Modul Matematika TKJ Vektor by EntaahLaah

VIEWS: 395 PAGES: 13

									                                     VEKTOR

Besaran fisis dapat dikelompokkan dalam dua golongan besar, yaitu besaran skalar dan
besaran vektor.
(a) Besaran skalar adalah besaran yang cukup dinyatakan oleh sebuah bilangan dengan
    satuannya yang sesuai, misalnya, panjang, luas, volume, massa, waktu, dan
    sebagainya. Sekali satuannya ditetapkan, besaran skalar sepenuhnya ditentukan oleh
    ukuran atau besarnya (magnitude) saja.
(b) Besaran vektor baru terdefinisi dengan lengkap jika di samping besar (dengan
    satuan)-nya juga diketahui arah ke mana ia beroperasi, misalnya, gaya, kecepatan,
    percepatan. Besaran vektor perlu melibatkan arah (direction) di samping besar
    (magnitude).
Contoh : laju sebesar 10 km/jam adalah besaran skalar, tetapi kecepatan sebesar
10 km/jam ke Utara adalah besaran vektor.

Sebuah gaya F yang bekerja di titik P adalah besaran vektor, karena untuk
menceritakannya secara lengkap kita harus memberikan besarnya dan juga arahnya.


                                      F


                              P
Dengan demikian :
(i)   Temperatur 100o C adalah besaran ……..
(ii)  Percepatan sebesar 9,8 m/det2 vertikal ke bawah adalah besaran …….
(iii) Berat suatu massa yang besarnya 7 kg adalah besaran ……
(iv)  Uang sejumlah Rp. 500 adalah besaran …..
(v)   Angin 20 knot yang bergerak ke arah timur laut adalah besaran ……

Penggambaran Vektor
Suatu besaran vektor secara grafis dapat dinyatakan dengan sebuah garis yang
digambarkan sedemikian rupa sehingga :
(i)   panjang garis tersebut menyatakan besar dari besaran vektor yang dimaksud,
      menurut skala vektor yang ditetapkan dahulu.
(ii)  Arah garis tersebut menunjukkan ke arah mana besaran vektor itu bekerja.
      Penunjukan arah ini dinyatakan dengan kepala anak panah.

Sebagai contoh, sebuah gaya horizontal sebesar 35 N yang berarah ke kanan dinyatakan
dengan garis                       . Bila dipilih skala vektor 1 cm  10 N, maka panjang
garis tersebut haruslah 3,5 cm.
Besaran vektor AB dituliskan sebagai : AB atau a
Besar dari besaran vektor tersebut dituliskan sebagai |AB| atau |a|, atau cukup dengan AB
atau a saja (yaitu tanpa tanda garis di atasnya). Perhatikan bahwa BA menyatakan
besaran vektor lain yang besarnya sama, tetapi arahnya berlawanan.


                                           1
                                B                 B

                       a

               A           AB = a       A       BA = - AB = - a

Kesamaan dua vektor
Jika dua buah vektor, a dan b, dikatakan sama, maka kedua vektor tersebut memiliki
besar dan arah yang sama.
Jika a = b, maka :
        (i)    a = b (besar sama)
        (ii)   arah a = arah b, yaitu kedua vektor tersebut sejajar dan searah.
Serupa dengan itu, jika dua vektor a dan b, memiliki hubungan b = - a, maka :
        (i)    besarnya sama
        (ii)   kedua vektor sejajar tetapi berlawanan arah.


 a      b                   a       b                 a   b               a   b

vektor yang sama, vektor yang mempunyai         vektor yang mem-    vektor yang mem-
a=b               panjang sama tetapi           punyai arah sama,   punyai panjang dan
                  dengan arah berbeda           panjang berbeda     arah berbeda

Secara grafik setiap vektor dapat dinyatakan sebagai suatu tanda panah dengan panjang
dan arah yang sesuai, maka bagian ekor panah merupakan titik awal vektor dan bagian
akhirnya merupakan titik ujung vektor.
Dengan demikian :
       Suatu segmen garis terarah dinamakan vektor.
       Panjangnya dinamakan panjang vektor
       Arahnya dinamakan arah vektor.
       Titik awal segmen berarah disebut titik awal vektor
       Titik ujung segmen disebut titik ujung vektor.
Suatu vektor yang panjangnya 1 dinamakan vektor satuan.

