tuyen_bdt

Document Sample
tuyen_bdt Powered By Docstoc
					Trần Sĩ Tùng                                               Tuyển tập Bất đẳng thức
                     PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN
     I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
                                                       3
                                  a3  b3  a  b 
1.   Cho a, b > 0 chứng minh:                   
                                     2     2 
                    ab       a 2  b2
2.   Chứng minh:        
                     2            2
                                a  b 3 a3  b3
3.   Cho a + b  0 chứng minh:         
                                  2           2
                                 a       b
4.   Cho a, b > 0 . Chứng minh:             a b
                                  b      a
                                    1        1       2
5.   Chứng minh: Với a  b  1:                 
                                 1 a 2
                                           1 b2   1 ab
6.   Chứng minh: a 2  b2  c 2  3  2  a  b  c  ; a , b , c  R
7.   Chứng minh: a 2  b2  c 2  d2  e2  a  b  c  d  e 
8.   Chứng minh: x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx
                        abc            ab  bc  ca
9.   a. Chứng minh:                                  ; a,b,c  0
                          3                   3
                                                       2
                        a 2  b2  c 2  a  b  c 
     b. Chứng minh:                              
                              3             3     
                a2
10. Chứng minh:     b2  c 2  ab  ac  2bc
                 4
11. Chứng minh: a2  b2  1  ab  a  b
12. Chứng minh: x 2  y 2  z 2  2xy  2xz  2yz
13. Chứng minh: x 4  y 4  z 2  1  2xy(xy 2  x  z  1)
                                               1
14. Chứng minh: Nếu a + b  1 thì: a 3  b3 
                                               4
15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
    a. ab + bc + ca  a + b + c < 2(ab + bc + ca).
                        2    2    2

    b. abc  (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
         2 2       2 2    2 2    4    4    4
    c. 2a b + 2b c + 2c a – a – b – c > 0




                                               1
Tuyển tập Bất đẳng thức                                                   Trần Sĩ Tùng
                 II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1.    Chứng minh: (a  b)(b  c)(c  a)  8abc ; a,b,c  0
2.    Chứng minh: (a  b  c)(a 2  b2  c 2 )  9abc ; a,b,c  0

      Chứng minh: 1 a 1 b1 c   1 3 abc  với a , b , c  0
                                                                  3
3.
                                                     m            m
                                 a            b
      Cho a, b > 0. Chứng minh:  1    1   2m  1 , với m  Z
                                                                     +
4.
                                 b         a
                    bc ca ab
5.    Chứng minh:              a  b  c ; a,b,c  0
                     a   b   c
                   x6  y9
6.    Chứng minh:           3x 2 y3  16 ; x,y  0
                       4
                           1
7.    Chứng minh: 2a 
                     4
                                 3a2  1 .
                         1 a 2

8.    Chứng minh: a1995  1995  a  1     ,a>0
9.    Chứng minh: a2 1 b2   b2 1 c 2   c 2 1 a 2   6abc .
                                        a          b           c        1 1 1 1
10.   Cho a , b > 0. Chứng minh:               2         2             
                                     a b
                                      2    2
                                                b c   2
                                                            a c   2    2 a b c 
11.   Cho a , b  1 , chứng minh: ab  a b  1  b a  1 .
12.   Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
13.   Cho a > b > c, Chứng minh: a  33  a  b b  c  c .
14.   Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:
      a) b + c  16abc.
      b) (1 – a)(1 – b)(1 – c)  8abc
              1  1  1 
      c)  1  1  1   64
           a  b  c 
                                                  1
15.   Cho x > y > 0 . Chứng minh:         x             3
                                              x  y y
16.   Chứng minh:
           x2  2                          x8                            a2  5
      a)             2 ,x  R      b)           6 , x > 1        c)           4
            x2  1                          x 1                           a2  1
                       ab     bc      ca     abc
17.   Chứng minh:                                     ; a, b, c  0
                      ab bc ca                2
                        x2                y2             1
18. Chứng minh:                                          , x , y  R
                     1  16x   4
                                       1  16y   4       4
                      a   b   c  3
19. Chứng minh:                ;a,b,c>0
                     bc ac ab 2
                                 2
Trần Sĩ Tùng                                          Tuyển tập Bất đẳng thức
20. Cho a , b , c > 0. C/m:
           1                1           1             1
                    3           3               
     a  b  abc b  c  abc c  a  abc
      3   3                 3          3            abc
21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:
    a. a  b  c  d  44 abcd    với a , b , c , d  0   (Côsi 4 số)
      b.   a  b  c  33 abc                   với a , b , c  0 ,            (Côsi 3 số )
22. Chứng minh: a  b  c  a
                        3   3       3       2
                                                bc  b    2
                                                              ac  c   2
                                                                           ab ; a , b , c > 0
23. Chứng minh: 2 a  3 b  4 c  9 abc
                                3       4         9

            x 18
24. Cho y          , x > 0. Định x để y đạt GTNN.
            2 x
            x     2
25. Cho y            ,x  1 . Định x để y đạt GTNN.
            2 x 1
            3x      1
26. Cho y             , x  1 . Định x để y đạt GTNN.
             2 x 1
            x      5          1
27. Cho y             ,x  . Định x để y đạt GTNN.
            3 2x  1          2
              x     5
28. Cho y             , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.
            1 x x
               x3  1
29. Cho y              , x > 0 . Định x để y đạt GTNN.
                 x2
                               x 2  4x  4
30. Tìm GTNN của f(x)                         , x > 0.
                                     x
                                     2
31.   Tìm GTNN của f(x)  x 2           , x > 0.
                                     x3
32.   Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
33.   Cho y = x(6 – x) , 0  x  6 . Định x để y đạt GTLN.
                                             5
34.   Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3  x          . Định x để y đạt GTLN
                                             2
                                    5
35.   Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,   x  5 . Định x để y đạt GTLN
                                    2
                                      1          5
36.   Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,   x             . Định x để y đạt GTLN
                                      2          2
                   x
37.   Cho y  2          . Định x để y đạt GTLN
               x 2
                    x2
38.   Cho y                . Định x để y đạt GTLN
                x 2  2 3

                                                      3
Tuyển tập Bất đẳng thức                                  Trần Sĩ Tùng
            III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

     Chứng minh: (ab + cd)  (a + c )(b + d )
                             2        2     2   2       2
1.                                                              BĐT Bunhiacopxki
2.   Chứng minh: sin x  cos x  2
                          Chứng minh: 3a + 4b  7.
                                                2           2
3.   Cho 3a – 4b = 7.
                                                     725
                          Chứng minh: 3a + 5b 
                                           2     2
4.   Cho 2a – 3b = 7.                                    .
                                                     47
                                                      2464
                          Chứng minh: 7a + 11b 
                                           2       2
5.   Cho 3a – 5b = 8.                                      .
                                                      137
                          Chứng minh: a + b  2.
                                         4    4
6.   Cho a + b = 2.
                                                  1
7.   Cho a + b  1        Chứng minh: a 2  b2 
                                                  2

                                          Lời giải:
        I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
                                                                3
                                  a3  b3  a  b 
1.   Cho a, b > 0 chứng minh:                    (*)
                                     2     2 
                              3
             a3  b3  a  b       3
                               0   a  b a  b  0 . ĐPCM.
                                                     2
     (*)           
                2     2           8
                  ab      a 2  b2
2.   Chứng minh:                   ()
                    2          2
      a + b  0 , () luôn đúng.
                             a2  b2  2ab a2  b2       a  b 2
      a + b > 0 , ()                           0              0 , đúng.
                                   4          2             4
                ab      a 2  b2
         Vậy:                    .
                 2           2
                                      a  b 3 a3  b3    a  b 3 a3  b3
3.   Cho a + b  0 chứng minh:                                  
                                        2        2          8         2
      3  b  a   a 2  b2   0  3  b  a   a  b  0 , ĐPCM.
                                                    2

                                       a      b
4.   Cho a, b > 0 . Chứng minh:                   a  b ()
                                        b      a
     ()  a a  b b  a b  b a   a  b a   a  b b  0
       a  b  a  b   0   a  b   a  b   0 , ĐPCM.
                                                   2

                                  1        1       2
5.   Chứng minh: Với a  b  1:                      ()
                                1 a 2
                                         1 b2   1 ab

                                                4
Trần Sĩ Tùng                                                                      Tuyển tập Bất đẳng thức
         1              1             1     1            ab  a             ab  b2
                                                                              2
                                             0                                     0
     1 a 2      1 b2              1 ab 1 ab      1 a 2  1 ab  1 b2  1 ab 
                a b  a                        b  a  b               ba  a         b 
                                                                0                          0
         1 a  1 ab 1 b  1 ab
                    2                              2                      1 ab  1 a2 1 b2 
                                                                                             
         b  a  a  ab2  b  ba 2             b  a 2  ab  1
                                    0                                 0 , ĐPCM.
         1  ab  1  a 2 1  b2  
                                          1  ab  1  a 2 1  b2 
       Vì : a  b  1  ab  1  ab – 1  0.
6.   Chứng minh: a 2  b2  c 2  3  2  a  b  c  ; a , b , c  R

       a  1   b  1   c  1  0 . ĐPCM.
               2          2          2

7.   Chứng minh: a 2  b2  c 2  d2  e2  a  b  c  d  e 
         a2             a2              a2             a2
            ab  b2      ac  c 2      ad  d2      ae  e2  0
         4              4               4              4
                        2                    2                2           2
       a       a       a       a    
        b     c     d     e   0 . ĐPCM
       2       2       2       2    
8.   Chứng minh: x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx
      2x 2  2y 2  2z 2  2xy  2yz  2zx  0
             x  y 2   x  z 2   y  z 2         0
                                     abc               ab  bc  ca
9.   a. Chứng minh:                                                  ; a,b,c  0
                                       3                      3
                           a2  b2  c 2  ab  bc  ca
                                     2
           abc   a 2  b2  c 2  2ab  2bc  2ca ab  bc  ca
                                                 
             3                      9                     3
                                 abc                 ab  bc  ca
                                      
                                   3                        3
                                                                          2
                                     a 2  b2  c 2  a  b  c 
     b. Chứng minh:                                           
                                           3             3     
                           3  a2  b2  c 2   a2  b2  c 2  2  a2  b2  c 2 
                             a 2  b2  c 2  2  ab  bc  ca    a  b  c 
                                                                                       2

                                                                      2
                                a 2  b2  c 2  a  b  c 
                                                        
                                      3             3     
                                a2
10. Chứng minh:                     b2  c 2  ab  ac  2bc
                                4

