Docstoc

sang kien kinh nghiem day hsg

Document Sample
sang kien kinh nghiem day hsg Powered By Docstoc
					                      ®Æt vÊn ®Ò

      Trong ch-¬ng tr×nh to¸n häc THPT   c¸c bµi to¸n
liªn quan ®Õn d·y sè lµ mét phÇn quan träng cña
®¹i sè vµ gi¶i tÝch líp 11 , Häc sinh th-êng ph¶i
®èi mÆt víi nhiÒu d¹ng to¸n khã liªn quan ®Õn vÊn
®Ò nµy vµ    gÆp khã kh¨n trong vÊn ®Ò x¸c ®Þnh c«ng
thøc sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè. §Æc biÖt ë mét
sè líp bµi to¸n    khi ®· x¸c ®Þnh ®-îc c«ng thøc
tæng qu¸t cña d·y sè th× néi dung cña bµi to¸n gÇn
nh- ®-îc gi¶i quyÕt
      §Ó ®¸p øng ®­îc mét phÇn ®Ò tµi “ X¸c ®Þnh
c«ng thøc tæng qu¸t cña    d·y sè “ vµ kÕt hîp víi
sù tiÕp cËn “ Lý thuyÕt ph-¬ng tr×nh sai ph©n “
qua mét sè chuyªn ®Ò mµ   b¶n th©n t¸c gi¶ ®· ®-îc
häc
      Néi dung cña ®Ò tµi nh»m cung cÊp mét sè
ph-¬ng ph¸p c¬ b¶n x¸c ®Þnh c«ng thøc tæng qu¸t
cña d·y sè vµ cã sù ph©n lo¹i ë mét sè líp bµi
to¸n .   §©y còng lµ ®Ò tµi vµ bµi gi¶ng mµ t¸c gi¶
®· d¹y cho häc sinh , ®Æc biÖt lµ häc sinh kh¸
giái vµ líp chän, lµ tµi liÖu häc sinh vµ ®ång
nghiÖm tham kh¶o
      Trong ®Ò tµi nµy t¸c gi¶ ®· sö dung mét sè kÕt
qu¶ cã tÝnh hÖ thèng cña „ Lý thuyÕt ph-¬ng tr×nh
sai ph©n “     . Tuy nhiªn nh÷ng vÊn ®Ò ¸p dông kiÕn
thøc to¸n häc hiÖn ®¹i chØ dõng l¹i ë mét sè




                          1
tr-êng hîp ®Æc biÖt vµ giíi h¹n trong tr-êng sè
thùc .
     Giíi h¹n cña ®Ò tµi chØ dõng l¹i ë viÖc x¸c
®Þnh c«ng thøc tæng qu¸t cña mét sè d·y sè , tõ ®ã
cã ¸p dông vµo mét sè bµi to¸n cô thÓ . Qua ®ã,
ng-êi ®äc cã thÓ trang bÞ thªm cho m×nh ph-¬ng
ph¸p x¸c ®Þnh c«ng thøc tæng qu¸t cña d·y sè.                 §Æc
biÖt c¸c thÇy c« cã thÓ tù kiÓm tra kÕt qu¶ vµ x©y
dùng cho m×nh mét líp c¸c bµi to¸n vÒ d·y sè ®-îc
tr×nh bµy trong ®Ò tµi




 Mét sè ph-¬ng ph¸p x¸c ®Þnh c«ng thøc
  tæng qu¸t cña d·y sè vµ x©y dùng bµi
                       to¸n vÒ d·y sè

         A. Ph-¬ng tr×nh       sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp mét

     Ph-¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp mét lµ
ph-¬ng tr×nh sai ph©n d¹ng
                    u1   , a.un1  b.un  fn , n  N *
trong ®ã a,b,  lµ c¸c h»ng sè ,a # 0 vµ f n lµ biÓu
thøc cña n cho tr-íc
D¹ng 1
         T×m    un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
               u1   , a.un1  b.un  0             (1.1)
trong ®ã a, b,  cho tr-íc n  N *



                                     2
Ph-¬ng ph¸p gi¶i
      Gi¶i ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng a.  b  0              ®Ó t×m 
Khi ®ã un  q n (q lµ h»ng sè ) , trong ®ã q ®-îc x¸c
®Þnh khi biÕt u1  
Bµi to¸n 1:       X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña cÊp sè
nh©n, biÕt sè h¹ng ®Çu tiªn b»ng 1 vµ c«ng béi
b»ng 2
Bµi gi¶i        Ta cã
                   un1  2 un , u1  1            (1.2)
Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng cã nghiÖm   2 VËy un  c.2n .
                     1
Tõ u1  1 suy ra c    Do ®ã un  2n1
                     2
D¹ng 2
         T×m      un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
            u1   , aun1  bun  f n , n  N *     (2 .1)
trong ®ã f n lµ ®a thøc theo n
Ph-¬ng ph¸p gi¶i
      Gi¶i ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng a.  b  0              ta t×m
®-îc  Ta cã un  un  un Trong ®ã un lµ nghiÖm cña
                   0    *           0



ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt                   (1.1) vµ un lµ nghiÖm
                                                    *



riªng tuú ý cña ph-¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt
(2.1)    VËy un  q. n q lµ h»ng sè sÏ ®-îc x¸c ®Þnh
              0



sau
Ta x¸c ®Þnh un nh- sau :
             *



  1) NÕu  #1 th× un lµ ®a thøc cïng bËc víi f n
                   *



  2) NÕu  1 th× un  n.gn víi g n lµ ®a thøc cïng bËc
                   *



      víi f n


                                      3
Thay un vµo ph-¬ng tr×nh, ®ång nhÊt c¸c hÖ sè ta
      *



tÝnh ®-îc c¸c hÖ sè cña un
                         *



Bµi to¸n 2:         T×m un tho¶ m·n                ®iÒu kiÖn

          u1  2; un1  un  2n, n  N *                      (2.2)
Bµi gi¶i         Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng                     1  0 cã
nghiÖm   1 Ta cã un  un  un trong ®ã
                         0    *



un  c.1n  c, un  n  an  b  Thay un vµ ph-¬ng tr×nh (2.2) ta
 0              *                      *



