משפחת המרובעים
לכיתה ט'
מאת: אבי משולם
אפריל 70 82
משפחת המרובעים
1
מתודולוגיה
טיפים לפתרון שאלות מהו מרובע? הטרפז הדלתון המעוין המקבילית המלבן הריבוע דוגמאות נוספות
אפריל 70 82 משפחת המרובעים
• • • • • • • • •
2
טיפים בפתרון שאלות
• שרטטו שרטוט המתאים לשאלה
– רשמו את כל הנתונים בשרטוט
• כל נתון שאתם מגלים במהלך הפתרון – הוסיפו לשרטוט • התחילו מהסוף – מה אתם צריכים לגלות/להוכיח? • חשבו:
– איך הנתונים עוזרים לכם להגיע לפתרון? – אילו משפטים שאתם מכירים מתאימים לשאלה?
• בשאלות שצריך למצוא גודל מסוים, רצוי לסמן את הגודל כ-( Xנעלם).
אפריל 70 82 משפחת המרובעים 3
מהו המרובע?
• המרובע – מצולע בעל 4 צלעות.
– סכום הזוויות במרובע הוא 0063. – היקף המרובע ( – )Pסכום 4 צלעותיו. – שטח מרובע ( – )Sמכפלת צלע במרובע בגובה לאותה צלע.
• מבחינים בין מרובעים לא מיוחדים למרובעים מיוחדים.
– על המרובעים המיוחדים בשקפים הבאים...
אפריל 70 82 משפחת המרובעים 4
מהו המרובע? (המשך)
P a bc d
a
A B
S ch
אפריל 70 82
d h
D
b
C
c
משפחת המרובעים 5
הטרפז
• טרפז – מרובע בעל זוג צלעות נגדיות מקבילות.
• תכונות הטרפז:
– זוג צלעות נגדיות מקבילות (.)ac
A
a
h
B
• שטח והקף:
b
d
D
P a bc d
C
c
(a c)h S 2
6
אפריל 70 82
משפחת המרובעים
טרפז ישר זווית
• טרפז ישר זווית – טרפז אשר 2 מזוויותיו בנות 09 מעלות. • תכונות הטרפז:
– זוג צלעות נגדיות מקבילות (.)ac – זווית בת 09 מעלות.
B
A
a
d
D
b
c
C
• שטח והיקף:
P a bc d
(c a)b S 2
משפחת המרובעים 7
אפריל 70 82
טרפז שווה-שוקיים
• טרפז שווה-שוקיים– טרפז אשר 2 שוקיו שוות זו לזו. • תכונות הטרפז:
– זוג צלעות נגדיות מקבילות (.)ac – זוג שוקיים שוות (.)b=d
B
a
A
• שטח והיקף:
b
d
D
P a bc d
(a c)h S 2
משפחת המרובעים 8
c
C
אפריל 70 82
טרפז (דוגמה)
• דוגמה: ABCDטרפז (.)ABCD ∢ABD = 25° ,AD=AB חשבו את זווית .∢Dנמקו!
A B
052
D
C
אפריל 70 82
משפחת המרובעים
9
טרפז (דוגמה-המשך)
• פתרון:
הסבר
נתון
זוויות בסיס במשולש שו"ש סכום הזוויות במשולש – 081 מעלות
A
B
טענה
נסתכל על משולש ABD
AD=AB
052 ADB ABD
0031 A
ABCD
נתון טרפז זוויות חד-צדדיות בין מקבילים
C
052
0081 A D
005
D
05 D
משפחת המרובעים
0
אפריל 70 82
01
הדלתון
• דלתון – מרובע בעל 2 זוגות של צלעות סמוכות שוות. • תכונות הדלתון:
AB=AD CB=CD זוויות הבסיס שוות ( ) B D האלכסון הראשי חוצה את זוויות הראש ( A , C C האלכסונים מאונכים זה לזה ()AC┴BD אלכסון הראש חוצה את אלכסון הבסיס (.)BO=DO
2 1 2
A
a
O D B
)
A1
– – – – – –
b
C
• שטח והיקף:
2 P ( a b)
AC BD S 2
משפחת המרובעים 11
אפריל 70 82
הדלתון (דוגמה)
• דוגמה: PTRSדלתון ובו נתון:
01 R1 620 , R2 27 0 , T1 280 , PR
T
– חשב את: TPS , O1 , T2 , PO, RO
• פתרון:
הסבר
01 ס"מ
O P R
זוויות הבסיס בדלתון שוות נתון
טענה TPS TRS 098 TPS 620 270
האלכסונים בדלתון מאונכים זה לזה
S
009 O1
21
אפריל 70 82
משפחת המרובעים
הדלתון (דוגמה – המשך)
• המשך פתרון:
הסבר
T
טענה
האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש האלכסון הראשי בדלתון חוצה את אלכסון הבסיס
T1
082 T2
5=PO=RO
01 ס"מ
O P R
S
אפריל 70 82
משפחת המרובעים
31
המעוין
• מעוין – מרובע בעל 4 צלעות שוות זו לזו.
