y ax b
פונקציה לינארית
מאת: אבי משולם
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
1
מאת: אבי משולם
מתודולוגיה
• מהי פונקציה ליניארית?
• תיאור גראפי ואלגברי
• פרמטרים ומשתנים • השיפוע
• נק' חיתוך עם הצירים
• מציאת משוואת הישר • שלבים בפתרון משוואות
• ישרים מקבילים ומאונכים
• חישוב מרחקים ושטחים
42 פברואר 70 פונקציה לינארית 2
מאת: אבי משולם
מהי פונקציה ליניארית?
• פונקציה ליניארית – הינה פונקציה קווית, כלומר פונקציה המתארת בצורה גראפית או אלגברית קו ישר.
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
3
מאת: אבי משולם
הבעה גראפית
– לדוגמה: תיאור גראפי של הפונקציה 3-y=2x
• הבעה של הפונקציה הליניארית באמצעות שרטוט על גבי גרף בשני צירים (.)X,Y
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
4
מאת: אבי משולם
הבעה אלגברית
• תיאור של הפונקציה הליניארית ע"י שימוש במשוואה אלגברית.
Y=ax+b
• משוואת הפונקציה הליניארית:
– דוגמה: הפונקציה 5+.y=2x
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
5
מאת: אבי משולם
פרמטרים ומשתנים
• נסתכל על משוואת הפונקציה האלגברית:
Y=ax+b
• משתנים: .x,y • פרמטרים: .a,b • על משמעותם של הפרמטרים והמשתנים בשקף הבא...
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
6
מאת: אבי משולם
פרמטרים ומשתנים (המשך...)
• המשתנים ( )x,yמהווים את ערכי ה- Xוה- Yשל כלל הנקודות המקיימות את המשוואה. • ניקח לדוגמה את המשוואה 7+ y=xואת הנקודה (9,2). האם הנקודה הזאת נמצאת על גרף הפונקציה? • על מנת לענות על השאלה, נציב את ערך ה- Xשל הנקודה (2) במשוואת הפונקציה. אם התשובה תצא ערך ה- yשל הנקודה (9), אזי הנקודה נמצאת על גרף הפונקציה.
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
7
מאת: אבי משולם
פרמטרים ומשתנים (המשך...)
• נציב: 9=7+2=Y • גילינו שהנקודה (9,2) מקיימת את משוואת הפונקציה ולכן היא חלק ממנה.
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
8
מאת: אבי משולם
פרמטרים ומשתנים (המשך...)
• פרמטרים:
– – aשיפוע הפונקציה. – – bנקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-.y
• הרחבה על פרמטרים אלה תינתן בהמשך...
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
9
מאת: אבי משולם
פרמטרים ומשתנים (סיכום...)
ערך ה- xשל הנקודה
Y=ax+b
ערך ה- yשל הנקודה שיפוע הישר נקודת החיתוך עם ציר ה-y
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
01
מאת: אבי משולם
מציאת שיפוע
• שיפוע הישר ( –)aהשינוי בציר ה- yביחס לשינוי בציר ה- xבין שתי נקודות.
– השיפוע מסומן לפעמים גם באות .m – לדוגמה נסתכל על הפונקציה 5-y=3x
• שיפוע הפונקציה הוא 3.
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
11
מאת: אבי משולם
מציאת שיפוע (המשך)
• הנוסחה למציאת שיפוע ישר: 1y y2 y m 1x x2 x
)1(x1,y )2(x2,y ∆y ∆x
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
21
מאת: אבי משולם
מציאת שיפוע (המשך)
• דוגמה: נמצא את השיפוע בין הנקודות הבאות: (4,3), (2,2):
2 24 m 2 1 2 3
)2,2(
)4,3( ∆y ∆x
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
31
מאת: אבי משולם
מציאת שיפוע (המשך)
• דוגמאות לסוגים שונים של שיפועים:
– שיפוע חיובי (0>)a
– שיפוע שלילי (0<)a
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
41
מאת: אבי משולם
מציאת שיפוע (המשך)
• דוגמאות לסוגים שונים של שיפועים (המשך):
– שיפוע 0 ((a=0) ,)y=b
– שיפוע לא מוגדר ()a∞( ,)x=b
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
51
מאת: אבי משולם
מציאת נקודות חיתוך
0=.)x1,0( y 0=.)0, y1( x • נק' חיתוך עם ציר x • נק' חיתוך עם ציר )b( y
)1(0, y )0,1(x
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
61
מאת: אבי משולם
מציאת נקודות חיתוך (המשך)
• דוגמה: נמצא את נק' החיתוך של הישר 3-y=2x
0=Y 0=x 3-0=2x 3-0*2=y 3=2x 3-0=y עם הצירים: 5.1=x 3-=Y
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
71
מאת: אבי משולם
מציאת משוואת הישר
• על מנת למצוא את משוואת הישר, נשתמש בדר"כ ) 1y y1 m( x x בנוסחה הבאה: • לדוגמה: נתונה נק' על ישר (5,2-). שיפוע הישר הוא 1-. מה משוואת הישר? ))2y 5 1( x ( • נציב במשוואה:
)2 y 5 1( x 2 y 5 x 5 y x 2 3 y x
42 פברואר 70 פונקציה לינארית 81
– (1 – )x1,yנק' על הישר. – – mשיפוע הישר.
