Your Federal Quarterly Tax Payments are due April 15th Get Help Now >>

Kumpulan Bank Soal Olimpiade Matematika by MaskurHasyim1

VIEWS: 859 PAGES: 23

Kumpulan Bank Soal Olimpiade Matematika.Bank Soal Olimpiade MTK

More Info
									97. Bujursangkar ABCD dan PQRS berukuran sama yaitu 10 x 10 cm. P adalah pusat
    bujursangkar ABCD. Berapa luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini ?

                 D                           C        S



                          P

                                                                         R

               A                             B

                                         Q
      Jawab :
           D                                 C        S                            Luas yang diarsir = Luas PXBY
                                                                                             =5x5
                                                                                          = 25 cm 2

                          P                  Y

                                                                         R

             A                 X             B

                                         Q

98. Tiga bilangan berurutan yang merupakan suku-suku barisan aritmetika jumlahnya 12. Jika
    bilangan ketiga ditambah 2 maka diperoleh deret geometri. Tentukan hasil kali ketiga
    bilangan itu !
    Jawab :
    Misal bilangan itu : x – b, x dan x + b
    Maka x – b + x + x + b = 12 atau x = 4
    Sehingga 4 – b, 4, 6 + b berupa deret geometri.
       4     6+ b
          =        ⇒ b = − 4 dan b = 2
     4− b      4
    b = − 4 ⇒ 8 x4 x0 = 0
    b= 2      ⇒ 2 x 4 x6 = 48

99.




      Kedua lingkaran besar berjari-jari 5 cm. Tentukan jari-jari lingkaran kecil !
      Jawab :

                                                                                                   5               5

                                                                                                           t
                                                                                            5
5

                                                                                                           r

      t=5–r
      ( 5 + r ) 2 = 52 + t 2       ⇒   (5 + r)2 =   25 + ( 5 − r )
                                                                     2
                                                                             ⇒   r = 1,25


100.Suatu segienam beraturan sisinya a cm. Tiap titik tengah sisinya dijadikan titik sudut
   segienam yang kedua. Tiap titik tengah segienam yang kedua dijadikan titik sudut segienam
   yang ketiga dst. Berapa limit jumlah luasnya ?
   Jawab :

                                           s



                               s                        s




    L1 = 6. 1 .s.s.sin 60 =
            2
                                                3
                                                2
                                                    s2 3
    sisi yang kedua =                          s 2 − ( 1 s)2 =
                                                       2
                                                                 1
                                                                 2
                                                                     s 3

            2 2
                                       (
    L2 = 6. 1 .( 1 s 3 )( 1 s 3 .sin 60 =
                          2
                                                    )            9
                                                                 8
                                                                     s2 3
    L1 , L2 , L3 ,...... =         3
                                   2
                                       s 2 3 , 9 s 2 3 , 27 s 2 3 ,......
                                               8         32
           9
               s2 3            3
    r=     8
                   2
                           =
           3
           2
               s       3       4
                      3 2
                a      s 3
    L∞ =            = 2 3 = 6s 2 3
               1− r    1− 4

101.Tiga garis singgung pada lingkaran 25 x 2 + 25 y 2 − 200 x − 50 y + 361 = 0 membentuk
   segitiga siku-siku dengan luas 15,36 satuan luas. Tentukan panjang sisi miring segitiga itu !
   Jawab :
                        a

                           a

                                                                                            b




                                                                                           B

    25 x 2 + 25 y 2 − 200 x − 50 y + 361 = 0 ⇔                             ( x − 4) 2 + ( y − 1) 2 =   64
                                                                                                       25
                                                                                                            ⇒   r=   8
                                                                                                                     5

    15,36 = ( 8 ) + 2. 1 . 8 a + 2. 1 . 8 b ⇔
                       2
              5        2 5          2 5
                                                                      a+ b = 8
    a + b : panjang sisi miring

102.Dua kartu bridge diambil berurutan secara random dari satu set kartu bridge. Kartu
   pertama dikembalikan dan kartu diacak kembali setelah itu kartu kedua diambil. Berapa
   probabilitas paling sedikit satu dari kedua kartu yang diambil adalah As ?
   Jawab :
                                                       4 4   4 48 48 4     25
    P ( As ∩ As) + P ( As ∩ Ac c ) + P ( As c ∩ As) =   . +   . +   . =
                                                      52 52 52 52 52 52 169




103.Tentukan bentuk pecahan dari 0,4936936936……
   Jawab :
   10.000 x = 4936,936936936……
       10 x = 4,936936936 …….
                                  -
   9990 x = 4932
           4932
    x=
           9990

104.Rata-rata 15 bilangan adalah 13,4. Rata-rata 8 bilangan pertama adalah 12,5 sedangkan
   rata-rata 6 bilangan kedua adalah 14,5. Tentukan bilangan ke-15 !
   Jawab :
          8.12,5 + 6.14,5 + x
   13,4 =                     ⇔ x = 14
                   15

          1   1    1
                          x   1
          15  5    5
                           
105.Jika  5   1
               5
                   − 5   y  =  2  maka tentukan x, y, z !
                      4

         − 2 1     1         
          5 10 10   z   0 
   Jawab :
   Jika kedua ruas dikalikan 5 maka akan didapat :
    1 1 1  x  5                    x+ y+ z = 5 
                                                   
    1 1 − 4   y  =  10  ⇒         x + y − 4 z = 10  ⇒ x = 1, y = 5, z = − 1
   − 2 1     1 
                   z  0             − 4 x + y + z = 0
          2  2                                     

