; 100Bài tập ôn tập chương III
Documents
Resources
Learning Center
Upload
Plans & pricing Sign in
Sign Out
Your Federal Quarterly Tax Payments are due April 15th Get Help Now >>

100Bài tập ôn tập chương III

VIEWS: 26 PAGES: 9

  • pg 1
									                                    HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
                                              A. Kiến thức cần nhớ
1. Tọa độ vectơ: Cho a   a1 ,a 2 ,a 3  , b   b1, b2 , b3  . Ta có
          a  b   a1  b1;a 2  b2 ;a 3  b3            k.a   ka1;ka 2 ;ka 3 
                  a1  b1
                                                                                       a1 a 2 a 3
         a  b  a 2  b 2                                a cùng phương b                
                  a  b                                                                b1 b2 b3
                   3     3

         a.b  a1b1  a 2b2  a 3b3                       a  b  a1b1  a 2b2  a 3b3  0
                                                                                 a1b1  a 2 b 2  a 3b3
       a  a1  a 2  a 3
               2   2     2
                                                                  
                                                           cos a, b 
                                                                              a1  a 2  a 3 . b1  b 2  b3
                                                                               2           2    2          2
                                                                                     2                2

2. Tọa độ điểm: Cho A(x A; y A ; z A ), B(x B; y B ; z B ),C(x C; y C ; z C )
         AB   x B  x A ; yB  yA ;z B  z A 

         AB  AB          x B  x A    yB  yA    z B  z A 
                                       2               2                 2



                                        x  x B yA  yB z A  z B 
         M là trung điểm của AB  M  A        ;         ;         
                                          2         2         2 
                                            x  x B  x C y A  y B  yC z A  z B  z C 
         G là trọng tâm tam giác ABC  M  A             ;              ;                
                                                 3              3              3         
3. Tích có hƣớng của hai vectơ: a   a1 ,a 2 ,a 3  , b   b1, b2 , b3 
                                                                          a a 3 a 3 a1 a1 a 2 
        Tích có hướng của hai vec tơ a và b là một vectơ, k/h: a, b    2 ;
                                                                 b b b b ;b b              
                                                                          2 3 3 1 1 2
        - Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng: a,b,c đồng phẳng  a, b  .c  0
                                                                  
        - a cùng phương b  a, b   0
                             
        - Diện tích hình bình hành ABCD             : SABCD  AB,AD
                                                                           
                                                              1
       - Diện tích tam giác ABC                     : SABC   AB, AC 
                                                              2             
                                                                 1
       - Thể tích tứ diện ABCD                      : VABCD   AB, AC  .AD
                                                                 6            
       - Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D'            : VABCD.A ' B'C' D'  AB,AD .AA'
                                                                                
                                           B. Các ví dụ và bài tập
1. Cho 3 điểm A(3 ; 1 ; -1), B(-2 ; 2 ; 3), C(0 ; 3 ; 2)
   a. Xác định tọa độ trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC
   b. Xác định tọa độ điểm A' là chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ A
   c. Gọi I là điểm chia đoạn HG theo tỉ số k = 3. Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
   ABC.
2. Cho 4 điểm A(a ; 0 ; 0), B(0 ; a ; 0), C(0 ; 0 ; b), D(a ; a; b) với 0  a  b .
   a. Chứng minh AB vuông góc với CD
   b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung của AB và
   CD
3. Cho tứ diện S.ABC có A(1 ; 2 ; -1), B(5 ; 0; 3), C(7 ; 2 ; 2), SA vuông góc với (ABC) và S thuộc
                                                                                                               1
mp(Oyz).
   a. Tìm tọa độ S.          b. Tìm tọa độ giao điểm E của (ABC) và Ox.
4.. Cho 4 điểm A(-1 ; 2 ; 0), B(-3 ; 0 ; 2), C(0 ; 2 ; -1) và D(1 ; 4 ; 0). Chứng minh ABCD là một tứ
   diện. Tính thể tích của nó.
5.. Cho 2 điểm cố định A(1 ; 1; 0), B(0 ; 0 ; 1) và 2 điểm di động M(m ; 0 ; 0), N(0 ; n ; 0) (m,n  R* )
                                                                                                      

