CHUYEN DE BOI DUONG HS GIOI TOAN 9 by muoitt9

VIEWS: 47 PAGES: 9

									                         ÑÖÔØNG TROØN – HÌNH VUOÂNG


1/ Cho hình vuoâng ABCD . Ñöôøng kính CD vaø ñöôøng troøn taâm A , baùn
kính AD caét nhau taïi M
( M khoâng truøng vôùi D ) . Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng DM ñi qua
trung ñieåm caïnh BC
                             HÖÔÙNG DAÃN
    B       I      C

                 M

                         O


     A            D
             DM laø daây chung cuûa hai ñöôøng troøn  AO  DI
          OAD = CDI ; AD = CD   ADO =  DCI  IC = OD = ½
BC

2/Cho hình vuoâng ABCD noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O , baùn kính R
. M laø moät ñieåm baát kyø treân ñöôøng troøn .
      a/Chöùng minh MA4 + MB4 + MC4 + MD4 = 24R4
      b/ Chöùng minh MA . MB . MC . MD  6R2
                              HÖÔÙNG DAÃN
             M

     B                       C
         K
                     H


                 O


     A                       D

a/ MA4 + MC4 = ( MA2 + MC2 ) – 2MA2 .MC2 = AC4 – 2MH2 .AC2 = 16R4
– 8R2.MH2
Chöùng minh töông töï ta coù : MB4 + MD4 = 16R4 – 8R2.MK2
       MA4 + MB4 + MC4 + MD4 = 32R4 – 8R2 ( MH2 + MK2 ) = 32R4 –
        8R2.R2
        = 24R4
b/ Aùp duïng Baát ñaúng thöùc Coâsi ta coù :
      (MA4 + MB4 ) + ( MC4 + MD4 )  2 (MA4  MB4 )(MC 4  MD4 )
         Vì MA4 + MB4  2 MA4 .MB4  2MA2 .MB2
            MC4 + MD4  2 MC4 .MD4  2MC2 .MD2
          (MA4 + MB4 ) + ( MC4 + MD4 )  2 MA2 .MB2 .MC2 .MD2
           (MA4 + MB4 ) + ( MC4 + MD4 )  4MA.MB.MC.MD
        4MA.MB.MC.MD  24R4
        MA.MB.MC.MD  6R4 Daáu “=” xaûy ra  MA = MB = MC =
         MD nhöng ñieàu naøy khoâng theå xaûy ra neân :
         MA.MB.MC.MD < 6R4

3/Cho hình vuoâng ABCD . Döïng nöûa ñöôøng troøn taâm I , ñöôøng kính
AD vaø cung AC taâm D , baùn kính DA . Tia DE gaëp nöûa ñöôøng troøn ( I
) taïi K . Keû EF vuoâng goùc vôùi AB .
Chöùng minh EK = EF.
                            HÖÔÙNG DAÃN
       A              B
                             Nhaän xeùt : EF  AB , EK  AK
                              caàn chöùng minh AE laø phaân giaùc
cuûa goùc BAD     E



             K

                      C
       D

       Ñöôøng troøn (D ) tieáp xuùc vôùi AB taïi A  ADE = 2FAE (1)
             ADE = KAF = FAE + EAK (2)
       Töø (1) vaø (2) ta coù : FAE = EAK


3/ Cho hình vuoâng ABCD caïnh a . Treân hai caïnh AB vaø AD laàn löôït
laáy hai ñieåm di ñoäng E , F sao cho : AE + EF + FA = 2a .
      a/ Chöùng toû raèng ñöôøng thaúng EF luoân tieáp xuùc vôùi moät
ñöôøng troøn coá ñònh .
      b/ Tìm vò trí cuûa E , F sao cho dieän tích  CEF lôùn nhaát .
      A       E          B      K     HÖÔÙNG DAÃN