106. Pada gambar di bawah ini, tentukan panjang PQ !

       D                                     C
                        16
                          Q
      12
                  P


         A                                  B

     Jawab :
     DP = BQ dan AP = QC
                                                                                            20 − PQ
     122 + 162 = ( PQ + AP + QC ) 2 ⇔ 400 = ( PQ + 2 AP) 2                       ⇒   AP =
                                                                                                2
     DP 2 = 144 − AP 2
     DP 2 = 256 − ( PQ + QC ) 2 = 256 − ( PQ + AP) 2
     DP 2 = DP 2
     144 − AP 2 = 256 − ( PQ + AP) 2
     PQ 2 + 2 PQ. AP = 112
                   20 − PQ                112
     PQ 2 + 2 PQ           = 112 ⇒ PQ =       = 5,6
                       2                   20
107.Jika a 2 + b 2 = 6ab untuk a dan b bilangan real dan 0 < a < b , maka tentukan nilai dari
    a+ b
            !
    a− b
   Jawab :
   a 2 + b 2 = 6ab ⇔ a 2 + 2ab + b 2 = 8ab ⇔ a + b = 8ab ....(1)
    a 2 + b 2 = 6ab ⇔            a 2 − 2ab + b 2 = 4ab ⇔                a− b =   4ab ....(2)
    a+ b          8ab
         =            =      2
    a− b          4ab


                       x
108.Jika f ( x ) =         nyatakan f(3x) ke dalam f(x) !
                      x− 1
    Jawab :
                  3x           3x
                                            3( x x 1 )     3 f ( x)
     f (3 x) =          =      x− 1
                                      =           −
                                                        =
                 3x − 1     2x
                            x− 1
                                 +1       2( x − 1 ) + 1 2 f ( x) + 1
                                               x
109.Tentukan nilai k agar sistem persamaan berikut tidak mempunyai penyelesaian !
    3 x + 2 y − 5 z = 3
                       
    2 x − 6 y + kz = 9
     5x − 4 y − z = 5 
    Jawab :
    Syarat D = 0
     3 2 −5
     2 − 6 k = 0 ⇔ 18 + 10k + 40 − (150 − 12k − 4) = 0 ⇔ k = 4
     5 − 4 −1

                                                     p
110.Diketahui 0,152152152….. =                            . Jika p + q = 3r, tentukan harga p, q dan r !
                                                   2q + r
    Jawab :
    0,152152152 …. = x
    1000 x = 152,525252 ……
      10 x = 1,525252 ……
                                 -
    990 x = 151
        151       p
    x=       =           ⇒ p = 151 dan 2q + r = 990 ....(1)
        990 2q + r
    p + q = 3r ⇒ q − 3r = − 151 .....(2)
                           2819         1292
    Dari (1) dan (2) : q =      dan r =
                            7             7


111.Bila 2 x = t +    t 2 − 1 dan 3 y = t −              t 2 − 1 maka tentukan y bila x = 3 !

    Jawab :
                                                                                                 1
    2 x.3 y = (t +   t 2 − 1) (t −       t 2 − 1) ⇔ 6 xy = t 2 − t 2 + 1 ⇒ 3.3. y = 1 ⇔ y =
                                                                                                18

112.Tentukan nilai dari (1 −         1
                                     2
                                         ) (1 − 13 ) (1 − 14 ) (1 − 15 ).......(1 − 1n )   !

    Jawab :
     1 2 3 4         n− 1 1
      . . . ........     =
     2 3 4 5          n    n

113.Jika garis singgung pada kurva y = ax 2 − bx − 2 di titik (1,1) sejajar dengan garis
    4 x − y + 65 = 0 , maka tentukan a dan b !

    Jawab :
    Titik (1,1) pada y = ax 2 − bx − 2 jadi a – b = 1 ……… (1)
     4 x − y + 65 = 0 ⇔ y = 4 x + 65 ⇒ m1 = m2 = 4
    m2 = y ' = 4 = 2ax + 2bx − 3 ⇒ 4 = 2a.1 + 2b.1− 3 ⇔ a + b = 2 ...........(2)
                                   3              1
    dari (1) dan (2) didapat a =       dan b =
                                   2              2



114.Bila k adalah konstanta, persamaan simultanx – y = 2 dan kx + y = 3 yang mempunyai
   solusi (x,y) di kuadran I. Tentukan syarat k !

    Jawab :
   x− y = 2         5                      3 − 2k
              ⇒ x=            dan     y=
   kx + y = 3      1+ k                    1+ k
   Karena x > 0 dan y > 0 (kw I ) maka :
     5
         > 0 ⇔ k > − 1 .......(1)
   1+ k
   3 − 2k                    3
           > 0 ⇔ −1< k <        ..........(2)
    k+1                      2
                                3
   Dari (1) dan (2) : − 1 < k <
                                2

115.Jika f(x) adalah fungsi untuk bilangan real dan f(1 - x) + 2 f(x) = x maka tentukan f(x) !

   Jawab :
   Misal f(x) = ax + b
   f(1 – x) + 2 f(x) = x
   a (1 – x) + b + 2 (ax + b) = x
   a – ax + b + 2ax + 2b = x
   ax + (a + 3b) = 1.x + 0
   a = 1 ⇒ 1 + 3b = 0 ⇔ b = -1/3
   Jadi f(x) = x – 1/3

116.Dua buah kereta api bergerak dengan arah berlawanan dengan kecepatan masing-masing
   80 km/jam dan 120 km/jam. Berapa km jarak kedua kereta itu 2 menit sebelum
   bertabrakan ?

