ON TAP TICH PHAN

Nguyên hàm của những hàm số Nguyên hàm của những hàm số thường Nguyên hàm của những hàm số hợp

sơ cấp thường gặp gặp

 dx  x  C  d ax  b  a ax  b  C

1

 du  u  C

x  1 u  1

 C   1

ax  b dx  1 ax  b  C   1  C   1  ln u  C u  0

 1 du

 x  dx 

 1 



 u  du 

 1 u

a  1

 x  ln x  C x  0

dx

dx

 ln ax  b  C x  0

1  e u du  e u  C

 ax  b a au

 e dx  e  C

x x

1  a u dx   C 0  a  1 cos udu  sin u  C



 e axb dx  e axb  C

a

ln a



x

sin udu   cos u  C

 a dx  ln a  C 0  a  1

x a

cosax  bdx  sinax  b  C

1

 1

 cos xdx  sin x  C

a

 cos 2

du  tan u  C

sinax  bdx   cosax  b  C

1 u

 sin xdx   cos x  C  1

 sin

a du   cot u  C

2

dx  tanax  b   C

1 1



u

1

 cos 2

x

dx  tan x  C cos ax  b 

2

a



 sin ax  b dx   a cot ax  b  C

1 1 1

 sin 2 x

dx   cot x  C 2









Daïng I: Döïa vaøo coâng thöùc cô baûn 84 x

b) F ( x)  d) Caùc keát quaû treân

1. a)  x x dx ; b)  ( x  x  1)( x  1)dx ;c)  (sin x  2) dx ln 84

ñeàu sai .

x2  3 x 3

x  2 1 

2. a)  x2

x

dx ;b)  x

dx ;c) 

 x

 5  dx ;d)

x

Daïng II: Döïa vaøo coâng thöùc cuûa haøm soá hôïp

6. a)  x( x  1)2008 dx ; b) x x  1 dx ; c) x x3  10 dx

2







7

7x dx

cos x  5 3

cos x  1

2

7. a)  sin x 3  cosx dx ; b)  2sin x.e2cosx dx ; c)

3. a)  1 sin2 x dx ;b)  1 co s2x dx ; c)

 x .e

2 3 2 x3

dx

5sin3 x  2  5sin x x x3 x3

 1 sin2 x dx 8. a)  x2  1 dx ;b)  x2  1 dx ;c)  ( x2  1)5 dx ; d)



22 x  5x3 ex  e2 x

 10x dx

4. a)  ex (e2 x  1) dx ; b)  ( x   x )dx ;c)  ex  1 dx

5. Moät nguyeân haøm cuûa f ( x)  2 2 x .3 x .7 x laø

2 2 x .3 x .7 x 1 2x x x

a) F ( x)  c) F ( x)  e .3 .7

2 ln 2. ln 3. ln 7 2

(2ln x  2)25 dx 1 1

 4 C

9. a)  x

dx ; b)  x(2ln x  2)25 ; c) b)

x 2

x

d)Hai keát quaû a , b ñeàu



ln xdx sai

 x(2ln x  2)25

ÑOÅI BIEÁN t

ln20 ( x  20) 5x  x2  x  1

=  (ln3)

x

10. a)  x  20 dx ; b) 5x  1 dx ; c) 

2( x  1)

dx 15. a) e

dx

x

1 9

 ln

3 2 5

b)

0

1 19

11. Hoï nguyeân haøm cuûa f ( x)  x laø : 1

5 dx  (51 3  1)

3x

e  4e  x

0

3ln5

1 e x 2 1 e x 2

C C

ln2

a) ln x c) ln x e2 x dx 2 2

4 e 2 4 e 2 16. a) 

0 e 1x



3

e x 2  2

b) ln x C d) Caùc keát quaû treân sin xdx

e 2 b)  x

 ln2

ñeàu sai .

