Teorema Wilson dan Fermat

							                                                               Smart Mathematics 2011

                  Aplikasi Teorema Wilson dan Teorema Kecil Fermat
                                             Oleh. Rusliansyah




1. Tunjukkan bahwa                   habis dibagi       , oleh group bersama dari invers modulo       yang
   terjadi pada     .
   Jawab:




                                             .
   Karena                            ,                                        , maka


                                                         , untuk suatu
                                                    , untuk suatu
   Jadi                 .
2. Berapa sisa          ketika dibagi oleh          ?
   Jawab:


   Karena                                                                                               dan
                            , maka


   Berdasarkan Teorema Wilson                                   . Sehingga


   Jadi sisa        ketika dibagi oleh           adalah 1.
3. Berapa sisa                                      ketika dibagi oleh    ?
   Jawab:
   Karena                                                                                         ,
                                                 dan                      , maka




     1    Rusliansyah
                                                                   Smart Mathematics 2011
   Berdasarkan Teorema Wilson,                                     . Sehinga:
                                                                    .


   Jadi sisa                                     ketika dibagi oleh        adalah
4. Berapa sisa         ketika dibagi oleh            ?
   Jawab:
   Diketahui                        Misal            , maka:
                          Teorema Wilson
                            Teorema Wilson


                                          Sifat Simetri




                                            Sifat Simetri
   Dari        dan     , diperoleh simtem kekonguenan:



   Dengan Teorema sisa China, diperoleh:
                                          dan             . Sehingga
                             Karena                      , maka:
                                . Diperoleh
                             Karena                      , maka:
                                . Diperoleh
   Maka
                                      .
   Jadi, sisa        ketika dibagi oleh
5. Berapa sisa           dibagi oleh        ?
   Jawab:
   Karena            , maka berdasarkan Teorema Kecil Fermat                        . Sehingga;


   Jadi sisa          dibagi oleh         adalah 1
     2    Rusliansyah
                                                           Smart Mathematics 2011
6. Dengan menggunakan Teorema Kecil Fermat, carilah sisa positif terkecil dari
   modulo        !
   Jawab:
   Karena            , maka berdasarkan Teorema Kecil Fermat                            . Sehingga;


   Jadi sisa         dibagi oleh      adalah 1
7. Dengan menggunakan Teorema Kecil Fermat, carilah digit terakhir dari bilangan pokok
   perluasan dari          !
   Jawab:


8. Tunjukkan jika         merupakan bilangan komposit, dengan          , maka
   Jawab:
   Misal     bilangan komposit, maka              dengan              dan               .
   Karena            dan         maka             dan             , karena       dan   penyusun


   Berarti                             dan
   Berdasarkan akibat 4.8.1 diperoleh:


   Jadi, jika     merupakan bilangan komposit, dengan             , maka
9. Tunjukkan jika         bilangan ganjil dan     , maka                     !
   Jawab:
       bilangan ganjil, maka                 untuk suatu      .




   Tinjau       kasus:
       Kasus I:     ganjil,              untuk suatu       . Maka:




       3    Rusliansyah
                                                            Smart Mathematics 2011
                         untuk suatu
      Kasus II:      genap,           untuk suatu         . Maka




                         untuk suatu
   Dari        dan      diperoleh
   Karena            berdasarkan Teorema Kecil Fermat, maka                       .
   Berdasarkan akibat 4.8.1 diperoleh:
                                                .
   Jadi jika     bilangan ganjil dan         , maka
10. Tunjukkan bahwa             habis dibagi oleh         ketika            !
   Jawab:
   Karena                 , maka     adalah bilangan ganjil.
   Berakibat                             (telah dibuktikan pada soal No. 9 di atas)
   Berdasarkan Teorema Kecil Fermat, maka                                       dan   .
   Sehingga berdasarkan akibat 4.8.1 diperoleh:
                                                      .
   Karena                           , maka          habis dibagi oleh   .




       4   Rusliansyah