   Jawab :
                                             80       80
   v1 = 80 km / jam = 80 km / 60 menit ⇒ s1 =   .2 =      km
                                             60       30
                                                120
   v2 = 120 km / jam = 120 km / 60 menit ⇒ s2 =      .2 = 4 km
                                                 60
                                                        80 200
   Jadi jarak kedua kereta sebelum bertabrakan = 4 +       =    km
                                                        30   30

117.Fungsi kuadrat y = ax 2 + bx + c mempunyai nilai minimum –4 pada x = ½. Bila
   persamaan tersebut dibagi dengan x + 2, maka sisanya 21. Tentukan persamaan fungsi
   kuadrat tersebut !

   Jawab :
       b      1
   −      = ⇔ a = −b
      2a 2
           b 2 − 4ac                                               b
   − 4=               ⇔ b 2 − 4ac = 16a ⇒ b 2 − 4ac = − 16b ⇔ c = − − 4
              − 4a                                                 4
                       b
    y = − bx 2 + bx − − 4
                       4
                                    b
   -2           -b       b         - − 4
                                    4
                   2b           -6b
                                       +
          -b         3b           21

     −b
        − 4 − 6b = 21 ⇔ b = − 4 ⇒ a = 4, c = − 3
      4
    Jadi y = 4 x 2 − 4 x − 3


118.Selembar kertas yang berbentuk sektor lingkaran berjari-jari 15 cm dengan sudut 120
   dibentuk menjadi kerucut dengan membuat sisi-sisinya yang lurus berimpit (OA berimpit
   dengan OB). Tentukan volume kerucut tersebut !
                                         15 cm
                                   O                   B
                                                   120


                                         A                         s

   Keterangan : s = keliling alas kerucut

   Jawab :
    120     s
        =      ⇒ s = 10π
    360 2π .15
   10π = 2π r ⇒ r = 5


                                                    t=       225 − 25 = 10 2
            15           t
                                                         1               250
                                                    v=     .π .52.10 2 =     π                    2 cm3
                                                         3                3
                 5


119.Limas segienam beraturan T.ABCDEF memiliki panjang rusuk tegak a cm dan sudut antara
   tiap 2 rusuk tegak pada puncak adalah 30 . Hitung volume limas !

   Jawab :                        T


                         a                                                    30
                                                                       a                      a
                         F                E

           A                                        D
                                                                                 s
                         B    S          C

   s 2 = a 2 + a 2 − 2a 2 cos 30 ⇒ s = a 2 −            3

    Lalas = 6. 1 .s 2 .sin 60 = 6. 1 . a 2 −
                                    2 
                                                  3  2. 1 3 = 3a 2 3 −
                                                     2                              9
                                                                                         a2
               2
                                                                                   2




                                  t 2 = a2 − s2 = a2 −  a 2 −
                                                                          3  2 = a 2 ( 3 − 1) ⇒ t = a
                                                                                                                   3− 1
             a                                                              
                                  V = 1 .Lalas .t = 1 .(3a 2 3 −
                                      3             3
                                                                   9
                                                                   2
                                                                       a 2 ).a           3− 1=     1
                                                                                                   2
                                                                                                       .a 3 (2 3 − 3)   3− 1
       t
                 a
             s




120.Segitiga PQR siku-siku di Q, segitiga PST dan segitiga RTU sama kaki yaitu PS = PT dan RT
   = RU. Tentukan sudut STU !

   P                 T

   S


    Q                U                                        R
    Jawab :
    ∠ P + ∠ R = 90
    ∠ PST = ∠ PTS
    ∠ RUT = ∠ RTU
       ∠ P + 2∠ PST = 180
       ∠ R + 2∠ RUT = 180
                                        +
                                                                        360 − ( ∠ P + ∠ R )
       ∠ P + ∠ R + 2 ( ∠ PST + ∠ RUT ) = 360 ⇔ ∠ PST + ∠ RUT =
                                                                                  2
                        360 − 90
       ∠ PST + ∠ RUT =             = 135
                            2
       ∠ PTS + ∠ STU + ∠ RTU = 180 ⇒ ∠ STU = 180 − ( ∠ PTS + ∠ RTU ) = 180 − 135 = 45

121.

                               A

                                    L           B
              E        K                M
                      O
                           N
                  D                         C


   Tentukan ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E !

    Jawab :
    ∠ A + ∠ O + ∠ N + ∠ M = 360
       ∠ B + ∠ K + ∠ O + ∠ N = 360
       ∠ C + ∠ O + ∠ K + ∠ L = 360
       ∠ D + ∠ K + ∠ L + ∠ M = 360
       ∠ E + ∠ L + ∠ M + ∠ N = 360
                                            +
       ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + 3 ( ∠ K + ∠ L + ∠ M + ∠ N + ∠ O ) = 1800
       ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E = 1800 − 3.540 = 180




122.Seorang siswa menghadapi 3 jenis tes : Matematika, Fisika dan Kimia. Peluang ia lulus
                                    8 9       7
   berturut-turut adalah             ,   dan    . Tentukan peluang ia lulus paling sedikit 1 jenis tes !
                                   10 10     10

   Jawab :
    P ( LTT ) + P ( LLT ) + P ( LLL) =
     8 1 9      9 2 3 7 2 1     8 9 3 8 7 1        9 7 3  8 9 7
   ( . . +       . . +  . . )+  . . +      . . +    . . +  . .  =
    10 10 10 10 10 10 10 10 10  10 10 10 10 10 10 10 10 10   10 10 10 
    994
        = 0,994
   1000
123.Unyil membeli kancing baju dengan harga Rp. 9 per buah. Ia membayar seluruh kancing
   yang ia beli Rp. 8.32a.b52. Jika a – b = 3, maka tentukan a dan b !