   a) Tìm quan hệ giữa m, n để OA  MN
   b) Tính thể tích của hình chóp B.OMAN
   c) M, N di động sao cho m.n = 1. Tính m, n để VB.OMAN nhỏ nhất
6.. Cho 4 điểm A(1 ; 1; 1), B(2 ; -1 ; 3), C(2 ; 1; 1) và D(3 ; 0 ; 2)
   a. Chứng minh A, B, D, C đồng phẳng
   b. Cho E(1 ; 3 ; 3). Chứng minh EA  (ABC). Tính thể tích tứ diện E.ABC
   c. Tính khoảng cách từ B đến (ACE)
7.. Cho 4 điểm A(2 ; -1 ; 3), B(1 ; 3 ; -2), C(-1 ; 2 ; 3) và D(0 ; m ; p). Xác định m và p để 4 điểm A, B,
   C, D theo thứ tự tạo thành hình bình hành
8. Cho 2 điểm A(-2 ; 1 ; 2) và B(1 ; -2 ; 2)
   a. Chứng minh OAB là tam giác vuông cân
   b. Tìm M thuộc Ox nhìn đoạn AB dưới một góc vuông
   c. Tìm tập hợp những điểm N thuộc mp(Oxy) nhìn đoạn AB dưới một góc vuông.
9. Cho hai điểm A(1 ; 2; ;2) và B(8 ; 1; 4).
  a. Tính góc AOB
  b. Xác định chân đường phân giác trong đỉnh O của tam giác OAB

              PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
                                       A. Kiến thức cần nhớ
1) Vectơ pháp tuyến, cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng:
                                          
       * n  0 là VTPT của mp(  ) nếu: n  
                                           
       * Hai vectơ không cùng phương a , b được gọi là cặp vectơ chỉ phương của (  ) nếu chúng song
                                    
song hoặc nằm trên (  ). Khí đó:  a , b  là vectơ pháp tuyến của (  )
                                         
2) Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2  0 )
                                                                               
       + Mặt phẳng có phương trinh: Ax + By + Cz + D = 0 thì có VTPT: n  ( A; B; C)
                                                              
       + Mặt phẳng qua M(x0 ; y0 ; z0) và có một VTPT là n  ( A; B; C) thì có pt:
                                  A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
       + Phương trình mp cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm (a ; 0 ; 0), (0 ; b ; 0), (0 ; 0; c) là:
                             x y z
                                  1 (phương trình theo đọan chắn)
                             a b c
       + MpOxy: z = 0            + Mp(Oyz): x = 0              + Mp(Ozx): y = 0

3) Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mp (Ptrình chùm mặt phẳng)::
                         Ax+By + Cz +D = 0 và A'x+B'y+ C'z + D'=0 là
           m(Ax + By + Cz + D) + n( A'x + B'y + C'z + D') = 0 (m, n không đồng thời = 0)

                                          B. Các ví dụ và bài tập
                                                                                                            2
Bài 1: Viết PT mp (P) qua A(-2 ; -1 ; 0) và song song với mp (Q): x - 3y + 4z + 5 = 0
Bài 2: Viết PT mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
       a) Qua ba điểm A(1 ; -1; 2), B(2 ; 3 ; 0) và C(-2 ; 2 ; 2)
       b) Mặt trung trực của AB
       c) Qua C và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x + y - 2z = 0 và (R): x - z + 3 = 0
Bài 3: Cho A(1 ; -1 ; 3), B(3 ; 0 ; 1) và C(0 ; 4 ; 5)
       a) Viết phương trình mp(ABC)
       b) Viết phương trình mp qua O, A và vuông góc với (Q): x + y + z = 0
       c) Viết phương trình của mặt phẳng chứa Oz và qua điểm P(2 ; -3 ; 5)
Bài 4
       Trong không gian Oxyz, M(-4 ; -9 ; 12) và A( 2 ; 0 ; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M,
A và cắt Oy, Oz lần lượt tại B và C sao cho OB = 1 + OC (B, C khác O)
Bài 5:
       Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua F(4 ; -3 ; 2) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt
phẳng: (Q): x - y + 2z - 3 = 0 và (T): 2x - y - 3z = 0
Bài 6
       Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua E(3 ; 4 ; 1) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt
phẳng:(R): 19x - 6y - 4z + 27 = 0 và (K): 42x - 8y + 3z + 11 = 0
Bài 7
       Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng: (P): x - 2y = 0,
       (Q): 3x - 2y + z - 3= 0 và vuông góc với mặt phẳng: (R): x - 2y + z + 5 = 0
Bài 8. Cho hai mặt phẳng: (P): 2x - y + z = 0, Q): x - 3y + 2 = 0
       a) Viết phương trình của mặt phẳng (  ) qua giao tuyến của (P), (Q) và song song với Ox.
       b) Viết phương trình mặt phẳng (  ) qua giao tuyến của xOy và (Q) và tạo với 3 mặt phẳng tọa
                                 125
độ một tứ diện có thể tích bằng        .
                                  36