– זהו מקרה פרטי של דלתון ושל מקבילית.
• תכונות המעוין:
כל הצלעות שוות ()AB=BC=CD=DA זוויות נגדיות שוות זו לזו ( ) A C; B D האלכסונים מאונכים זה לזה ()AC┴BD האלכסונים חוצים זה את זה ()AO=CO;BO=DO האלכסונים חוצים את הזוויות.
B
A
a
O
– – – – –
D
• שטח והיקף:
P 4a
C
S
אפריל 70 82 משפחת המרובעים
AC BD 2
41
המעוין (דוגמה)
• דוגמה: במעוין ABCDהקטע AEחוצה את DAC
A
B
וחותך את האלכסון DBבנקודה .F נתון: .DF=AF
– חשב את זוויות המעוין. – הוכח: .AE┴DC
X X 2 1
O
• פתרון:
F
הסבר
C
טענה
נסתכל על ∆AOD
נקרא: DAE X
D
E
לשם נוחות נתון AEחוצה זווית נתון
אפריל 70 82 משפחת המרובעים
A1 A2 X
AF=DF
51
המעוין (דוגמה – המשך)
• פתרון (המשך):
הסבר
A B
006 003 003 X X
O
006
זוויות הבסיס במשולש שו"ש שוות במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה
טענה A1 ADF X
009 AOD
009=3X 003=X
003 X
D
F
0021
C
E
סכום הזוויות במשולש הוא 0081 נתון במעוין האלכסונים הם חוצי זווית זוויות נגדיות שוות סכום הזוויות במרובע הוא 0063
006 DAC BAC
0021 A C
006 B D
61
אפריל 70 82
משפחת המרובעים
המעוין (דוגמה – המשך)
• פתרון (המשך – סעיף ב'):
הסבר
A B
טענה
נסתכל על ∆AED
006 003 003
O
006
הוכחה בסעיף קודם הוכחה בסעיף קודם
003 DAE
006 ADE
003 X
D
F
0021
C
E
סכום הזוויות במשולש הוא 0081
מ.ש.ל.
009 AED
AE┴DC
אפריל 70 82
משפחת המרובעים
71
המקבילית
• מקבילית – מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות מקבילות.
• תכונות המקבילית:
– צלעות נגדיות שוות זו לזו ()AB=CD; BC=AD )
– זוויות נגדיות שוות זו לזו ( A C; B D
A
a
O
– האלכסונים חוצים זה את זה ()AO=CO;BO=DO
B
– האלכסונים חוצים את הזוויות.
h
E
b
C
• שטח והיקף:
2 P ( a b)
D
S ah
משפחת המרובעים 81
אפריל 70 82
המקבילית (דוגמה)
B
• דוגמה: במקבילית ABCDנתון:
C
– CE┴AD – CF=DF
F
CFE 2 B
A E D
• צ"ל:
• פתרון:
הסבר
זוויות נגדיות במקבילית שוות נתון CE┴AD נתון תיכון ליתר במשולש ישר זווית, שווה לחציו זוויות בסיס במשולש שו"ש EFD זווית חיצונית למשולש שווה לשתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
אפריל 70 82 משפחת המרובעים
טענה
B D
∆CEDישר זווית CF=DF EF=CD/2=DF
D FED
CFE B FED 2 B
91
המלבן
• מלבן – מרובע שבו כל הזוויות ישרות.