   Jawab :

            92
   9        832ab52                           9       b 5 2 ⇒ b = 2 karena a – b = 3
            81 -
              22
             18 -
               4a ⇒ a=5

124.Apabila seorang petani memanen tomatnya saat ini, ia akan mendapat 100 kg tomat
   dengan harga jual RP1500 per kg. Apabila ia menunda masa panennya, jumlah tomatnya
   akan bertambah 10 kg tiap minggu, tetapi harganya turun Rp50 per kg tiap minggu.
   Tentukan pada minggu ke berapa petani harus memanen tomatnya agar hasilnya
   maksimum?

   Jawab :
   Berat : 100, 110, 120, ….          Bn = 90 + 10n
   Harga : 1500, 1450, 1400, …..       Hn = 1550 – 50n
   Total : (90 + 10n)(1550 – 50n) = - 500 n 2 + 11.000 n + 139.500
                               − b − 11000
    Total maksimum pada n =        =           = 11
                               2a 2(− 500)
    Jadi pada minggu ke : 11 – 1 atau minggu ke-10.

125.Kubus ABCD.EFGH panjang rusuknya a cm. Tentukan jarak E dengan garis diagonal HB !

   Jawab :
                              H                   G
                                                             H             a 2            C
                E                 F                                x
                                                             a                   a 3− x
                                                                       d
                          D                       C           E                           B

                    A                 B

   HB = a 3

                (       ) (
    a 2 − x 2 = a 2 2− a 3 − x    )   2
                                          ⇒       x=
                                                        a
                                                         3
                          a 2 2 2                               2 1
    d 2 = a2 − x2 = a2 −     = a                ⇒    d= a        = a 6
                          3   3                                 3 3




         3       5     7                99
126.    2   2
              + 2 2 + 2 2 + ....... +          = .......
       1 x2    2 x3 3 x 4               2
                                      44 x 452

   Jawab :
    1 1  1 1  1 1                          1    1         1    2024
    2 − 2  +  2 − 2  +  2 − 2  + ...... +  2 −   2 
                                                            = 1−     =
   1 2   2 3   3 4                         44  45        2025 2025

127.Jika jari-jari lingkaran luar segitiga ABC =                 32 , maka hitung luas segitiga ABC !

   Jawab :
      a                    a
          = 2 R ⇔ sin A =
    sin A                 2R
                                                   a   abc   abc   abc
    Luas ∆ ABC =       1
                       2
                           bc sin A =   1
                                        2
                                            bc.      =     =     =
                                                  2 R 4 R 4 32 16 2

                                             x2 + x + 2
128.Tentukan tiitk singgung antara kurva y =            dan garis y = ax + 2 !
                                                x− 1

    Jawab :
     x2 + x + 2
                = ax + 2 ⇔ ( a − 1) x 2 + (1 − a ) x − 4 = 0
        x− 1
     D = 0 ⇒ (1 − a ) 2 − 4(a − 1)(− 4) = 0 ⇔ ( a + 15) (a − 1) = 0
    a = 1 Tidak Memenuhi
    a = − 15 ⇒ − 16 x 2 + 16 x − 4 = 0 ⇔            ( 2 x − 1) 2 =   0
        1
    x = ⇒ y = − 15. 1 + 2 = − 5 1
                        2           2
        2
                              1        
    Jadi titik sin ggungnya  ,− 5 1 2
                              2        

129.Tentukan banyak angka 212 x58

    Jawab :
                108
    2 x5 = 2 x 8 = 2 4 x108 = 16 x108 = 1.600.000.000
      12   8    12

                 2
    Jadi semuanya ada 10 angka.

                             1                                       1
130.Jika diketahui x −         = 2 dan x > 0 maka tentukan nilai x +   !
                             x                                       x

    Jawab :
       1
     x− = 2
       x
       1
     x+ = n
       x
                 +
                 n+ 2
    2x = n + 2 ⇔ x =
                   2
      1     n+ 2     2
    x+ = n⇒      +       = n⇔ n= 2 2
      x      2      n+ 2




131.Diketahui f(x) = ax + 3 dengan gradien positif. Jika f(f(2)) – 3a = 4, maka tentukan nilai a
   !

    Jawab :
    f(f(2)) – 3a = 4
    f(2a + 3) – 3a = 4
    a(2a + 3) + 3 – 3a = 4
          1
    a2 = ⇒ a = 1 2  2
          2

          1       1       1              1       1        1 
132.  1 − 2   1 − 2   1 − 2  ....... 1 −  2  
                                                       1−  2  
                                                                 1−       = ............
         2       3       4           198   199           2002 
   Jawab :
    (       )(       )(       )   (           )(        )(       )
     22 − 1 32 − 1 4 2 − 1 .......... 1982 − 1 199 2 − 1 200 2 − 1
                     ( 2.3.4........198.199.200) 2
      1.3.2.4.3.5.4.6........197.199.198.200.199.201
   =
                 ( 2.3.4........198.199.200) 2
      1.2.(3.4.5......199) 2 .200.201
    =
         22.(3.4.5.....199) 2 .2002
      1.2.200.201
    =
      2.2.200.200
      201
    =
      400