®-îc
           n  1 a  n  1  b  n  an  b   2n
                                                             (2.3)
thay n=1vµ n=2 vµo (2.3) ta ®-îc hÖ ph-¬ng tr×nh
sau
                              3a  b  2  a  1
                                         
                              5a  b  4 b  1
Do ®ã un  n  n  1

Ta cã un  un  un  c  n  n  1 V× u1  2 nªn
            0    *



2  c  11  1  c  2

VËy un  2  n  n  1 , hay un  n2  n  2
D¹ng 3
          T×m      un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
       u1   , a.un1  bun  v.n , n  N *                    (3.1)
trong ®ã f n lµ ®a thøc theo n
Ph-¬ng ph¸p gi¶i
       Gi¶i ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng a.  b  0                    ta t×m
®-îc  Ta cã un  un  un Trong ®ã un  c. n , c lµ h»ng
                   0    *           0



sè ch-a ®-îc x¸c ®Þnh , un ®-îc x¸c ®Þnh nh- sau :
                         *




                                          4
  1) NÕu  #         th× un  A. n
                           *



  2) NÕu            th× un  A.n. n
                            *



Thay un vµo ph-¬ng tr×nh
      *
                                        (3.1)      ®ång nhÊt c¸c hÖ
sè ta tÝnh ®-îc c¸c hÖ sè cña un . BiÕt u1 , tõ
                               *
                                                                        hÖ
thøc un  un  un , tÝnh ®-îc c
           0    *



Bµi to¸n 3:          T×m un tho¶ m·n           ®iÒu kiÖn

          u1  1; un1  3.un  2n , n  N *                (3.2)
Bµi gi¶i        Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng                   3  0 cã
nghiÖm   3 Ta cã un  un  un trong ®ã un  c.3n , un  a.2n
                         0    *           0           *



Thay un  a.2n vµo ph-¬ng tr×nh
      *
                                               (3.2) , ta thu              ®-îc
                   a.2n1  3a.2n  2n  2a  3a  1  a  1
Suy ra un  2n Do          ®ã un  c.3n  2n v× u1  1         nªn c=1
VËy un  3n  2n
D¹ng 4
          T×m      un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
         u1   , a.un1  bun  f1n  f2n , n  N *            (4.1)
Trong ®ã f1n lµ ®a thøc theo n vµ f2n  v. n
Ph-¬ng ph¸p gi¶i
     Ta cã un  un  u1*n  u2n Trong ®ã un lµ nghiÖm tæng
                 0           *            0



qu¸t cña ph-¬ng tr×nh               thuÇn nhÊt         aun1  bun  0 ,      *
                                                                             un
lµ mét nghiÖm riªng cña ph-¬ng tr×nh kh«ng thuÇn
nhÊt a.un1  b.un  f1n , u2n lµ nghiÖm riªng bÊt kú cña
                            *



ph-¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt a.un1  b.un  f 2n
Bµi to¸n 4:          T×m un tho¶ m·n           ®iÒu kiÖn

       u1  1; un1  2un  n2  3.2n , n  N *                 (4.2)


                                       5
Bµi gi¶i          Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng                      2  0 cã
nghiÖm   2 Ta cã un  un  u1*n  u2n trong ®ã
                         0           *



un  c.2n , un  a.n2  b.n  c , u2n  An.2n
 0           *                     *



Thay un vµo ph-¬ng tr×nh un1  2.un  n2 , ta ®-îc
      *




                 a  n  1  b  n  1  c  2an 2  2bn  2c  n 2
                          2




Cho n=1 , n=2 ta thu ®-îc hÖ ph-¬ng tr×nh
                           2a  c  1       a  1
                                            
                          a  b  c  4    b  2
                          2a  2b  c  9 c  3
                                            
VËy u1*n  n2  2n  3       thay u2n vµo ph-¬ng tr×nh
                                    *



un1  2.un  3.2n Ta ®-îc
                                                                            3
        A  n  1 2n 1  2 An.2n  3.2n  2 A  n  1  2 An  3  A 
                                                                            2
VËy
                                     3
                               u2 n  n.2 n  3n.2 n 1
                                *

                                     2
Do ®ã un  c.2n   n2  2n  3  3n.2n1 . Ta cã u1  1                nªn

1  2c  2  3  c  0 VËy un  3n.2n1  n2  2n  3

      B. Ph-¬ng tr×nh             sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai

       Ph-¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp mét lµ
ph-¬ng tr×nh sai ph©n d¹ng
                u1   , u2   , a.un1  bun  c.un1  f n , n  N *
trong ®ã a,b,c,  ,  lµ c¸c h»ng sè , a # 0 vµ f n
lµ biÓu thøc cña n cho tr-íc
(NX:     Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng cña ph-¬ng tr×nh sai
ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai lu«n cã hai nghiÖm kÓ c¶


                                          6
nghiÖm phøc, song néi dung cña ®Ò tµi chØ dõng l¹i
trong tr-êng sè thùc , tøc lµ chØ xÐt nghiÖm thùc
)
D¹ng 1
           T×m      un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
      u1   , u2   , aun1  bun  c.un1  0, n  N *          (5.1)
Ph-¬ng ph¸p gi¶i
      Gi¶i ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng a. 2  b.  c  0                    t×m
 Khi ®ã
    1) NÕu 1 , 2 lµ hai nghiÖm thùc kh¸c nhau th×

      un  A.1n  B.2n , trong ®ã A vµ B ®-îc x¸c ®Þnh khi
      biÕt u1 , u2
    2) NÕu 1 , 2 lµ hai nghiÖm kÐp 1  2   th×

      un   A  Bn . n , trong ®ã A vµ B ®-îc x¸c ®Þnh khi

      biÕt u1 , u2
Bµi to¸n 5:          T×m       un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn sau
             u0  1, u1  16, un2  8.un1  16.un          (5.1)
Bµi gi¶i          Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng                  2  8  16  0 cã
nghiÖm kÐp   4
Ta cã
                   un   A  B.n .4n                  (5.2)
Cho n=0 , n=1 thay vµo (5.2) ta thu ®-îc hÖ ph-¬ng
tr×nh
                            u0  1  A
                                                  A 1
                                                 
