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FIGURAS SEMEJANTES
ESCALAS
ESPAD III * TC 21
FIGURAS SEMEJANTES
• Dos figuras son semejantes si presentan la misma forma pero distinto
tamaño.
• Ejemplos: Un árbol en la realidad y una fotografía impresa del mismo
árbol. O un edificio y la maqueta de dicho edificio.
• Al reducir o ampliar una figura obtenemos otra figura semejante.
• Las dimensiones (largo, ancho y alto) de las figuras semejantes son
proporcionales.
• La constante que permite pasar de las dimensiones de una figura a las
dimensiones de la figura semejante se llama razón de semejanza (r) o
escala (E).
• Para ampliar, la razón de semejanza es mayor que la unidad.
• Ejemplo: Al dibujar un virus o una bacteria visto por microscopio.
• Para reducir la razón de semejanza es menor que la unidad.
• Ejemplo: Al dibujar el plano callejero de mi ciudad.
Ejemplos de figuras semejantes
• Un plano callejero es semejante a la ciudad que representa.
• longitud en el dibujo 1 cm
• r=E=------------------------------- = ---------- = 1:10000
• medida real 100 m
• La fotografía de un ácaro es semejante al visto por el microscopio.
• longitud en el dibujo 10 cm
• r=E=------------------------------- = ---------- = 10000:1
• medida real 10 μm
Triángulos semejantes
C
C’
A’ B’
A B
• Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes
iguales y los lados correspondientes proporcionales.
• En ángulos: A=A’ , B=B’ y C=C’
• En lados: A’B’=k.AB , B’C’=k.BC y C’A’=k.CA
• En los triángulos rectángulos semejantes dibujados, podemos poner:
• Hipotenusa verde Cateto mayor verde Cateto menor verde
• ------------------------ = ----------------------------- = ------------------------------- = r
• Hipotenusa roja Cateto mayor rojo Cateto menor rojo
POLÍGONOS SEMEJANTES
• Cualquier polígono se puede trocear, dividir, en triángulos.
• Aplicando Thales podemos construir triángulos semejantes a los que tenemos.
• Si la razón de semejanza utilizada es la misma en todos los triángulos, el resultado
es un polígono semejante al original.
Rectángulos SEMEJANTES
• Dividimos el rectángulo en dos triángulos, gracias a la diagonal.
• Llevamos sobre la prolongación de un lado la medida del lado
correspondiente que deseamos construir.
• Y construimos el rectángulo semejante mediante paralelas a los lados.
B’ C’
B C
B’’ C’’
A D’’ D D’
Trapezoides SEMEJANTES
• Dividimos el trapezoide en dos triángulos, gracias a la diagonal.
• Llevamos sobre la prolongación de un lado la medida del lado
correspondiente que deseamos construir.
• Y construimos el trapezoide semejante mediante paralelas a los lados.
B’
B
C C’
A
D
D’
Pentágonos SEMEJANTES
C’
C
B’ D’
B
D
E E’
A
RAZÓN DE ÁREAS Y VOLÚMENES
• Razón de PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES
• Razón de los PERÍMETROS = Razón de semejanza.
• Razón de las ÁREAS = CUADRADO de la razón de semejanza.
• Razón de los VOLÚMENES = CUBO de la razón de semejanza.
•
• Escalas.
•
• ESCALA es la razón de semejanza entre el original y su
representación. ESCALA 1: 200
• Son muy empleadas en Mapas, planos y maquetas.
• Escala gráfica es una recta graduada según la escala numérica
correspondiente.
• Ejemplo
• Un prisma recto presenta 3 m de largo, 4 m de ancho y 5 m de alto.
• Se duplica el tamaño de sus dimensiones ( 6 m, 8 m y 10 m
respectivamente).
• ¿Cuánto ha aumentado el perímetro de la base?. ¿Cuánto ha aumentado el
área de la base?. ¿Cuánto ha aumentado su volumen?.
• Perímetro antiguo: P = 3+3+4+4 = 14 m
• Perímetro nuevo: P’ = 6+6+8+8 = 28 m
• Vemos que r = 6/3 = 2 es igual que P’ / P = 28/14 = 2
• Área base antigua: A = 3.4 = 12 m2
• Área base nueva: A’ = 6.8 = 48 m2
• Vemos que A’/A = 48/12 = 4 es igual que r 2 = 22 = 4
• Volumen prisma antiguo: V = 3.4.5 = 60 m 3
• Volumen prisma nuevo: V’ = 6.8.10 = 480 m3
• Vemos que V’/V = 480/60 = 8 es igual que r 3 = 23 = 8
A=48
A=12
5 cm
Como se aprecia en la
figura superior, al
multiplicarse por 2 la base y
5 cm
la altura, al área ha quedado
multiplicada por 4.
De forma semejante el
volumen ha quedado
multiplicado por 8
4 cm 4 cm
MAPAS, PLANOS, MAQUETAS, …
• Ejercicios
• Tráete de casa los siguientes objetos:
• Un Mapa de España, o en su defecto de Castilla y León.
• Un Plano Callejero de tu ciudad.
• Un Plano de tu piso o casa, preferiblemente con muebles; o en su defecto
cualquier plano parcial o total de un piso amueblado que localices en
Internet o te facilite alguna empresa inmobiliaria.
• Una Maqueta o una Figura representativa hecha a escala.
• Varias fotografías o dibujos de cosas imposibles de ver sin microscopio.
• Ten en cuenta que todo el material anterior no nos sirve si no viene
indicada la ESCALA con la que ha sido fotografiado, dibujado o construido.
• Sin escala indicativa, algo tan distinto como un poro de la piel o una duna
en el desierto se pueden confundir fácilmente.
• Mide, calcula y contesta:
• ¿Qué distancia hay entre Madrid y Barcelona en línea recta?.
• ¿Qué distancia hay entre Madrid y Barcelona por autovía?.
• ¿Qué distancia hay de tu pueblo o ciudad a Valladolid en línea recta?.
• ¿Qué distancia hay de tu pueblo o ciudad a Valladolid por carretera?.
• ¿Qué mide de largo tu pueblo o ciudad?.¿Y de anchura máxima?.
• ¿Qué distancia hay de tu casa al instituto por el recorrido habitual?.
• ¿Qué valor real tienen las dimensiones de las habitaciones de tu casa?.
• Mide, según el plano, la superficie real total de tu casa.¿Se corresponde
con los datos que sabes sobre el asunto?.
• Mide, según el plano, el largo y ancho de algunos muebles.
• Mide el ancho y el alto de la maqueta o figura. Calcula el alto y ancho real.
¿Se corresponde con la realidad?.
• Mide los microorganismos de las fotografías y calcula su tamaño real. Se
corresponde con las medidas de los mismos según lo que has estudiado en
Física, Química o Biología?.
• Haz un plano de la clase vista desde el techo, de modo que en dibujo
ocupe una extensión máxima de 180x270 mm.