                 PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
                                          A. Kiến thức cần nhớ
1) Các dạng phƣơng trình đƣờng thẳng:
                               x  x 0  a1 t
                              
      -Phương trình tham số:  y  y0  a 2 t , với a  (a1 ;a 2 ;a 3 ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng.
                              z  z  a t
                                    0     3

                                x  x 0 y  y0 z  z 0
      -Phương trình chính tắc:                            .
                                  a1          a2      a3
2) Cách xác định vị trí tƣơng đối, tìm giao điểm của hai đƣờng thẳng:
3) Cách viết phƣơng trình đƣờng thẳng:
      Tìm một điểm và một VTCP (hoặc cặp VTPT) của đường thẳng.                       PTTS
                    CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG
STT       Baøi toaùn          Hình veõ     Caùch giaûi
         Vieát phöông           
         trình ñöôøng             M        B1: - Goïi M1 (toaï ñoä coù chöùa tham soá t)  1
       thaúng  ñi qua         M1               -     M2 (toaï ñoä coù chöùa tham soá t’)  2
 1
         ñieåm M vaø                       B2: MM1 vaø MM2 cuøng phöông => t => M1
        caét 2 ñöôøng         1 M2
                                           B3: Vieát phương trình MM1 chính laø phöông trình
         thaúng 1, 2                2
                                           ñöôøng thaúng 
         Vieát phöông               2   B1: - Goïi M1 (toaï ñoä coù chöùa tham soá t)  1
                           1
                                         d      -     M2 (toaï ñoä coù chöùa tham soá t’)  2
         trình ñöôøng
 2
        thaúng  song                      B2: M1M2 vaø ad cuøng phöông => t, t’ => M1, M2
       song vôùi d vaø                     B3: Vieát phương trình M1M2 chính laø phöông trình
                             1
                                                                                               3
                                     2
       caét caû 1 vaø                         ñöôøng thaúng 
              2
                                               Phöông phaùp 1
                              
       Vieát phöông                            B1: Goïi N (toaï ñoä coù chöùa tham soá t)  d
                              ra
        trình ñöôøng                           B2: MN  d  MN.ad = 0 => t => M
      thaúng  ñi qua     d                    Phöông trình  chính laø phương trình MN
 3         ñieåm M                             Phöông phaùp 2
        vuoâng goùc       M                    B1: Vieát ptrình maët phaúng( ) qua M vaø vuoâng goùc
      vaø caét ñöôøng                        d
           thaúng d                       ra   B2: Tìm H = ( )  d
                         
                          N                    B3: phöông trình  laø phöông trình ñöôøng MH
         Vieát phöông
          trình ñöôøng          a1
       thaúng  ñi qua             1          B1: Vieát phöông trình maët phaúng( ) qua M vaø
                       1
             ñieåm M                          vuoâng goùc 1
 4
          vuoâng goùc                          B2: Tìm N = ( )  (2)
          vôùi ñöôøng   M                      B3: phöông trình  laø phöông trình ñöôøng MN
         thaúng 1 vaø         a2        2
       caét ñthaúng 2              2
                          M2
         Vieát phöông
          trình ñöôøng        1
        thaúng  naèm               2         B1: Tìm M1 = 1  ( )
           trong maët
 5                                             B2: Tìm M2 = 2  ( )
         phaúng  vaø
            caét caû 2                M2       B3:  laø ñöôøng thaúng M1M2
                              M1
        ñöôøng thaúng   
              1, 2
       Vieát pt ñöôøng
        thaúng  naèm                         B1: Tìm ñieåm A =   ( )
                                