       H

   F

   D                      C
      a/ Treân tia ñoái cuûa BA laáy K sao cho BK = DF . Veõ CH  EF , H
 EF .
       DFC =  DKC ( DF = BK ; FDC = KBC = 900 ; DC = BC )
       CF = CK .
      Vì EF = 2a – ( EA + FA ) = ( AB + AD ) – ( EA + FA ) = AB – EA +
      AD – FA
            = EB + FD = EB + BK .
      Do ñoù  CEF =  CEK ( c.c.c)
      Suy ra caùc ñöôøng cao CH vaø CB baèng nhau .
      CH khoâng ñoåi , C coá ñònh , CH  EF  EF luoân tieáp xuùc vôùi
      ñöôøng troøn coá ñònh ( C , a ) .
      b/  HCF =  DCF ( H = D = 900 ; CF chung ; CH = CD = a ) 
      SHCF = SDCF .
      Chöùng minh töông töï ta coù : SHCE = SBCE do ñoù SHCF + SHCE =
      SDCF + SBCE
       SCEF = ½ SCDFEB  SCEF = ½ ( a2 – SAEF )
            SAEF  0  SCEF  ½ a2 . Daáu “ = “ xaûy ra  SAEF = 0 
            E  B , F  A hoaëc E  A , F  D .
            Vaäy E  B , F  A hoaëc E  A , F  D thì SCEF ñaït giaù trò
      lôùn nhaát .
5/ Treân ñoaïn AB laáy M tuøy yù . Treân ñoaïn AM vaø MB döïng veà moät
phía ñoái vôùi AB caùc hình vuoâng AMEF vaø MBCD . Ñöôøng troøn ngoaïi
tieáp 2 hình vuoâng caét nhau taïi ñieåm thöù hai laø N .
      a/Chöùng minh AN ñi qua moät ñænh cuûa hình vuoâng thöù hai .
      b/Tìm quyõ tích cuûa N khi M di chuyeån treân AB .
      c/Tìm quyõ tích trung ñieåm I cuûa ñoaïn noái taâm hai hình vuoâng .
                             HÖÔÙNG DAÃN
    F              E
              H               N
                      D               C
                      .
                  I

     A                M Q             B

a/ BD caét AE taïi H .  AHB coù : HAB = HBA = 450  HB  AH .
Xeùt  AEB ta coù : EM  AB ; BH  AE  AD  BE taïi N .
Maø DNB = 900 ( goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn )  DN  BE
taïi N
        ba ñieåm A , D , N thaúng haøng
        ñieàu phaûi chöùng minh .
b/ Quó ttích cuûa N laø nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính BD .
c/ Quó tích cuûa I laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng PQ . Khi M
truøng vôùi B thì I truøng vôùi taâm cuûa hình vuoâng AMEF .

ÑÖÔØNG TROØN NGOAÏI TIEÁP – ÑÖÔØNG TROØN NOÄI TIEÁP

                                          TOÅNG QUAÙT

1/       Coâng thöùc Ô Le : d2 = R2 – 2Rr
                      A

                              M   D
                  O
                          K
                          L
                 .



Goïi O’ , O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp vaø noäi tieáp . ED laø

ñöôøng kính vuoâng goùc vôùi AC taïi L ; DE = 2R ; BD laø phaân giaùc

cuûa goùc ABC ( AD = DC ) . Veõ OK  ED .

Xeùt tam giaùc OO’D ta coù :
      OO’2 = O’K2 + OK2 = ( O’D – KD )2 + OD2 - KD2
            = O’D2 + KD2 - 2O’D.KD + OD2 - KD2
      OO’2 = O’D2 + OD2 - 2O’D. KD
Veõ baùn kính OM . Töù giaùc OMLK laø hình chöõ nhaät do ñoù : OM =
KL  KD = r + LD  OO’2 = R2 + r2 – 2R(r+ LD) = R2 – 2Rr + r2 –
2R.LD
Xeùt tam giaùc vuoâng DAE ta coù : AD2 = LD . ED = 2R.LD
 OO’2 = R2 – 2Rr + r2 – AD2
Xeùt tam giaùc AOD : vì AO laø phaân giaùc cuûa goùc BAC , do ñoù :
      DAO = DAC + CAO = DBC + OAB = DBA + OAB = AOD
       DAO = AOD  AD = OD .
            Vaäy       d2 = R2 - 2 Rr .

2/ Cho  ABC coù ñoä daøi caùc caïnh laø a,b , c . Goïi R , r laø baùn kính
caùc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp vaø noäi tieáp cuûa tam giaùc . Chöùng minh
        r (a  b) 2  (b  c) 2  (c  a) 2 1
raèng :                                   
       R               16 R 2                2



