Carl Friedrich Gauss
nato il 30 aprile 1777 a Braunschweig (Germania)
morto il 23 febbraio 1855 a Göttingen, Hannover (Germania)
Infanzia e adolescenza
Gauss era di origini estremamente modeste: il padre passava da un
mestiere all’altro, a seconda di dove gli si presentavano le occasioni di
guadagno: fu muratore, giardiniere, macellaio. La madre, prima del
matrimonio, aveva lavorato come domestica, ed era praticamente
analfabeta. Non si può proprio dire che il geniale talento del piccolo Carl
Friedrich potesse trovare in casa stimoli adeguati: ciononostante egli si
fece subito notare, fin dalla scuola elementare, per la sua
straordinaria predisposizione alla matematica. Il suo maestro Büttner fu
coprotagonista di un episodio passato alla storia: un giorno assegnò ai
suoi alunni il compito di sommare i numeri da 1 a 100. Dopo pochi
minuti il ragazzino gli consegnò il risultato esatto: 5050. Egli aveva
avuto l’idea di scrivere i numeri su due righe:
0 1 2 ........ 98 99 100
100 99 98 2 1
0
La somma di ciascuna colonna è 100, le colonne sono 101. Dunque la
somma cercata si può calcolare come
100 101
2
che è, appunto, uguale a 5050. Questo non è che un caso particolare di
una formula per i numeri triangolari, di cui è possibile dare una
dimostrazione basata sul principio d’induzione.
Le sue straordinarie doti furono notate da persone di alto rango, fra cui
il Duca Ferdinando di Braunschweig. Grazie all’appoggio finanziario di
quest’ultimo, Gauss poté proseguire gli studi in prestigiosi collegi della
città, e quindi, nel 1795, iscriversi all’Università di Göttingen. Allora
Gauss non aveva ancora deciso se dedicarsi alla matematica oppure alla
filologia. La definitiva scelta a favore della prima avvenne il 30 marzo
1796, quando egli fece una storica scoperta: egli provò per primo la
possibilità di costruire, con riga e compasso, un poligono regolare con
17 lati (ettadecagono). Fu questa la prima annotazione di Gauss sul suo
diario scientifico: ad essa ne seguirono ben 146, concentrate in sole
diciannove pagine. L’ultima reca la data del 9 luglio 1814. Tra i primi
risultati riportati ricordiamo quello del 10 luglio 1796: ogni numero
intero è somma di non più di tre numeri triangolari. Più tardi Gauss
definì la matematica come la regina delle scienze, e l’aritmetica (o teoria
dei numeri) come la regina della matematica.
Nonostante la sua precocità, la scoperta sui poligoni regolari non è il
primo risultato trovato da Gauss: egli esordì infatti all’età di soli 15
anni, intuendo una formula per la distribuzione di numeri primi,
che poté essere provata solo nel 1896, da Hadamard e de la Vallée
Poussin: per ogni numero intero positivo n sia (n) il numero di primi
minori o uguali a n, allora
lim ((n)log n)/n = 1
n
Nel 1949 Paul Erdős e Atle Selberg fornirono la prima dimostrazione
elementare.
Da ragazzino Gauss si occupò anche dei fondamenti della geometria
euclidea, giungendo alla conclusione che l’assioma delle parallele era
probabilmente indipendente dagli altri. Inoltre sviluppò i fondamenti del
metodo dei minimi quadrati, un criterio per correggere gli errori di
misurazione in fisica: con ciò Gauss anticipò di alcuni anni un analogo
risultato di Legendre.
La casa natale di Gauss
Gli anni della maturità
1 La teoria dei numeri
Nel 1798 Gauss conseguì il dottorato presso l’Università di Helmstedt,
Germania. La tesi, scritta in latino, e pubblicata un anno dopo, era
intitolata Demonstratio nova Theorematis omnem Functionem algebricam
rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi
Gradus resolvi posse (Nuova dimostrazione del teorema che ogni
funzione algebrica razionale intera a una variabile può essere risolta in
fattori lineari di primo o secondo grado). Il teorema in questione è oggi
noto come teorema fondamentale dell’algebra, e stabilisce che ogni
polinomio ha almeno una radice, a patto di estendere il campo dei
numeri reali e costruire il campo dei numeri complessi. È dovuta
sempre a Gauss la più efficace interpretazione geometrica dei numeri
complessi (piano di Gauss).