Jenis-jenis vektor
(i)    Vektor posisi AB terjadi jika titik A tetap.
(ii)   Vektor garis yaitu vektor yang boleh digeserkan sepanjang garis kerjanya,
       misalnya gaya mekanik yang bekerja pada suatu benda.
(iii) Vektor bebas tidak dibatasi oleh apapun. Vektor ini terdefinisi sepenuhnya oleh
       besar dan arahnya dan dapat digambarkan sebagai sekumpulan garis sejajar yang
       sama panjang.




                                            2
Penjumlahan Vektor
Hasil jumlah dua buah vektor, AB dan BC, didefinisikan sebagai sebuah vektor resultan
AC atau vektor yang setara dengan AC.
Jadi untuk memperoleh hasil jumlah dua vektor a dan b, kita gambarkan kedua vektor
tersebut secara berantai, yang kedua dimulai dari ujung yang pertama : hasil jumlahnya,
c, diberikan oleh sebuah vektor yang menghubungkan pangkal vektor pertama dengan
ujung vektor kedua.
                                         C

                            c
                                       b

              A         a          B

Sebagai contoh :
Jika p  sebuah gaya yang besarnya 40 N dan berarah ke Timur
Dan q  sebuah gaya yang besarnya 30 N dan berarah ke Utara, maka besar vektor
jumlah kedua gaya tersebut, yaitu r adalah 50 N, karena :
                             r2 = p2 + q2
           r         q          = 1600 + 900 = 2500
                             r = 2500 = 50 N

           p
Penjumlahan beberapa vektor , misalnya a + b + c +d adalah hasil jumlah keseluruhan
vektor, a, b, c, d, dan merupakan sebuah vektor yang menghubungkan pangkal vektor
pertama dengan ujung vektor terakhir dalam hal ini AE. Hasil ini diperoleh langsung
berdasarkan definisi kita tentang penjumlahan dua vektor.
                              E
                                   d
                                       D
                                     c
                    A
                        a            C
                              b
                         B
Serupa dengan itu, PQ + QR + RS + ST = PT
Misalkan dalam suatu persoalan kita harus mencari jumlah vektor a, b, c, d, e. Setelah
kita gambarkan diagram vektornya, kita dapatkan bahwa diagram yang diperoleh
membentuk gambar tertutup, maka jumlah vektor a + b + c + d + e = 0.
                                                            D
                                         d                  c
                            E
                                                              C
                          e                               b
                                     a
                          A                        B


                                           3
Karena, jumlah vektor diberikan oleh sebuah vektor setara yang menghubungkan pangkal
vektor pertama dengan ujung vektor terakhir. Jika diagram vektor itu membentuk gambar
tertutup, ujung vektor terakhir berimpit dengan pangkal vektor pertama, sehingga vektor
resultannya merupakan sebuah vektor yang tidak mempunyai besar.

Contoh 1. AB + BC + CD + DE + EF = AF
          Tanpa menggambarkan diagramnyapun dapat kita lihat bahwa vektor vektor
          tersebut telah tersusun berantai, masing-masing vektor berpangkal di ujung
          vektor sebelumnya. Karena itu jumlah vektornya langsung diberikan oleh
          vektor yang menghubungkan pangkal vektor yang pertama dengan ujung
          vektor yang terakhir.
          Dengan penalaran serupa, maka : AK + KL + LP + PQ = AQ.

Contoh 2. AB – CB + CD – ED = AE
          Ingat - CB = BC, yaitu besarnya sama, arahnya sejajar tetapi berlawanan.
          Demikian juga – ED = DE. Jadi AB – CB + CD – ED = AB + BC + CD + DE
          = AE.