                            u1  1  B  .4  16  B  3
                            
VËy     un  1  3n .4n


                                          7
D¹ng 2
         T×m     un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
      u1   , u2   , a.un1  b.un  c.un1  fn , n  2,    (6.1)
trong ®ã a # 0, f n lµ ®a thøc theo n cho tr-íc
Ph-¬ng ph¸p gi¶i
     Gi¶i ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng a. 2  b.  c  0 ®Ó
t×m  . Khi ®ã ta cã un  un  un , trong ®ã un lµ nghiÖm
                           0    *             0



tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt
a.un1  b.un  c.un1  0 vµ un lµ mét nghiÖm tuú ý cña
                               *



ph-¬ng tr×nh
                          a.un1  b.un  c.un1  fn
Theo d¹ng 1 ta t×m ®-îc un , trong ®ã hÖ sè A, B
                         0



ch-a ®-îc x¸c ®Þnh , un ®-îc x¸c ®Þnh nh- sau :
                      *



  1) NÕu  #1 th× un lµ ®a thøc cïng bËc víi f n
                   *



  2) NÕu   1 lµ nghiÖm ®¬n th× un  n.gn , gn lµ ®a thøc
                                  *



     cïng bËc       víi f n
  3) NÕu   1 lµ nghiÖm kÐp               th× un  n.2 gn , gn lµ ®a
                                                *



     thøc cïng bËc            víi f n ,
Thay un vµo ph-¬ng tr×nh , ®ång nhÊt c¸c hÖ sè,
      *



tÝnh ®-îc c¸c hÖ sè cña un . BiÕt u1 , u2
                         *
                                                               tõ hÖ thøc

un  un  un tÝnh ®-îc A, B
      0    *



Bµi to¸n 6:       T×m un tho¶ m·n              ®iÒu kiÖn

     u1  1; u2  0, un1  2un  un1  n  1, n  2            (6.2)




                                      8
Bµi gi¶i                 Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng                         2  2  1  0 cã
nghiÖm kÐp   1 Ta cã un  un  un trong ®ã
                             0    *



un   A  B.n .1n  A  Bn, un  n2  a.n  b 
 0                             *



Thay un vµo ph-¬ng tr×nh
      *
                                                     (6,2) , ta ®-îc

       n  1        a  n  1  b   2n 2  a.n  b    n  1 a  n  1  b   n  1
                 2                                                 2
                                                                                   
Cho n=1 , n=2 ta thu ®-îc hÖ ph-¬ng tr×nh
                                                                         1
                         4  2a  b   2  a  b   2              a
                                                                        6
                                                                   
                        9  3a  b   8  2a  b    a  b   3 b  1
                        
                                                                     
                                                                         2
                                      n 1
Vậy                          un  n 2   
                              *

                                      6 2
Do ®ã
                                                           n 1
                               un  un  un  A  Bn  n 2   
                                     0    *

                                                           6 2
Mặt kh¸c
                                      1 1
                             A  B  6  2 1
                             
                                                    A  4
                                                    
                                                      11
                                          1 1
                              A  2B  4     0 
                                                     B
                                                           3
                             
                                         3 2
VËy
                                                11        n 1
                                     un  4       n  n2   
                                                 3        6 2
D¹ng 3
            T×m             un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
       u1   , u2   , aun1  bun  c.un1  d. n , n  2                       (7.1)
Ph-¬ng ph¸p gi¶i




                                                    9
      Gi¶i ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng a. 2  b.  c  0 ®Ó
t×m  Khi ®ã ta cã un  un  un , trong ®ã un ®-îc x¸c
                         0    *             0



®Þnh nh- d¹ng 1 vµ hÖ sè A vµ B ch-a ®-îc x¸c
®Þnh, un ®-îc x¸c ®Þnh nh- sau
       *



   1) NÕu  #        th× un  k. n
                           *



   2) NÕu    lµ nghiÖm ®¬n th× un  k.n n
                                   *



   3) NÕu    lµ nghiÖm kÐp                  th× un  k.n.2  n
                                                    *



Thay un vµo ph-¬ng tr×nh , dïng ph-¬ng ph¸p ®ång
      *



nhÊt thøc c¸c hÖ sè sÏ tÝnh ®-îc hÖ sè k . BiÕt
u1 , u2 tõ hÖ thøc un  un  un tÝnh ®-îc A,B
                         0    *



Bµi to¸n 7:          T×m un tho¶ m·n             ®iÒu kiÖn

                 u1  0; u2  0, un1  2un  un1  3.2n , n  2
Bµi gi¶i         Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng                   2  2  1  0 cã
nghiÖm kÐp   1 Ta cã un  un  u1*n trong ®ã
                             0



un   A  B.n .1n  A  Bn, un  k.2n
 0                             *



Thay un
      *
             vµo ph-¬ng tr×nh , ta ®-îc
                      k.2n1  2k.2n  k.2n1  3.2n  k  6
VËy un  6.2n  3.2n1 . Do ®ã un  un  un  A  bn  3.2n1 .
     *                               0    *
                                                                         (1)
Thay u1  1, u2  0 vµo ph-¬ng tr×nh ta thu ®-îc

                         1  A  B  12   A  2
                                         
                         0  A  2 B  24  B  13
VËy
                              un  2  13n  3.2n1
D¹ng 4
           T×m     un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn



                                          10
         u1   , u2   , aun1  bun  c.un1  f n  gn , n  2 (8.1)
trong ®ã a # 0 , f n lµ ®a thøc theo n vµ gn  v. n
Ph-¬ng ph¸p gi¶i
        Ta cã un  un  u1*n  u2n trong ®ã un lµ nghiÖm tæng
                    0           *            0



qu¸t cña ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt                                  aun1  bun  c.un1  0
, u1n lµ nghiÖm riªng tïy ý cña ph-¬ng tr×nh kh«ng
   *



thuÇn nhÊt aun1  bun  c.un1  f n                  u2n lµ nghiÖm riªng tïy
                                                        *



ý        cña         ph-¬ng             tr×nh             kh«ng       thuÇn           nhÊt
aun1  bun  c.un1  gn
Bµi to¸n 8:             ( §Ò thi OLYPIC 30 -4 To¸n 11 LÇn thø
VIII- 2002 )
T×m un tho¶ m·n                ®iÒu kiÖn

           u1  0; u2  0, un1  2un  3un1  n  2n , n  2            (8.2)
Bµi gi¶i             Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng                        2  2  3  0 cã
nghiÖm 1  1, 2  3             Ta cã

                                       un  un  u1*n  u2n
                                             0           *



trong ®ã
                      un  A 1  B.3n , u1*n  a  bn, u2 n  k.2n
                       0           n                       *




Thay u1n vµo ph-¬ng tr×nh un1  2un  3un1  n , ta ®-îc
      *



    a  n  1  b  2  an  b   3 a  n  1  b   n   4a  1 n  4  a  b   0
                                                     
VËy
                                                      1
                                          ab
                                                      4
Do ®ã
                                               1
                                        un 
                                         *
                                                   n  1
                                               4


                                               11
Thay u2n vµo ph-¬ng tr×nh un1  2un  3un1  2n , ta ®-îc
      *



                                                                2
                    k.2n1  2.k.2n  3.k.2n1  2n  k  
                                                                3
Do ®ã
                                      2       1
                              u2 n   .2n   .2n1
                               *

                                      3       3
VËy
                                                  1           1
       un  un  u1*n  u2 n  A  1  B.3n       n  1  .2n1
                                     n
             0           *
                                                                       (8.3)
                                                  4           3
Ta thay u1  1, u2  0         vµo       (8.3)       ta ®-îc hÖ ph-¬ng
tr×nh
                                 1 4             61
                        A  3B    1  A  
                                 2 3             48
                                          
                       A  9B  3  8  0   B  25
                      
                                4 3        
                                                 48
VËy
                           61         25    1           1
                  un        . 1  .3n  . n  1  .2n1
                                    n

                           48         48    4           3

      C. Ph-¬ng tr×nh             sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp ba

       Ph-¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp ba lµ
ph-¬ng tr×nh sai ph©n d¹ng
   u1   , u2   , u3   , a.un2  bun1  c.un  d.un1  f n , n  2 (a.1)
trong ®ã a,b,c, d,  ,  ,  lµ c¸c h»ng sè , a # 0
vµ f n lµ biÓu thøc cña n cho tr-íc
(NX:     Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng cña ph-¬ng tr×nh sai
ph©n tuyÕn tÝnh cÊp ba lu«n cã ba nghiÖm kÓ c¶
nghiÖm phøc, song néi dung cña ®Ò tµi chØ dõng l¹i




                                         12
trong tr-êng sè thùc , tøc lµ chØ xÐt nghiÖm thùc
)
Ph-¬ng ph¸p gi¶i
      NghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh sai ph©n
tuyÕn tÝnh cÊp ba cã d¹ng un  un  un , trong ®ã un lµ
                                0    *             0



nghiÖm tæng qu¸t ña ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn
nhÊt, un lµ mét nghiÖm riªng cña ph-¬ng tr×nh tuyÕn
       *



tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt
      XÐt ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng
              a 3  b 2  c  d  0                  (a.2)
    1) X¸c ®Þnh c«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng
      tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp ba thuÇn nhÊt
        a) NÕu (a.2) cã ba nghiÖm thùc 1 , 2 , 3 ph©n
          biÕt th×
                            un  a1 .1n  a2 .2n  a3 .3n
                             0



        b) NÕu (a.2) cã mét nghiÖm thùc béi 2 vµ mét
          nghiÖm ®¬n (1  2 # 3 ) th×

                            un  (a1  a2 n)1n  a3 .3n
                             0



        c) NÕu (a.2) cã mét nghiÖm thùc béi 3
          (1  2  3 ) th×
                         un  (a1  a2 n  a3 n2 )1n
                          0



    2) X¸c ®Þnh nghiÖm riªng un cña ph-¬ng tr×nh
                              *



      (a.1)
       XÐt f n lµ ®a thøc cña n ta cã
        a) NÕu  #1 th× un lµ ®a thøc cïng bËc víi f n
                         *




                                   13
          b) NÕu   1        (nghiÖm ®¬n ) th× un  n.gn
                                                 *
                                                                          g n lµ
             ®a thøc cïng bËc víi f n
          c) NÕu   1        (béi 2 ) th× un  n2 .gn
                                            *
                                                                     g n lµ ®a
             thøc cïng bËc víi f n
          d) NÕu   1        (béi 3) th× un  n3.gn
                                           *
                                                                 g n lµ ®a
             thøc cïng bËc víi f n
       XÐt f n  v. n ta cã
          a) NÕu  #  th× un  k.n. n
                            *



          b) NÕu    (nghiÖm ®¬n ) th× un  k. n
                                          *



          c) NÕu    (nghiÖm béi s ) th× un  k.ns . n
                                            *



Bµi to¸n 9:           T×m d·y sè an biÕt r»ng

     u1  0, u2  1, u3  3, un  7un1  11.un2  5.un3 , n  4     (9.1)
Bµi gi¶i            XÐt ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng
                               3  7 2  11  5  0
cã 3 nghiÖm thùc
                                1  2  1, 3  5
VËy an  c1  c2 n  c3 5n
Cho n=1, n=2, n=3 vµ gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh t¹o
thµnh, ta ®-îc
                                       1       3        1
                             c1        , c2  , c3 
                                      16       4       16
              1 3           1
VËy an         n  1  .5n1
             16 4          16