Nel 1801 Gauss pubblicò la sua opera principale, le Disquisitiones
arithmeticae, un trattato di teoria dei numeri, che volle dedicare al
suo mecenate, il Duca di Braunschweig. Il testo fu redatto in latino, e
ne seguì una versione in francese, edita a Parigi nel 1807.
La prima parte del volume riguarda le congruenze di numeri interi, e
contiene la legge di reciprocità dei residui quadratici, che già
Legendre aveva pubblicato alcuni anni prima: Gauss la chiama
theorema aureum, e la considera la gemma dell’aritmetica. Gauss
presenta, inoltre, una dimostrazione rigorosa del teorema
fondamentale dell’aritmetica, già noto ad Euclide: ogni numero intero
maggiore di 1 si scompone in uno ed un solo modo come prodotto di
numeri primi positivi. Egli estende questo risultato all’insieme degli
interi gaussiani.
Nell’opera compare anche la prima importante scoperta del giovane
Gauss: la costruibilità del poligono regolare con 17 lati. Egli sviluppa
questo argomento fino a trovare un criterio generale, che permette di
stabilire quando, dato un numero intero n3, è possibile costruire, con
riga e compasso, un poligono regolare avente n lati.
Quest’opera fu importante oggetto di studio e fonte di ispirazione per
molti matematici, tra cui il giovane Dirichlet, che sviluppò la sua
teoria dei numeri proprio a partire dal lavoro di Gauss, ed Abel, che
approfondì la teoria della risoluzione delle equazioni algebriche.
2 L’astronomia
Durante la prima notte del secolo XIX, il 1° gennaio 1801, l’astronomo
italiano G. Piazzi dell’osservatorio di Palermo scoprì il primo asteroide
della storia, cui venne dato il nome di “Cerere”. Ma dopo poche
settimane il piccolo corpo celeste, visibile solo al telescopio, fu
improvvisamente perso di vista. Una sera gli astronomi non lo videro
più ricomparire nel punto del cielo in cui, secondo i loro calcoli, avrebbe
dovuto trovarsi. Essi avevano creduto di poter ricostruire la sua
traiettoria sulla base delle osservazioni fino ad allora compiute sui
suoi spostamenti nel cielo. Ma i loro metodi prevedevano un grado di
approssimazione insufficiente a determinare l’orbita sulla base di pochi
dati. Gauss seppe minimizzare l’errore di calcolo grazie alla tecnica da
lui inventata, detta dei minimi quadrati. E Cerere fu ritrovata,
esattamente dove aveva previsto Gauss, in un punto distante ben 14
diametri lunari dalla posizione in cui gli astronomi avevano invano
aspettato di vederla.
Un secondo asteroide, battezzato “Pallade”, fu scoperto il 28 marzo
1802 dal medico H.W.M. Olbers, nel suo osservatorio privato di Brema.
Questo nuovo pianetino creò non pochi problemi a Gauss, che impiegò
diversi anni per perfezionare il suo metodo di calcolo, e svelare tutti i
misteri della sua traiettoria.
I successi ottenuti da Gauss in campo astronomico gli valsero, nel 1807,
la nomina a direttore dell’Osservatorio di Göttingen, col privilegio di
tenere corsi di matematica all’Università. I principali risultati delle sue
ricerche in astronomia confluirono nell’opera Theoria motus corporum
coelestium in sectionibus conicis solem ambientium (Teoria del
movimento dei corpi celesti intorno al sole seguendo delle sezioni
coniche), apparsa nel 1809.