– זהו מקרה פרטי של מקבילית.
• תכונות המלבן:
– כל הזוויות שוות זו לזו וישרות. – צלעות נגדיות שוות זו לזו ()AB=CD; BC=AD
A
a
O
B
– האלכסונים שווים זה לזה ()AC=BD
– האלכסונים חוצים זה את זה ()AO=CO;BO=DO
b
C
• שטח והיקף:
2 P ( a b)
D
S a b
משפחת המרובעים 02
אפריל 70 82
המלבן (דוגמה)
• דוגמה: נתון ABCDמלבן. AEחוצה זווית .A
• פתור:
054
– מצא את זוויות 1, 2, 3. – הוכח: .BK=AB
– נתון: 40=ABס"מ, 22=ADס"מ. מצא את BK ,CKו – .BC
054 054
• פתרון:
הסבר
במלבן כל הזוויות ישרות נתון AEחוצה זווית
טענה 009 A
A1 054 A2
BKAD
במלבן, צלעות נגדיות מקבילות
זוויות מתחלפות בין מקבילים
אפריל 70 82 משפחת המרובעים
A2
054 A3
12
המלבן (דוגמה – המשך)
• המשך פתרון:
הסבר
נוכיח כי מדובר במשולש שו"ש
04 ס"מ
22ס"מ 81ס"מ 054
טענה
נסתכל כל ∆ABK
ר' הוכחה בסעיף קודם אם זוויות הבסיס שוות, הרי מדובר במשולש שו"ש (מ.ש.ל.) צלעות נגדיות במלבן שוות
054 1 3
AB=BK 22=BC=AD
04 ס"מ
ר' הוכחה בסעיף קודם
054 054 22ס"מ
04=BK=AB
81=CK=BK-BC
אפריל 70 82
משפחת המרובעים
22
הריבוע
• ריבוע – מרובע בעל 4 צלעות שוות ו-4 זוויות שוות. • תכונות הריבוע:
כל הצלעות שוות ()AB=BC=CD=DA כל הזוויות שוות זו לזו וישרות האלכסונים שווים זה לזה ()AC=BD האלכסונים מאונכים זה לזה ()AC┴BD האלכסונים חוצים זה את זה ()AO=CO;BO=DO האלכסונים חוצים את הזוויות. – – – – – –
A
a
O
B
• שטח והיקף:
D C
P 4a 2S a
משפחת המרובעים 32
אפריל 70 82
הריבוע (דוגמה)
• דוגמה: בריבוע ABCDנתון:
– AF 2 FD ,BE=DF
X
M E C
– ALחוצה את הזווית AM ,FADחוצה את הזווית .BAE
B
• הוכיחו:
– ∆ALMשווה-צלעות. – .MLEF
F
43
• פתרון:
X
L
2 1 051
הסבר
נתון
טענה
נסתכל על ∆ADF
A
D
AF 2 FD
במשולש ישר זווית, הזווית מול ניצב השווה לחצי מהיתר היא בת 003
נתון ALחוצה זווית
אפריל 70 82 משפחת המרובעים
003 FAD
051 A 1
42
הריבוע (דוגמה - המשך)
• המשך פתרון:
הסבר
X
M E C
טענה
נסתכל על ∆ADF ,∆ABE AD=AB
נוכיח משולשים חופפים בריבוע כל הצלעות שוות (צ') בריבוע כל הזוויות שוות (ז') נתון (צ')
F
B
D B
BE=DF
לפי צ', ז', צ'
X
ADF ABE
AE=AF=2X נסתכל על ∆ABE
051 43 2 051
L D
צמב"ח
A
במשולש ישר זווית, הזווית מול ניצב השווה לחצי מהיתר היא בת 003
נתון AMחוצה זווית
אפריל 70 82 משפחת המרובעים
AE 2 BE 003 BAE
051 A3
52
הריבוע (דוגמה - המשך)
• המשך פתרון:
הסבר
X
M E C
טענה
כל הזוויות בריבוע ישרות הוכח בסעיפים קודמים משלים ל-09 מעלות נוכיח משולשים חופפים
F
009 A
051 A1 A3
B
006
006 MAL
נסתכל על ∆ADL ,∆ABM 051 A1 A3