                          D. Bµi tËp ¸p dông




                                           14
Bµi to¸n 10:             Cho d·y sè an ®-îc x¸c ®Þnh theo
c«ng thøc sau
            a1  0; a2  1, an1  2an  an1  1, n  2             (10.1)
Chøng minh sè A  4.an .an2  1 lµ sè chÝnh ph-¬ng
Bµi gi¶i         Ta cã
                        an1  2an  an1  1         (10.2)
Trong (9.2) ta thay n bëi n-1, ta ®-îc
                        an  2an1  an2  1         (10.3)
Trõ c¸c vÕ cña (10.1) cho (10.2) ta thu ®-îc
             an1  3an  3an1  an2  0                           (10.4)
Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng cña (10.4) lµ
                                3  3 2  3  1  0
cã     nghiÖm   1 lµ nghiÖm béi bËc ba
VËy nghiÖm tæng qu¸t                  cña ph-¬ng tr×nh (10.4) lµ
                               an  (c1  c2 n  c3 n2 )1n
Cho n=0, n=1, n=2 ta ®-îc
                        0  c1             c1  0
                                           
                        1  c2  c2  c3            1
                        3  c  2c  4c    c2  c3  2
                                            
                             1      2    3


                          n  n  1
Ta thu ®-îc an                      vµ tõ ®ã ta cã
                               2
                          A  4an .an 2  1   n 2  3n  1
                                                                 2




§iÒu nµy chøng tá A lµ mét sè chÝnh ph-¬ng
Bµi to¸n 11:             Cho d·y sè          x 
                                                n
                                                     ®-îc x¸c ®Þnh theo

c«ng thøc sau
     x1  7; x2  50, xn1  4xn  5xn1  1975  n  2                  (11.1)



                                          15
Chøng minh         r»ng       x1996 1997

Bµi gi¶i        XÐt d·y sè          y 
                                       n
                                               víi y1  7, y2  50 vµ

                yn1  4 yn  5 yn1  22  n  2         (11.2)

DÔ thÊy yn  xn  mod1997  . Do ®ã chØ cÇn chøng minh

                                y1996  0  mod 1997 

§Æt zn  4 yn  11 suy ra z1  39, z2  211 . NhËn xÐt r»ng

zn1  4 yn1  11  16 yn  20 yn1  99  4zn  20 yn1  55          (11.3)
Ta l¹i cã
 zn1  4 yn1  11 suy ra 20 yn1  5zn1  55                         (11.4)
ThÕ (11.4) vµo (11.3) ta ®-îc
                                   zn1  4zn  5zn1
Suy ra
                  zn1  4zn  5zn1  0                 (11.5)
Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng cña (11.5) lµ
                2  4  5  0      cã nghiÖm 1  1, 2  5
NghiÖm tæng qu¸t cña (11.1)                       lµ
                                  zn   1   5n 
                                           n




Ta cã
                                                  8
                                             
                         z1    5  39       3
                                           
                         z2    25  211    25
                                             
                                                   3
Do ®ã ta nhËn ®-îc
                  8        25
              zn  . 1  .5n
                         n
                                                         (11.6)
                  3        3
Tõ (11.6)        ta suy ra



                                           16
                                            8  25.51996
                                  z1996   
                                                 3
Ta cÇn chøng minh
                                z1996  11 mod1997 
Do
                                   51996  1 1997
                                    1996
                                   5  1 3
Nªn 51996  1 3.1997 . Tõ ®ã , ta cã 51996  3n.1997  1 , vµ khi
®ã
                          8 25  3n.1997  1
                   z1996                     25.n.1997  11
                          3          3


VËy z1996  11 mod 1997 

                           E. Bµi tËp t-¬ng tù

Bµi 1:          X¸c ®Þnh c«ng thøc cña d·y sè                         x  tho¶
                                                                       n
                                                                                  m·n
c¸c ®iÒu kiÖn sau
     1) x1  11, xn1  10.xn  1  9n , n  N
     2) x0  2, x1  8, xn2  8.xn1  9xn
     3) x0  1, x1  3, 2. xn2  5xn1  2xn  n2  2n  3

     4) x0  0, x1  1, xn1  4xn  4xn1  n2  6n  5

     5) x1  1, x2  2, xn2  5xn1  6xn  4

Bµi 2:        Cho d·y sè          a n
                                            tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

                        an  an1  2.an2
                                                 n N      n  3
                        a1  a2  1
Chøng minh r»ng an lµ mét sè lÎ



                                             17
Bµi 3:      Cho d·y sè              b 
                                      n
                                                x¸c ®Þnh bëi

                       bn  2.bn1  bn2
                                                    n N    n  3
                       b1  1, b2  2
                                      n
                     5
Chøng minh r»ng bn    , n  N
                     2
Bµi 4:          Cho d·y sè                u 
                                            n
                                                  tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

                     un 2  2.un1  un  2
                                             n N             n  2
                     u0  1, u1  0

Chøng minh r»ng un lµ mét sè chÝnh ph-¬ng
Bµi 5:      (TuyÓn tËp ®Ò thi Olympic 30 – 4 To¸n 11
LÇn thø VIII – 2002
NXB gi¸o dôc )
Cho d·y sè          u 
                       n
                             tho¶ m·n nh- sau

                           un  Z  ,  N
                           
                           u0  1, u1  9
                           u  10.u  u        n  N , n  2
                            n         n 1 n2


Chøng minh :                k  N , k  1
  1) uk2  uk21  10uk .uk 1  8
  2) 5.uk  uk 1 4 va 3.uk2  1 2
  (     kÝ hiÖu chia hÕt                    )
Bµi 6:          Cho d·y sè                u 
                                            n
                                                  tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

                           un2  2un1  2un  un1, n  N *
Chøng minh r»ng tån t¹i c¸c h»ng sè nguyªn M sao
cho c¸c sè M  4.an1an ®Òu lµ sè chÝnh ph-¬ng
Bµi 7:        ( B¸o To¸n Häc vµ Tuæi TrÎ sè 356)