0 sin x  2cosx.cos

2 2



2

ln ex  2 3

12. Hoï nguyeân haøm cuûa f ( x)  laø : sin3 x  sinx 1

1  x ln x 17.  3

sin x

cot gxdx   3

8 3

a) ln x 1  C c) ln x ln x  C  3

 3

6 4 3

1

b) ln x ln x 1  C d) ln 1  ln x  C 1 cos2x

18. a)  x5 (1 x3 )6 dx 

0

168

b) 

 sin

4

2 2

xcos x

dx 

3

1

13. Hoï nguyeân haøm cuûa f ( x)  laø :

sin x  2

(1 sinx)cosx

x

a) ln tg  C

2

19. a)  (1 sin x)(1 sin

0

2

x)

dx  ln 2 ;b)



1 cosx  1

1

dx 1

c) ln

2 cosx  1

C  1 2

0

x

 (log2 3  2)

2

b) Hai keát quaû a , b ñeàu ñuùng d)Hai keát  2

cosx 1 8

quaû a , b ñeàu sai 20.  (11 7sin x  cos 2

x)

dx  ln

3 5

x 4  x 4  2

0



14. Hoï nguyeân haøm cuûa f ( x)  laø : 



x3 21.  (2sin2 x  sin xcosx  cos2 x)dx 

1 1 0

2

a) ln x  4  C c) ln x  4  C

4 24 3x  7

1 5

x x dx

22. a)   b) x dx  ln6

0 x 1 x 3 4

2

 5x  6

x2  3x  10

1

1 ex

7 ln2

x3dx 141 8 1 4

23. a)   b)  dx  ln 36. a)  dx  1 ln b)

0

3

1  x2 20 0

e 1

x

9 0

x  2x  9

2

2 3

 2  4

dx 1 32 sin4x 4

24. a)  sin3 x cos xdx  0 b) 

x( x  1) 4 17

4

 ln  sin

0

6

x  cos x

6

dx  ln2

3

0 1

 

x3  2x2  10x  1

1

1 e 1 e 37. 

1 1 4

dx   ln

25. I   e cos xdx   x

vaø I   ex sin xdx 

0

2 0

2 0

x  2x  9

2

2 2 3

1 1 2  2

x dx 2

xdx 1 4 1 dx sinx

26. a)   ln3  1 b)   ln 38. a)   ln  ln( 2  1) 2 b)  1 cosx dx  ln2

0

4  x2 0

4 x 2

2 3 1 x 1 x

3 2 0

 2

2

1 x dx 1 (5  2 2)(2  2 2)

2

x  cosx 1

27. 

1 x 4

 ln

2 2 (5  2 2)(2  2)

39. a)





 2

4  sin x

2

dx  ln3

2

1

 2

cosx  1

xdx 2 1

dx 1 4e2

28. a) 

0 2  sin2 x

dx 

4

b) 

0



2x  1 15

b)   ln 2

e2 x  3 6 e  3

0

 3

x 1 2 2 2

73 1

46 1 3

 dx  b)  x 1 x dx   dx  2ln

3 2

29. a) 40. a)

x 1  sin x sin  x   6 2

3

0

15 0

15 6







 

2 4

e2 x  3ex

ln2

x 18 10 dx 1 7 27

30. a)  10 4  sin x dx 

2

5ln10

b) x x2  9

 ln

6 4

b)  e  3e  2

2x x

dx  ln

16

7 0

 4  4

3 2 4

3 1 2

sin x x 1 dx 4

31. a)  cos x dx 

0

2

2

b) 

0

x 1

dx  ln2 

2

41. a)  cos x  3

0

4



 2  2 4

5 dx 3

32. a) 

0

cos2x(sin4 x  cos4 x)dx  0 b)



 6

cos3 xdx 

24

b) 

1

x ( x  1)

2

 ln5   3ln2

4

 4 1  2

sin4x 8x 15

 sin x   sin2x(1 sin x)3 dx 

2

33. a) dx  ln2 b) 42. a) b)

0

4

x  cos4 x 0

4

1 0

4

 4  2

co s2x 2 2 17

  sin2x(1 cos x) dx 

2

34. dx  2  1 2ln

0

sin x  cosx  2 3 0

2

 4  2

co s2x 8 5 8 2 sin2x 2

35.  (sin x  cosx  3)3

dx  

27 (2  2)3

43. a) 0 cos2 x  4sin2 x

dx 

3

0



x 1 37  4 2

2

b)  dx 

0

3

3x  2 15

  2

sin x  cosx  sin2xcosx

e

sin(ln x)

44. a)



 2 3  sin2x

dx  

3

b) 53. a) 

0

1 cosx

dx  2ln2  1 b) 