                                                                  5
Tuyển tập Bất đẳng thức                                                      Trần Sĩ Tùng
          2                                                       2
        a                                       a            
           a  b  c   b2  c 2  2bc  0     b  c    0 .
         4                                      2            
11. Chứng minh: a2  b2  1  ab  a  b
     2a2  2b2  2  2ab  2a  2b  0
     a2  2ab  b2  a2  2a  1 b2  2b  1  0
      a  b   a  1   b  1  0 .
              2          2          2

12. Chứng minh: x 2  y 2  z 2  2xy  2xz  2yz
     x 2  y 2  z2  2xy  2xz  2yz  0  (x – y + z)  0.
                                                        2


13. Chứng minh: x 4  y 4  z 2  1  2x(xy 2  x  z  1)
     x 4  y 4  z 2  1  2x 2 y 2  2x 2  2xz  2x  0

      x2  y2    x  z    x  1  0 .
                  2          2           2

                                             1
14. Chứng minh: Nếu a + b  1 thì: a 3  b3 
                                             4
          a + b  1  b  1 – a  b = (1 – a) = 1 – a + a – a
                                    3         3           2   3

                                     2
                              1    1 1
            a + b = 3a     .
               3     3

                              2    4 4
15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
   a. ab + bc + ca  a + b + c < 2(ab + bc + ca).
                        2    2     2

                ab + bc + ca  a + b + c  (a – b) + (a – c) + (b – c)
                                 2   2   2          2        2         2
      
                a  bc , b  a c , c  a b
                 a2  b2  2bc  c 2 , b2  a2  2ac  c 2 , c 2  a2  2ab  b2
                 a + b + c < 2(ab + bc + ca).
                     2     2      2

   b.   abc  (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
                 a 2  a 2   b  c   a2   a  c  b  a  b  c 
                                      2
        
                  b2  b2   a  c   b2   b  c  a  a  b  c 
                                     2
        
                  c 2  c 2   a  b   c 2   b  c  a  a  c  b 
                                     2
        
                   a2b2c 2   a  b  c   a  c  b   b  c  a 
                                             2            2             2

                   abc   a  b  c  a  c  bb  c  a 
           2 2        2 2    2 2    4     4     4
   c.   2a b + 2b c + 2c a – a – b – c > 0
         4a b + 2c (b + a ) – a – b – 2a b – c > 0
              2 2       2 2    2     4     4        2 2   4

         4a b + 2c (b + a ) – (a + b ) – c > 0
              2 2       2 2    2      2     2 2      4

         (2ab) – [(a + b ) – c ] > 0  [c – (a – b) ][(a + b) – c ] > 0
                  2       2  2    2 2             2          2          2 2

         (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng
       Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác
         c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0.

                                                 6
Trần Sĩ Tùng                                      Tuyển tập Bất đẳng thức
                    II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1.   Chứng minh: (a  b)(b  c)(c  a)  8abc ; a, b, c  0
      Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:
        a  b  2 ab , b  c  2 bc , a  c  2 ac
          a  b  b  c  a  c   8 a 2b2c 2  8abc .
2.   Chứng minh: (a  b  c)(a 2  b2  c 2 )  9abc ; a,b,c  0
      Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
                                                            3
         a  b  c  33 abc , a 2  b2  c 2  3 a 2b2c 2
          a  b  c   a 2  b2  c 2   9 a3b3 c 3  9abc .
                                              3


     Chứng minh: 1 a 1 b1 c   1 3 abc  , với a , b , c  0.
                                                                3
3.
      1 a1 b1 c   1 a  b  c  ab  ac  bc  abc.
                                                        3
      a  b  c  33 abc , ab  ac  bc  3 a 2b2c 2
      1 a 1 b1 c   1 33 abc  3 a2b2c2  abc  1 3 abc 
                                           3                                           3

                                           m                    m
                                a        b
     Cho a, b > 0. Chứng minh:  1    1   2m  1 , với m  Z
                                                                    +
4.
                                b      a
                m           m               m                   m                  m
        a      b        a  b                                       b a
         1     1   2  1  . 1                             2 2   
       b
               a        b  a                                       a b
                       2 4m  2m  1
                 bc ca ab
5.   Chứng minh:            a  b  c ; a, b, c  0
                 a   b    c
      Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:
         bc ca    abc 2        bc ba    b2 ac
              2        2c ,      2        2b ,
         a   b     ab          a   c     ac
        ca ab        a 2bc
                 2        2a
         b     c       bc
       bc ca ab
                   abc .
       a      b    c
                     x6  y9
6.   Chứng minh:              3x 2 y3  16 ; x,y  0 ()
                        4
     ()  x 6  y 9  64  12x 2 y 3   x2    y3   43  12x 2 y3
                                                    3           3

     Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm:
          x2 3   y3 3  43  3x2y3 4  12x2y3 .
                                                7
Tuyển tập Bất đẳng thức                                                                                 Trần Sĩ Tùng
                                      1
7.     Chứng minh: 2a4                         3a2  1 ()
                                    1 a   2

                                                   1
       ()  a  a  a  1
                  4      4      2
                                                            4a2 .
                                           1 a        2

                                                                                                       1
       Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm: a4 , a4 , a2  1,
                                                                                                  1 a 2

                                                    4 4 a 4 a 4  a 2  1
                                       1                                        1
            a4  a4  a2  1                                                             4a 2
                                     1 a      2
                                                                              1 a   2

8.     Chứng minh: a         1995
                                     1995  a  1 ()                     ,a>0
       ()  a    1995
                          1995a  1995  a                   1995
                                                                      1995  1995a

                                                                                           1995 1995
     a1995  1995  a1995  1994  a1995  1 1 ...  1  1995                                    a        1995a
                                                                     1994 soá

9.     Chứng minh: a2 1 b2   b2 1 c 2   c 2 1 a 2   6abc .
           a2 1 b2   b2 1 c 2   c 2 1 a 2   a 2  a 2b2  b2  b2c 2  c 2  c 2a 2
           Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm:
                                                                        6
       a 2  a 2b2  b2  b2 c 2  c 2  c 2 a 2  6 a6b6 c 6  6abc
                                        a            b         c       1 1 1 1
10. Cho a , b > 0. Chứng minh: 2                 2        2            
                                     a b    2
                                                  b c  2
                                                           a c    2   2 a b c 
           a         a     1           b          b      1       c        c   1
                              ,                       ,               
       a b
         2     2    2ab 2b          b c
                                     2     2     2bc 2c a  c  2     2   2ac 2a
                  a         b            c         1 1 1 1
     Vậy:              2          2              
              a b
                2    2
                        b c    2
                                     a c    2    2 a b c 
11. Cho a , b  1 , chứng minh: ab  a b  1  b a  1 .
     a   a  1  1  2 a  1 , b   b  1  1  2 b  1
           ab  2b a  1 , ab  2a b  1
     ab  a b  1  b a  1
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
     x   x  1  1   x  1  x  y  z  3

              x  1   x  1   y  1   z  1  44  x  1                y  1  z  1
                                                                                2


       Tương tự: y  44  x  1  y  1  z  1 ;                        z  44  x  1  y  1  z  1
                                         2                                                                    2

     xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1).
13. Cho a > b > c, Chứng minh: a  33  a  b b  c  c .
        a   a  b   b  c   c  33  a  b  b  c  c
                                                                 8
Trần Sĩ Tùng                                         Tuyển tập Bất đẳng thức
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:
    a) b + c  16abc.
                        2                                  2                  2
              bc                              bc              1 a 
                                                                             4a 1 a 
                                                                                          2
                     bc  16abc  16a               16a 
               2                                2               2 
                                              2 
              4a 1  a   1  a   4a  4a  1  a  1  1  2a    1  a  b  c
                         2                                             2
                                                                       
    b)   (1 – a)(1 – b)(1 – c)  8abc
        (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b)  2 bc.2 ac.2 ab  8abc
             1  1  1 
    c)    1  1  1   64
          a  b  c 
                                              4
                 1   a  a  b  c  4 a 2bc
              1                 
               a           a          a
                            4                                  4
               1 4 ab2 c                               1 4 abc 2
          1                                   1     
               b      b                                c   c
                1  1  1 
           1  1  1   64
            a  b  c 
                                                      1
15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:              x            3
                                               x  y y
                                   1          x  y y
         VT   x  y   y             33            3
                               x  y y      x  y y
16. Chứng minh:
        x2  2
    a)          2  x 2  2  2 x 2  1  x 2  1 1  2 x 2  1
         x 1
          2

             x8        x  1 9              9                     9
    b)              =               x 1            2   x 1              6
             x 1           x 1             x 1                  x 1

          a2  1  4  2 4 a2  1  4                  a2  5
    c.                                        a2  1                   4
                                                               a2  1
                      ab   bc   ca   abc
17. Chứng minh:                         ; a, b, c  0
                     ab bc ca       2
        Vì : a  b  2 ab
              ab    ab              ab    bc    bc             bc    ac    ac          ac
                                    ,                        ,           
             a  b 2 ab             2    b  c 2 bc            2    a  c 2 ac         2
        a  b  c  ab  bc  ca , dựa vào: a2  b2  c 2  ab  bc  ca .
          ab   bc   ca                ab  bc  ac a  b  c
                                              
         ab bc ca                       2           2

                                                  9
Tuyển tập Bất đẳng thức                                                                       Trần Sĩ Tùng
                                     2                           2
                                 x                           y               1
18. Chứng minh:                                                              , x , y  R
                              1  16x        4
                                                     1  16y         4       4
                  2                      2
              x                   x                          x2              1
                                                                      
          1  16x             1   4x 
                      4                          2                   2       8
                                                         2.4x
                  2                      2
              y                   y                          y2              1
                                                                      
          1  16y 4           1   4y 
                                                 2
                                                         2.4y 2              8
                  2
              x                  y2                      1
                                                   
          1  16x     4
                              1  16y        4           4
                        a         b         c       3
19. Chứng minh:                                  ;a,b,c>0
                      bc ac ab 2
    Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b.
                        1
     a + b + c = (X + Y + Z)
                        2
             YZX                ZXY               XYZ
     a                   ,b                  ,c
                  2                    2                   2
          a         b         c        1  Y X   Z X   Z Y                 
                                                  3
        b  c a  c a  b 2  X Y   X Z   Y Z 
                                                                                
          1                       3
         2  2  2  3  .
          2                       2
    Cách khác:
          a         b         c        a            b            c        
                                            1          1        1  3
        bc ac ab bc  ac  ab 
           1                                     1          1        1 
         a  b    b  c    c  a                            3
          2                                     bc a c a b
     Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
    
        1
           a  b    b  c    c  a   1  1  1   9  3  3
                                                                       
        2                                     bc a c a b 2                    2
20. Cho a , b , c > 0. C/m:
                1                      1                   1              1
                            3                    3                 
        a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc
         3      3                     3                    3

         a3  b3   a  b   a 2  ab  a 2    a  b  ab
          a3  b3  abc   a  b ab  abc  ab  a  b  c  , tương tự
        b3  c3  abc   b  c  bc  abc  bc  a  b  c 
       c3  a3  abc   c  a  ca  abc  ca  a  b  c 
                    1                1                1             1     abc
      VT                                                   
             ab  a  b  c  bc  a  b  c  ca  a  b  c  a  b  c  abc 
                                                                               