133.Bilangan a1 , a2 , a3 ,......... didefinisikan sebagai a1 = 10, a2 = 20 dan untuk n > 2 berlaku
           a1 + a2 + a3 + ..... + an
    an =                             . Tentukan nilai dari a1999 !
                      n

   Jawab :
         a + a2 + a3
   a3 = 1            ⇒ 2a3 = 10 + 20 ⇔ a3 = 15
              3
         a + a2 + a3 + a4
   a4 = 1                 ⇒ 3a4 = 10 + 20 + 15 ⇔ a4 = 15
                4
         a + a2 + a3 + a4 + a5
   a5 = 1                      ⇒ 4a5 = 45 + 15 ⇔ a5 = 15
                   5
   Jadi a1999 = 15

134.Tentukan banyaknya pasangan (x , y) bulat positif dan memenuhi persamaan x 2 − y 2 = 99

   Jawab :
    x 2 − y 2 = 99 ⇔ ( x − y ) ( x + y ) = 99
   Faktor 99 adalah 1 x 99, 3 x 33 dan 9 x 11
   Atau (50 – 49)(50 + 49), (18 – 15)(18 + 15) dan (10 – 1)(10 + 1)
   Maka pasangan bilangannya (50,49), (18,15) dan (10,1)
   Jadi ada 3 pasangan.

135.ABCD adalah sebuah trapesium dimana AB = 5 cm dan CD = 8 cm. E adalah sebuah titik
   pada sisi CD sedemikian sehingga luas segitiga ADE sama dengan luas trapesium ABCE.
   Tentukan perbandingan DE : EC !

   Jawab :                A           5             B

                      T

                 D                        8   E                  C



   DE + EC = 8 …………… (1)
   Luas segitiga ADE = Luas trapesium ABCE
          ½. t. DE = ½.t .(AB + CE)
                DE = AB + CE
                  DE = 5 + EC
                  DE – EC = 5 …………. (2)
   Dari (1) dan (2) didapat DE = 13/2 dan EC = 3/2
        DE 13 13
   Jadi     = 2 =
               3
        EC     2
                   3

136.Jika x, y dan z memenuhi persamaan 2 x + y = 10,           2 y + z = 20 dan 2 z + x = 30 . Tentukan
   nilai 2 x !
   Jawab :
   2 x + y = 10 ⇔ x + y = 2 log10
   2 y + z = 20 ⇔ y + z = 2 log 20
                                     -
                    z − x = log 20− log10= 2 log 2
                                 2            2


   2z+ x   = 30 ⇔ z + x = 2 log 30
                    z − x = 2 log 2
                                    -
                        2 x = log15 ⇔ x = 2 log 15 ⇔ 2 x =
                              2
                                                                      15

                                                                           10 x + 1
137.Berapa banyak bilangan bulat x yang membuat bentuk                              menjadi bulat ?
                                                                            2x − 1

   Jawab :
   10 x + 1         6
            = 5+
    2x − 1       2x − 1
   Faktor-faktor 6 adalah ± 1, ± 2, ± 3, ± 6
   2x – 1 = 1 ⇔ x = 1
   2x – 1 = -1 ⇔ x = 0
   2x – 1 = 3 ⇔ x = 2
   2x – 1 = -3 ⇔ x = -1
   Untuk faktor-faktor ± 2, ± 6 tidak memenuhi.
   Jadi x = -1, 0, 1 dan 2

138.Jika     n+    n+    n+          n+     n + .... = 3 maka tentukan n !

   Jawab :

   n+      n+     n+    n+       n + ...... = 9 ⇒ n + 3 = 9 ⇔ n = 6


139.Tentukan n jika     3
                             49 3 49 3 49 3 49...... = n

   Jawab :
   49 3 49 3 49 3 49....... = n3 ⇒ 49n = n3 ⇔ n(n − 7)(n + 7) = 0
   Untuk n = 0 dan n = -7 tidak memenuhi sedangkan n = 7 memenuhi.




                                         4           2
140.Tentukan HP dari  x +                     − 7  x +  + 16 = 0
                        2
                                           2 
                                         x           x

   Jawab :
              2               4
   Misal x +     = y ⇒  x2 + 2  = y2 − 4
               x             x 
    y − 4 − 7 y + 16 = 0 ⇔ ( y − 3) ( y − 4 ) = 0
     2


                 2
    y = 3 = x + ⇒ x = 1 dan x = 2
                 x
                 2
    y = 4 = x+ ⇒ x = 2± 2
                 x
141.Luas sisi-sisi suatu balok adalah 14 cm 2 , 8 cm 2 dan 7 cm 2 . Tentukan volume balok !

   Jawab :
    pl = 14
              l 14 7    7
    pt = 8  ⇒ =   = ⇔ l= t
               t  8 4    4
    lt = 7 
           
            7                      7     7
   lt = 7 ⇒   t.t = 7 ⇔ t = 2 ⇒ l = .2 =
            4                      4     2
   pt = 8 → ⇒ p.2 = 8 ⇔ p = 4
                7
   V = plt = 4. .2 = 28
                2

                                                                                                             1    1
142.Jika α dan β akar-akar persamaan 8.2 x = 2 x − x 2                     (   )   x+ 3
                                                                                          , maka tentukan
                                                                                                            α 2
                                                                                                                + 2 !
                                                                                                                 β

   Jawab :
                 (
    8.2 x = 2 x − x 2         )   x+ 3
                                                        (
                                         ⇔ 2x + 3 = 2x − x2     )   x+ 3


    2
                          (
        log 2 x + 3 = 2 log 2 x − x 2        )   x+ 3


    x + 3 = ( x + 3) 2 log(2 x − x 2 )
    2
        log(2 x − x 2 ) = 1= 2 log 2
    x2 − 2 x + 2 = 0
    α + β = 2, α β = 2
    1   1
      + 2 =
            (α + β ) − 2α β = 22 − 2.2 = 0
                                         2


    α2 β         (α β ) 2        22


143.         H                      G                       F              E



               x                                   y
      A            B                                        C              D
    Tentukan ∠ x + ∠ y !