 7
         trong mp( ),                               
                                                             qua A
        qua giao ñieåm                         B2:  
                                                     Coù vtcp a   n , ad 
                                                                            
       A cuûa d vaø                                 
       , vuoâng goùc d
                           A         d 

                                          B. Các ví dụ và bài tập
Bài 1: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua M(2; 3; -6) và song song với đường thẳng
     x 1 y  2 z
d1 :              
       3       1     1
Bài 2: Cho A(2; 3; 5) và mặt phẳng (P): 2x + 3y - 17 = 0
         a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P)
         b) Tìm giao điểm của d với trục Oz.
                                                                 x 1  y  3 z  4
Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:                         và song song với
                                                                   3      1     2
                x  1  t
                
đường thẳng d':  y  2  t
                z  1  2t
                
                                              x  1  t
                                              
Bài 4: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d:  y  2  t và vgóc với mp(Q): 2x - y - z = 0
                                              z  1  2t
                                              
                                                                                                        4
Bài 5: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm A(0;1;1), vuông góc với đường thẳng
                                             x  1  t
     x 1 y  2 z                            
d1 :           và cắt đường thẳng:         y  2  t
       3    1   1                            z  1  2t
                                             
Bài 6: Lập phương trình đường thẳng d:
                                                          x 1 y 1 z  2           x   y2 z2
       a) d qua A(1 ; 0 ; 3) và cắt hai đường thẳng: d1:                  và d2:         
                                                            2     1     3         1    2     3
       b) d vuông góc với (P): x - y - z - 3 = 0 và cắt hai đường thẳng:
                   x 1 y  3 z  4             x y 1 z  2
               d1:                      và d2:         
                     1       2        3         1     1      2
                                     x 1 y  2 z
       c) d là hình chiếu của d1 :              xuống măt phẳng: (P): x - y - z + 4 = 0
                                       3     1    1
Bài 7: Lập phương trình đường thẳng d qua A(2 ; -5 ; 6), cắt Ox và song song với mp(P): x + 5y - 6z = 0
Bài 8: Tìm tọa độ hình chiếu của điểm A(1 ; -2 ; 1) lên mp(P): x + 5y - 6z = 0
Bài 9: Lập phương trình tham số của đường thẳng d cắt hai đường thẳng:
          x 1 y z  3           x  3 y 1 z                                    x 1 y  3    z
     1 :               ; 2 :             và song song với đường thẳng: d':           
            2    1    2           4     2 5                                      2     1    2
Bài 10: Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng:
                                         x  3  4 t        x  6t
                                                            
                                    d1 : y  2  t ; d 2 : y  1  t
                                         z  1  t         z  2  2t
                                                            
Bài 11: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(-4 ; -2 ; 4), cắt và vuông góc với đường thẳng:
    x  3 y 1 z 1
d':            
      2     1     4
Bài 12: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
                                        x 1 y z  3        x  3 y 1 z
                                 1 :              ; 2 :          
                                          2   1   2          4    2 5
       a) Viết phương trình mặt phẳng chứa  1 và song song với  2
       b) Cho điểm M(2 ; 1 ; 4). Tìm tọa độ điểm H   2 sao cho độ dài MH nhỏ nhất.
                                                                                       x y 1 z  2
Bài 13: Trong không gian cho hai điểm A(2 ; 3 ; 0), B(0 ; - 2 ; 0) và đường thẳng d:        
                                                                                       1   1   2
       a) Lập phương trình mp(P) qua A và vuông góc với d.
       b) Tìm tọa độ N thuộc mặt phẳng (Q): x - 2y + z - 3 = 0 sao cho NA + NB nhỏ nhất.