מאת: אבי משולם
שלבי פיתרון של משוואה
5 4x
• ניישם את השלבים בפתרון משוואה של פונקציה ליניארית על הדוגמה הבאה: 3 12
• שלב – Iתחום הגדרה
– מאחר ואין לחלק ב-0, תחום ההגדרה יהיה:
0 x4 4x
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
91
מאת: אבי משולם
שלבי פיתרון של משוואה (המשך)
• שלב – IIמכנה משותף
– כופלים את המשוואה במכנה משותף על מנת לבטל את המכנה.
5 )4 12 3 / ( x 4x )4 5 12( x 4) 3( x
• שלב – IIIפתיחת סוגריים
– נפתור ראשית את הכפל בסוגריים.
21 5 12 x 48 3x
42 פברואר 70 פונקציה לינארית 02
מאת: אבי משולם
שלבי פיתרון של משוואה (המשך)
• שלב – IVהעברת אגפים
– נרכז את ה-"-xים" בצד שמאל של המשוואה ואת המספרים בצד ימין שלה. 84 12 x 3x 12 5 55 15 x
51: / 55 15 x 55 x 51 76.3 x
42 פברואר 70
• שלב – Vנחלק במקדם של X
פונקציה לינארית
12
מאת: אבי משולם
ישרים מקבילים ומאונכים
• ישרים מקבילים – ישרים בעלי אותו שיפוע.
– לדוגמה: 3+Y=2x 7-Y=2x
• ישרים מאונכים – מקיימים את המשוואה הבאה:
1m1 m2
– לדוגמה: 3+Y=2x
1 3y x 2
1 12 2
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
22
מאת: אבי משולם
ישרים מקבילים ומאונכים (המשך)
• שאלה: על מערכת צירים נתונות הנקודות )2,3-(Aו- )6,1(.B מנקודה Bיוצא ישר BCאל ציר ה- ,Xכך שהישר ABיוצר עמו זווית ישרה. נק' Cהיא נקודת החיתוך של BCעם ציר ה-.X מנקודה Aיורד אנך אל ציר ה- Xופוגש אותו בנקודה .D
– מצא את משוואת הישר .AB – מצא את שיפועו של הישר .BC – מצא את ערכי הנקודה .C – מצא את שטח המרובע .ABCD
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
32
מאת: אבי משולם
ישרים מקבילים ומאונכים (המשך)
• פתרון:
– כדי למצוא משוואת ישר אנו צריכים נקודה ושיפוע. נתונות 2 נק' ( Aו-.)B בעזרתן נמצא את השיפוע. 42 6 m 1 43 1 – נציב את השיפוע ואת אחת הנקודות (במקרה זה אני אבחר ב- )Bבמשוואת הישר על מנת למצור את משוואת הישר .AB
)6,1(B )2,3-(A
)1 y 6 1( x 1y 6 x 5y x
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
42
מאת: אבי משולם
ישרים מקבילים ומאונכים (המשך)
• המשך פתרון:
1m1 m2 11 m2
– נתון כי BCמאנך ל- ABועל כן, על מנת למצוא את שיפוע ,BCנשתמש בנוסחה הבאה:
1 m2 1 1
)2,3-(A
)6,1(B
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
52
מאת: אבי משולם
ישרים מקבילים ומאונכים (המשך)
• המשך פתרון:
– נקודה Cהיא נק' החיתוך של BCעם ציר ה- .Xלכן, כדי למצוא את נק' ,C נמצא ראשית את משוואת הישר ,BCע"י כך שנציב את נק' Bואת השיפוע שמצאנו בשקף הקודם במשוואת הישר:
)1 y 6 1( x 1y 6 x 7 y x
)6,1(B )6,1(B )2,3-(A )2,3-(A
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
62
מאת: אבי משולם
ישרים מקבילים ומאונכים (המשך)
• המשך פתרון:
– כעת נמצא את נקודה Cע"י כך שנציב במשוואת הישר BCשמצאנו 0=.y
7 y x 0 x 7 7 x 7x
)2,3-(A )0,7(C )6,1(B
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
72
מאת: אבי משולם
ישרים מקבילים ומאונכים (המשך)
• המשך פתרון:
– על מנת למצוא את שטח ABCDאנו צריכים למצוא את נקודה .Dנתון כי מנק' Aהורידו אנך לציר ה- Xשחותך אותו בנק' .Dכלומר, לנקודות Aו – D אותו ערך .)-3( Xמאחר שנק' Dנמצאת על ציר ,Xערכה הוא )0,3-(.D – נוסחת שטח מרובע היא בסיס כפול גובה. ניקח את הבסיס כ- .DCולכן הגובה יהיה ערך ה- yשל נק' .B 01=)3-(-7=DC
)6,1(B )2,3-(A )2,3-(A )0,7(C )0,7(C )0,3-(D
06 S ABCD 10 6
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
82
מאת: אבי משולם
חישוב מרחקים ושטחים
• חישוב מרחקים – נבחין בין 2 מקרים:
– חישוב מרחק בין 2 נקודות הנמצאות מאותו צד של ראשית הצירים (0,0).