                                                                             10
Trần Sĩ Tùng                                          Tuyển tập Bất đẳng thức
21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:
    a. a  b  c  d  44 abcd    với a , b , c , d  0   (Côsi 4 số)
          a  b  2 ab , c  d  2 cd

          a  b  cd  2  ab  cd   2 2                   
                                                     ab. cd  44 abcd
    b.     a  b  c  3 abc
                       3
                                         với a , b , c  0 ,         (Côsi 3 số )
                           abc           abc
          abc                 4.4 abc
                             3               3
                                                                     4
                  abc 4    abc                     abc       abc
                       abc                                 abc
                    3          3                         3           3
                             3
                abc
                      abc  a  b  c  3 abc .
                                             3
                  3  
22. Chứng minh: a3  b3  c3  a2 bc  b2 ac  c 2 ab ; a , b , c > 0
        a3  abc  2a2 bc , b3  abc  2b2 ac , c3  abc  2c 2 ab
        a3  b3  c 3  3abc  2  a 2 bc  b2 ac  c 2 ab 
          2  a3  b3  c 3   2  a 2 bc  b2 ac  c 2 ab  ,
                                             vì : a3  b3  c3  3abc
    Vậy:          a3  b3  c3  a2 bc  b2 ac  c 2 ab
23. Chứng minh: 2 a  33 b  44 c  99 abc
     Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số không âm:
       VT  a  a  3 b  3 b  3 b  4 c  4 c  4 c  4 c  99 abc
           x 18
24. Cho y      , x > 0. Định x để y đạt GTNN.
           2 x
                                                                   x 18    x 18
     Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:               y           2 .    6
                                                                   2 x     2 x
                             x 18
        Dấu “ = ” xảy ra           x 2  36  x   6 , chọn x = 6.
                             2 x
    Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6
             x     2
25. Cho y            ,x  1 . Định x để y đạt GTNN.
             2 x 1
           x 1      2     1
     y                
             2     x 1 2
                                                             x 1 2
     Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm             ,      :
                                                               2   x 1
              x 1     2  1   x 1 2    1 5
         y              2     .     
                2    x 1 2     2 x 1 2 2
                                     11
Tuyển tập Bất đẳng thức                                                   Trần Sĩ Tùng
                              x 1     2                        x  3
                                            x  1  4 
                                                    2
       Dấu “ = ” xảy ra                                       x  1(loaï)
                                2    x 1                                  i
                                             5
    Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng
                                             2
          3x      1
26. Cho y           , x  1 . Định x để y đạt GTNN.
           2 x 1
         3(x  1)     1    3
     y                
            2       x 1 2
                                                                  3  x  1     1
     Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm                         ,      :
                                                                       2       x 1
           3  x  1      1     3     3  x  1 1       3         3
        y                     2               .        6
                2        x 1 2             2       x 1 2          2
       Dấu “ = ” xảy ra 
                                                                  6
                                                            x      1
                     3  x  1     1                  2          3
                                        x  1   
                                                   2
                          2       x 1                 3            6
                                                            x        1(loaï )
                                                                              i
                                                                   3
                   6                             3
    Vậy: Khi x       1 thì y đạt GTNN bằng 6 
                  3                              2
            x      5         1
27. Cho y            ,x  . Định x để y đạt GTNN.
            3 2x  1         2
           2x  1     5      1
     y                 
             6      2x  1 3
                                                                  2x  1     5
     Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm                     ,        :
                                                                    6      2x  1
            2x  1     5      1      2x  1 5       1    30  1
        y                  2           .       
              6      2x  1 3          6 2x  1 3         3
    Dấu “ = ” xảy ra
                                                            30  1
                    2x  1     5                       x 
                                                               2
                                      2x  1  30  
                                               2
                          
                      6      2x  1                         30  1
                                                       x               i
                                                                     (loaï )
                                                               2
                 30  1                          30  1
    Vậy: Khi x          thì y đạt GTNN bằng
                  2                                3
             x    5
28. Cho y          , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.
            1 x x

                                             12
Trần Sĩ Tùng                                           Tuyển tập Bất đẳng thức
    
            x     5 1 x   5x    x      x 1         x     1 x
    f(x)                             5      5  2      5      5  2 5 5
           1 x         x          1 x      x         1 x    x
                                                             2
                                  x      1 x   x           5 5
    Dấu “ = „ xảy ra                 5             5x      (0 < x < 1)
                                 1 x     x     1 x          4
                                                         5 5
       Vậy: GTNN của y là 2 5  5 khi x 
                                                           4
               x3  1
29. Cho y                  , x > 0 . Định x để y đạt GTNN.
                   x2
        x3  1            x x 1
                             1          xx 1    3
          2
                   x       2  33
                             2
                                           2
                                              3
         x           x    2 2 x         22x      4
                           x x     1
       Dấu “ = „ xảy ra            x32.
                           2 2 x    2

                             3
       Vậy: GTNN của y là      khi x  3 2
                            3
                              4
                                     x 2  4x  4
30. Tìm GTNN của f(x)                            , x > 0.
                                           x
        x 2  4x  4      4            4
                     x   4  2 x.  4  8
              x           x            x
                               4
     Dấu “ = „ xảy ra  x   x = 2 (x > 0).
                               x
     Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2.
                                2
31. Tìm GTNN của f(x)  x 2       , x > 0.
                               x3
                                                                 3
               2           x2 x2 x2   1   1       x 2   1 2          5
       x2                       3  3  55    3  
               x   3       3   3   3 x   x        3  x           5
                                                                         27
                                       2
                          x      1
       Dấu “ = „ xảy ra      3  x  5 3  x = 2 (x > 0).
                           3    x
                              5
     Vậy: GTNN của y là          khi x  5 3 .
                            5
                              27
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
                                                                             2
                                           11x                 11     1   1
       f(x) = –10x + 11x – 3 = 10  x 2        3  10  x          
                   2

                                           10                  20    40 40
                               11
       Dấu “ = “ xảy ra  x 
                               20

                                                   13
Tuyển tập Bất đẳng thức                                                       Trần Sĩ Tùng
                            11                              1
         Vậy: Khi x            thì y đạt GTLN bằng           .
                            20                             40
33.   Cho y = x(6 – x) , 0  x  6 . Định x để y đạt GTLN.
       Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0  x  6):
       6  x   6  x   2 x  6  x   x(6 – x)  9
       Dấu “ = “ xảy ra  x = 6 – x  x = 3
       Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9.
                                               5
34.   Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3  x            . Định x để y đạt GTLN.
                                               2
                                      1
       y = (x + 3)(5 – 2x) = (2x + 6)(5 – 2x)
                                      2
                                                                                          5
       Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x ,  3  x   :
                                                                                          2
                                                                     1                    121
       11   2x  6    5  2x   2  2x  6  5  2x          (2x + 6)(5 – 2x) 
                                                                     2                      8
                                                                   1
       Dấu “ = “ xảy ra  2x + 6 = 5 – 2x  x  
                                                                   4
                              1                            121
       Vậy: Khi x   thì y đạt GTLN bằng                       .
                              4                              8
                                        5
35.   Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,   x  5 . Định x để y đạt GTLN.
                                        2
                                      1
       y = (2x + 5)(5 – x) = (2x + 5)(10 – 2x)
                                      2
                                                                                 5          
       Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x ,    x  5  :
                                                                                 2          
                                                                 1                      625
        2x  5   10  2x   2  2x  5 10  2x   (2x + 5)(10 – 2x) 
                                                                2                         8
                                                                  5
       Dấu “ = “ xảy ra  2x + 5 = 10 – 2x  x 
                                                                  4
                            5                            625
       Vậy: Khi x  thì y đạt GTLN bằng
                            4                              8
                                          1        5
36.   Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,   x                . Định x để y đạt GTLN
                                          2        2
       y = 3(2x + 1)(5 – 2x)
                                                                               1         5
       Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x ,    x   :
                                                                               2         2
           2x  1   5  2x   2  2x  1 5  2x   (2x + 1)(5 – 2x)  9
         Dấu “ = “ xảy ra  2x + 1 = 5 – 2x  x = 1

                                                 14
Trần Sĩ Tùng                                      Tuyển tập Bất đẳng thức
     Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9.
                x
37. Cho y         . Định x để y đạt GTLN
             x 2
              2

                                     1      x         1
     2  x 2  2 2x 2  2x 2                  y
                                   2 2 2x    2
                                                     2 2
        Dấu “ = “ xảy ra  x 2  2 vàx > 0  x= 2
                                                           1
        Vậy: Khi x  2 thì y đạt GTLN bằng                       .
                                                         2 2
                  x2
38. Cho y                   . Định x để y đạt GTLN
               x 2  2 3
                                                                               x2
         x 2  2  x 2  1 1  3 x 2 .1.1   x 2  2   27x 2 
                                    3                         3                                 1
                                                                                          
                                                                            x2  2   3       27

        Dấu “ = “ xảy ra  x 2  1  x   1
                                                          1
        Vậy: Khi x   1 thì y đạt GTLN bằng               .
                                                         27

              III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

     Chứng minh: (ab + cd)  (a + c )(b + d ) () BĐT Bunhiacopxki
                                2       2   2   2    2
1.
     ()  a2b2  2abcd  c 2d2  a2b2  a2d2  c 2b2  c 2d2
         a2d2  c 2b2  2abcd  0   ad  cb   0 .
                                                2

2.   Chứng minh: sin x  cos x  2
      Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :
         sinx  cos x  1. sinx  1. cos x             12  12   sin2 x  cos2 x         2
     Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a + 4b  7.
                                                2         2
3.
      Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 , 3 a , 4 , 4 b :

         3a  4b    3. 3a  4. 4b   3  4  3a2  4b2   3a + 4b  7.
                                                                 2    2

                                                    725
     Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a + 5b 
                                        2       2
4.                                                       .
                                                     47
                    2        3
      2a  3b         3a      5b
                     3        5
                                           2               3
      Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số       , 3a ,        , 5b:
                                            3               5



                                                15
Tuyển tập Bất đẳng thức                                                                  Trần Sĩ Tùng
                                      4 9
                                5 b      3a 2  5b2   3a2 + 5b2 
              2           3                                              735
                  3a                                                       .
               3              5       3 5                              47
                                                                         2464
                               Chứng minh: 7a + 11b 
                                                     2           2
5.   Cho 3a – 5b = 8.                                                         .
                                                                         137
                          3             5
            3a  5b           7a          11b
                          7             11
                                                             3                    5
      Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số                         , 7a ,               , 11b :
                                                             7                    11
                            9 25   2
                                   7a  11b   7a + 11b 
         3            5                                     2464
             7a    11b                  2     2     2
                                                                 .
        7         11        7 11                          137
                      Chứng minh: a + b  2.
                                    4   4
6.   Cho a + b = 2.
      Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
            2  a  b  1 1  a2  b2                      a +b 2
                                                                     2    2


