סדרה חשבונית

‫סדרה חשבונית‬

‫מאת: אבי משולם‬



‫70.20.11‬



‫סדרה חשבונית‬



‫1‬



‫מתודולוגיה‬

‫מהי סדרה חשבונית?‬ ‫דוגמאות לסדרות חשבוניות‬ ‫פרמטרים מאפיינים‬ ‫הגדרה מתמטית‬ ‫נוסחאות שימושיות‬ ‫סוגי תרגילים וכיצד פותרים אותם‬ ‫תרגילים לדוגמה‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬



‫70.20.11‬



‫סדרה חשבונית‬



‫2‬



‫מהי סדרה חשבונית?‬

‫• סדרה חשבונית הינה רצף של מספרים, כאשר‬ ‫ההפרש ביניהם קבוע.‬ ‫• לדוגמה:‬ ‫3‬

‫5‬



‫8‬

‫5‬



‫31‬

‫5‬



‫81‬

‫5‬



‫... 32‬



‫הסדרה‬

‫ההפרש‬



‫70.20.11‬



‫סדרה חשבונית‬



‫3‬



‫דוגמאות לסדרות חשבוניות‬

‫2‬

‫4‬



‫6‬

‫4‬



‫01‬

‫4‬



‫41‬

‫4‬



‫... 81‬



‫99‬

‫8-‬



‫19‬

‫8-‬



‫38‬

‫8-‬



‫57‬

‫8-‬



‫... 76‬



‫7‬

‫0‬



‫7‬

‫0‬

‫70.20.11‬



‫7‬

‫0‬



‫7‬

‫0‬



‫... 7‬



‫סדרה חשבונית‬



‫4‬



‫פרמטרים מאפיינים‬

‫• ‪ – d‬הפרש הסדרה.‬

‫• ‪ – an‬האיבר ה-‪-n‬י/האיבר האחרון בסדרה.‬



‫• 1‪ – a‬האיבר הראשון בסדרה.‬ ‫• ‪ – n‬מס' האיברים/מיקום האיבר ה-‪-n‬י בסדרה.‬ ‫• ‪ – Sn‬סכום איברי הסדרה.‬



‫70.20.11‬



‫סדרה חשבונית‬



‫5‬



‫הגדרה מתמטית‬

‫ההפרש בין איברי הסדרה הינו קבוע‬



‫‪an 1  an  d‬‬

‫70.20.11‬ ‫סדרה חשבונית‬ ‫6‬



‫נוסחאות שימושיות‬

‫• נוסחה למציאת האיבר ה-‪-n‬י בסדרה:‬

‫פיתוח‬ ‫הנוסחה‬



‫‪an  a1  (n  1)d‬‬

‫• נוסחה למציאת סכום סדרה:‬



‫פיתוח‬ ‫הנוסחה‬



‫‪[2a1  (n  1)d ]n‬‬ ‫‪Sn ‬‬ ‫2‬



‫או‬



‫‪(a1  an )n‬‬ ‫‪Sn ‬‬ ‫2‬



‫70.20.11‬



‫סדרה חשבונית‬



‫7‬



‫סוגי תרגילים וכיצד פותרים אותם‬

‫• 2 סוגי תרגילים מרכזיים:‬

‫– "הוכח כי ...הינה סדרה חשבונית".‬



‫• נשתמש בנוסחה: ‪an 1  an  d‬‬ ‫– מצא את ערך: סכום הסדרה/האיבר ה.../מספר‬ ‫האיברים בסדרה/הפרש הסדרה וכו'.‬

‫• נשתמש באחת הנוסחאות הבאות:‬

‫‪[2a1  (n  1)d ]n‬‬ ‫‪Sn ‬‬ ‫2‬



‫‪an  a1  (n  1)d‬‬

‫סדרה חשבונית‬ ‫8‬



‫70.20.11‬



‫תרגילים לדוגמה‬

‫• תרגיל מס' 1:‬

‫– בסדרה חשבונית 02 איברים. האיבר השלישי‬ ‫בסדרה הוא 01. הפרש הסדרה הוא 3.‬

‫• מצא את האיבר הראשון בסדרה.‬ ‫• מצא את האיבר החמישה-עשר בסדרה.‬ ‫• מצא את האיבר העשרים.‬

‫• מצא את סכום 6 האיברים האחרונים בסדרה.‬

‫70.20.11‬ ‫סדרה חשבונית‬ ‫9‬



‫תרגילים לדוגמה (המשך)‬

‫• פתרון תרגיל מס' 1:‬

‫02 ‪n ‬‬ ‫01 ‪a3 ‬‬ ‫3‪d ‬‬

‫‪a3  a1  (3  1)d‬‬



‫– הנתונים:‬



‫– הפתרון:‬

‫‪a15  a1  (15  1) d‬‬



‫3 ‪10  a1  2 ‬‬ ‫6 ‪10  a1 ‬‬ ‫4‪ a1  ‬‬



‫3 ‪a15  4  14 ‬‬

‫24 ‪a15  4 ‬‬



‫4 ‪a1 ‬‬

‫70.20.11‬



‫64 ‪a15 ‬‬

‫סדרה חשבונית‬ ‫01‬



‫תרגילים לדוגמה (המשך)‬

‫• פתרון תרגיל מס' 1 (המשך):‬

‫– הפתרון:‬

‫3)1 ‪a20  4  (20 ‬‬

‫3 ‪a20  4  19 ‬‬

‫75 ‪a20  4 ‬‬

‫02 ‪S15‬‬ ‫6 ]3 ‪[2a15  (6  1) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫12‬

‫3‬



‫3]3 ‪S1520  [2  46  5 ‬‬



‫16 ‪a20 ‬‬



‫3]51 ‪S15 20  [92 ‬‬

‫3 ‪S15 20  107 ‬‬



‫123 ‪S1520 ‬‬

‫70.20.11‬ ‫סדרה חשבונית‬ ‫11‬



‫תרגילים לדוגמה (המשך)‬

‫• תרגיל מס' 2:‬

‫– איבר בסדרה נתון ע"י הנוסחה הבאה: 11-‪.an=4n‬‬

‫• הוכח כי מדובר בסדרה חשבונית.‬

‫• מה סכום 01 האיברים הראשונים בסדרה?‬



‫70.20.11‬



‫סדרה חשבונית‬



‫21‬



)‫תרגילים לדוגמה (המשך‬

:2 '‫• פתרון תרגיל מס‬

an  4n  11



:‫– הנתונים‬



:‫– הפתרון‬

an1  4(n  1)  11

an 1  4n  4  11

a1  4  1  11  7

[2(7)  (10  1)4]10 Sn  21

5



an 1  4n  7

an 1  an  4n  7  (4n  11)



Sn  [14  9  4]5

Sn  [14  36]5



an 1  an  4

11.02.07 ‫סדרה חשבונית‬



S n  110

13



‫70.20.11‬



‫סדרה חשבונית‬



‫71‬