Habilitation à diriger les
recherches
I. Milieux granulaires denses,
gaz granulaires:
des systèmes modèles hors de l‘équilibre
II. Eléments d‘étude des réseaux complexes
A. Barrat, Laboratoire de Physique Théorique, Orsay
16 mai 2005
Plan
• Brève description des travaux sur les matériaux
granulaires
• Réseaux complexes
Réseaux complexes: introduction
Cartographie des réseaux
Réseaux complexes valués
• Quelques perspectives
Matériaux granulaires
• hors d’équilibre, à température nulle
• toute dynamique=réponse à une injection d’énergie
– « gaz » : granulaires fortement vibrés, forte injection d’énergie
– plus dense, « liquide »
– très dense, en compaction : faible injection d’énergie
– « solide »
...de l’ingénierie à des questions fondamentales
de physique statistique hors d’équilibre
Matériaux granulaires:
granulaires denses
Collaboration avec
V. Colizza, G. D’Anna, J. Kurchan, V. Loreto, P. Mayor, F. Nori, M. Sellitto
1- Phénoménologie de la compaction des granulaires faiblement vibrés:
étude numérique détaillée d’un modèle sur réseau
étude des relaxations lentes
importance des hétérogénéités: utilisation des profils de densité pour
l’interprétation des résultats numériques
(ex: réponse à un changement du forçage)
effets mémoire lors d’un changement du forçage
Matériaux granulaires:
granulaires denses
2- Application de concepts thermodynamiques ?
Proposition de S. Edwards: description statistique des configurations
échantillonnées dynamiquement à temps longs lors de la compaction
exact dans certains modèles champ moyen
Investigation numérique sur plusieurs modèles schématiques en
dimension finie, présentant la phénoménologie de la compaction granulaire
situations homogènes
cas plus réaliste, avec profil de densité
bonne approximation pour un certain
nombre de modèles
Gaz granulaires
Collaboration avec
T. Biben, J.N. Fuchs, E. Trizac, Z. Racz, F. van Wijland
Motivation: système modèle exhibant des états stationnaires hors d’équilibre,
avec possibilité d’études expérimentales, numériques, analytiques
Cadre théorique: sphères dures inélastiques
Avant collision Après collision
v1 v’1
la composante normale de la
vitesse relative est réduite
=>perte d’énergie
v2 v’2
Gaz granulaires
Sujets d’étude:
•Distributions de vitesse, problème de l’universalité
(modèle effectif avec coefficient de restitution aléatoire)
•Non- équipartition de l’énergie dans les mélanges binaires
•« Démon de Maxwell »
Méthodes
•Théorie cinétique: équation
de Boltzmann
•Simulations numériques:
•Monte-Carlo
•Dynamique moléculaire
Réseaux complexes
Collaboration avec
I. Alvarez-Hamelin, M. Barthélemy, L. Dall’Asta, R. Pastor-Satorras,
A. Vázquez, A. Vespignani
Thématique interdisciplinaire, suivant plusieurs axes:
• Analyse et théorie: réseaux complexes valués
• Cartographie des réseaux complexes
• Dynamique sur réseaux: épidémiologie
Exemples de réseaux complexes
• Internet
• WWW
• Réseaux de transport
• Réseaux d’interaction de protéines
• Réseaux de transcription des gènes
• Réseaux sociaux
• ...
sont, ou peuvent être modélisés par, des graphes: ensemble
de N sites/noeuds/sommets et E liens, en général dilués i.e.
E = const
•... •
sont des réseaux hétérogènes
Absence d’échelle Divergence des fluctuations
caractéristique
Comparaison imagée
Distribution de Poisson Distribution en loi de puissance
Distribution hétérogène des degrés:
Conséquences importantes, par exemple
• Propagation d’épidémies
• Robustesse
• Vulnérabilité
• ...
Réseau homogène Réseau sans échelle
Principales caractéristiques
• Graphes « petit-monde »
• Graphes hétérogènes, avec des lois de distribution
larges pour le degré
• Souvent: évolution dynamique, auto-organisation
Théorie des graphes aléatoires: graphes statiques, topologie ad-hoc...
Nécessité de nouveaux paradigmes
Développement d’une activité de recherche intense
Un nouveau cadre
(1) Croissance: Ajout à chaque instant t d’un
nouveau site, avec m liens (connectés aux sites déjà
présents).