                                                18
Cho d·y sè       u 
                   i
                         ( i=1,2,3,4…)®­îc x¸c ®Þnh bëi

              a1  1, a2  1, an  an1  2an2 , n  3,4,...
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc
                         A  2.a2006  a2006 .a2007  a2007
                                2                      2




Bµi 8:        Cho d·y sè nguyªn d-¬ng                         u 
                                                                n
                                                                     tho¶ m·n

®iÒu kiÖn
           u0  20, u1  100, un2  4.un1  5.un  20, n  N *
T×m sè nguyªn d-¬ng h bÐ nhÊt cã tÝnh chÊt
                           anh  an 1998 , n  N




     F.      X©y dùng bµi to¸n vÒ d·y sè truy håi

NhËn xÐt : Néi dung cña ®Ò tµi trªn gióp b¹n ®äc
t×m ra c«ng thøc tæng qu¸t cña mét líp d·y sè cã
tÝnh chÊt truy håi mét c¸ch chÝnh x¸c nhÊt,                               gióp
c¸c ThÇy c« kiÓm tra kÕt qu¶ bµi to¸n theo c¸ch
gi¶i kh¸c. Bªn c¹nh ®ã ta cã thÓ tiÕn hµnh x©y
dùng thªm c¸c bµi to¸n míi vÒ d·y sè
    D-íi ®©y lµ mét sè vÝ dô “ x©y dùng thªm c¸c
bµi to¸n vÒ d·y sè cã tÝnh quy luËt “ chØ mang
tÝnh chÊt tham kh¶o.               T¸c gi¶ mong muèn b¹n ®äc
t×m hiÓu vµ ph¸t triÓn réng h¬n c¸c bµi to¸n kh¸c
vÒ d·y sè
VÝ dô 1:               XuÊt ph¸t tõ ph-¬ng tr×nh
              1   9  0     2
                                           8  9  0          (12.1)



                                          19
ph-¬ng tr×nh (12.1) cã thÓ ®-îc coi lµ ph-¬ng
tr×nh ®Æc tr-ng cña mét d·y sè cã quy luËt. Ch¼ng
h¹n d·y sè un ®-îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau

                               un2  8.un1  9.un  0
cã thÓ cho u0  2, u1  8 . Ta cã thÓ ph¸t biÓu thµnh
c¸c bµi to¸n sau
Bµi to¸n 1:       Cho d·y sè xn x¸c ®Þnh nh- sau

                        xn 2  8.xn1  9.xn  0
                                                        n N
                        x0  2, x1  8
X¸c ®Þnh c«ng thøc cña d·y sè xn
Bµi to¸n 2:       Cho d·y sè xn x¸c ®Þnh nh- sau

                        xn 2  8.xn1  9.xn  0
                                                        n N
                        x0  2, x1  8
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A  x2006  5.x2007  4
VÝ dô 2:          XuÊt ph¸t tõ ph-¬ng tr×nh

               1        0   2  2  1  0
                       2
                                                            (12.2)
ph-¬ng tr×nh (12.2) cã thÓ ®-îc coi lµ ph-¬ng
tr×nh ®Æc tr-ng cña mét d·y sè cã quy luËt. Ch¼ng
h¹n d·y sè un ®-îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau

                                un2  2.un1  un  2
cã thÓ cho u0  1, u1  0 khi ®ã vËn dông thuËt to¸n
trªn x¸c ®Þnh ®-îc c«ng thøc tæng qu¸t cña d·y sè
                                    xn   n  1
                                                    2




 Ta cã thÓ ph¸t biÓu thµnh c¸c bµi to¸n sau




                                         20
Bµi to¸n 1:   X¸c ®Þnh c«ng thøc cña d·y sè xn tho¶
m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau
                 xn 2  2 xn1  xn  2
                                         n N
                 x0  1, x1  0
Bµi to¸n 2:   Cho d·y sè xn x¸c ®Þnh nh- sau
                 xn 2  2 xn1  xn  2
                                         n N
                 x0  1, x1  0
Chøng minh r»ng xn lµ mét sè chÝnh ph-¬ng
Bµi to¸n 3:   Cho d·y sè xn x¸c ®Þnh nh- sau
                 xn 2  2 xn1  xn  2
                                          n N
                 x0  1, x1  0
X¸c ®Þnh sè tù nhiªn n sao cho
                         xn1  xn  22685




                 KÕt luËn- kiÕn nghÞ

     Tr¶i qua thùc tiÔn gi¶ng d¹y, néi dung c¸c bµi
gi¶ng liªn quan ®Õn ®Ò tµi vµ cã sù tham gia gãp ý
cña ®ång nghiÖp, vËn dông ®Ò tµi vµo gi¶ng dËy ®·
thu ®-îc mét sè kÕt qu¶ nhÊt ®Þnh sau :




                                21
      1) Häc sinh trung b×nh trë lªn n¾m v÷ng    ®-îc
        mét sè ph-¬ng ph¸p vµ biÕt vËn dông ë d¹ng
        c¬ b¶n x¸c ®Þnh ®-îc c«ng thøc cña d·y sè
      2) Mét sè ®Ò thi häc sinh giái, Häc sinh líp
        chän cã thÓ sö dông ph-¬ng ph¸p tr×nh bµy
        trong ®Ò tµi ®Ó gi¶i bµi to¸n
      3) Lµ mét ph-¬ng ph¸p tham kh¶o cho häc sinh
        vµ c¸c thÇy c« gi¸o
      4) Qua néi dung ®Ò tµi, ®ång nghiÖp cã thÓ x©y
        dùng thªm c¸c bµi to¸n vÒ d·y sè
      X©y dùng ph-¬ng ph¸p gi¶ng dËy theo quan ®iÓm
®æi míi lµ viÖc mµ toµn x· héi vµ nghµnh ®ang quan
t©m. Tuy nhiªn, trong mét sè líp bµi to¸n bËc THPT
ta cã thÓ sö dông mét sè kÕt qu¶ cña to¸n häc hiÖn
®¹i   ®Ó x©y dùng ph-¬ng ph¸p gi¶i to¸n s¬ cÊp lµ
mét vÊn ®Ò Ýt ®-îc chó ý. Qua néi dung ®Ò tµi t¸c
gi¶ mong muèn cã sù t×m hiÓu s©u h¬n vÒ mèi quan
hÖ gi÷a “To¸n häc hiÖn ®¹i” vµ    “Ph-¬ng ph¸p to¸n
s¬ cÊp ”.   Qua ®ã ta cã thÓ t×m ®-îc ph-¬ng ph¸p
gi¶i, x©y dùng   c¸c líp   bµi to¸n ë bËc THPT