            2   a2  b2   1 1  a4  b4                a +b 2
                                                                     4    4


                                                             1
7.   Cho a + b  1            Chứng minh: a 2  b2 
                                                             2
            1 a  b        12  12   a 2  b2   a 2  b2        1
                                                                         2




                                                    16
Trần Sĩ Tùng                                           Tuyển tập Bất đẳng thức
                       PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC
1.   (CĐGT II 2003 dự bị)
     Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: x2  xy  y2  x2  xz+z2  y2  yz+z2
2.   (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)
     Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x + y + z  x + y + z.
                                                    3     3   3

3.   (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)
     Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
                                        1 1 1
     thức:                A=x+y+z+  
                                        x y z
4.   (CĐSPHCM khối ABTDM 2006)
                                                     5
     Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất của
                                                     4
                       4 1
     biểu thức: A =          .
                       x 4y
5.   (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006)
     Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức:
                      a         b        c            d
                                                         <2
                  abc bc d c da dab
6.   (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)
                                             1 2 
     Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)  x 2  x  1  16.
                                          2
                                                       
7.   (CĐKTKTCN1 khối A 2006)
                                              abc abc abc
     Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng:                   9
                                                a     b     c
8.  (CĐKTYTế1 2006)
    Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y  0; x + x = y + 12.
                                                                 2

    Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17
9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
    Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz.
10. (Học viện BCVT 2001)
    Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1
                   1     1    1      a    b     c 
    thì:               b  c  3 a  b  c 
                  3 a
                        3    3      3    3     3 
11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)
                                      2    2    2
    Cho ba số dương a, b, c thoả a + b + c = 1. Chứng minh:
                      a         b        c        3 3
                            2        2       
                  b c
                   2     2
                            c a  2
                                       a b  2     2
12. (ĐH Kiến trúc HN 2001)


                                         17
Tuyển tập Bất đẳng thức                                                Trần Sĩ Tùng
                               a  b  c  2
                                      2       2     2
      Cho các số a, b, c thoả: 
                               ab  bc  ca  1
                               
                       4       4 4         4 4          4
      Chứng minh:   a  ;   b  ;   c 
                       3       3 3         3 3          3
13.   (Học viện NH TPHCM khối A 2001)
      Cho ABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
                     1      1      1       1 1 1
                                      2   
                  pa pb pc             a b c
14.   (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
      Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
                    2 x       2 y       2 z       1    1     1
                            3        3        2 2 2
                  x y
                    3    2
                             y z 2
                                      z x   2
                                                 x    y     z
15.   (ĐH PCCC khối A 2001)
      Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logbc a  logc a b  logab c  1
16.   (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)
      Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi  > 1 ta luôn có: x +  – 1 ≥ x.
      Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:
                    a3        b3       c3          a b c
                      3
                              3
                                          3
                                                    
                  b      c    a                    b c a
17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
    Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: a b  1  b a  1  ab (*)
18. (ĐH Vinh khối A, B 2001)
    Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi
                           2   2     2
    bằng 3 thì:         3a + 3b + 3c + 4abc ≥ 13
19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)
                                                                         2    2        2
    Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng: a 3  b 3  c 3
20. (ĐHQG HN khối A 2000)
    Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh
                  a    b   c   a    b   c
    rằng:        8 +8 +8 ≥2 +2 +2
21. (ĐHQG HN khối D 2000)
    Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng
                       b2  2a 2   c 2  2b2   a 2  2c 2
      minh rằng:                                         3
                          ab          bc          ca
22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)
                                                                                     3
                                                                 a3  b3  a  b 
      Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng:                   
                                                                    2     2 
23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)
    Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT:

                                                    18
Trần Sĩ Tùng                                         Tuyển tập Bất đẳng thức
         2   2    2                                      2
    a) a + b + c ≥ ab + bc + ca         b) (ab + bc + ca) ≥ 3abc(a + b + c)
24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)
    Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
                        bc        ca           ab
    biểu thức: P =             2          2
                     a b  a c b c  b a c a  c 2b
                      2     2         2

25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)
    Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có:

                                                    
                                                         3
                (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 1 3 abc
26. (ĐH Y HN 2000)
                                                 2 3
    Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện      6 . Tìm giá trị nhỏ nhất
                                                 x y
    của tổng x + y.
27. (ĐH An Giang khối D 2000)
                                           c+1   c+1        c–1    c–1
    Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: a      +b    ≥ ab(a     +b )
28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)
                                                                   18xyz
    CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >
                                                                   2  xyz
29. (ĐH An Ninh khối A 2000)
                                                          n+1           n
    Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: n      > (n + 1)
30. (CĐSP Nha Trang 2000)
    Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn
    nhất của biểu thức: A = a  1  b  1
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
    Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì
                 1    1     1       9
khác không: 2  2  2  2
                x    y     z   x  y 2  z2
    BĐT cuối cùng luôn đúng  BĐT cần chứng minh đúng.
32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999)
                                                     a2          b2       c2          a b c
    Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh:                 2
                                                                 2
                                                                             2
                                                                                       
                                                 b     c                  a           b c a
33. (ĐH Hàng hải 1999)
    Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng:
          x        y        z     3    1     1     1
                                           
       1 x 2
                 1 y 2
                          1 z 2  2 1 x 1 y 1 z
34. (ĐH An ninh HN khối D 1999)
    Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng:
                    3   3    3     2     2      2
                 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 3     (*)
35. (Đại học 2002 dự bị 1)
    Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ABC có 3 góc
    nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

                                         19
Tuyển tập Bất đẳng thức                                              Trần Sĩ Tùng
                           a b c
                            2    2    2
          x y z                       (a, b, c là các cạnh của ABC, R là
                               2R
    bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào?
36. (Đại học 2002 dự bị 3)
                                                                         5
    Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y =        . Tìm
                                                                         4
                                               4 1
    giá trị nhỏ nhất của biểu thức:      S= 
                                               x 4y
37. (Đại học 2002 dự bị 5)
    Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50.
                                     a c b2  b  50
    Chứng minh bất đẳng thức:                            và tìm giá trị nhỏ nhất
                                     b d    50b
                        a c
    của biểu thức: S =     .
                        b d
38. (Đại học 2002 dự bị 6)
                                             3
    Cho tam giác ABC có diện tích bằng          . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các
                                             2
    cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ
    các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng:
                           1 1 1 1         1     1
                           a  b  c  h  h  h   3
                                      a    b     c 
39. (Đại học khối A 2003)
    Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z  1. Chứng minh rằng:
                         1            1           1
                   x 2  2  y 2  2  z 2  2  82
                        x            y           z
40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)
                                                                5
    Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin x +      3 cosx
41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2)
    Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng:
                  4p(p  a)  bc                   (1)
                  
                   A       B     C 2 3 3
                  sin sin sin                     (2)
                     2     2     2      8
                                            abc
    trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p =             .
                                                2
42. (Đại học khối A 2005)
                                               1 1 1
    Cho x, y, z là các số dương thoả mãn :    4 .
                                               x y z


                                           20
Trần Sĩ Tùng                                               Tuyển tập Bất đẳng thức
                           1         1         1
    Chứng minh rằng:                               1
                        2x+y+z x  2y  z x  y  2z
43. (Đại học khối B 2005)
    Chứng minh rằng với mọi x  R, ta có:
                      x         x         x
                 12    15    20 
                 5   4   3   3 4 5
                                         x    x   x
                                
    Khi nào đẳng thức xảy ra?
44. (Đại học khối D 2005)
    Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
                  1 x3  y3   1 y 3  z3   1  z3  x 3
                                                        3 3
                     xy           yz             zx
    Khi nào đẳng thức xảy ra?
45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1)
    Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0. CMR:        3  4 x  3  4 y  3  4z  6
46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2)
                                                                        2
                                                     y       9 
    Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có: 1 x   1   1     256
                                                     x       y
                                                                  
    Đẳng thức xảy ra khi nào?
47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1)
                                                   3
    Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = . Chứng minh rằng:
                                                   4
                 3
                  a  3b  3 b  3c  3 c  3a  3
    Khi nào đẳng thức xảy ra?
48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2)
                                                                  1
    Chứng minh rằng nếu 0  y  x  1 thì x y  y x                .
                                                                  4
    Đẳng thức xảy ra khi nào?
49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2)
                                                      x2   y2   z2   3
    Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. CMR:                   
                                                     1 y 1 z 1 x 2
50. (Đại học khối A 2006)
    Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện:
                              2   2
                 (x + y)xy = x + y – xy.
                                               1     1
    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 3  3 .
                                              x     y
51. (Đại học khối B 2006)
    Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
                 A=     x  12  y2   x  12  y 2  y  2
                                              21
Tuyển tập Bất đẳng thức                                                         Trần Sĩ Tùng
                                               LỜI GIẢI

1.   (CĐGT II 2003 dự bị)
     Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các điểm:
             y 3              3     3       y z 
        Ax  ;
          
                    z  , B  0;
                            2
                                   y   z  , C   ;0 
                                          
             2 2                   2        2 2 
                                                               2
                                    y
                                        2
                                           3 
                                   x     y  x 2  xy  y 2
                                           2 
     Ta có:           AB =       
                                    2       
                                             
                                                               2
                                    z
                                        2
                                           3 
                                   x     z  x 2  xz  z 2
                                          2 
                      AC =
                                    2       
                                             
                                                                    2
                        y z
                                2
                                     3         
                BC =               (y  z)   y 2  yz+z 2
                        2 2        2         
                                               
     Với 3 điểm A, B, C ta luôn có: AB + AC ≥ BC
      x2  xy  y2  x2  xz+z2  y2  yz+z2
2.   (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)
                      x + y + z  3 3 x3y3z3  2(x + y + z )  6
                       3     3     3                                3   3   3


                                       3
                      x + 1 + 1  3 x 3  x + 2  3x (1)
                       3                   3


     Tương tự: y + 1 + 1  3 3 y3  y + 2  3y(2)
                       3                                   3


                                       3
                 z + 1 + 1  3 z 3  z + 2  3z
                  3                       3
                                                          (3)
     Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
3.   (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)
      Cách 1:
     Theo BĐT Côsi:       1  x + y + z  3 3 xyz > 0
                                  1 1 1                3
                                     
                                  x y z            3   xyz
                                               3
     Từ đó:           A  3 3 xyz +
                                           3   xyz
                                                       1
     Đặt: t =   3   xyz , điều kiện: 0 < t 
                                                       3
                                   3             1
     Xét hàm số f(t) = 3t +          với 0 < t 
                                   t             3