Contoh 3. AB + BC – DC – AD = 0
          Karena AB + BC – DC – AD = AB + BC + CD + DA = AA = 0 dan ujung
          penulisan hurufnya menunjukkan bahwa ujung vektor yang terakhir berimpit
          dengan pangkal vektor yang pertama. Jadi diagram vektornya membentuk
          gambar tertutup, karena itu jumlah vektornya sama dengan 0.

Latihan soal :
Carilah hasilnya :
1. PQ + QR + RS + ST = …….
2. AC + CL – ML = ………
3. GH + HJ + JK + KL + LG = …….
4. AB + BC + CD + DB = ……….

Komponen-komponen sebuah vektor
Seperti halnya AB + BC + CD + DE dapat digantikan oleh AE, maka sembarang vektor
PT dapat digantikan dengan sejumlah vektor komponen asalkan komponen-komponen
tersebut membentuk rantai diagram vektor yang berpangkal di P dan berakhir di T, yaitu

                   b                  c

                                                      PT = a + b + c + d

           a                              d

               P                           T




                                          4
Contoh.
ABCD adalah sebuah segi empat. Titik G terletak di tengah-tengah AD dan titik H di
tengah-tengah BC. Tunjukkanlah bahwa AB + DC = 2 GH.
                         A                       B
                        G
                                                    H
                      D                               C

Vektor AB dapat diganti dengan rangkaian vektor apa saja asalkan dimulai di A dan
berakhir di B. Jadi dapat kita katakan AB = AG + GH + HB.
Serupa dengan itu, dapat kita katakan juga DC = DG + GH + HC, sehingga kita peroleh :
                AB = AG + GH + HB
                DC = DG + GH + HC
Jadi AB + DC = AG + GH + HB + DG + GH + HC
                = 2 GH + (AG + DG) + (HB + HC)
G adalah titik tengah AD, karena itu vektor AG dan DG sama panjang, tetapi berlawanan
arah. Jadi DG = - AG. Serupa dengan itu, HC = - HB
Jadi AB + DC = 2 GH + (AG - AG) + (HB - HB) = 2 GH

Latihan soal :
1. Dalam suatu segitiga ABC, titik L, M, N berturut-turut adalah titik tengah sisi AB, BC,
   CA. Tunjukkanlah bahwa :
   a. AB + BC + CA = 0
   b. 2 AB + 3 BC + CA = 2 LC
   c. AM + BN + CL = 0

2. Dalam segi empat ABCD, P dan Q berturut-turut adalah titik tengah diagonal AC dan
   BD. Tunjukkanlah bahwa AB + AD + CB + CD = 4 PQ.
                    B                    C


                                P       Q


                    A                                  D

3. Buktikanlah dengan cara vektor bahwa garis yang menghubungkan dua titik tengah sisi
   suatu segi tiga sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya hanya setengahnya.
                                    A


                            D               E


                        B                          C



                                            5
Komponen-komponen vektor dinyatakan dalam vektor satuan
 Y
                               Vektor OP didefinisikan oleh besarnya (r) dan
             P                  arahnya (). Vektor ini dapat pula dinyatakan
       r                        dalam kedua komponennya dalam arah OX
            b                 dan OY.
 O                     X
          a
Maksudnya, OP setara dengan sebuah vektor a dalam arah OX + sebuah vektor b dalam
arah OY, yaitu OP = a (sepanjang OX) + b (sepanjang OY)

Jika kita definisikan i sebagai vektor satuan dalam arah OX, maka a = ai

Demikian juga, jika kita definisikan j sebagai vektor satuan dalam arah OY, maka b = bj