1

x

dx



2 3 =1 - cos1

dx 1 5

  ln  2



x x 4  (e  cosx)cosxdx  e  1

sinx

5

2 4 3 54. a)

 2 ln8 0

4

2 55

 

 2

45. a) cos x. cosx  cos xdx  3

b) e  1 .e dx 

x 2x

dx

0

5 ln3

4 b)  cosx(sinx  cosx)  ln2

 6  4

5 23

0

cos6 x  sin4x  4

46. a)  dx   b)   sin6 x  cos6 x dx  3 ln2



1

 

4 4

 4 sin x 8 12 0

55. a)  (tgx  e sin x

cos x) dx = ln 2  e 2

1



0

ln3

ex 2

cos3x 



  2 1  1  sin x dx =2 – 3ln2

4

47. a) b) b)  dx



1

0 (e  1)

x 3

0 0 ( sinx  2cosx)2 6

 4



 x 2  ln2

0

3 4 2

sin2x 1 56.  1 tgx.tg 2  sin xdx  1  

48. a)  x(e  x  1)dx  2  b)   

2x 3

dx = 0

2 4 2

1

4e 7 0 1  cos2 x 2



 2 ÑOÅI BIEÁN x =  (t)

3

2sin2x  3sin x 94 4sin3 x

49. a)

0

 6cos x  2

dx  

9

b) 0

1 cosx

dx  2

 2 1  2

12 2

sin2x 

 1 cos3 x .sinx.cos5 xdx   x . 1 x dx 57. a)  x 4  x dx    1 cos x dx  4

6 5 2

50. a) b) 2 2

b)

0

91 0 0 0

4



8

 2

2 2 2

= x dx

105

ln5

58. a) 

0 1  x2



8

b)

e2 x 20

51. a)  dx  1

1 (9  2 3)

ln2 ex  1

2

3

x

0

4

 4x  3

2

dx 

72

11

x

b)  dx   4ln2 1 4

x 8

1

x 

1 1 x 1 3 59. a)  dx    b) x dx 

1 x 3 4

 x 1

2

6 3

ln x. 1  3ln x

e 0 0

116

52. a)  dx  1

2

1

x 135 60. a)  x3. 1 x2 dx  b)

 2 15

sin2x  sinx

0

34

b)  dx  1

x3 1

0 1 cos3x 27  x2  1 dx  2 (1 ln2)

0

1

dx  1 e

61. a)    70. a)  ln2 xdx  e  2 b)

1

(1 x )

2 2

4 2 1

2

x3  2x2  4x  9  1

b)  dx  6   sin x dx  2(sin1 cos1)

0

x 4

2

8 0

 3

e

dx  1 4

x 8 xsinx 4 5

62. a) x 1  ln2 x



6

b)  x 1

dx    

3

71. a)





 3

2

cos x

dx 

3

 2ln tg

12

1 0

 4

x  1

TÖØNG PHAÀN b)  1 cos2xdx  8  4 ln2

0

10 1

50 99 1

1 

 72. a)  x lg2 xdx  50   b) x e

3 x2

dx 

63. a)  (2x  1) 3 x  x2

e dx  0 b)  x sin xcos xdx  2

1

ln10 4ln2 10 0

2

0 0 3

x 1 e 3

e 2 2

e2  1

e

73. a)  ln xdx 

 x ln xdx 

2

64. a) b) x 4

1

4 1

3

e

ln x b)  ln( x2  x)dx  3ln3  2

1

e ( x  1)2 dx  0 2





 2 2

1 4

1

65. a)  1 x2 dx  ( 2  ln(1  2) b) 74. a)  xtg xdx =

2

 ln 

0

2 0

4 2 32

 2

1 ln2 

2

ln x x sin2 xdx 3

 x2 dx  2

1

b)  2

 

sin2x cos x 3 4

0

 ln2



 x5ex dx  ln2 2  2ln2  1

2

 1 1 

2

e2 3

xdx 75.