                                                               22
Trần Sĩ Tùng                                                                Tuyển tập Bất đẳng thức
                               3           3(t  1)
                                                2
                                                                        1
                 f(t) = 3 –           =                     < 0, t   0; 
                               t   2
                                                t   2
                                                                        3
     Bảng biến thiên:
                                                         1
                      t            0                     3
                  f '(t)                    –
                                       +∞
                   f(t)
                                                        10
                                                                                             1
     Từ bảng biến thiên ta suy ra: A  10. Dấu "=" xảy ra khi x = y = z =
                                                                                             3
                                                                  1
     Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z =                         .
                                                                  3
      Cách 2:
                                                                            1
     Theo BĐT Côsi: 1  x + y + z  3 3 xyz > 0                                  3
                                                                        3   xyz
                1 2                     1 2     1 2
          x+      ,       y+             ,                z+
               9x 3                    9y 3    9z 3
                     1         1      1  8  1 1 1     8 3
     Từ đó: A=  x        y      z           2 +          10
                    9x  
                                9y  
                                         9z  9  x y z 
                                                             9 3 xyz
                                                1                                         1
     Dấu "=" xảy ra khi x = y = z =               .Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z =
                                                3                                         3
4.   (CĐSPHCM khối ABT 2006)
                    5
     Ta có: x + y =    4x + 4y – 5 = 0
                    4
          4 1         4        1                  4           1
     A=           =  4x+        4y  5  A  2   .4x + 2     .4y – 5
          x 4y        x       4y                  x          4y
     A5
                         4
                          x  4x
                         
                          1  4y        x  1
                                        
     Dấu "=" xảy ra   4y                  1.          Vậy Amin = 5.
                                 5      y  4
                                         
                         x  y 
                                 4
                         x,y  0
                         
5.   (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006)
     Vì a, b, c, d > 0 nên ta luôn có:
              a          c         a       c
                                            1
         abc cda ac ac

                                                             23
Tuyển tập Bất đẳng thức                                            Trần Sĩ Tùng
             b           d       b       d
                                         1
         bcd dab bd bd
     Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được đpcm.
6.   (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)
                                                            2
                     1 2                           1 
                   2       1  16 (1)  (x + 1)2   1  16
     Ta có: (x + 1)  x 2 x                         x   

               1 
      (x + 1)   1  4 (do x > 0)  (x + 1)  4x  (x – 1)  0 (2)
                                              2              2

                x 
     (2) luôn đúng nên (1) được chứng minh.
7.   (CĐKTKTCN1 khối A 2006)
                                          b c a         c a b
     Xét vế trái của BĐT đã cho: VT = 1    1    1
                                          a a b         b c c
                                            b a  c a c b
                                     = 3 +       
                                           a b a c b c
     Do a, b, c > 0 nên theo BĐT Côsi ta có:
           b a       b a             b c        b c         c a   c a
               2 .  2;                2 .  2;           2 . 2
           a b       a b             c b        c b         a c   a c
     Khi đó: VT  3 + 2 + 2 + 2 = 9 (đpcm).
8.   (CĐKTYTế1 2006)
     y  0, x + x = y + 12  x + x – 12  0  – 4  x  3
              2                  2

     y = x + x – 12  A = x + 3x – 9x – 7
           2                   3     2

     Đặt f(x) = A = x + 3x – 9x – 7 với – 4  x  3
                      3      2

     f(x) = 3x + 6x – 9 ; f(x) = 0  x = 1 hoặc x = – 3
                2

     f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20
     Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10).
9.   (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
     Ta có: x + y + z  3 3 xyz  xyz  3 3 xyz  (xyz)  27  xyz  3 3
                                                          2


     Dấu "=" xảy ra  x = y = z =   3.
    Vậy minA = 3 3 .
10. (Học viện BCVT 2001)
                          1
    Ta có hàm số f(x) =       là hàm nghịch biến nên:
                         3x
                        1      1
               (a – b)  a  b  ≤ 0, a, b.
                       3      3 
                a     b     b      a
       
                 a
                    b  a  b , a, b.          (1)
                3    3      3     3
                b     c     b     c
    Tương tự: b  c  c  b                      (2)
                3    3     3      3

                                         24
Trần Sĩ Tùng                                                                               Tuyển tập Bất đẳng thức
                         c           a            a           c
                         c
                                     a
                                                 c
                                                                                    (3)
                     3               3            3           3a
                     a                b           c            a       b       c
    Mặt khác:
                         a
                                     b
                                                 (4)
                                                  c
                                                              a
                                                                      b
                                                                           
                3      3     3    3     3   3c
    Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được:
                   a      b    c              1     1  1
                3  a  b  c   (a  b  c)  a  b  c 
                  3      3     3             3     3  3 
                  a    b    c  1     1    1
    Hay         3 a  b  c   a  b  c             (vì a + b + c = 1)
                 3    3    3  3     3    3
                                 1
    Dấu “=” xảy ra  a = b = c = .
                                3
11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)
                              a       a       a2
        2    2    2
    Do a + b + c = 1 nên 2                           (1)
                           b  c 2 1  a 2 a(1  a 2 )
                                                                                    3
                       2a2  (1 a2 )  (1 a2 )    2
                                                          3
                                                    
             2           2 2
    Mà 2a .(1 – a ) ≤ 
                                  3                3
                                                 
                     4                     2
     a .(1 – a ) ≤       a(1 – a ) ≤
       2       2 2                 2
                                                            (2)
                    27                    3 3
                                              a               3 3 2
    Từ (1), (2) suy ra:                                         a
                                      b c2           2        2
                     a                        b                    c           3 3 2                3 3
    Do đó:                                                                     (a  b2  c 2 ) 
                 b c
                 2
                       c a  2
                                   a b   2       2            2       2        2                    2
                        2a 2  1  a 2
                       
                                                        1
    Dấu “=” xảy ra   2b2  1  b2  a = b = c =            .
                        2                                3
                        2c  1  c
                                      2
                       
12. (ĐH Kiến trúc HN 2001)
           a 2  b2  c 2  2
                                   (a  b)2  2ab  2  c 2
                                    
    Ta có:                     
           ab  bc  ca  1
                                   c(a  b)  ab  1
                                    
                                                  a  b  S 2
    Ta xem đây là hệ phương trình của a, b và đặt          (S – 4P ≥ 0)
                                                  ab  P
                       S2  2P  2  c 2 (1)
                       
    Ta được hệ:        
                       cS+P =1
                                         (2)
    Từ (2)  P = 1 – cS, thay vào (1) ta được:

                                                                           25
Tuyển tập Bất đẳng thức                                             Trần Sĩ Tùng
                                                               S  c  2
       S – 2(1 – cS) = 2 – c  S + 2cS + c – 4 = 0  
         2                   2        2             2

                                                               S  c  2
     Với S = – c – 2  P = 1 + c(c + 2) = c + 2c + 1
                                               2

    BĐT: S – 4P ≥ 0  (–c – 2) – 4(c + 2c + 1) ≥ 0
            2                     2      2

                                                           4
                          –3c – 4c ≥ 0                  c  0 (3)
                                2

                                                           3
     Với S = –c + 2  P = 1 – c(–c + 2) = c – 2c + 1
                                                2

    BĐT: S – 4P ≥ 0  (–c + 2) – 4(c – 2c + 1) ≥ 0
            2                     2      2

                                                              4
                          –3c + 4c ≥ 0                0c
                                2
                                                                    (4)
                                                              3
                                    4        4
    Từ (3), (4) ta được:           c
                                    3        3
                                        4              4
    Tương tự ta chứng minh được:   a,b,c 
                                        3              3
13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001)
    Trước hết, ta dễ dàng chứng minh được nếu x, y > 0 thì:
                          1 1       4
                                         (1)
                          x y xy
    Dấu “=” xảy ra  x = y.
                                    1       1            4      4
    Áp dụng (1) ta được:                                    
                                  pa pb papb c
                                    1       1            4      4
                                                            
                                  pb pc pbpc a
                                    1       1            4      4
                                                            
                                  pc pa pcpa b
    Cộng 3 BĐT trên vế theo vế, ta được:
           1        1     1         1 1 1
        2                     4      đpcm
           pa pb pc             a b c
    Dấu “=” xảy ra  a = b = c.

14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
                                      3  2
    Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x , y ta có:
                                      2 x       2 x   1
       x + y ≥ 2 x3y2  2xy x  3
        3   2
                                                   
                                     x y  2
                                               2xy x xy
                                           1          1
    Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương           2
                                                  ,        ta có:
                                          x           y2



                                          26
Trần Sĩ Tùng                                                                                 Tuyển tập Bất đẳng thức
         1   1 1      1       2 x     1 1       1 
             2  2  3               2  2
        xy 2   x    y      x y 2    x
                                        2        y 
     Tương tự ta cũng có:
          2 y      1 1     1    2 z     1 1       1 
                   2  2 ;
        y z
         3    2    2 y       z3  x 2  2  z 2  x 2 
                                                       
                          z 
                   2 x           2 y             2 z                1           1           1
     Suy ra:                                                                        
               x y3     2
                                 y z
                                 3      2
                                                z x
                                                3           2
                                                                    x   2
                                                                                y   2
                                                                                            z2
                        x 3  y 2
                                         y 3  z 2
                                                          z 3  x 2
                                                           
    Dấu “=” xảy ra                 vaø             vaø             x=y=z=1
                        x  y
                                         y  z
                                                          z  x
                                                           
15. (ĐH PCCC khối A 2001)
    Trước hết chú ý rằng nếu a > 1, x > 1 thì hàm số y = loga x là đồng biến
    và dương.
                                     1
    Do đó hàm số y = logxa =                là nghịch biến.
                                  loga x
    Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c. Ta
    được:
  VT= logbc a  logc a b  loga b c  loga b a  loga b b  loga b c  log a b abc
    Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b
    Do đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1.
16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)
     Xét f(x) = x – x +  – 1 (x ≥ 0)
        f(x) = (x – 1);
                    –1
                                    f(x) = 0  x = 1
                                        x   0                       1                   +¥
                                     f ‟(x)             –           0           +
                                                –1                                     +¥
                                     f(x)
                                                                    0
     Vậy với x ≥ 0 và  > 1 thì f(x) ≥ 0 hay x +  – 1 ≥ x.
      BĐT cần chứng minh:
                             3         3            3
                a 2  b 2  c 2 a b c
               b c a  b  c  a
                          
                                      3
     Áp dụng BĐT đã chứng minh với  = , ta có:
                                      2
               3                                        3                                           3
         a 2 1 3 a             b 2 1 3 b                                                      c 2 1 3 c
         b   2  2.b ;        c   2  2.c ;                                                 a   2  2.a
                                                                                              