                                                                                                      5
           VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI GIỮA CÁC ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
                                      A. Tóm tắt lý thuyết
1 Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng:
       Cho 2 đường thẳng: (d) qua M0(x0 ;y0 ;z0), có VTCP u = ( a; b; c)
                      và    (d’) qua M’0(x’0 ;y’0 ;z’0), có VTCP u ' = ( a’; b’; c’)
       (d) và (d’) đồng phẳng        u, u ' .M 0 M '0  0
                                            
       (d) và (d’) cắt nhau        u, u ' .M 0 M '0  0 và a:b:c  a’:b’:c’
                                          
       (d) // (d’)                a:b:c = a’:b’:c’ (x’0 – x0 ):(y’0 – y0) :(z’0 – z0)
       (d)  (d’)                 a:b:c = a’:b’:c’ = (x’0 – x0 ):(y’0 – y0) :(z’0 – z0)
       (d) và (d’) chéo nhau       u, u ' .M 0 M '0  0
                                          
2. Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và của mặt phẳng :
       Cho đường thẳng (d) qua M0(x0 ;y0 ;z0) , có VTCP u = ( a; b; c).
       và mặt phẳng ( ): Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT n  (A;B;C)
       (d) cắt ( )  n.u  0  Aa +Bb +Cc  0
                    n  u
                                 Aa  Bb  Cc  0
       (d) / /()              
                     M 0  ( )
                                 Ax 0  By0  Cz 0  0
                                Aa  Bb  Cc  0
       (d)  ( )  n  u
                    
                              
                     M0  ()
                               Ax 0  By0  Cz 0  0
       Một số lưu ý:
       1) Khi (d) cắt ( ) để tìm tọa độ giao điểm của (d) và ( ) ta giải hệ gồm các phương trình của (d)
và ( )
       2) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng ()
              - Viết phương trình đường thẳng () đi qua điểm M và () ()
              - Tìm giao điểm của () với () đó là điểm cần tìm.
       3) Tìm điểm M’ đối xưng với điểm M qua mặt phẳng ()
              - Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên () .
              - M’ đối xứng với M qua ()  H là trung điểm đoạn MM’.
       4) Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường đương thẳng (d).
              - Viết phương trình mặt phẳng () qua M và ()  (d).
              - Tìm giao điểm của () với (d) , đó là tọa độ H cần tìm.
       5) Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng (d) .
              - Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d).
              - M’ đối xứng với M qua (d)  H là trung điểm đoạn MM’.
                                                   B. Bài tập
Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau hãy tìm tọa độ giao điểm :
                                       x  1            x  1  2t
               x 1                                                         x2 y z3
        a) d:        y  2  z và d’  y  t
                                                   b) d:  y  t     và d’:        
                 3                                        z  1  t         7   5   1
                                      x  1  t
                                                         
              x 1 y  2 z  3             x 7 y 6 z 5
        c) d:                    và d’:             
                9      6       3              6     4        2
Bài 2 : Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng sau, nếu chúng cắt nhau hãy tìm tọa độ giao
điểm của chúng:

                                                                                                        6
              x 1 y  2 z  3
       a) d:                     và () : 4x + 2y – 8z +2 = 0
                2       1    4
               x 1 y  2 z  3
       b) d:                     và () : 2x + y – z –3 = 0
                 2      1     1
              x  12  4t
             
       c) d:  y  9  3t () : 3x + 5y – z – 2 = 0
             z  1  t
             
                                                 x  1 
                                                 
Bài 3. Cho điểm M(2; 1; 4) và đường thẳng (d) :.  y  2  t
                                                 z  1  2t
                                                 
       a) Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d).         b) Tìm điểm M’ đối xứng với M qua (d).
Bài 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho N( 2; -3; 1 ) và mặt phẳng () : x + 2y – z + 4 = 0.
       a) Tìm hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng .
       b) Tìm điểm N’ đối xứng với N qua ().
                                                                   x 1 y z  2
Bài 5. Cho mặt phẳng () : 2x + y + x – 2 = 0 và đường thẳng (d) :              .
                                                                     2  1    3
       a) Chứng minh (d) cắt () b) Tìm tọa độ giao điểm A của (d) với ().
Bài 6. Cho (d) : x  1  y  2  z  3 , () : x +3y – 2z – 5 = 0. Định m để:
                   m     2m  1       2
       a). (d) cắt ()             b). (d) // ()              c). (d)  ().