                           22
                        Tµi liÖu tham kh¶o
1) Lª §×nh ThÞnh- Lª §×nh §Þnh ,                         Ph-¬ng ph¸p sai
   ph©n.       Nhµ xuÊt b¶n §¹i Häc Quèc Gia Hµ Néi 2004
2) TuyÓn tËp ®Ò thi OLYMPIC 30 – 4 M«n To¸n                                 LÇn
   thø V,           Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o Dôc
3) TuyÓn tËp ®Ò thi OLYMPIC 30 – 4 M«n To¸n                                 LÇn
   thø VII-2002 ,              Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o Dôc
4) T¹p trÝ To¸n Häc vµ Tuæi TrÎ                        Sè 356 ,               Nhµ
   xuÊt b¶n Gi¸o Dôc
5) TrÇn ChÝ HiÕu – NguyÔn Danh Phan TuyÓn chän c¸c
   bµi to¸n PTTH §¹i sè vµ gi¶i tÝch 11,                                    Nhµ
   xuÊt b¶n Gi¸o Dôc
6) NguyÔn V¨n MËu , Mét sè bµi to¸n chän läc vÒ d·y
   sè ,       Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o Dôc - 2003



Trị đặc trưng và vector đặc trưng
23 tháng 10, 2007

Eigenvalues và eigenvectors xuất hiện cực kỳ nhiều trong các ngành khoa học và kỹ
thuật: Vật Lý, xác suất thống kê, KHMT, lý thuyết đồ thị, v.v. Để hiểu ý nghĩa của
chúng, có hai hướng nhìn thông dụng, áp dụng được trong rất nhiều trường hợp.

1. Loại động cơ (motivation) thứ nhất.

Trong nhiều ứng dụng ta thường phải làm phép tính sau đây: cho trước một ma trận A và
nhiều vectors x, tính       với nhiều giá trị khác nhau của số mũ . Ví dụ 1: nếu A là ma
trận của một phép biến đổi tuyến tính (linear transformation) nào đó, như phép quay và
co dãn trong computer graphics chẳng hạn, thì         cho ra kết quả của phép BĐTT này
áp dụng k lần vào x. Các games máy tính hay các annimations trong phim của
Hollywood có vô vàn các phép biến đổi kiểu này. Mỗi một object trong computer
graphics là một bộ rất nhiều các vector x. Quay một object nhiều lần là làm phép nhân
      với từng vectors x biểu diễn object đó. Khối lượng tính toán là khổng lồ, dù chỉ
trong không gian 3 chiều. Ví dụ 2: nếu A là transition matrix của một chuỗi Markov rời
rạc và x là distribution của trạng thái hiện tại, thì    chính là distribution của chuỗi



                                          23
Markov sau k bước. Ví dụ 3: các phương trình sai phân (difference equation) như kiểu
phương trình                                  cũng có thể được viết thành dạng       để
tính  với k tùy ý. Ví dụ 4: lũy thừa của một ma trận xuất hiện tự nhiên khi giải các
phương trình vi phân, xuất hiện trong khai triển Taylor của ma trận     chẳng hạn.

Tóm lại, trong rất nhiều ứng dụng thì ta cần tính toán rất nhanh lũy thừa của một ma
trận vuông, hoặc lũy thừa nhân một vector.

Mỗi ma trận vuông đại diện cho một phép BĐTT nào đó. Lũy thừa bậc k của ma trận đại
diện cho phép biến đổi này áp dụng k lần. Ngược lại, bất kỳ phép BĐTT nào cũng có thể
được đại diện bằng một ma trận. Có rất nhiều ma trận đại diện cho cùng một BĐTT, tùy
theo ta chọn hệ cơ sở nào. Mỗi khi ta viết một vector dưới dạng                    là ta đã
ngầm định một hệ cơ sở nào đó, thường là hệ cơ sở trực chuẩn                   ,
                , và                . Các tọa độ 3, -2, 5 của x là tương ứng với tọa độ
của x trong hệ cơ sở ngầm định này.

Hệ cơ sở             như trên thường được dùng vì ta “dễ” hình dùng chúng trong không
gian n chiều, chúng là sản phẩm phụ của hệ tọa đồ Descartes cổ điển hay dùng trong
không gian 2 chiều. Tuy nhiên, khi áp dụng một phép BĐTT thì các vectors
thường cũng bị biến đổi theo luôn, rất bất tiện nếu ta phải tính   cho nhiều giá trị k
và x khác nhau.

Bây giờ, giả sử ta tìm được hướng độc lập tuyến tính và bất biến qua phép BĐTT đại
diện bởi A. (Đây là giả sử rất mạnh, may mà nó lại thường đúng trong các ứng dụng kể
trên.) Dùng vector để biểu diễn hướng thứ . Bất biến có nghĩa là áp dụng A vào
hướng nọ thì hướng không đổi. Cụ thể hơn, BĐTT A làm hướng “bất biến” nếu
             với là một con số (scalar) thực hoặc phức nào đó (dù ta giả sử A là thực).
Do các hướng này độc lập tuyến tính, một vector x bất kỳ đều viết được dưới dạng




Nếu ta lấy        làm hệ cơ sở thì cái hay là có áp
dụng A bao nhiêu lần thì cũng không đổi hướng của
các vectors trong hệ cơ sở! Điều này rất tiện lợi,
bởi vì


Như vậy, thay vì tính lũy thừa bậc cao của một ma
trận, ta chỉ cần tính lũy thừa của n con số và làm
một phép cộng vectors đơn giản. Các giá trị   là các
trị đặc trưng (eigenvalues) của A, và các vectors
là các vector đặc trưng (eigenvectors).