     Mặt khác, theo BĐT Côsi ta có:

                                                                27
Tuyển tập Bất đẳng thức                                           Trần Sĩ Tùng
                3            3        3
        1  a  2        c
                          b 2     3 2 
                       
       2  b 
                  c    a      2
         
                                 
                                  
    Cộng 4 BĐT trên, vế theo vế, ta có:
               3       3       3
       3  a  2  b  2  c  2  3 3  a b c  3
                           
       2  b 
                 c    a       2 2 b c a 2
         
                                 
                                  
                     3            3     3
             a 2  b 2  c 2 a b c
    Suy ra:           
            b    c    a    b c a
17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
                 a b 1 b a 1               1    1   1    1
    BĐT (*)                  1              1        1    1
                                             b b      a a
                                                                         (1)
                   ab     ab                                
                                               1  1
                                                 1
                                  1 1 b  b  1     
    Theo BĐT Côsi ta có:
                                  b 1 b  
                                                   2     2
                                               1     1
                                                 1
                                   1    1 a  a  1
                                                      
                                  a 1 a  
                                                   2     2
    Cộng 2 BĐT lại ta được BĐT cần chứng minh.
                      1       1 1
                       b  1 b  2
                      
    Dấu “=” xảy ra                    a = b = 2.
                       1  1 1  1
                      a
                              a 2
18. (ĐH Vinh khối A, B 2001)
    Ta có: 3 – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > 0.
    Do đó theo BĐT Côsi ta có:
                                                              3
                                   3  2a  3  2b  3  2c 
       (3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤                            =1
                                               3            
     27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1
     27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1
     4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14
     3(a + b + c ) + 4abc ≥ 3(a + b + c ) + 6(ab + bc + ca) – 14
          2   2    2               2    2    2
                                               2
                                = 3(a + b +c) – 14 = 13
    Đẳng thức xảy ra  3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c  a = b = c = 1.
19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)
                                                          2       2
                        a b          a b      a 3  b 3 a b
    Từ giả thiết ta có:   = 1  0 < , < 1        = 1
                        c c          c c     c    c    c c
                                    28
Trần Sĩ Tùng                                             Tuyển tập Bất đẳng thức
                      2      2    2
    Từ đó suy ra:    a3    b3  c3
20. (ĐHQG HN khối A 2000)
              a      b        c
    Đặt x = 2 , y = 2 , z = 2 thì x, y, z > 0.
    Đ.kiện a + b + c = 0  xyz = 2
                                      a+b+c
                                            = 1, do đó theo BĐT Côsi: x + y + z ≥ 3
    Mặt khác: x + 1 + 1 ≥ 3x  x ≥ 3x – 2
                3                   3
                 3              3
    Tương tự: y ≥ 3y – 2; z ≥ 3z – 2
     x + y + z ≥ 3(x + y + z) – 6 = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z
        3    3     3

    8 +8 +8 ≥2 +2 +2
        a    b     c   a     b    c

21. (ĐHQG HN khối D 2000)
               b2  2a 2     b2  2a 2    1        1
    Ta có:                                  2. 2
                 ab         a 2 b2       a2       b
              1      1       1
    Đặt x = ; y = ; z =          thì
              a      b       c
              a,b,c  0                x,y,z  0
    giả thiết                        
              ab  bc  ca  abc       x  y  z  1
    và đpcm  x2  2y2  y2  2z2  z2  2x2  3
    Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:
                     2      2      2    2   2             2
                 3(x + 2y ) = 3(x + y + y ) ≥ (x + y + y)
                                 1
                   x 2  2y 2    (x  2y)
                                 3
    Viết 2 BĐT tương tự, rồi cộng lại, ta có:
                                               1
          x 2  2y 2  y2  2z2  z2  2x2       (3x  3y  3z)  3
                                                3
                                        1
    Đẳng thức xảy ra  x = y = z =        a=b=c=3
                                        3
22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)
                                 3
           a3  b3  a  b 
                            4(a + b ) ≥ (a + b)
                                    3    3          3
    Ta có:
               2       2 
     (a + b) [4(a + b – ab) – (a + b + 2ab)] ≥ 0
                   2    2        2    2

     (a + b)(3a + 3b – 6ab) ≥ 0  (a + b)(a – b) ≥ 0
                 2      2                         2

    BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng.
    Đẳng thức xảy ra  a =  b.
23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)
        2    2            2  2        2    2
    a) a + b ≥ 2ab; b + c ≥ 2bc; c + a ≥ 2ca
     a + b + c ≥ ab + bc + ca.
        2    2     2

    Đẳng thức xảy ra  a = b = c
                      2       2    2        2
    b) (ab + bc + ca) = (ab) + (bc) + (ca) + 2(abbc + bcca + caab) ≥
    ≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c)
24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)
                                        29
Tuyển tập Bất đẳng thức                                                            Trần Sĩ Tùng
                                                    1
    Ta có: 2          
                        bc
                                  
                                         1       bc
                                                  a2
           a b  a 2 c a 2 (b  c) a 2  1  1  1  1
                                       b c b c
                                              
              1      1      1
    Đặt x =     ;y= ; z=       thì
              a      b      c
              a, b, c > 0    x,y,z  0                                x2   y2   z2
    giả thiết                                              và P =           
              abc = 1        xyz=1                                   yz zx xy
    Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:
                                                                                              2
                                           x               y              z 
    (y + z + z + x + x + y).P ≥  y  z.         z  x.         x  y.      
                                          yz             zx            xy 
                                                                             
                                              1               1 3       1
     2(x + y + z).P ≥ (x + y + z)  P ≥ (x + y + z) ≥ .3 xyz  .3
                                    2
                                              2               2         2
            3
    P≥
            2
              3
    Nếu P =      thì x = y = z = 1  a = b = c = 1
              2
                                         3               3
    Đảo lại, nếu a = b = c = 1 thì P = . Vậy minP =
                                         2               2
25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)
        (a + 1).(b + 1).(c + 1) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥

                                                                      
                                     3                                     3
    ≥   1 + 3 3 abc  3 a 2b2 c 2 + abc = 1 3 abc
    Đẳng thức xảy ra  a = b = c > 0.
26. (ĐH Y HN 2000)
                                                      2
                          2               2 3
                                3
                    2
        2 3               . x   . y      (x  y) = 6(x + y)
                          x      y        x y
                                       

                                        
                                             2
                         2 3
    x+y≥
                             6
                                                     2        3
                                                        : x                      2( 2  3)
                            
                                                                  : y
                                                                       x 
                                 2
                2 3                                  x       y                      6
    Giá trị                              đạt được                   
                                                                              
                                                                    2
                        6                                    2 3                 3( 2  3)
                                                    x  y            y 
                                                                                      6
                                                               6
                                     52 6
    Vậy min(x + y) =
                                       6

                                                          30
Trần Sĩ Tùng                                          Tuyển tập Bất đẳng thức
27. (ĐH An Giang khối D 2000)
                                                                  c–1   c–1
    Giả sử a ≥ b ≥ 0  a (a – b) ≥ b (a – b)  a
                          c            c        c+1    c+1
                                                     +b    ≥ ab(a     +b )
28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)
    Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có:
        2 = x + y + z + x + y + z ≥ 6 3 xyz      (1)

    và xy + yz + zx ≥ 3 3 x2y2z2               (2)
    Nhân các BĐT (1) và (2) vế theo vế ta được:
       2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz                 (3)
    Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > 0      (4)
    Cộng các BĐT (3) và (4) vế theo vế ta được:
                                                              18xyz
    (xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz  xy + yz + zx >                  (vì 2 +xyz > 0)
                                                              2  xyz
29. (ĐH An Ninh khối A 2000)
    Ta có: 3 = 81, 4 = 64  3 > 4  BĐT cần chứng minh đúng với n = 3.
            4       3        4   3

                                       n             n
                           n  1       1
    Với n > 3, đpcm  n >          1 n  < n                         (1)
                           n             
                         n       n
                       1             1
    Ta có:          1 n  =
                         
                                 Ck nk
                                   n       =
                                k 0
          n n(n  1) 1             n(n  1)...(n  n  1) 1
    =1+               .  ...                          . n
          n      2! n2                       n!           n
              1  1              1  1  2   n  1
    =1+1+          1       ...   1  1  ... 1          <
              2!  n 
                                n!  n  n              n 
                                                               
              1           1              1           1
    <1+1+         ...       < 1 + 1 +  ...           <
              2!         n!              2          n1
                                                   2
              1            1                  1
    < 1 + 1 +  ...           +…=1+               =3
              2           n1                   1
                         2                 1
                                                2
               n
          1
      1   < 3 < n  (1)
        n
30. (CĐSP Nha Trang 2000)
    Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1, 1), ( a  1, b  1 ), ta có:
        A = 1. a  1  1. b  1 ≤      (1 1)(a  1 b  1)
    mà a + b = 1 nên A ≤         6
                                                                   1
    Dấu “=” xảy ra          a 1  b 1  a = b  a = b =           ( do a + b = 1)
                                                                   2
                                       1
    Vậy maxA =        6 khi a = b =
                                       2

                                               31
Tuyển tập Bất đẳng thức                                       Trần Sĩ Tùng
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
                             y 2 z2   x 2      z2   x 2 y 2    
    BĐT cần chứng minh   1  2  2    2  1  2    2  2  1 ≥ 9
                                      y            z           
                             x     x           y          z    
           y 2 z2   x 2 z2   x 2 y 2 
     3 +  2  2  2  2  2  2  ≥ 9
          x    x  y      y  z    z 
                                     
32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999)
    Áp dụng BĐT Côsi ta có:
        a2          b2          c2                 a 2 b2 c 2
    *       2
                       2
                                   2
                                             33      . .     3                                        (1)
        b           c           a                  b2 c 2 a 2
        a2        a                              b2        b                 c2               c
    *     2
             1 2 ;                               2
                                                      1 2 ;                    2
                                                                                      1 2
        b         b                              c         c                 a                a
                    2           2           2
                a
                b    c       a b c
                        2     3                                                                (2)
           b2 c 2 a 2        b c a
    Kết hợp (1) và (2) ta được:
          a 2 b2 c 2        a b c
        2 2  2  2   2   
         b                  b c a
               c    a 
        a2          b2
                     a b c      c2
        2
                       
                        2
                                   2
                                        
       b   c    a    b c a
33. (ĐH Hàng hải 1999)
                                                                                     2x
     Do (x – 1) ≥ 0 nên x + 1 ≥ 2x 
                            2                         2
                                                                                          ≤1
                                                                              1 x 2
                                                                   2y                         2z
    Tương tự ta cũng có:                                                    ≤ 1;                   ≤1
                                                               1 y     2
                                                                                          1 z2
                                2x                    2y            2z
    Do đó:                                  ≤3
                                             +                 +
                 1 x       1 y     1 z2
                                        2                  2

            x        y        z      3
    Hay:                                         (1)
          1 x 2
                   1 y 2
                            1 z 2   2
     Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có:
          1       1       1
                    