                                    KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
                                                                                   Ax 0  By0  Cz 0  D
- Khoảng cách từ M(x0; y0; z0) đến mp (): Ax + By + Cz = 0 là: d  M 0 ,()  
                                                                                    A 2  B2  C 2
                                                                                          M0 M1 ,u 
                                                                                                   
- Khoảng cách từ điểm M1 đến đt  đi qua M0 và có vectơ chỉ phương u là: d  M1 ,   
                                                                                               u
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  và  ', trong dó:
        đi qua điểm M0 và có vectơ chỉ phương u ,  ' đi qua điểm M0' và có vectơ chỉ phương u '
                                                     u, u ' .M 0 M 0 '
                                                           
                                     d  ,  '  
                                                          u, u '
                                                                
Bài 1. Tính khoảng cách từ các điểm M1(1;-3;4) , M2( 0;4 ;1) , M3( 2;-1;0 ) đến mặt phẳng
                                       () : 2x –2y + z – 5 = 0
                                                               x2   y 1 z 1
Bài 2. Tính khoảng cách từ điểm A(1;1;3) tới đường thẳng :             
                                                                1      2   3
Bài 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
                                x 1 y z 1                x 1 y  2 z  3
                         (1):                  và (2):             
                                  2     1 1                1      1     1
                            x 1 y z 1
Bài 4. Cho đường thẳng d:                   và mặt phẳng (): x+ y + 2z – 4 = 0 .
                              2     1 1
       Tính góc giữa d và ()
Bài 5. Tìm trên Oz điểm M cách đều điểm A( 2; 3; -1 )và mặt phẳng:x + 3y +z –17 = 0
                             x  1  2t
                             
Bài 6. Cho đường thẳng (d):  y  2  t và mặt phẳng () : 2x – y – 2z +1 = 0.
                             z  3t
                             
                                                                                                           7
       Tìm các điểm M  (d) sao cho khoảng cách từ M đến () bằng 3
                                 x2 y 3 z 4                  x 1 y  4 z  4
Bài 7. Cho hai đường thẳng (d1):                     và (d2):          
                                  2       3       5              3    2    1
       Tìm hai điểm M, N lần lượt trên (d1) và (d2) sao cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất.

          PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU - ĐƢỜNG TRÕN TRONG KHÔNG GIAN
                                          A. Kiến thức cần nhớ
1) Phƣơng trình mặt cầu (S) tâm I(a ; b; c), bán kính R:
                                 (S) : (x  a) 2  (y  b) 2  (z  c) 2  R 2
      - Phương trình: x2 + y2+ z2 +2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với A2 + B2 +C2 - D > 0 là phương trình
mặt cầu tâm I(-A ; -B; -C), bán kính R  A2  B2  C2  D
2) Giao của mặt cầu và mặt phẳng - Phƣơng trình đƣờng tròn:
       Cho mặt cầu (S) : (x  a) 2  (y  b) 2  (z  c) 2  R 2 với tâm I(a ; b; c), bán kính R và mặt phẳng
(P): Ax + By + Cz + D = 0.
       + d(I, (P)) > R: (P) và (S) không có điểm chung
       + d(I, (P)) = R: (P) tiếp xúc (S)
       + d(I, (P)) < R: (P) cắt (S) theo đường tròn có tâm H là hình chiếu của I xuống (P), bán kính
r  R 2  d2
       Phương trình đường tròn trong không gian:
               Ax  By  Cz  D  0                          Aa  Bb  Cc  D
                                                    với d =                    R
               (x  a)  (y  b)  (z  c)  R                  A 2  B2  C 2
                       2          2          2     2


                                           B. Các ví dụ và bài tập
                                                          2x  2y  z  9  0
Bài 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn (C):  2
                                                           x  y  z  6x  4y  2z  86  0
                                                                 2     2


Bài 2: Cho (S): x2 + y2 + z2 -2mx + 2my -4mz + 5m2 + 2m + 3 = 0
       a) Định m để (S) là mặt cầu. Tìm tập hợp tâm I của (S)
       b) Định m để (S) nhận mặt phẳng (P): x + 2y + 3 = 0 làm tiếp diện
                                x  t  5
                                
       c) Định m để (S) cắt d:  y  2t      tại hai điểm A, B sao cho AB  2 3
                                z   t  5
                                
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc Ox và tiếp xúc với hai mặt phẳng (Oyz)
       và (P): 2x + y - 2z + 2 = 0.