66. a)   2 

ln x ln x 

dx  1 b) J   sin2 x =

1  2 

0



4



  3 GIAÙ TRÒ TUYEÄT

  ln

4 3 3 2 

ÑOÁI 4

2 4  2

2 2 76. a)  1 cos2xdx  2 2 b)  x3  2x2  x dx  8

 cos x dx    2  xcos xdx 

2

67. a) b) 0 0

0 0

16  3

4 1

 2

2 4 1

5 77. a)  cosx sin xdx  b)  2x  4 dx  4 

x b)  (e sinx  e x )dx  e 

x2

68. a) 2

sin2xdx  x 2

0

3 0

ln2

0

8 1

e

ln( x  1)

2

1

69.  2

 2ln2  1 ln(e  1)  ln(e  1)

1

x e

 3  2

2 5cosx  4sinx 1

 tg x  cot g x  2dx  2ln  (sinx  cosx) dx 

2 2

78. a) 85. a) 3

b)

 6 3 0

2

 2

3 4

cosx 

b)  sin2x dx  1  sinx  cosx

dx 

4

 4 0

 2

2 cos3 x 

79. a)  x  2x  x  2 dx 

3 37

12

2 86. 0

sin x  cos x

3 3

dx 

4

1

 2

cosx  ÑOÅI BIEÁN x  t

b) 

0 7  cos2x

dx 

6 2

2

 

80. a)  x2  x dx  1 2 xsinx 2

b) 87. a)  xcos x sin xdx 

4 3

b)  1 cos2 x dx 

0

0

35 0

4

 2



 2 2 1

 1 sin2xdx  2 2  2 88. 

xsinx

dx  ln

0

0

1 sin x

2

2 2 1

1 2

7 3x dx

81. a)   ln b)  1 sinx dx  4 2

1

x  x  12 2 4

4 2

0 ÑOÅI BIEÁN x = -t

1

3





82. a) (2x  1)2 dx  b)

4 x

1 4

1 2

x2 sinx

2

0

89. a) 

1 2x

dx  b)

5  1 2x

dx    2



  x  x  1 dx  0

1 

2

1 1

sinx  x  2 4

1



83. 

2

4x  1

dx  10 ln 3  19 ln 2  14 ln 7

90. 

1

1 x2

dx  

4 3

0 x 2  3x  2



 DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG-THEÅ TÍCH

ÑOÅI BIEÁN x t

2

91. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi :

 2

4sinx y  x2  4x  3 ; y  x  3 ÑS : 109 6

84. a)  (sinx  cosx)

0

3

dx  2 b)

92. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi :y = x2 – 2x

 2 ;truïc Ox,x = -1; x = 2 .ÑS : 8 3

 0

cosx  sinx dx  0  93. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi :

x2 x2

y  4 ;y  ÑS : 4 3  2

4 4 2

94. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi :y = x2 – 2x

;y = x2 + 4x + 5 , y = 1 .ÑS : 9 4

95. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi :y = x2 – 4x + 103. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi :

5 vaø hai tieáp tuyeán cuûa (P) taïi A(1;2) vaø B(4;5) .ÑS : y = 2x ; y = 2x – x2 ; x = 0 ; x = 2

94 ÑS : (3 ln2)  (4 3)

96. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi :y = x3 - 4x2 +x 104. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi :

+ 6 vaø truïc Ox . ÑS : 71 6 y2 – 2y + x = 0 ; x + y = 0

97. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi : ÑS : 9 2

1 1 105. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi :

y = - x2 + 3x ; y = x2. ÑS -x2 – y + 4 = 0 ; y = x3 – 2x

2 4

:8 ÑS : 9

98. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi : 106. Tính theå tích vaät theå troøn xoay ñöôïc taïo ra khi

1 2 27 quay quanh Ox :

y = x2 ; y = x ;y= ÑS a) y = x2 , y = 3x . ÑS : 162 5

27 x

: 27ln3 4

b) y  ; y   x  5 . ÑS : 9 

99. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi : x

y = -x2 +2 ; y = x . ÑS c) y = lnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = 2 . ÑS : 2 [ ln22 -

2ln2 – 1 ]

:73



100. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi : d) y2 = ( x – 1)3 , x = 2 ÑS :

y + x2 – 5 = 0 ; y + x – 3 = 0. 4

x   (3  8)

ÑS : 9 2 e) y = sin cosx , y = 0 , x = 0 , x = .ÑS :

101. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi : 2 2 24

-2y2 = x ; x = 1 – 3y2 . 3

f) y = x2 , y  x ÑS :

ÑS : 4 3 10

2 2 2

102. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi : x + y = 8 , y = 2x. ÑS :

8

y 2 ; x2 = 4y ÑS : -

x 4

4 3  2