        1 x 1 y 1  z                  1                     1
                             3                     
                 3               (1 x)(1 y)(1  z) 3 (1 x)(1 y)(1  z)
              3                                    (1 x)  (1 y)  (1 z)
                       3 (1  x)(1  y)(1  z) ≤                          ≤2
         1    1    1                                          3
                
        1 x 1 y 1 z


                                                                            32
Trần Sĩ Tùng                                                    Tuyển tập Bất đẳng thức
        3     1        1      1
                                                        (2)
        2 1 x 1  y 1  z
    Kết hợp (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh.
34. (ĐH An ninh HN khối D 1999)
                                 2     3     2     3    2    3
    Vì 0 ≤ x, y, z ≤ 1 nên x ≥ x ; y ≥ y ; z ≥ z .
                3     3    3       2       2       2         2     2    2    2     2    2
    Suy ra: 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x)
    Do đó nếu ta chứng minh được:
                     2    2     2        2       2      2
                  2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 3                      (1)
    thì (*) đúng.
                  (1 – y)(1 + y – x ) ≥ 0  x + y – x y – 1 ≤ 0 (2)
                                     2                2   2      2
    Ta có:
                                y  1
                                
    Dấu “=” ở (2) xảy ra   x  1
                                 y  0
                                
                                       2       2     2
    Tương tự ta cũng có:              x +z –zx–1≤0                           (3)
                                       2       2     2
                                      y +z –y z–1≤0                          (4)
    Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được:
                     2    2     2        2       2      2
                  2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 3
    Vậy (1) đúng  (*) đúng
    Nhận xét: Dấu “=” ở (*) xảy ra  (x; y; z)  (1 ;1),(1 ;0),(1
                                                               ;1    ;1   ;0;1),(0;1 
                                                                                    ;1)
35. (Đại học 2002 dự bị 1)
                         1            1            1             1 1 1
       x y z              . ax        . by        . cz ≤    a  b  c  (ax+by+cz)
                         a            b            c                       
                          1 1 1                   1 1 1  abc         ab  bc  ca
                     ≤    a  b  c  .2S =        a  b  c  2R =
                                                                          2R
                         a 2  b2  c 2
                     ≤
                               2R
                     a  b  c   ABC ñeà u
    Dấu “=” xảy ra             
                     x  y  z   M truøg vôùtroï g taâ G cuû ABC
                                        n     i   n     m        a
36. (Đại học 2002 dự bị 3)
                   1 1 1 1 1             5                5.5
     Cách 1: S =                          ≥                     =5
                   x x x x 4y 5 x.x.x.x.4y         x  x  x  x  4y
                1     1
                 x  4y
                            x  1
                            
     minS = 5  x  4y         1
                        5   y  4
                             
                x  y 
                
                        4


                                               33
Tuyển tập Bất đẳng thức                                                   Trần Sĩ Tùng
                         4    1                               5
     Cách 2: S =                = f(x),        0<x<
                         x 5  4x                             4
                                           x 2  (5  4x)2
                 4         4               
    f(x) =  2             ; f(x) = 0           5      x=1
                  (5  4x)                 0  x 
                           2
             x
                                                    4
    Lập bảng xét dấu f(x), suy ra minS = 5.
                   1         2           1              4 1
     Cách 3: 2 +  x.            y.      ≤ x  y.             (3)
                   2          x        2 y              x 4y
                            2        1
                                         x  4y     x  1
                            x. x 2 y. y              
    Dấu “=” ở (3) xảy ra                       5      1
                           x  y  5       xy      y  4
                                                 4   
                                   4
                     2
           5     5 4 1           4 1
    (3)     .                      ≥5
            2    4  x 4y         x 4y
    Vậy minS = 5.
37. (Đại học 2002 dự bị 5)
    Vì a ≥ 1, d ≤ 50 và c > b (c, b  N) nên c ≥ b + 1 thành thử:
            a c     1 b  1 b2  b  50
        S=     ≥           =
            b d     b 50         50b
    Vậy BĐT của đề ra đã được chứng minh.
                     a  1
                     
    Dấu “=” xảy ra  d  50
                     c  b  1
                     
                               b2  b  50    b 1 1
    Để tìm minS, ta đặt                    =       và xét hàm số có biến số
                                  50b        50 b 50
    liên tục x:
                   x 1 1
        f(x) =          (2 ≤ x ≤ 48)
                  50 x 50
               1     1 x 2  50                             x 2  50
                                                           
        f(x) =    2          ;                f(x) = 0              x5 2
              50 x      50x 2                               2  x  48
                                                           
    Bảng biến thiên:
                                   x    2       5 2           48
                                f‟(x)       -    0        +

                                 f(x)           minf(x)


                                        b2  b  50
    Chuyển về biểu thức f(b) =                      (2 ≤ b ≤ 48, b  N)
                                           50b
                                                 34
Trần Sĩ Tùng                                           Tuyển tập Bất đẳng thức
    Từ BBT suy ra khi b biến thiên từ 2 đến 7, f(b) giảm rồi chuyển sang tăng
    khi b biến thiên từ 8 đến 48. Suy ra minf(b) = min[f(7); f(8)].
                  49  57       53               64  58    61      53
    Ta có f(7) =                   ;     f(8) =                
                    350        175                400      200 175
                               a 1
                              b  7
                    53        
    Vậy minS =           khi 
                   175        c  8
                              d  50
                              
38. (Đại học 2002 dự bị 6)
                                        1    1       1
    Ta có diện tích tam giác: S = aha  bhb  chc
                                        2    2       2
             2S         2S           2S
     ha =      ; hb =       ; hc =
              a          b            c
         1    1    1      1
                        (a  b  c)
        ha hb hc 2S
        1 1 1 1      1    1     1              1 1 1
                            (a  b  c)    
        a b c   ha hb hc  2S                  a b c
                                         1 1 1
    Áp dụng BĐT Côsi ta có: (a + b + c)     ≥ 9
                                        a b c
              3               1 1 1 1     1   1 9
    và vì S =   , nên ta có:                3
              2               a b c   ha hb hc  3
39. (Đại học khối A 2003)
    Với mọi u,v ta có: u  v  u  v         (*)

               1          1          1
    Đặt   a   x;  ; b   y;  ; c   z; 
                 x          y        z
    Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có: a  b  c  a  b  c  a  b  c
                                                                                              2
                      1            1                 1                          1 1 1
    Vậy P = x 2           y2          z2                  (x  y  z)2     
                     x2            y2                z2                        x y z
     Cách 1:
                                            2                                         2
                             1 1 1                                               1 
                                                                                             9
                                                                         2
    Ta có: P (x  y  z)      
                           2
                                                                               33     = 9t 
                                                                                xyz 
                                                          33   xyz
                                                                                      
                            x y z                                                          t
                                                 2
                                 xyz  1
    với t = ( 3 xyz) 2  0 < t        9
                                   3  


                                             35
Tuyển tập Bất đẳng thức                                               Trần Sĩ Tùng
                      9               9            1                    1
    Đặt Q(t) = 9t +     Q(t) = 9 –     < 0, t  0;  Q(t) giảm trên  0; 
                      t              t 2
                                                     9                  9
                1
     Q(t)  Q   = 82. Vậy P  Q(t)  82
               9
                                1
    Dấu "=" xảy ra  x = y = z = .
                                3
     Cách 2: Ta có:
                                 2                                2
                   1 1 1                     1 1 1
    (x + y + z) +     = 81(x + y + z) +     – 80(x + y + z)
               2                           2                        2

                  x y z                     x y z
                      1 1 1
     18(x + y + z).     – 80(x + y + z)  162 – 80 = 82
                                            2

                      x y z
    Vậy P     82
                                     1
    Dấu "=" xảy ra  x = y = z =       .
                                     3
40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)
     Tìm max:
                              5                      4
                       y = sin x +  3 cosx ≤ sin x + 3 cosx           (1)
                        sin x + 3 cosx ≤ 3 , x  R
                           4
    Ta chứng minh:                                                    (2)
     3 (1 – cosx) – sin x ≥ 0  3 (1 – cosx) – (1 – cos x) ≥ 0
                          4                               2 2


     (1 – cosx). 3 – (1 – cosx)(1 + cosx)  ≥ 0
                                           2
                                                                      (3)
    Theo BĐT Côsi ta có:
                                        1
       (1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = (2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤
                                        2
                                                    3
                                                1 4    32
                                           ≤      3   27  3
                                                2 
    Vậy BĐT (3) đúng  (2) đúng  y ≤           3 , x. Dấu “=” xảy ra khi cosx = 1
     x = k2. Vậy maxy =         3.
     Tìm min: Ta có y = sin x + 3 cosx ≥ – sin x + 3 cosx.
                             5                     4


    Tương tự như trên, ta được miny = – 3 , đạt được khi x =  + k2.
41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2)
           (a  b  c)(b  c  a)      (b  c)2  a2      2bc(1 cos A)
    (1)                          1                1                1
                     bc                     bc                 bc
             A 1             A 3         A     3              A 
     cos 2          sin2   sin              (do 0 <       )           (3)
             2 4              2 4        2    2               2 2
    Biến đổi vế trái của (2) như sau:
           A     B     C 1      A    B-C        B+C         1    A       A
        sin sin sin  sin  cos             cos        ≤       sin  1 sin  =
           2      2    2 2       2    2           2        2    2       2

                                           36
Trần Sĩ Tùng                                                   Tuyển tập Bất đẳng thức
                                 1          1
                                                       2       2
             1 2 A        A           A 1      1 1    A 1
        =–      sin    sin  = –  sin     =   sin  
             2
                   2      2    2    2 2  4  8 2    2 2
                                              
                                                           2
                      A   B   C 1 1 3 1  1 1
    Do (3) suy ra: sin sin sin        =  (4  2 3)
                      2   2         2 2
                              2 8 2      8 8
                                        
                                     2 3 3
                                =
                                       8
                            B-C
                        cos 2  1 A  1200
                                        
    Dấu “=” xảy ra                   
                                         B  C  30
                                                     0
                        sin A  3       
                        
                            2    2
42. (Đại học khối A 2005)
    Với a, b > 0 ta có:
                             1      ab        1     1 1 1
       4ab  (a + b)                                  
                     2