הוכח בסעיף קודם (ז')
X
051 4
006
006
2 051
L D
כל הצלעות בריבוע שוות כל הזוויות בריבוע שוות לפי ז', צ', ז'
A
D B
ADL ABM
AL=AM
AB=AD
צמב"ח
זוויות שוות ומשלימות ל-081 מעלות מ.ש.ל
אפריל 70 82 משפחת המרובעים
006 ALM AML
∆ALMשווה-צלעות
62
הריבוע (דוגמה - המשך)
• המשך פתרון:
הסבר
X
M E C
טענה
BE=FD
נתון הוכח בסעיף קודם צמב"ח חיסור קטעים
F
B
ADL ABM
BM=DL BE-BM=FD-DL
006
נובע מסעיף קודם
X
ME=FL
MLEF
051 4
006
006
2 051
L D
מ.ש.ל
A
אפריל 70 82
משפחת המרובעים
72
דוגמאות נוספות
• דוגמה מס' 1:
C D
– ABCDמלבן. הנקודה Kנמצאת על המשך .AB הקטע CKשווה לאלכסון .DB – הוכיחו:
• המשולש ACKהוא משולש שווה-שוקיים. • המרובע CDBKהוא מקבילית.
– פתרון:
K B A
הסבר
נתון
במלבן האלכסונים שווים זה לזה נובע משני הסעיפים הקודמים מ.ש.ל.
טענה
CK=DB
DB=CA CK=CA ∆ACKשו"ש
במלבן, צלעות נגדיות מקבילות
אפריל 70 82 משפחת המרובעים
CDAB
82
דוגמאות נוספות (המשך)
• דוגמה מס' 1:
– המשך פתרון:
C D
הסבר
KBהמשך צלע AB זוויות בסיס שוות זו לזו במשולש שו"ש KCA
טענה
CDKB
CKB CAB
DBA CAB
K
B
A
האלכסונים במלבן שווים זה לזה וחוצים זה את זה ולכן הם יוצרים ביניהם משולשים שווי שוקיים נובע משני הסעיפים הקודמים נובע מסעיף קודם, זוויות מתאימות שוות יוצרות שני מקבילים קיימות 2 זוגות צלעות נגדיות מקבילות (מ.ש.ל.)
CKB DBA
CKDB CDBKמקבילית
92
אפריל 70 82
משפחת המרובעים
דוגמאות נוספות
• דוגמה מס' 2:
– נתון ABCמשולש שווה-שוקיים (.)AB=BC DE .BD┴ACתיכון ל- BCב-.∆BCD
A
– הוכח: 2 DE AB – נתון: .FD=BF
– הוכח:
D F
• .DFBC • DFתיכון ל-.AB
B
E
C
אפריל 70 82
משפחת המרובעים
03
דוגמאות נוספות
• המשך דוגמה מס' 2:
– פתרון: הסבר
A
טענה
∆ABCשו"ש BD┴AC AD=DC BE=EC DEקטע אמצעים
נתון
D F
נתון גובה לבסיס במשולש שו"ש הוא גם תיכון וגם חו"ז
E C
נתון מחבר אמצעי 2 צלעות במשולש
B
קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה (מ.ש.ל.)
BDהוא חו"ז הראש במשולש שו"ש ABC
אפריל 70 82 משפחת המרובעים
2 DE AB
FBD EBD
13
דוגמאות נוספות
• המשך פתרון דוגמה מס' 2:
הסבר
נתון
A
טענה
FD=FB FDB FBD
זוויות הבסיס במשולש שו"ש שוות זו לזו
D F
2 זוויות השוות כל אחת לזווית שלישית, שוות ביניהן זוויות מתחלפות שוות (מ.ש.ל.)
C
FDB EBD
DFBC FDBEמקבילית DE=FB
B
E
קיימות 2 זוגות של צלעות נגדיות המקבילות זו לזו במקבילית צלעות נגדיות שוות זו לזו
הוכח קודם
נובע משני הסעיפים הקודמים (מ.ש.ל.)
אפריל 70 82 משפחת המרובעים
2 DE AB
AF=BF
23
אפריל 70 82
משפחת המרובעים
33