(2) Attachement préférentiel: ki
(ki )
la probabilité Π que le nouveau site va se lier au site i jk j
dépend du degré ki de ce site
P(k) ~k-3
A.-L.Barabási, R. Albert, Science 286, 509 (1999)
Modèles de réseaux sans échelle
Barabási, Albert, 1999: croissance + attachement préférentiel
P(k) ~ k -3
Généralisations et variations:
Non- linéarité : (k) ~ k
Attractivité initiale : (k) ~ A+k
Réseaux avec fort clustering P(k) ~ k -
Caractères intrinsèques: (k) ~ hiki
Réseaux plongés en 2 dimensions
(....) => nombreux modèles
Redner et al. 2000, Mendes et al. 2000, Albert et al. 2000, Dorogovtsev et al. 2001,
Bianconi et al. 2001, Barthélemy 2003, etc...
Caractérisation des divers modèles
• Distribution des degrés P(k)
=>Homogène vs. hétérogène
• Corrélations entre degrés de sites voisins
• « Clustering » (triangles)
• ...
=> Comparaison avec réseaux réels
Fiabilité des données empiriques ?
Hétérogénéité des réseaux: constatée empiriquement
• réseaux sociaux: données variées, même type de résultats
• réseaux de transport: données fiables
• réseaux de nature biologique: incomplets
• Internet: cartographie résultant d’un échantillonnage incomplet
Analyse statistique de la fiabilité d’un tel échantillonnage
Biais du processus d’échantillonnage
Traceroute:
=> arbre à partir
de chaque source
Echantillonnage incomplet
Connectivité latérale mal estimée
Biais du processus d’échantillonnage
• Sites et liens mieux échantillonnés près des sources
• Mauvaise estimation de certaines propriétés ?
Les propriétés statistiques du graphe échantillonné
pourraient différer des vraies propriétés
Lakhina et al. 2002
Mauvais
Clauset & Moore 2005
échantillonnage
De Los Rios & Petermann 2004
? Guillaume & Latapy 2004
Comment évaluer ces biais ?
Graphe réel G=(V,E)
(connu )
échantillonnage simulé
Graphe échantillonné G’=(V’,E’)
Analyse de G’, comparaison avec G
Notre démarche
I. modèle pour traceroute
II. approche analytique avec
approximations de type champ moyen
=> lien entre les propriétés
topologiques du réseau et les biais du
processus d’échantillonnage
III. validation numérique par
l’échantillonnage simulé de graphes
homogènes et hétérogènes
I-Modèle pour traceroute
Première approximation: union de chemins les plus courts
G=(V, E)
Sources Destinations
(NS) (NT)
I-Modèle pour traceroute
Première approximation: union de chemins les plus courts
G’=(V’, E’)
Modèle simple, qui permet d’obtenir un traitement
analytique et numérique
II-Analyse du processus de cartographie
1. Expression exacte pour la probabilité de découvrir
un site ou un lien donné
2. Approximation de type champ moyen: on néglige
les corrélations entre les différents chemins
3. Interprétation du résultat en termes de propriétés
topologiques, en particulier de la centralité donnée
par la « betweenness centrality »
Prédiction: sites et liens plus « centraux » sont
mieux échantillonnés
Betweenness centrality b
pour chaque couple (l,m) de sites, il y a
nlm plus courts chemins entre l et m
nijlm plus courts chemins passant par ij
bij est la somme de nijlm / nlm sur tous les
couples (l,m)
i k
ij: grande centralité
j
jk: faible centralité
NB: flux d’information si chaque site envoie
de façon similaire un message à tous les autres sites
betweenness du site i bi
II-Conséquences de l’analyse
1. Graphes homogènes (ex: graphes aléatoires ER)
• distributions piquées de k et b
• gamme étroite de centralité (betweenness)
prédiction: bon échantillonnage (uniforme) seulement pour un grand
nombre de sondes
2. Graphes hétérogènes (ex: modèle Barabási-Albert)
• distributions larges de k et b ; b » k
• gamme étendue de valeurs
prédiction: sites de grand degré toujours bien échantillonnés
III-Simulations numériques
Graphes homogènes
Mauvais échantillonnage pour toute la gamme de degrés
NS NT/N
III-Simulations numériques
Graphes hétérogènes
Sites à fort degré bien échantillonnés
III-Simulations numériques
Graphes homogènes
NS=1
Pas de distribution large,
sauf....