3 L’analisi
Avendo completato i suoi studi sui numeri complessi e la loro
rappresentazione geometrica, Gauss pensò di estendere al campo
complesso la teoria delle funzioni di una variabile, che Lagrange aveva
sviluppato per il campo reale. Gauss fu dunque il vero inziatore
dell’analisi complessa. Nel 1811 confidò al suo amico Bessel un
importantissimo risultato, che però rimase segreto: si trattava di un
teorema, che Cauchy scoprì e pubblicò solo anni dopo, ignaro di essere
stato preceduto. Questo teorema è, in effetti, noto come il teorema di
Cauchy, e riguarda il calcolo integrale. A quest’ultimo Gauss dedicò
anche il trattato Methodus nova integralium valores per approximationem
inveniendi (Nuovi metodi per determinare i valori degli integrali per
approssimazione).
Gauss si occupò anche della convergenza delle serie numeriche
(Disquisitiones generales circa seriem infinitam).
La distribuzione gaussiana (con il suo famoso grafico a campana) riveste
un ruolo fondamentale nella teoria della probabilità: essa permette
uno studio analitico dei processi aleatori che rispettano la legge dei
grandi numeri di Jakob Bernoulli.
4 La geometria
Nel 1816 Gauss venne incaricato dal governo del Regno di Hannover di
compiere misurazioni del territorio. In questo periodo egli compì
notevoli progressi in geodesia, la disciplina che studia la geometria delle
superficie curve (Disquisitiones circa superficies curvas, 1828). Fu lui ad
introdurre quella grandezza oggi nota come curvatura di Gauss.
E fu sempre lui ad ideare le cosiddette applicazioni conformi, ossia
trasformazioni tra superficie che conservano particolari proprietà locali
(“le superficie sono simili nelle loro parti più piccole”). Ma a Gauss
geometra si deve anche un’invenzione di carattere pratico: l’eliotropo,
un nuovo strumento di misura. A questa si aggiungono studi orientati
alle applicazioni in cartografia.
Negli stessi anni in cui si occupava degli aspetti pratici della geometria,
Gauss si convinceva sempre più che la geometria euclidea non era la
sola geometria possibile. Nel 1817 egli era ormai sicuro che l’assioma
delle parallele era indipendente dagli altri postulati euclidei. Comunicò
le sue idee ad alcuni intimi amici, tra cui Wolfgang Bolyai, padre di
János Bolyai. Questi vengono ricordati insieme a Gauss ed a
Lobachevsky come fondatori della geometria non euclidea.
5 La fisica
Nel 1831 iniziò la collaborazione fra Gauss ed il giovane fisico Wilhelm
Weber. Insieme i due scienziati si occuparono di una branca della fisica
che allora stava appena vedendo la luce: l’elettromagnetismo. Solo da
pochi anni gli studiosi avevano cominciato a lavorare intorno all’ipotesi
che l’elettricità ed il magnetismo fossero fenomeni strettamente correlati.
Anche quest’attività ebbe un significativo risvolto pratico: Gauss e
Weber realizzarono il primo telegrafo elettromagnetico (1833), per
collegare l’istituto di fisica con l’osservatorio. Gauss si rese conto della
storica importanza dell’evento, dicendo che ormai la creazione di una
rete mondiale di comunicazioni non era che un problema tecnico ed
economico. Sul fronte della teoria, Gauss e Weber approfondirono lo
studio di quelle forze, come quella gravitazionale (vedi la legge di
Newton) e quelle elettromagnetiche, la cui intensità in un dato punto è
inversamente proporzionale al quadrato della distanza dall’oggetto che la
genera (teoria del potenziale).
Spetta infine a Gauss e Weber il merito di aver determinato con
precisione la posizione dei poli magnetici terrestri: i dati vennero loro
forniti da numerosi centri di rilevamento sparsi in tutto il mondo, ai
quali aveva dato vita il grande esploratore tedesco Alexander von
Humboldt, al ritorno da una spedizione in Sud America. L’esattezza del
calcolo del polo sud magnetico venne confermata alcuni anni più tardi
da una nave americana giunta nei pressi dell’Antartide.
Gauss rivolse la sua attenzione anche verso altri settori della fisica,
come la meccanica e l’ottica.
La città di Göttingen ha voluto dedicare ai due scienziati un
monumento, che li ritrae insieme.
Ed in Antartide sorge un monte, scoperto agli inizi del Novecento, che
porta il nome di Gauss.
Curiosità