Bukti-bukti Sifat Kekongruenan pada Bilangan Bulat

Document Sample
Bukti-bukti Sifat Kekongruenan pada Bilangan Bulat Powered By Docstoc
					                    Tugas Perkuliahan MA.5121 “Teori Bilangan”
                                            (Tgl.28/10/2011)
                                                                                Nama : Rusliansyah
                                                                                NIM       : 90110301


1. Tunjukkan bahwa jika        genap, maka                        dan   ganjil, maka
   Jawab:
      Kasus I, untuk     genap.
               , untuk suatu


                   artinya       . Karena       , maka
                   . Sehingga
      Kasus II, untuk    ganjil.
                    , untuk suatu




                               , artinya                 untuk suatu              .
       Sehingga


2. Tunjukkan bahwa jika        ganjil, maka
   Jawab:
   Misal    ganjil, berarti                , untuk suatu




                          ,
   Tinjau dua kasus, yaitu      genap dan      ganjil.




       1   Rusliansyah                                                                 Smart Mathematics
       Kasus I, untuk      genap.
                , untuk suatu




                                  , artinya            , untuk suatu                       Sehingga


       Kasus II, untuk      ganjil.
                       , untuk suatu




                                         , artinya             , Untuk suatu
            Sehingga
3. Carilah sisa positif terkecil dari                dari setiap bilangan bulat berikut!

    a                                                      d




             maka                                                  maka


    b                                                      e




             maka                                                  maka


    c            1                                         f




             maka                                                  maka




        2   Rusliansyah                                                             Smart Mathematics
4. Carilah sisa positif terkecil dari                                        dari setiap modulo berikut!
   a.
        Misal                                         ,
        Karena                            kelipatan dari , maka
                     , Untuk suatu
                     , berarti                .
        Sehingga                      . Atau


   b.
        Misal                                         ,
        Karena                            kelipatan dari , maka
                                                          , Untuk suatu
        Karena                                                , dan                        , maka
                          , Untuk suatu
                                   , Untuk suatu
                                  , berarti                , untuk
        Sehingga                      . Atau


   c. 12
        Misal                                         ,
        Karena                            kelipatan dari            , maka
                                     , Untuk suatu              ,
                                   , Untuk suatu
                      , berarti                   .
        Sehingga                        . Atau




        3   Rusliansyah                                                                       Smart Mathematics
   d.
  Misal                                          ,
  Karena                                   kelipatan dari      , maka
                                         , Untuk suatu             ,
        Karena


                                , maka
                                                                           , Untuk suatu
                               , Untuk suatu
                                         , Untuk suatu
                                     , berarti                , untuk suatu
        Sehingga                               . atau


5. Tunjukkan bahwa jika                              sedemikian hingga                             dan
                         , maka                         .
   Jawab:
            , maka               untuk suatu            . Karena                      , maka
                     berarti                   untuk suatu             .




                         , berarti               untuk suatu                     .
   Sehingga
6. Tunjukkan bahwa jika                              sedemikian hingga                     dan                  ,
   maka                              .
   Jawab:
                         , berarti                   maka                    untuk suatu       .


                            untuk suatu
                            , berarti                   .
   Sehingga


        4    Rusliansyah                                                                         Smart Mathematics
7. Tunjukkan bahwa jika                           dengan           sedemikian hingga                 , maka
                     .
   Jawab:
                         , berarti
   Misal


                      jika
       Ambil sebarang                   , akan ditunjukkan bahwa           .
        Karena     pembagi sekutu bersama                dan , maka        dan       .
            , maka                   .
            , maka                          . Berarti
        Jadi   juga merupakan pembagi sekutu                  dan .
        Sehingga dapat disimpulkan bahwa                                   . Jadi
       Ambil sebarang                   , akan ditunjukkan bahwa           .
        Karena     pembagi sekutu bersama                dan , maka        dan       .
            , maka                   .
            , maka                          . Berarti
        Jadi   juga merupakan pembagi sekutu                  dan .
        Sehingga dapat disimpulkan bahwa                                   . Jadi
   Karena            dan                 , maka         . Berakibat
8. Tunjukkan bahwa jika                                    untuk                    dimana            , maka
   a.
   b.
   Jawab:
                                untuk                      dimana
        Berarti                      , sehingga                     untuk suatu          .




        5   Rusliansyah                                                                      Smart Mathematics
a. Jika kita menjumlahkan semua                 , diperoleh:




 Berarti                          sehingga
b. Jika kita mengalikan semua                , diperoleh:




   Berarti                           sehingga




  6   Rusliansyah                                              Smart Mathematics

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Tags:
Stats:
views:405
posted:10/30/2011
language:Indonesian
pages:6