                       Một số bài toan hình học, đại số giải bằng hình giải tích
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của E = (2 - a)2 + (1 - b)2 + (1 - c)2. Biết rằng a, b, c thỏa điều kiện:
2a  b  c  2  0

a  b  c  5  0
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại C
với AB = 2a, chiều cao từ C bằng 1; chiều cao hình lăng trụ bằng b.
       a. Tính khoảng cách giữa B'C và AC' theo a và b.
       b. Cho a, b thay đổi nhưng luôn thỏa a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa B'C và AC' lớn
nhất.
                                              0  x, y, z  2 (1)
Bài 3: Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện: 
                                              x  y  z  3 (2)
         Tìm GTLN, GTNN của: u = x2 + y2 + z2


                                                                                                           8
              MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC LIÊN QUAN ĐẾN CHỦ ĐỀ
Bài 1. (D-2007)
                                                     x 1 y  2 z
       Cho A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng (d):            
                                                      1    1    2
       1. Viết phương trình đường thẳng  đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với
          mp(OAB)
       2. Tìm tọa độ điểm M thuộc  sao cho: MA2 + MB2 nhỏ nhất
Bài 2. (B-2007)
       Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mp (P): 2x – y + 2z – 14 = 0
       1. Viết phương trình mp (Q) chứa Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3
       2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất
Bài 3. (A-2007)
                                                          x  1  2t
                               x y 1 z  2            
       Cho hai đường thẳng d1 :             và d 2 :  y  1  t
                               2    1     1           z  3
                                                       
       1. Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau
       2. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = 0 và cắt cả hai
          đường thẳng d1, d2.
Bài 4. (A-2008)
                                        x 1 y z  2
       Cho A(2;5;3) và đường thẳng d:        
                                          2  1   2
       1. Tìm tọa độ hình chiếu của A trên d
       2. Viết phương trình mp (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất
Bài 5. (B-2005)
       Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0); C1(0;0;4)
       1. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mp(BCC1B1)
       2. Gọi M là trung điểm của A1B1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, M và song song
          với BC1. Mặt phẳng (P) cắt A1C1 tại N. Tính độ dài MN
Bài 6. (D-2010)
       Chuẩn: Cho hai mặt phẳng (P): x + y + z – 3 =0 và (Q): x – y + z – 1 = 0. Viết phương trình mặt
phẳng (R ) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng các htu72 O đến (R) bằng 2.
                                          x  3  t
                                                          x  2 y 1 z
       Nâng cao: Cho hai đường thẳng d1 :  y  t và d 2 :           . Xác định tọa độ điểm M
                                          z  t             2    1   2
                                          
thuộc d1 sao cho khoảng cách từ M đến d2 bằng 1
Bài 7. (A-2010)
                                     x 1 y  2 z  3
        Chuẩn: Cho đường thẳng  :                       và mặt phẳng (P): x – 2y + z = 0. Gọi C là giao
                                       2      3       2
điểm của  và (P), M là điểm thuộc  . Tính khoảng cách từ M đến (P) biết MC = 6
                                                        x 2 y2 z3
        Nâng cao: Cho A(0;0;-2) và đường thẳng  :                       . Tính khoảng cách từ A đến
                                                          2      3      2
  . Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt  tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.
Bài 8. (B-2010)
        Chuẩn: Cho A(1;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) trong đó b, c dương và mặt phẳng (P): y – z +1 = 0.
                                                                                                     1
Xác định b và c, biết mp(ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ O đến (ABC) bằng
                                                                                                     3


                                                                                                         9

								
To top