Dengan demikian vektor OP dapat dituliskan sebagai r = a i + b j , dengan i dan j
adalah vektor satuan dalam arah OX dan OY.
Setelah kita definisikan vektor satuan seperti di atas, dalam prakteknya kita tidak akan
menuliskan lagi garis di atas i dan j, supaya tampak lebih bersih. Tetapi ingat, keduanya
adalah vektor.
Misalkan, z1 = 2i + 4j dan z 2 = 5i + 2j
Untuk mendapatkan z1 + z 2 , gambarkanlah kedua vektor tersebut secara berantai, yaitu
jumlah komponen vektor sepanjang OX dan jumlah komponen vektor sepanjang OY.
Tentu saja hal ini dapat kita lakukan tanpa bantuan diagram, yaitu :
        z1 + z 2 = 2i + 4j + 5i + 2j = 7i + 6j
Dengan jalan yang sama z1 - z 2 = - 3i + 2j
Demikian pula, jika z1 = 5i – 2j ; z 2 = 3i + 3j ; z3 = 4i – j, maka
(i)     z1 + z 2 + z3 = 5i – 2j +3i +3j +4i – j = (5+3+4)i + (3-2-1)j = 12i
(ii)    z1 - z 2 - z3 = (5i – 2j) – (3i +3j) – (4i – j) = (5-3-4)i + (-2-3+1)j = -2i –4j

Vektor dalam ruang
Sumbu-sumbu kerangka acuan didefinisikan menurut kaidah ‘tangan kanan’.
OX, OY, OZ membentuk sistem koordinat kanan jika rotasi (putaran) dari OX ke OY
menyebabkan suatu sekrup-kanan bergerak ke arah OZ positif. Serupa halnya, rotasi dari
OY ke OZ menyebabkan sekrup tangan kanan bergerak ke arah OX positif.




                                               6
Vektor OP didefinisikan oleh komponen-komponennya.
        a sepanjang OX
        b sepanjang OY
        c sepanjang OZ
Misalkan i = vektor satuan dalam arah OX
           j = vektor satuan dalam arah OY
           k = vektor satuan dalam arah OZ
sehingga OP = ai + bj + ck
juga OL2 = a2 + b2 dan OP2 = OL2 + c2
        OP2 = a2 + b2 + c2.
Jadi jika r = ai + bj + ck, maka r = (a2 + b2 + c2)
Cara ini memberikan jalan yang mudah untuk memperoleh besar vektor yang dinyatakan
dalam vektor satuan.


.




Contoh : Jika PQ = 4i + 3j + 2k, maka |PQ| = 29 =5,385

Cosinus arah
Arah suatu vektor dalam tiga dimensi ditentukan oleh sudut yang dibentuk dengan ketiga
sumbu kerangka acuan.
                                  Misalkan OP = r = ai + bj + ck, maka :
                                  a/r = cos             Jadi a = r cos 
                                  b/r = cos                  b = r cos 
                                  c/r = cos                  c = r cos 
                                         2    2    2    2
                                  Juga a + b + c = r
                                  Jadi r2 cos2  + r2 cos2  + r2 cos2  = r2
                                  Jadi cos2  + cos2  + cos2  = 1
                                  Jika l = cos ; m = cos  dan n = cos , maka
                                  l2 + m2 + n2 = 1.
                                  Catatan : [l,m,n] dituliskan dalam kurung siku
                                  disebut cosinus arah vektor OP . Masing-masing
                                  menyatakan harga cosinus dari sudut yang dibentuk
                                  oleh vektor tersebut dengan ketiga sumbu kerangka
                                  acuan.




                                          7
Contoh :
Tentukanlah cosinus arah [l,m,n] dari vektor : r = 3i – 2j + 6k.
Jawab :
         a = 3; b = -2;   c=6
         r = (9+4+36) = 49 = 7
         l = 3/7
        m = - 2/7
        n = 6/7


Perkalian skalar antara dua vektor
Jika A dan B adalah dua buah vektor, maka perkalian skalar antara A dan B didefinisikan
sebagai A.B. cos , dengan A dan B adalah besar vektor A dan B, dan  adalah sudut
yang diapit oleh kedua vektor tersebut.