•P*(k) large seulement pour NS = 1 (cf Clauset and Moore 2005)
• cut-off à
• mauvais échantillonnage de P(k)
III-Simulations numériques
Graphes hétérogènes
• bon échantillonnage, surtout à grand degré;
• inflexion à faibles degrés (sites moins centraux) => mauvaise évaluation des exposants.
Fiabilité du processus de cartographie
Approche analytique du processus de type traceroute
Lien avec les propriétés topologiques
Bon échantillonnage des lois larges pour la distribution des
degrés
Biais donnant un réseau échantillonné hétérogène à partir
d’un réseau homogène:
seulement dans des cas très particuliers
devrait être très grand (peu réaliste)
Fiabilité du processus de cartographie:
conclusion
Les propriétés d’hétérogénéité sont réelles
dans le réseau Internet
mais
L’analyse quantitative peut être fortement biaisée (exposants mal mesurés...)
Au-delà de la topologie:
réseaux complexes valués
• Internet
• Emails
• Réseaux sociaux
• Réseaux économiques (Garlaschelli et al. 2003)
• Réseaux biologiques (Almaas et al. 2004)
• Réseaux de transport
• ...
sont des réseaux valués, avec des poids
hétérogènes sur les liens
i wij j
Nos travaux
• Analyses empiriques de réseaux réels
• Définition de nouveaux outils de
caractérisation, en particulier pour les
corrélations
• Modélisation
Outils pour la caractérisation des
réseaux valués
•Généralisation du degré: si = j wij
=>étude des distributions de s, des corrélations entre s et k
•Généralisation de l’étude des corrélations:
•triangles => « clustering » valué
•corrélations à deux points
Nécessité de tenir compte des
poids pour les corrélations
wij=1
i wij=5
i
ciw > ci ciw informations supplémentaires sur les réseaux étudiés
Modèles de réseaux valués
Yook, Jeong, Barabási, Tu, Phys. Rev. Lett. (2001)
Zheng et al. Phys. Rev. E (2003)
Jezewski, Physica A (2004)
Park et al., Phys. Rev. E (2004)
Almaas, Redner, Phys. Rev. E (2005)
Antal, Krapivsky, Phys. Rev. E (2005)
=>Poids statiques, avec ou sans corrélations avec la
topologie, alors qu’en général les poids
●évoluent
●sont couplés avec la topologie
Un nouveau mécanisme
• Croissance:ajout à chaque pas de temps d’un nouveau site avec m
liens à connecter à des sites déjà existants
• Attachement Préférentiel: la probabilité de se connecter à un site
donné est proportionnelle au degré pondéré du site
Attachement préférentiel déterminé par les poids
et...
Redistribution des poids:
mécanisme de rétroaction
Nouveau site: n, attaché à i n i
Nouveau poids wni=w0=1
Poids entre i et ses autres voisins: j
si si + w0 + d seul paramètre
Le nouveau trafic n-i accroît le trafic i-j
et le poids/l’attractivité de i
=>mécanisme de rétroaction
Résultats analytiques
Distributions en loi de puissance
pour k, s and w:
P(k) ~ k - ; P(s)~s-
Corrélations topologie/poids:
wij ~ min(ki,kj)a , a=2d/(2d+1)
Résultats numériques
(N=105)
Extensions du modèle:
• Hétérogénéités des sites
• Réseau dirigé
• Contraintes spatiales
• Renforcement des liens déjà existants
• etc...
Conclusions: réseaux valués
• importance de l’étude des intensités des liens
• généralisation des corrélations => meilleure
compréhension des réseaux
• nouveaux mécanismes de modélisation
Perspectives
1. Granulaires denses: expériences...
2. Gaz granulaires:
• fluctuations de grandeurs globales
• théorème fluctuation
3. Réseaux complexes
• cartographie: influence des divers paramètres;
déploiement massif de sources...
• influence des poids sur la dynamique
• épidémiologie
• réseaux dynamiques (ex: pair-à-pair)