    Jawab :
                1                1
       tan x =     dan tan y =
                3                2
                       tan x + tan y   1
                                         + 1
       tan( x + y ) =                = 3 1 21 = 1 ⇒ x + y = 45
                      1 − tan x tan y 1 − 3 . 2


             3a + 4b                              a 2 + 6b 2
144.Jika             = 5 maka tentukan nilai dari            !
             2a − 2b                                  ab

   Jawab :
                           a 2 + 6b 2 ( 2b ) + 6b 2 10b 2
                                            2
    3a + 4b
            = 5 ⇔ a = 2b ⇒           =             =      = 5
    2a − 2b                    ab          2b.b      2b 2

145.                 T



             D           9                   C

             8
         A                                              B
                              15
    Trapesium ABCD, DC sejajar AB. T titik potong perpanjangan AD dan BC. Tentukan
panjang TA !

    Jawab :
     TD TD + 8
        =        ⇔ TD = 12
      9     15
    TA = TD + 8 = 12 + 8 = 20

146.                          H                                        G

            E                                 F                        t

                                D                                      C
                                                                l

            A                  p                  B

    Tentukan perbandingan volume H.ABFE dan H.BCGF !

    Jawab :
    Volume H.ABFE = 1 . p.l.t
                    3

    Volume H.BCGF = 1 . p.l.t
                     3
     VH . ABFE 1
              =
    VH .BCGF 1

147. Selisih akar-akar persamaan kuadrat 2 x 2 + ax + 16 = 0 adalah 4. Tentukan nilai a yang
positif !

    Jawab :
                 − a
       x1 + x2 =       dan x1 x2 = 8
                  2
       x1 − x2 = 4 ⇒ ( x1 − x2 ) = 16 ⇔                ( x1 +       x2 ) − 4 x1 x2 = 16
                                2                                      2


       a2
          − 4.8 = 16 ⇒ a = 8 3
       4

148. Suatu segitiga sisi-sisinya 4, 6 dan 4 3 . Tentukan luas segitiga tersebut !

    Jawab :
         2
                (
     s = 1 4+ 6+ 4 3 = 5+ 2 3      )
       L=           s( s − a)( s − b)( s − c) =       (5 + 2 3 )(1 + 2 3 )(− 1 + 2 3 )(5 − 2 3 ) =   143



149. Jumlah 10 bilangan adalah 36 lebih besar dari rata-rata kesepuluh bilangan-bilangan
    tersebut. Tentukan jumlah kesepuluh bilangan tersebut !

    Jawab :
           S
     S10 = 10 + 36 ⇒ S10 = 40
           10

150. Tentukan himpunan penyelesaian dari                                   3x + 2 >       4− x

    Jawab :
                             1
    3x + 2 > 4 − x ⇔ x >        .........(1)
                             2
                                           2
    Syarat : ( i ) 3 x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −       ...........(2)
                                           3
             (ii ) 4 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4 ..............(3)
    Dari (1), (2) dan (3) didapat :
                       -2/3 1/2 4
                                  1        
                       Jadi HP :  x < x ≤ 4
                                  2        
                                                                                                          3                         2
151. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 9                                                               log( 2 x + 1)             log( x + 3)
                                                                                                                              + 4                     = 85

    Jawab :
    9
         3
             log( 2 x + 1)
                             + 4
                                   2
                                       log( x + 3)
                                                           (
                                                     = 85 ⇔ 3
                                                                3
                                                                    log( 2 x + 1)
                                                                                    ) + (2
                                                                                    2        2
                                                                                                 log( x + 3)
                                                                                                               )   2
                                                                                                                       = 85
       ( 2 x + 1)+ ( x + 3) = 85 ⇔ x 2 + 2 x − 15 = 0
                       2                      2


       x = − 5 tidak memenuhi
       x = 3 memenuhi

152. Diketahui bilangan a + 1, a – 2, a+ 3 membentuk barisan geometri. Agar ketiga suku
    membentuk barisan aritmetika maka suku ketiga harus ditambah berapa ?

    Jawab :
    Misal : a – 1, a – 2, a + 3 + x
    Maka (a – 2) – (a – 1) = (a + 3 + x) – (a – 2) sehingga x = -8

153. Tentukan jumlah n suku pertama dari deret log 2 + log 8 + log 32 + …..

    Jawab :
    log 2 + 3log 2 + 5log 2 + ……. Merupakan deret aritmetika dengan beda 2log 2
          n                   n
     S n = (2a + (n − 1)b) = (2 log 2 + (n − 1)2 log 2)
          2                   2
          n
     S n = (2n log 2) = n 2 log 2
          2

154. Tentukan nilai x dan y yang memenuhi persamaan x + y 2 3 −                                                         (                  )(            )
                                                                                                                                                        2 = − 2

    Jawab :
                  − 2 3+ 2 − 2 3
       x+ y 2 =       x       =  −  2
                 3− 2 3+ 2      7 7
                 2          3
       Jadi x = − dan y = −
                 7          7


155.                                                                   D




                       30                        45
   A                                   B                               C

    Jika panjang BC = 10 cm maka tentukan panjang AB !