       A
HÖÔÙNG DAÃN
                     I’
         K
             H            O’
                 .I .O
     B                          C
Goïi H , O, I laàn löôït laø tröïc taâm , taâm ñöôøng troøn ngoaïi vaø noäi
tieáp, p laø nöûa chu vi tam giaùc . Chieáu O vaø I leân moät trong caùc
ñöôøng thaúng BC , CA hoaëc AB ; chaúng haïn chieáu leân CA ta ñöôïc O’
vaø I’ . Ta coù : CO’ = ½ b ; p = CI’ + AK + KB = CI’ + c  CI’ = p -c =
½ a + ½ b + ½ c – c = ½ ( a+b-c ). O’I’ = CI’ – CO’ = ½ (a+b-c) – ½ b = ½ (a-
c)
Töø O’I’  OI vaø aùp duïng coâng thöùc Ôle : OI2 = R2 –2Rr ta ñöôïc :
(c  a ) 2
            R 2  2 Rr (1)                     Khoâng maát tính toång quaùt , ta giaû söû : a  b
    4
 c . Theá thì :
       ( c-a)2 = [(c-b)+(b-a)]2 = ( c -b )2 + ( b-a)2 +2(c-b)(b-a)
        ( c-a )2  ( c -b )2 + ( b-a)2
       ( c-a )2 + ( c -b )2 + ( b-a)2  2[( c -b )2 + ( b-a)2 ]
               1
                [ ( c-a )2 + ( c -b )2 + ( b-a)2 ]  ( c -b )2 + ( b-a)2
               2
       Ta coù :                 +            4R2 – 8Rr – ( c-a)2  0               (1)
                               ( c-a )2 - ( c -b )2 - ( b-a)2  0
                            4R2 – 8Rr – [( c-b)2 + (b-a)2 ]  0
                        -
                        1
                          [ ( c-a )2 + ( c -b )2 + ( b-a)2 ]  ( c -b )2 + ( b-a)2
                        2
                                    1
                    4R2 – 8Rr - [ ( c-a )2 + ( c -b )2 + ( b-a)2 ]  0
                                    2
                    8R2  16Rr + ( c-a )2 + ( c -b )2 + ( b-a)2
                                                                  r (a  b) 2  (b  c) 2  (c  a) 2 1
       Chia caû hai veá cho 16R2 ta ñöôïc :                                                         
                                                                  R              16 R 2                2
3/ Daây cung DE cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  ABC caét ñöôøng troøn
noäi tieáp tam giaùc naøy taïi caùc ñieåm M vaø N . Chöùng minh raèng DE
 2MN .       A

                                  HÖÔÙNG DAÃN
           P                                              E
                     M
                            L           K
       D
                X                           .
                                            N
                                            O
                                I
                        H

                    Y
           B
                                    .                    C



                            Q




       Döïng ñöôøng troøn C     taâm truøng taâm I cuûa ñöôøng troøn noäi
tieáp  ABC , tieáp xuùc vôùi DE taïi L . Goïi H laø giao cuûa ñöôøng thaúng
OI vôùi ñöôøng troøn C vôùi OH = OI + IH . Ta seõ chöùng minh DE  PQ
. Keû OK  DE . Ta coù : OH = OI + IH = OI + IL  OL  OK . Do ñoù DE
 PQ .
       Ñeå chöùng minh DE  2MN ta chæ caàn chöùng minh PQ  2XY (
X , Y laø giao ñieåm cuûa PQ vôùi ñöôøng troøn noäi tieáp  ABC ) .
Ñaët IH = d1 ; IO = d . Ta phaûi chöùng minh XY2 = 4 ( r2 – d12 )  ¼ PQ2 =
R2 – ( d + d1 )2 hay 4 ( r2 – d12 )  R2 – ( d + d1 )2 ( R , r laø baùn kính
ñöôøng troøn ngoaïi tieáp vaø noäi tieáp cuûa  ABC ) (1)
       *Neáu R  6r ta coù : (1)  4(r-d1)(r + d1)  ( R – d – d1)(R + d +
d1 ) (2)
       H naèm trong ñöôøng troøn noäi tieáp  ABC neân r  d1 .
       +Neáu d  d1 thì R + d + d1  6r + d+ d1  6r + 2d1  4r + 4d1 maø
R > d + r neân
       R – d – d1 > r – d1 suy ra (2) ñuùng , daãn ñeán (1) ñuùng .
       +Neáu d1  d thì R - d - d1  6r – d - d1 > 6r – d - d1 – ( 2r – d + 3d1 )
= 4r - 4d1 maø R + d + d1 > d1 + r suy ra (2) ñuùng , daãn ñeán (1) ñuùng .
       *Neáu 2r  R  6r , ta coù :
       (1)  4r2 – 4d12  R2 – d12 – d2 – 2dd1 (3)
       Aùp duïng heä thöùc Ôle d2 = R2 – 4Rr ta coù :
       4r2 – 4d12  2Rr – d12 – 2dd1  3d12 – 2dd1 + 2Rr – 4r2  0
        3( d1 – d/3)2 + 1/3 (6Rr – 12r2 – d2 )  0
        3( d1 – d/3)2 + 1/3 (6Rr – 12r2 – R2 + 2Rr )  0
        3( d1 – d/3)2 - 1/3 (R – 2r)(r – 6r)  0
       Ñieàu naøy ñuùng vì 2r  R  6r . Vaäy (3) ñuùng , daãn ñeán (1)
       ñuùng . Toùm laïi DE  2MN . Ñaúng thöùc xaûy ra khi  ABC ñeàu
       vaø DE laø ñöôøng kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp .


ÑÖÔØNG TROØN NOÄI TIEÁP – ÑÖÔØNG TROØN NGOAÏI TIEÁP
TAM GIAÙC
          AÙP DUÏNG ÑÒNH LYÙ PTOÂLEÂMEÂ

1/ a/ Goïi I vaø O laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp vaø ngoaïi tieáp  ABC
khoâng ñeàu . Chöùng minh raèng :
              AIO  900  2BC  AB + CA .
                               HÖÔÙNG DAÃN
            A


                I
                    O
      B                    C


                D
                                                                               r2
Caùch 1 : AIO  90          0
                                 AO  IO + IA
                                     2      2     2
                                                       R  ( R – 2Rr ) +
                                                            2         2
                                                                                     A
                                                                             sin 2
                                                                                     2
( heä thöùc Ô Le )
           2r                             r   2bc sin 2 A
 2R                          1- cosA    
       1  cos A                          R a(a  b  c)
       a(a+b+c)  2bc(1+cosA) = (b+c)2 – a2  2a  b + c .

Caùch 2 : Keùo daøi AI caét ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  ABC taïi D .
Ta chöùng minh ñöôïc : DB = DI = DC
     ( BAD = BAC  cung DB = cung DC  DB = DC .
     IBD = IBC + CBD = IBA + IAB = BID   BDI caân taïi D 
DB = DI
      DB = DI = DC )
     Aùp duïng Ñònh lyù Ptoâleâmeâ cho töù giaùc noäi tieáp ABCD ta coù :
AB.DC + AC.BD = AD.BC .
      DI ( AB + AC ) = AD.BC
                                                AD AB  AC
         AIO  900  AI  ID  2                               2BC  AB + AC
                                                DI   BC
         .

b/ Goïi I vaø O laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp vaø ngoaïi tieáp  ABC
khoâng ñeàu . Chöùng minh raèng :
             AIO = 900  2BC = AB + CA .
                              HÖÔÙNG DAÃN
           A


                    I
                        O
          B                      C


                 D
         Ta coù OA = R , OI2 = R2 – 2Rr ( coâng thöùc Ô Le ) vaø IA2 =
( p  a) 2
           .
     2 A
 cos
       2
                                                         ( p  a) 2
         Do ñoù         : AOI = 900  R2 = R2 –2Rr +                   -2
                                                                A
                                                          cos2
                                                                2
     abc S     ( p  a)bc
((      )( )             0
     4S p           p
              abc ( p  a)bc
                           0  -a + 2(p-a) = 0  -a + b + c – a = 0  b
              2p       p
+ c = 2a .



DIEÄN TÍCH - CÖÏC TRÒ

1/ Cho BC laø daây cung coùùá ñònh cuûa ñöôøng troøn ( O , R ) , A laø
ñieåm chuyeån ñoäng treân cung lôùn BC . I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp
 ABC . Xaùc ñònh vò trí cuûa A ñeå dieän tích cuûa  IBC laø lôùn nhaát .
                   A




              I

 B                     C




     BIC = 900 + ½ BAC  I chuyeån ñoäng treân cung chöùa goùc 900
+ ½ BAC veõ treân ñoaïn BC .  BIC coù dieän tích lôùn nhaát  I laø
ñieåm chính giöõa cuûa cung chöùa goùc BC  A laø ñieåm chính giöõa
cuûa cung BC .


2/ Cho  ABC coù dieän tích baèng 1 ( ñôn vò ) . Goïi R vaø r laø baùn kính
ñöôøng troøn ngoaïi tieáp vaø ñöôøng troøn noäi tieáp  ABC . Chöùng minh
        2 3
raèng      44 27 . Ñaúng thöùc xaûy ra khi naøo ?
        R r
                                 HÖÔÙNG DAÃN
        Goïi a, b , c laø caùc caïnh , p laø nöûa chu vi , S laø dieän tích  ABC .
        Ta chöùng minh ñöôïc : S = ½ ar + ½ br + ½ cr = ½ ( a + b + c )r = pr
(1)
                                  bc
              S = ½ a.ha = ½ a.      ( 2 ) ( do  ABH ~  ADC vôùi AH = ha ,
                                  2R
AD = 2R )
                                      2 3 8S 3(a  b  c)
        Töø ( 1 ) vaø (2 ) ta coù :         
                                      R r abc     2s
        Aùp duïng baát ñaúng thöùc Coâsi cho 4 soá ta coù :
        2 3 8S 3a 3b 3c                 3a.3b.3c         27
                         44 8S.                 44 2
        R r abc 2s 2S 2S              abc.2S .2S .2S     S
             2 3                                      8S 3a 3b 3c
        Vaäy    44 27 . Ñaúng thöùc xaûy ra               
             R r                                      abc 2s 2S 2S
                                                         2 3
 a = b = c   ABC ñeàu . Noùi rieâng khi S = 1 thì          44 27
                                                         R r
                                                      24 27
. Ñaúng thöùc xaûy ra khi  ABC ñeàu vôùi a = b = c =         .
                                                        3

								
To top