1AB=X2-X
1x
)0,1A(x
)0,2B(x
2x
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
92
מאת: אבי משולם
חישוב מרחקים ושטחים (המשך)
• חישוב מרחקים (המשך)
– חישוב מרחק בין 2 נקודות הנמצאות משני צדדים שונים של ראשית הצירים (0,0).
1AB=X2-X
)0,1A(x
)0,2B(x
1x
2x
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
03
מאת: אבי משולם
חישוב מרחקים ושטחים (המשך)
– דוגמה: נחשב את המרחק בין 2 הנקודות (2,0), (3-,0).
• חישוב מרחקים (המשך)
2AB=y1-y
)2,0(A
5=3+2=)3-(-2=AB
1y
2y
)3-,0(B
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
13
מאת: אבי משולם
חישוב מרחקים ושטחים (המשך)
ah – חישוב שטח משולש הינו ע"פ הנוסחה: (בסיס כפול גובה חלקי 2). SV 2
חישוב הבסיס :BC 2AB=X3-X חישוב הגובה: 1h=Y חישוב שטח משולש :ABC
)0,2B(x )0,3C(x )1A(x1,y
• חישוב שטחים:
SV ABC
1( x3 x2 ) y 2
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
23
מאת: אבי משולם
חישוב מרחקים ושטחים (המשך)
– דוגמה: נתונות שתי הפונקציות הבאות: 4+ .y=-0.5x+2 ,y=3xמצא את שטח המשולש .ABC
שלב :Iנתאים בין הפונקציה לגרף
)1A(x1,y
• חישוב שטחים (המשך):
)0,2B(x
)0,3C(x
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
33
מאת: אבי משולם
חישוב מרחקים ושטחים (המשך)
• חישוב שטחים (המשך):
– שלב :IIנמצא את ערכי הנקודות .A,B,C
• נקודה Aהיא נקודת החיתוך בין 2 הפונקציות, לכן, על מנת למצוא את הנקודה, נשווה בין 2 הפונקציות.
2 3 x 4 0.5 x 4 3 x 0.5 x 2 23.5 x 2 4 x 5.3 7 21 5 2 4 2 y 3 4 4 1 4 7 7 7 7
2 A(x 4 ,y ) A 1 , 21 7 7
)0,2B(x )0,3C(x
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
43
מאת: אבי משולם
חישוב מרחקים ושטחים (המשך)
• חישוב שטחים (המשך):
– שלב :IIנמצא את ערכי הנקודות .A,B,C
• נקודות Bו- Cהן נקודות החיתוך של שתי הפונקציות עם ציר ה-.)y=0( X נקודה :B
4 2 A , 2 7 7
)0,2B(x )0,3C(x
0 3x 4 43 x 4 1 1x 3 3
1 0x2 2 1 )2 x 2 / ( 2 4x
)0 ,4( C
נקודה :C
1 B 1 , 0 3
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
53
מאת: אבי משולם
חישוב מרחקים ושטחים (המשך)
• חישוב שטחים (המשך):
– שלב :IIIנחשב את הבסיס וגובה המשולש.
1 1 1 5 BC 4 1 4 1 3 3 3
• חישוב הבסיס (:)BC
2h
2 7
חישוב הגובה:
4 2 A , 2 7 7
)0 ,4( C
1 B 1 , 0 3
- שלב :IVחישוב שטח המשולש:
61 61 2 1 25 2 821 8 61 16 SV ABC 3 7 3 7 6 2 12 12 1 2 2 3 7
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
63
מאת: אבי משולם
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
73