    Jawab :
    BC = CD = 10
               CD    3 10
     tan 30 =    ⇒    =     ⇔ AC = 10 3
               AC   3    AC
     AB = AC − BC = 10 3 − 10 = 10( 3 − 1)

                                                                            3n + 1 − 3n
156. Tentukan bentuk sederhana dari
                                                                            3n + 3n − 1

    Jawab :
       3n + 1 − 3n 3.3n − 3n 3n (3 − 1) 3
                  =          =           =
       3n + 3n − 1 3n + 1 .3n 3n (1 + 1 ) 2
                        3             3


                                                                  1
157. Tentukan himpunan penyelesaian dari x ≤
                                                                  x

    Jawab :
          1            x2 − 1
     x− ≤ 0⇔                  ≤ 0
           x             x
     ( x − 1) ( x + 1) ≤ 0
             x

        -            +       -      +         ……. (1)
                    -1      0       1

    Karena x ≠ 0 maka HP : { x x ≤ − 1 atau 0 < x ≤ 1}

158. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari 3 angka berbeda dan habis dibagi 5 yang
    dapat disusun dari angka-angka 0, 1, 2, …….., 9

    Jawab :
    Bentuk bilangan itu xy0 atau xy5
    Bentuk xy0 sebanyak 9 x 8 x 1 = 72
    Bentuk xy5 sebanyak 8 x 8 x 1 = 64
                                  136

159.
                                          D



                                                            A         B   C

    Panjang AB adalah 3 cm lebih panjang dari BC. Jika BD = 5 cm dan tegak lurus AC.
    Tentukan panjang BC !




    Jawab :
    Misal panjang BC = x maka AB = (x + 3) cm
     AD 2 = AB 2 + BD 2 = x 2 + 6 x + 9 + 25 = x 2 + 6 x + 34
    CD 2 = BC 2 + BD 2 = x 2 + 25
       AD 2 + CD 2 = AC 2
       (x   2
                          ) (         )
                + 6 x + 34 + x 2 + 25 = 4 x 2 + 12 x + 9
       x 2 + 3 x − 25 = 0 ⇒ x = BC = −          3
                                                2
                                                    +   1
                                                        2
                                                            109

160. Tentukan suku ke-5 dari barisan geometri : k, 3k, 8k + 4, …..

    Jawab :
         3k        8k + 4
    r=      = 3=          ⇒ k= 4
          k          3k
    Jadi barisan geometri : 4, 12, 36, ……
    U 5 = ar 4 = 4.34 = 324

161. Jika xy = 80 dan log x – 2 log y = 1 maka tentukan nilai x – 4y !

    Jawab :
    log x – 2 log y = 1 ⇔ log x − log y 2 = log10
             x
       log     2
                 = log10 ⇒ x = 10 y 2
             y
     xy = 80 ⇒ 10 y 2 . y = 80 ⇔ y = 2 ⇒ x = 40
     Jadi x – 4y = 40 – 4.2 = 32

162. Tentukan nilai dari 26 2 − 252 + 24 2 − 232 + ....... + 42 − 32 + 22 − 12

     Jawab :
     26 2 − 252 + 24 2 − 232 + ....... + 42 − 32 + 22 − 12 = 51 + 47 + .... + 7 + 3 = 351

           ( x − 1) ( y − 2) = 12              ....(1) 
                                                       
163. Jika ( y − 2 ) ( z − 3) = 20              ....(2) x, y, z > 0 maka tentukan nilai 3x + 2y + 3z
           ( z − 3) ( x − 1) = 15             ....(3) 

     Jawab :
     Jika persamaan (1) x (2) x (3) maka :
     ( x − 1) 2( y − 2)2 ( z − 3)3 = 12 x20 x15 ⇔ ( x − 1)         ( y − 2) ( z − 3) =   60 ......(4)
     Jika persamaan (4) : (1) maka : z – 3 = 5 ⇔                    z=8
     Jika persamaan (4) : (2) maka : x – 1 = 3 ⇔                    x=4
     Jika persamaan (4) : (3) maka : y – 2 = 4 ⇔                    y =6
     Jadi 3x + 2y + 3z = 3.4 + 2.6 + 3.8 = 48


164.     D                                C
                                
                           60


                       E

        A                             B

     ABCD adalah persegi dengan panjang sisi 2 cm. Tentukan luas segitiga BEC !




     Jawab :

        D                             C
                                
                           60
                                    30

                        E       45

        A                             B

         BE           2              4
                =          ⇔ BE =
       sin 30 
                  sin 105         2 3+ 1          (       )
                                      4
       Luas ∆ BEC = 1 .BE.CO = 1 .         . 2=                       3−1
                    2          2
                                    2 3+ 1             (       )
                                    π      5π    7π      11π
165. Tentukan nilai sin                .sin .sin    .sin
                                    24     24    24       24

