬‬





‫)‪F(1,df) = t2(df‬‬ ‫‪ = nj‬גודל כל קבוצה.‬ ‫‪df‬‬ ‫1‪k ‬‬

‫זו השונות בין ממוצעי הקבוצות. 1–‪df = k‬‬

‫עצמת המבחן:‬ ‫זה דומה (אבל לא זהה) לחישוב רגיל של שונות, כאשר ה-‪-X‬ים הם התוחלת של כל‬

‫‪SSE  F‬‬ ‫קבוצה, ו-‪ Xexpected‬הוא תוחלת כל הדגימות. ההבדל: כאן יש הכפלה ב-‪:nj‬‬



‫)‪ ( X  j  X ‬‬

‫‪k‬‬ ‫2‬

‫‪MSB  F‬‬

‫‪MSB‬‬

‫‪SX ‬‬

‫אפקט פחות משמעותי אבל:‬ ‫2‬ ‫1‪j ‬‬

‫‪‬‬ ‫אם גודל כל הקבוצות זהה (‪:)n‬‬

‫‪k  dfMSE MSE  F‬‬

‫1‪k ‬‬ ‫‪n‬‬



‫נוסחאות עבודה:‬



‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ k‬‬ ‫2‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪Tj‬‬ ‫‪ T‬‬

‫2‬ ‫2‬

‫‪ k nj‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ k nj‬‬ ‫‪2  k T j ‬‬

‫‪SSB   ‬‬

‫2‬

‫‪‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪‬‬

‫‪SSW   X ij‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪SST   X ij‬‬ ‫‪‬‬

‫1‪ j 1 i ‬‬ ‫‪ N‬‬ ‫1‪ j 1 i ‬‬ ‫‪ j 1 n j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬‫‪ j 1 n j ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫‪nj‬‬ ‫‪T‬‬ ‫ניתוח שונות: המודל התיאורטי‬

‫‪Tj‬‬ ‫‪  X ij‬‬ ‫‪X‬‬

‫1‪i ‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ = σα‬שונות התוחלות באוכלוסייה.‬ ‫‪Xij = μ + αj + εij‬‬

‫‪k‬‬

‫1‪.σα>0 :H‬‬ ‫0‪.σα=0 :H‬‬ ‫‪ – μ‬תוחלת כללית‬

‫‪T  T‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪X n‬‬

‫‪j‬‬ ‫‪ – σXi‬שונות תצפיות (בלי השפעת טיפול).‬ ‫‪ – αj‬התרומה של טיפול ‪)αj=μj–μ( j‬‬

‫1‪j ‬‬

‫‪j‬‬

‫‪j‬‬ ‫2‪E(MSW) = σXi‬‬ ‫‪ – εij‬טעות מקרית של תצפית מסויימת.‬

‫‪j‬‬

‫2‪E(MSB) = σXi2 + nσα‬‬ ‫0=)‪E(ε‬‬

‫)‪H0: E(MSW)=E(MSB‬‬ ‫)‪ε ~ N(0, σXi‬‬

‫מתי להשתמש במבחנים א-פרמטריים?‬

‫התפלגות אוכלוסיה לא נורמלית וגם 52 Fc = (k-1)F(k-1,N-k‬‬

‫‪ α‬שיש להשתמש בו הוא ‪.αPE‬‬

‫‪HSD  Q‬‬ ‫) ‪;( N  k‬‬

‫‪MSW‬‬

‫הערך הקריטי:‬ ‫אין הגבלה על מס' ההשוואות שאפשר לעשות.‬

‫‪n‬‬

‫ההגדרות – כמו בניתוח שונות:‬

‫‪ – MSW‬שונות בתוך הקבוצות. ‪ – n‬מס' הנבדקים בכל קבוצה.‬

‫‪ – N‬סה"כ התצפיות.‬ ‫‪ – k‬מס' הקבוצות.‬ ‫באיזה מבחן להשתמש?‬

‫ההפרש בין 2 קבוצות מובהק אם ‪.dij > HSD‬‬ ‫השוואות מתוכננות:‬

‫אורתוגונליות – מבחן רגיל‬

‫לא אורתוגונליות – מבחן ‪Dunn‬‬

‫השוואות לאחר מעשה: (בעקבות ניתוח שונות מובהק)‬

‫השוואה לקב' ביקורת: ‪Dunnett‬‬

‫השוואות זוגיות בלבד: ‪Tukey‬‬

‫אחרת: ‪Scheffe‬‬