                                      Perkalian skalar dinyatakan dengan A . B (karena
                                      itu kadang-kadang disebut juga perkalian titik).
                                      Dalam masing masing hal, hasil kalinya merupakan
                                      besaran skalar.
                                      Jadi A . B = A B cos 
                                                 = A x proyeksi B pada A
                                           atau = B x proyeksi A pada B
Contoh :

                                                                                 1    35 2
                                       OA . OB  OA.OB cos  5.7 cos45o  35.      
                                                                                  2     2




Bagaimana halnya dengan kasus berikut :


                               Perkalian skalar antara a dan b = a . b = 0
                               Karena dalam hal ini, a . b = a.b.cos 90o = a.b.0 = 0
                               Jadi perkalian skalar antara dua vektor yang saling tegak
                               lurus selalu sama dengan nol.

                               Dan untuk kasus yang berikut, dengan kedua vektornya
                               berarah sama,  = 0, maka a . b = a.b.cos 0o = a.b.1 = a.b




                                             8
Jika kedua vektor semula kita nyatakan dalam vektor satuan, yaitu :
         A = a1 i + b1 j + c1 k
         B = a2 i + b2 j + c2 k
Maka :
   A . B = (a1 i + b1 j + c1 k).( a2 i + b2 j + c2 k)
        = a1a2i.i + a1b2i.j + a1c2i.k + b1a2j.i + b1b2j.j + b1c2j.k + c1a2k.i + c1b2k.j + c1c2k.k
Karena i.i = 1.1 cos 0o = 1, jadi i.i = 1; j.j = 1; k.k = 1 dan juga
        i.j = 1.1 cos 90o = 0, jadi i.j = 0; j.k = 0; k.i = 0
maka A . B dapat disederhanakan menjadi :

                         A . B = a1a2 + b1b2 + c1c2

Yaitu kita hanya tinggal menjumlahkan hasil kali koefisien-koefisien vektor satuan
sepanjang sumbu yang bersesuaian.
Sebagai contoh, jika A = 2i + 3j + 5k dan B = 4i + 1j + 6k, maka
       A . B = 2.4 + 3.1 + 5.6 = 8 + 3 + 30 = 41

Perkalian vektor antara dua vektor
Perkalian vektor antara vektor A dan B dituliskan sebagai A x B (kadang-kadang disebut
juga perkalian silang) dan didefinisikan sebagai vektor yang mempunyai besar AB sin ,
dengan  adalah sudut yang diapit oleh kedua vektor semula. Arah vektor hasil kalinya
tegak lurus kepada A dan B sedemikian rupa sehingga A . B dan (A x B) – dalam urutan
ini – membentuk sistem kanan.

                                      |( A x B )| = A B sin 
                                      Perhatikan bahwa arah rotasi B x A berlawanan
                                      sehingga vektor hasil kalinya berarah kebawah yaitu
                                      (B x A) = - ( A x B)
                                      Jika  = 0o , maka |( A x B )| = A B sin 0o = 0
                                      Jika  = 90o , maka |( A x B )| = A B sin 90o = AB



Jika A dan B dinyatakan dalam vektor satuan, maka
 A x B = (a1 i + b1 j + c1 k) x ( a2 i + b2 j + c2 k)
         = a1a2ixi+a1b2ixj+a1c2ixk+b1a2jxi+b1b2jxj+b1c2jxk+c1a2kxi+c1b2kxj+c1c2kxk
Tetapi i x i = 1.1 sin 0o = 0, jadi i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0 dan juga
        i x j = 1.1 sin 90o = 1 dalam arah OZ, yaitu i x j = k
        Jadi i x j = k; j x k = i; k x i = j
Ingat juga bahwa I x j = - (j x I); j x k = - (k x j); k x I = - (I x k) karena arah rotasinya
dibalik
Sehinga
              A x B = (b1c2 – b2c1)i + (a2c1 – a1c2)j + (a1b2 – a2b1)k


                                                9
Jika dijabarkan dalam bentuk determinan, akan berbentuk sebagai berikut :

                               i       j        k
                     A x B  a1        b1       c1
                               a2      b2       c2

Dan itulah jalan termudah untuk menuliskan perkalian vektor antara dua buah vektor.
Perhatikan :
(i)    baris teratas memuat vektor satuan dalam urutan i,j,k
(ii)   baris kedua memuat koefisien-koefisien vektor A
(iii) baris ketiga memuat koefisien-koefisien vektor B

Contoh : Jika P = 2i + 4j + 3k dan Q = 1i + 5j – 2k, pertama –tama tuliskan dahulu
         determinan yang menyatakan perkalian vektor P x Q .