                           a  b 4ab         a b 4a b
                                                             
    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.
    Áp dụng kết quả trên ta có:
        1       1 1      1       1  1 1  1 1       1 1 1    1
                                  =                               (1)
     2x+y+z 4  2x y  z          4  2x 4  y z      8  x 2y 2z 
    Tương tự:
         1     1 1     1  1  1 1  1 1      1 1 1    1
                                =               (2)
    x  2y  z 4  2y x  z  4  2y 4  x z   8  y 2z 2x 
         1     1 1     1  1  1 1  1 1      1 1 1    1
                                =               (3)
    x  y  2z 4  2z x  y  4  2z 4  x y   8  z 2x 2y 
              1         1           1       1 1 1        
    Vậy:                                           1 = 1
          2x+y+z x  2y  z x  y  2z 4  x yz 
    Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ
    khi
                                                               3
    x = y = z. Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = .
                                                               4
43. (Đại học khối B 2005)
    Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:
               x      x          x             x               x       x
        12   15      12          15             12    15 
        5   4   2  5                           5    4   2.3
                                                                           x
                                     .                                         (1)
                                 4                    
    Tương tự ta có:
               x      x                                        x       x
         12    20                                   15    20 
         5    3   2.4                             4    3   2.5
                            x                                              x
                                (2)                                              (3)
                                                             
                                           37
Tuyển tập Bất đẳng thức                                        Trần Sĩ Tùng
    Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia 2 vế của bất đẳng thức nhận
    được cho 2 ta có đpcm.
    Đẳng thức xảy ra  (1), (2), (3) là các đẳng thức  x = 0.
44. (Đại học khối D 2005)
    Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:
                                                                          1 x 3  y 3         3
        1 + x + y  3 3 1.x3 .y3 = 3xy                                                
              3        3
                                                                                                      (1)
                                                                             xy                xy
                       1  y 3  z3                    3                             1  z3  x 3     3
    Tương tự:                                                    (2);                                     (3)
                           yz                      yz                                    zx           zx

                           3           3           3                  3        3     3
    Mặt khác                                              33
                        xy         yz              zx             xy           yz    zx
          3     3     3
                      3 3             (4)
         xy    yz     zx
    Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm.
    Đẳng thức xảy ra  (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức  x = y = z = 1.
45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1)
                                                                      4
                      3 + 4 = 1 + 1 + 1 + 4  4 4x
                           x               x
    Ta có:
                                                   4              8
                              3  4x  2              4x  2 4 x
                                           8                                          8
    Tương tự:          3  4y  2 4y ;                                3  4z  2 4z

             3  4x  3  4y  3  4z  2  4x  4y  4z   6 8 4x.4y.4z
                                            8   8    8        3
    Vậy
                                          
                                                        
                                                         
                                                                               4x  y z = 6
                                                                          24
                                                                  6
46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2)
                                           x x x    x3
    Ta có:            1+x=1+                   44 3
                                           3 3 3    3
                               y      y   y   y      y3
                      1+         =1+           44 3 3
                               x     3x 3x 3x       3 x
                                                                                                2
               9                   3           3           3              33             9       36
        1+            =1+                                     44                  1     164 3
                                                                                          y
                  y                y           y           y              y3                     y
                                                   2
                    y      9         x 3 y 3 36
    Vậy:   1 x   1
                       1     256 4 3 . 3 3 . 3 = 256
                 x        y
                                       3 3 x y
47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1)
     Cách 1:

                                                                  38
Trần Sĩ Tùng                                             Tuyển tập Bất đẳng thức
                   3 (a  3b).1.1 a  3b  1 1 1
    Ta có:                                       (a  3b  2)
                                        3         3
                 3 (b  3c).1.1  b  3c  1 1  1 (b  3c  2)
                                        3         3
                 3 (c  3a).1.1  c  3a  1 1  1 (c  3a  2)
                                        3         3
                                              1                   1 3      
    Suy ra: 3 a  3b  3 b  3c  3 c  3a   4(a  b  c)  6   4.  6  = 3
                                              3                   3 4      
                                     3
                         a  b  c                                1
    Dấu "=" xảy ra                  4                a=b=c=
                         a  3b  b  3c  c  3a=1                4
                         
     Cách 2:
    Đặt x = 3 a  3b  x = a + 3b;          y = 3 b  3c  y = b + 3c;
                           3                                  3


                 c  3a  z = c + 3a
             3              3
        z=
                                       3
     x + y + z = 4(a + b + c) = 4.      = 3. BĐT cần ch. minh  x + y + z  3
        3    3      3
                                       4
                            3
    Ta có: x + 1 + 1  3 x 3 .1.1 = 3x; y + 1 + 1  3 3 y3 .1.1 = 3y;
            3                            3


                        3
       z + 1 + 1  3 z 3 .1.1 = 3z
         3

     9  3(x + y + z) (vì x + y + z = 3)
                             3     3   3

    Vậy x + y + z  3
                       x 3  y 3  z3  1     a  3b  b  3c  c  3a=1
                                              
    Dấu "=" xảy ra                 3                 3
                       a  b  c             a+b+c= 4
                                    4         
                                 1
               a=b=c=
                                 4
48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2)
    Ta có: 0  x  1  x  x
                                 2

                     1               1
        x y y x   x y  y x                    (1)
                     4               4
                                 1         1          1                    1
 Theo BĐT Côsi ta có: y x          yx 2   2 yx 2 .  x y  x y  y x 
                                 4         4          4                    4
                      
                      0  y  x  1     x  1
                                        
    Dấu "=" xảy ra   x  x 2              1
                              1         y  4
                                         
                       yx 2 
                              4
49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2)
                                          39
Tuyển tập Bất đẳng thức                                                                        Trần Sĩ Tùng
                          x2
                                1 y     x 1 y     2
    Ta có:                          2     .   x
                         1 y    4      1 y 4

                          y2    1 z     y 2 1 z
                                    2      .    y
                         1 z    4      1 z 4
                 z2     1 x      z2 1 x
                            2       .    z
                1 x     4       1 x 4
    Cộng 3 bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có:
        x2     1 y   y 2    1 z   z2    1 x 
                                           xyz
        1 y    4   1 z      4   1 x      4 
                                               
           x2   y2   z2    3 xyz                3(x  y  z) 3
                              xyz                   
          1 y 1 z 1 x   4   4                       4        4
            3   3 9 3 3
           .3     (vì x + y + z  3 3 xyz = 3)
            4   4 4 4 2
                  x2    y2   z2   3
    Vậy:                        .
                 1 y 1 z 1 x 2
50. (Đại học khối A 2006)
     Cách 1:
                        1 1    1   1  1
    Từ giả thiết suy ra:   2  2     .
                        x y x     y  xy
         1      1                     2   2
    Đặt    = a, = b, ta có: a + b = a + b – ab                                   (1)
         x      y
         3    3           2         2          2
    A = a + b = (a + b)(a – ab + b ) = (a + b)
                                  2
    Từ (1) suy ra: a + b = (a + b) – 3ab.
                               2
            a b                             3
                     nên a + b ≥ (a + b) – 4 (a  b)
                                           2           2
    Vì ab ≤ 
             2 
     (a + b) – 4(a + b) ≤ 0  0 ≤ a + b ≤ 4
             2
                        2
    Suy ra: A = (a + b) ≤ 16
                 1
    Với x = y =      thì A = 16. Vậy giá trị lớn nhất của A là 16.
                 2
     Cách 2:
    Đặt S = x + y, P = xy với S – 4P  0. Từ giả thiết  S, P  0.
                               2


                                  S2
    Ta có: SP = S – 3P  P =
                  2

                                 S3
           1        1          x3  y3         (x  y)(x 2  y 2  xy)       (x  y)2 xy       (x  y)2
    A=                   =                =                             =                 =
           x3       y3             x3 y3                x3 y3                  x3 y3            x2y2


                                                          40
Trần Sĩ Tùng                                                                      Tuyển tập Bất đẳng thức
                    S3
                     2
                 S
    A=               
                 2
                 P   S 
                                              4S2             S 1   S 1
    Đk: S – 4P  0  S –                             0  S S3 0        0 (vì S0)
          2                                  2             2

                                             S3                     S3
                                        S  3
                                              (*)
                                       S  1
                                     S3        3
    Đặt h = f(S) =                        h =    < 0, S thoả (*)
                                      S         S2
         S –¥                          –3                 1        +¥
         h'
            1                                             4
         h
                                         0                                 1

    Từ bảng biến thiên, ta có: 0 < h  4 và h  1, S thoả (*).
                                         1              1
    Mà A = h  MaxA = 16 khi x = y =        (S = 1, P = ).
                                         2              4
     Cách 3:
                                         2
                    y   3y 2    1 1 xy
    (x + y)xy =  x         >0      >0
                    2    4      x y  xy
                                                              2
          1              1            x3  y3        1 1                      1 1
    A=       3
                        3
                                 =      3 3
                                                  =                    A    
         x           y                 x y          x y                       x y
                                                          3
                            a b   a3  b3
    Dễ chứng minh được:                   (với a + b > 0)
                             2        2
    dấu "=" xảy ra khi a = b.
                     1        1
    Áp dụng với a = , b = , ta có:
                     x        y
                             3           3            3
          1 1                       1  1
         xy                       x y                A
                                                                       3
                                                             A
                                                                    A  16.
          2                             2                  2 
                                                                   2
                                                               
             
             
                                         1 1
    Dấu "=" xảy ra khi                      2 . Vậy Max A = 16.
                                         x y
     Cách 4:
            S2                                        S     3S
       A = 2 , suy ra                            A      2
            P                                         P S  SP


                                                                  41
Tuyển tập Bất đẳng thức                                    Trần Sĩ Tùng
                                             P
                                          1
                       S2  SP               S  0  P  1 (chia cho S2)
    S – 4P  0  S – 4          0  1 4
     2            2

                          3                3         S 4
               S2                                          1
    Nên: A =    2
                     16. Vậy Max A = 16 (khi x = y =        ).
              P                                            2
51. (Đại học khối B 2006)
    Trong mpOxy, xét M(x – 1; –y), N(x + 1; y).
    Do OM + ON ≥ MN nên:
                     x  12  y2   x  12  y2    4  4y 2  2 1 y 2

    Do đó: A ≥ 2 1 y 2  y  2 = f(y)
                                                                  2y
     Với y ≤ 2  f(y) = 2 1 y2 + 2 – y  f(y) =                      –1
                                                               y2  1
                                y  0
                                                  1
    f(y) = 0  2y = 1 y2   2               y=
                                 4y  1  y
                                             2
                                                  3
    Do đó ta có bảng biến thiên như trên
     Với y ≥ 2  f(y) ≥ 2 1 y2 ≥ 2 5 > 2 +             3.
    Vậy A ≥ 2 +     3 với mọi số thực x, y.
                      1
    Khi x = 0 và y =      thì A = 2 + 3
                       3
    Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 + 3 .




                                             42
Trần Sĩ Tùng        Tuyển tập Bất đẳng thức




               43

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:26
posted:11/22/2011
language:Vietnamese
pages:43
muoitt9 muoitt9
About