                                           24
Tiếp tục với giả thiết rất mạnh là n eigenvectors độc lập tuyến tính với nhau. Nếu ta bỏ
các vectors này vào các cột của một ma trận , và các eigenvalues lên đường chéo của
một ma trận thì ta có                   . Trong trường hợp này ma trận A có tính
diagonalizable (chéo hóa được). Diagonalizability và sự độc lập tuyến tính của n
eigenvectors là hai thuộc tính tương đương của một ma trận. Ngược lại, ta cũng có
               , và vì thế lũy thừa của A rất dễ tính:                do lũy thừa của một
ma trận đường chéo rất dễ tính.

Cụm từ “khả năng đường chéo hóa được” (diagonalizability) nghe ghê răng quá, có
bạn nào biết tiếng Việt là gì không?

Nếu ta biết được các eigenvectors và eigenvalues của một ma trận thì — ngoài việc tính
lũy thừa của ma trận — ta còn dùng chúng vào rất nhiều việc khác, tùy theo ứng dụng ta
đang xét. Ví dụ: tích các eigenvalues bằng với định thức, tổng bằng với trace, khoảng
cách giữa eigenvalue lớn nhất và lớn nhì của transition matrix của một chuỗi Markov đo
tốc độ hội tụ đến equilibrium (mixing rate) và eigenvector đầu tiên là steady state
distribution, vân vân.

Quay lại với cái “giả thiết rất mạnh” ở trên. Có một loại ma trận mà giả thiết này đúng;
và hơn thế nữa, ta có thể tìm được các eigenvectors vuông góc nhau, đó là các normal
matrices. Rất nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật cho ta các normal matrices.
Các trường hợp đặc biệt thường thấy là các ma trận (thực) đối xứng và các ma trận
Hermitian (đối xứng theo nghĩa phức).

Còn các ma trận không thỏa mãn “giả thiết rất mạnh” này, nghĩa là không
diagonalizable, thì làm gì với chúng? Ta có thể tìm cách làm cho chúng rất “gần” với
một ma trận đường chéo bằng cách viết chúng thành dạng chuẩn Jordan. Đề tài này nằm
ngoài phạm vi bài đang viết.

2. Loại động cơ (motivation) thứ hai.

Trong rất nhiều ứng dụng, ta “được” làm việc với một ma trận đối xứng: nó có đủ bộ
eigenvectors, do đó diagonalizable và vì thế có thể thiết kế các thuật toán hiệu quả cho
các bài toán tương ứng. Không những đối xứng, chúng còn có một thuộc tính mạnh hơn
nữa gọi là positive (semi) definite, nghĩa là các eigenvalues đều không âm. Ví dụ 1: bài
toán least squares          có ứng dụng khắp nơi (linear regression trong statistics chẳng
hạn) dẫn đến ma trận symmetric positive (semi) definite          . Ví dụ 2: bài toán xác
định xem một một điểm tới hạn của một hàm đa biến bất kỳ có phải là điểm cực tiểu hay
không tương đương với xác định xem ma trận đối xứng Hessian của các đạo hàm bậc hai
tại điểm này là positive definite. Ví dụ 3: ma trận covariance của một random vector
(hoặc một tập hợp rất nhiều sample vectors) cũng là positive (semi) definite.

Nếu A là một ma trận symmetric positive definite thì ta có thể hiểu các eigenvectors và
eigenvalues theo cách khác. Bất phương trình




trong đó c là một hằng số dương là một bất phương


                                           25
trình bậc 2 với n biến        (các tọa độ của
vector x). Nghiệm của nó là các điểm nằm trong một
hình e-líp trong không gian n chiều (Ellipsoid) mà
n trục của ellipsoid chính là hướng của các
eigenvectors của A, và chiều dài các trục tỉ lệ
nghịch với eigenvalue tương ứng (tỉ lệ với nghịch
đảo của căn của eigenvalue). Đây là trực quan hình
học phổ biến thứ hai của eigenvectors và
eigenvalues.

Trong trường hợp của Principal Component Analysis (PCA) như có bạn đã hỏi trong
phần bình luận bài tư duy trừu tượng, thì ta có thể hiểu nôm na về sự xuất hiện của
eigen-vectors/values như sau. Giả sử ta có một đống các sample vectors (data points)
trên một không gian n chiều nào đó. Các tọa độ là exponentially distributed (Gaussian
noise chẳng hạn). Thì đa số các vectors này tập trung trong một ellipsoid định nghĩa bởi
covariance matrix (positive semi-definite). Trục dài nhất của ellipsoid là trục có variance
cao nhất, nghĩa là SNR cao. Trục này chỉ cho ta hướng biến thiên quan trọng nhất của
data. PCA lấy các trục của ellipsoid làm hệ cơ sở, sau đó lấy k trục dài nhất làm
principal components để biểu diễn data. (Dĩ nhiên, ta phải shift cái mean về gốc tọa độ
trước khi đổi hệ cơ sở.)

Ngô Quang Hưng | Đề tài: Toán Ứng Dụng | |         In bài này


                      Solution to Difference Equation
                                     < Contents | Previous | Next >



        A solution of a difference equation is an expression (or formula) that mak
        the difference equation true for all values of the integer variable k. The
        nature of a difference equation allows the solution to be calculated
        recursively . It is easier to see the solution of the difference equation
        through algebraic equation.

        Example:

        We have difference equation                                with initial value         .

        Then we can determine set the

        k = 0:                                 initial value




                                           26
k = 1:

k = 2:

k = 3:




k = 4:

…

k = n:



However, the series                            has a closed-form of




Thus the solution of the difference equation                   with initial
value    is




See: Numerical Example




                           27

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:158
posted:11/20/2011
language:Vietnamese
pages:27
muoitt9 muoitt9
About