LIMIT

 “LIMIT”

 Limit fungsi adalah : Mendekati hampir, sedikit lagi, atau harga

batas.



A B









Di dekati di dekati dari kanan

Dari kriri 9.001 Di sebut LIMIT

8.999





 NOTASI LIMIT

lim

x  2



 Masukan variabel x=2 ke dalam variabel x

Maka : =







Apabila ditemuka hasil atau , maka harus difaktorkan atau di

turunkan atau di derivatifkan.

 Dengan Cara Di Faktorkan



lim lim lim (x+2)

x2 x2 x2



= 2+2=4





Contoh Soal :

1. lim

x 1



2. lim

x 1





3. lim

x 1



Jawaban



1. Massukan x=1 kedalam variabel x

lim = =0

x 1









2. lim

x 1









3. lim = = =1

x 1









 TEOREMA LIMIT



1. lim , “k” adalah konstanta sembarang

xa



Contoh :

a) lim = 2x(3)0

x3



= 2x1

=2







2. lim x= , adalah bilangan real

xa



Contoh :

a) lim = =9

x3

3. lim F(x) = F(a)

xa



Contoh :

a) lim = lim x2 + lim 5

x 1 x 1 x 1



= 12 + 5

=6



4. lim = lim lim

xa xa xa



Contoh :

a. lim

x3



= lim lim + lim

x3 x3 x3



=

= 14



5. lim = lim lim

xa xa xa



Contoh:

a. lim

x3







= lim ∙ lim

x3 x3



= ( 32+2) ∙ (3+1)

= 11 x4

= 44



6. lim =

xa







Contoh : lim = = =

x2









7. lim =

xa





Contoh : lim =

x3





=

=

=

8. lim =

xa





Contoh : lim = = =2

x8









9. lim “k”= konstanta sembarang

xa





Contoh : Limit

x =5∙

= 5 ∙ 16 = 80



 Bila di hitung dan hasil limitnya bernilai atau Dapat

digunakan cara:

1. Dengan cara aljabar

Contoh :

lim = = =

x~



maka :



lim = di bagi dengan pangkat

x~





tertinggi



=



=



=



= = =1

 Membuat Rumus









∙









bila a=p = =



bila a>p =+



bila a

LIMIT TRIGONOMETRI









sin x = cosec =

cosx= sec x =

tan x= cotan x =



LIMIT TRIGONOMETRI

x

1. lim =1= dan lim

x0 sin x x0





sin x

1

x

x tan x

2. lim = 1 dan lim 1

x0 tan x x0 x

tan x sin x

3. lim = 1 dan lim 1

x0 sin x x  0 tan x

tan x

Bukti : lim 1 = lim

x0 x x0



sin x

= lim ∙

x0 x

sin x

= lim lim

x0 x x0









=1∙

=1





Contoh soal :

lim sin 3 x lim

a. x0

= x0

3x

sin 3 x

= lim

x0 3x

= 1∙ 3 = 3

lim 5 sin 3 x lim

b. x  0 = x0

5∙ ∙

5x

lim

= x0 5 ∙

= 15

sin 3 x lim lim

c. lim = x0

sin 3x ∙ x0

x0 sin 5 x

lim lim

= x0

sin 3x ∙ ∙ x0





lim lim

= x0

∙ ∙ x0







=1 1=





d.





LIMIT TURUNAN

1. PENGERTIAN LIMIT TURUNAN FUNGSI



Y= f(x)









:

lim lim

x  0 x  0



Disebut Turunan / Derikatif

Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari

fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu

fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.



Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang

nilainya pada titik x adalah:





,



dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita

katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis

di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.



Apabila z = x + h, h = x - z, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z

mendekati x, maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:









Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) sebuah kurva pada sebuah titik

adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik

tersebut.





Perhatikan bahwa ekspresi pada definisi turunan di atas

merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x))

pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan

mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x)

pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari

garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien

dari fungsi tersebut.

Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x) = x2 pada titik (3,9):









Rumus-rumus Turunan









Contoh Soal:



1. Cari turunan fungsi f(x) = 2x + 3









Jadi turunan fungsi f(x) = 2x + 3 di bilangan x adalah f’(x) = 2

2. Persamaan garis singgung pada kurva

Ada fungsi kurva :

1.

2. Turunkan kurva tersebut

m = Gradien/slope/tangent garis/kemiringan garis/sudut garis.

3. Persamaan garis singgung dititik A(x,y)





Contoh :



1. → a. sketsa grafiknya







- -

x -3 2 1 0 1 2 3

y 13 8 5 4 5 8 13









2.

Persamaan garis dititik (1,5)

3. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Majemuk

a. Turunan Jumlah dan Selisih Fungsi-Fungsi



Yang dimaksud denagn fungsi majemuk adalah fungsi yang terdiri atas

fungsi-fungsi tunggal dan berbentuk









Jika dengan dan adalah fungsi-fungsi yang

mempunyai turunan dan , maka .





Contoh :

1.

Jawab:

1.

Missal :







b. Turunan Hasil Kali fungsi-fungsi

Jika dengan dan adalah fungsi-fungsi yang

mempunyai turunan dan , maka .



Contoh :

Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut ini :

1)

Jawab :

1)

Missal

c. Turunan Hasil Bagi Fungsi-Fungsi



Jika dengan serta dan adalah fungsi-fungsi

yang mempunyai turunan dan , maka .





Contoh :

Tentukan turunan fungsi dari

Jawab :



Missal:









d. Turunan Fungsi

Jika dengan adalah fungsi dari x yang mempunyai

turunan dan n adalah bilangan real, maka





Contoh:

Tentukan turunan dari :

1)

Jawab:

1) , berarti n=2

Missal:

Teorema L’Hospital

Penggunaan turunan untuk menghitung bentuk-bentuk tak tentu limit fungsi

dikenal dengan Teorema L’Hospital. Missal f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi

yang diferensibel.

f ' ( x)

Jika untuk setiap dan jika lim

x0

mempunyai bentuk

g ' ( x)

0 atau ~ pada x=a maka

0 ~



= , dengan catatan ada







Apabila masih mempunyai bentuk tak tentu, diteruskan dengan



menggunakan turunan kedua = …. Dan seterusnya

hingga ditemukan nilai limitnya.





Contoh:

Hitunglah limit berikut menggunakan teorema L’Hospital!

sin 5 x x3

1. lim 3. lim

x0 x x 3 x2  9

7x 1 cos 2 x  1

2. lim 4. lim

x 1 x  1 x0 2x 2

Jawab:

sin 5 x 5 cos5 x cos5 x cos 0 5  1

1. lim = lim0 = 5 lim0 = 5 lim = =5

x 0 x x 1 x 1 x0 1 1

7 x 1 7

2. lim

x 1 x  1

= =7

1

x 3 1 1 1

3. lim 2

x 3 x  9

= lim3

x  2x

= lim3

x 2  3

=

6

 SUKU BANYAK(POLINOMIAL)

A. Pengertian Suku Banyak

Suku banyak atau polynomial adalah suatu pernyataan aljabar yang dibentuk dari

variable berpangkat bilangan cacah yang dikalikan dengan suatu bilangan dan digabungkan

dengan tanda penjumlahan dan pengurangan.secara umum, suku banyak dalam variable x

yang berderajat n, berbentuk:









Keterangan :

1. n adalah bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak.

2. an,an-1,…,a2,a1,a0 merupakan konstanta real dan an≠0.

3. an koefisien dari variable xn, an-1koefisien dari variable xn-1dst.

4. a0 konstanta (suku tetap).

Contoh:

a. 6x3-3x2+4x-8 adalah suku banyak berderajat 3

Koefisien x3 adalah 6

Koefisien x2 adalah -3

Koefisien x adalah 4

Suku tetapnya adalah -8



B. Nilai Suku Banyak

Suatu suku banyak dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi f(x), yaitu





Jika suatu suku banya dinyatakan sebagai fungsi f(x), maka nilai suku

banyak f(x) dapat ditentukan dengan metode subtitusi dan metode pembagian

sintetik.