                                   i    j       k
                       P xQ  2 4               3   23i  7 j  6k
                                 1 5 2
Latihan : Tentukanlah perkalian vektor antara P dan Q, jika
                     P = 3i – 4j + 2k
                     Q = 2i + 5j – 1k

Sedikit mengulang :
(i)     Perkalian skalar (‘perkalian titik’)
        A. B = A B cos  adalah besaran skalar

(ii)   Perkalian vektor (‘perkalian silang’)
       Vektor yang besarnya AB sin  dan berarah sedemikian rupa sehingga A, B,
       (AxB) membentuk suatu sistem kanan. Juga

                                            i        j    k
                           A x B  a1               b1    c1
                                        a2          b2    c2




                                                     10
Sudut antara dua vektor
Misalkan A adalah sebuah vektor dengan cosinus arah [l,m,n] dan B adalah vektor lain
dengan cosinus arah [l’,m’,n’]. Kita ingin mengetahui berapakah sudut antara kedua
vektor ini.

                                  Misalkan OP dan OP ' adalah vektor satuan yang
                                  masing-masing sejajar dengan A dan B . Maka
                                  koordinat P adalah (l,m,n) dan koordinat P’ adalah
                                  (l’,m’,n’), sehingga :
                                  (PP’)2 = (l-l’)2 + (m-m’)2 + (n-n’)2
                                         =(l2+m2+n2)+(l’2+m’2+n’2)-2(ll’+mm’+nn’)
                                  Tetapi (l2+m2+n2)=1 dan (l’2+m’2+n’2) = 1 seperti
                                  pernah dibuktikan sebelumnya. Jadi
                                  (PP’)2 = 2 - 2(ll’+mm’+nn’)
                                  Juga dengan rumus cosinus, diperoleh :
                                  (PP’)2 = OP2 + OP’2 – 2 OP.OP’.cos 
                                              = 1 + 1 – 2.1.1 cos  = 2 – 2 cos 
                                      OP dan OP’ adalah vektor satuan.

Sehingga dari kedua rumus (PP’)2 diperoleh :
            2 - 2(ll’+mm’+nn’) = 2 – 2 cos 

                          cos  = (ll’+mm’+nn’)

yaitu sekedar menjumlahkan perkalian cosinus arah yang bersesuaian dari kedua vektor
yang diketahui. Jadi, jika [l,m,n] = [0,5 0,3 -0,4] dan [l’,m’n’] = [0,25 0,6   0,2]
maka sudut antara kedua vektor ini adalah :
              cos  = ll’ + mm’ + nn’
                    = (0,5)(0,25) + (0,3)(0,6) + (-0,4)(0,2)
                    = 0,125 + 0,18 – 0,08 = 0,225
                   = 77o

Perhatikan :
Untuk dua vektor yang sejajar  = 0o, ll’ + mm’ + nn’ = 1
Untuk dua vektor yang saling tegak lurus,  = 90o, ll’ + mm’ + nn’ = 0

Contoh :
Tentukanlah sudut antara vektor : P = 2i + 3j + 4k dan Q = 4i – 3j + 2k
Jawab :
Pertama-tama, tentukanlah cosinus arah vektor P.
    r = (4+9+16) = 29


                                           11
    l = a/r = 2/29
   m = b/r = 3/29
   n = c/r = 4/29
   Jadi [l,m,n] = [2/29, 3/29, 4/29]
Sekarang, tentukanlah cosinus arah vektor Q[l’,m’,n’] dengan jalan serupa.
    r’ = (16+9+4) = 29
    l’ = a/r = 4/29
   m’ = b/r = -3/29
   n’ = c/r = 2/29
   Jadi [l’,m’,n’] = [4/29, -3/29, 2/29]
Gunakan cos  = ll’ + mm’ + nn’ = 8/29 – 9/29 + 8/29 = 7/29 = 0,2414
               = 76o2’

Rangkuman
1. Besaran skalar hanya mempunyai besar (magnitude) saja, besaran vektor mempunyai
   baik besar maupun arah.

2. Sumbu-sumbu kerangka acuan OX, OY, OZ, dipilih sedemikian rupa sehingga
   ketiganya membentuk sistem koordinat kanan. Simbol i, j, k berturut-turut
   menyatakan vektor satuan dalam arah OX, OY, OZ.
   Jika OP = ai + bj + ck, maka |OP| = r = (a2 + b2 + c2)

3. Cosinus arah [l,m,n] adalah sudut yang dibentuk oleh vektor yang bersangkutan
   dengan sumbu OX, OY, OZ, berturut-turut. Untuk sembarang vektor berlaku :
        l = a/r , m = b/r, n = c/r dan l2 + m2 + n2 = 1

4. Perkalian skalar (‘perkalian titik’)
   A.B = AB cos  dengan  adalah sudut yang diapit oleh A dan B.
   Jika A = a1i + b1j + c1k dan B = a2i + b2j + c2k maka A . B = a1a2 + b1b2 + c1c2

5. Perkalian vektor (‘perkalian silang’)
   A x B = (AB sin ) dengan arah tegak lurus A dan B, sedemikian rupa A, B, (A x B)
   sehingga membentuk sistem kanan. Juga,

                                           i        j    k
                                 A x B  a1         b1   c1
                                          a2        b2   c2

6. Sudut antara dua vektor
              cos  = ll’ + mm’ + nn’
      Untuk vektor yang saling tegak lurus, ll’ + mm’ + nn’ = 0




                                               12
Latihan ujian :
1. Jika OA = 4i + 3j, OB = 6i – 2j, OC = 2i – j, tentukanlah AB, BC dan CA, dan
   tentukanlah panjang sisi-sisi segitiga ABC yang terbentuk.

2. Jika A = 2i + 2j – k dan B = 3i –6j + 2k, tentukanlah (i) A . B dan (ii) A x B

3. Tentukanlah cosinus arah vektor yang menghubungkan titik (4,2,2) dan titik (7,6,14)

4. Jika A = 5i + 4j + 2k, B = 4i – 5j + 3k dan C = 2i – j – 2k, dengan i, j, k adalah
   vektor-vektor satuan, tentukanlah
   (i)    harga A . B dan sudut antara vektor A dan B
   (ii)   besar dan cosinus arah perkalian vektor (A x B) dan juga sudut antara hasil
          perkalian vektor ini dengan vektor C.

Latihan lanjutan :
1. Misalkan titik berat segitiga OBC dinyatakan dengan G. Jika O adalah titik asal, dan
   OA = 4i + 3j, OB = 6i – j, tentukanlah OG dinyatakan dalam vektor satuan i dan j.

2. Tentukanlah cosinus arah vektor-vektor yang perbandingan arahnya (3,4,5) dan
   (1,2,-3). Dari sini tentukanlah sudut lancip yang diapit oleh kedua vektor tersebut.

3. Tentukanlah modulus dan cosinus arah vektor-vektor 3i + 7j – 4k, i – 5j – 8k, dan 6i –
   2j + 12k. Tentukan juga modulus dan cosinus arah jumlahnya.

4. Jika A = 2i + 4j – 3k dan B = i+ 3j + 2k, tentukanlah perkalian skalar, perkalian
   vektor dan sudut antara kedua vektor tersebut.

5. Jika OA = 2i + 3j – k dan OB = i – 2j + 3k, tentukanlah
   (i)    harga OA. OB
   (ii)   perkalian OA x OB dinyatakan dalam vektor satuan
   (iii)  cosinus sudut antara OA dan OB




                                            13

								
To top