     Jawab :
          π        5π       7π      11π
     sin    . sin . sin        .sin       = sin 7,5. sin 37,5. sin 52,5. sin 82,5
         24        24       24        24
                sin 2α
     sin α =
               2 cosα
                                                   sin 15       sin 75
     sin 7,5. sin 37,5. sin 52,5. sin 82,5 =            
                                                              .           
                                                                            . cos(90 − 37,5) . cos(90 − 7,5)
                                                 2 cos 7,5 2 cos 37,5
          sin 15     sin 75
     =            
                    .         
                                . cos 37,5. cos 7,5
         2 cos 7,5 2 cos 37,5
     =   1
         4
             . sin 15. sin 75
     =   1
         4
             . sin 15. cos15
     =   1
         8
             . sin 30
          1
     =
         16

166. Tentukan digit terakhir dari 1! + 2! + 3! + …. + 1999!

     Jawab :
     Digit terakhir dari 5! + 6! + 7! + ……+ 1999! adalah 0
     Jadi digit terakhir dari 1! + 2! + 3! + …. + 1999! adalah 1 + 2 + 6 + 24 atau 3

                                                              cot A     cot B
167. Jika A + B = 225 , maka tentukan nilai dari                    .
                                                            1 + cot A 1 + cot B

     Jawab :
                              1         1
       cot A     cot B                           1         1
              .         =   tan A
                                   .  tan B
                                             =        .
     1 + cot A 1 + cot B 1 + tan A 1 + tan B tan A + 1 tan B + 1
                                 1         1


     A + B = 225 ⇔ A = 225 − B
                                 tan 225 − tan B 1 − tan B
     tan A = tan(225 − B) =                       =
                               1 + tan 225. tan B 1 + tan B
       cot A     cot B          1          1       1 + tan B       1      1
              .         = 1− tan B    .          =           .          =
     1 + cot A 1 + cot B 1+ tan B + 1 tan B + 1        2       tan B + 1 2




168. Diketahui P = 64 log( x − 2)+ 64 log 2 ( x − 2)+ 64 log 3 ( x − 2) + ........ . Tentukan x agar 1 < P < 2

     Jawab :
          a
      P=
         1− r
                             log( x − 2)
                                  64
                                                    1 1− 64 log( x − 2)
     1 < P < 2 ⇒ 1 < 64                    < 2⇔        < 64             <1
                         1− log( x − 2)             2       log( x − 2)
     1          1                     3          1                 1               2
        < 64              − 1< 1⇔        < 64             < 2 ⇔ < 64 log( x − 2) <
     2       log( x − 2)              2       log( x − 2)          2               3
     8 < x − 2 < 16 ⇔ 10 < x < 18

                                                                       1                   1
169. Diketahui sudut A dan B lancip dengan tan( A + B ) =                dan tan( A − B ) = . Tentukan tan
                                                                       2                   3
     A!

     Jawab :
     tan 2 A = tan ( ( A + B ) + ( A − B ) )
      2 tan A   tan( A + B ) + tan( A − B )   1
                                                + 1
              =                             = 2   3
                                                      =1
    1 − tan A 1 − tan( A + B ) tan( A − B ) 1 − 2 . 3
            2                                    1 1


    2 tan A = 1 − tan 2 A ⇔ tan 2 A + 2 tan A − 1 = 0
               − 2±       − 2± 2 2
                             4+ 4
     tan A =                          =
                 2            2
    Karena sudut A lancip maka tan A =                          2−1

                                                                                                           5
170. Jika P, Q dan R sudut-sudut pada segitiga PQR dengan P – Q = 30 dan sin R =                            .
                                                                                                           6
    Tentukan nilai dari
    cos P sin Q

    Jawab :
    cos P sin Q =        1
                         2
                             [ sin ( P + Q ) − sin ( P − Q ) ] =   1
                                                                   2
                                                                       [sin(180    
                                                                                          )
                                                                                       − R − sin 30   ]
                                                     5 3   1
                    =    1
                         2
                             ( sin R − 12 ) =   1
                                                2
                                                    ( − )=
                                                     6 6   6

                                       7
171. Diketahui cos 4 x  =               dan 270 ≤ 4 x ≤ 360 . Tentukan sin x  !
                                      18

    Jawab :
    270 ≤ 4 x ≤ 360 ⇔ 135 ≤ 2 x ≤ 180 di kwadran II.
              − 1 + cos 4 x − 1 + 18
                                    7
                                           5
    cos 2 x =              =           = −
                   2              2        6
    135 ≤ 2 x ≤ 180 ⇔ 67,5 ≤ x ≤ 90 di kwadran I.
                1 − cos 2 x               1 − (− 5 )       11
    sin x =                 =                    6
                                                     =        =     1
                                                                   12
                                                                         132
                     2                        2            12

                                                        4             12
172. Pada segitiga ABC jika cos A =                       dan sin B =    maka tentukan cos 1 C
                                                                                           2
                                                        5             13
    Jawab :
    cos C = cos(180 − ( A + B )) = − cos( A + B ) = − cos A cos B + sin A sin B
              4 5 3 12 16
          = − . + . =
             5 13 5 13 65
                    1 + cos C              1 + 16          81
    cos 1 C =
        2
                              =                 65
                                                   =          =     9
                                                                   130
                                                                          130
                        2                     2           130



173. Tentukan nilai minimum dari f(x) = 5 – sin 2x cos (2x - π6 )

    Jawab :
     f ( x) = 5 −   1
                    2
                        [sin ( 4 x − ) + sin ] =
                                      π
                                      6
                                                    π
                                                    6
                                                         4 3 − 1 sin ( 4 x −
                                                           4   2
                                                                               π
                                                                               6
                                                                                   )
                                17
     f min = 4 3 − 1 .1 −
               4   2
                                 4

174. Agar persamaan 10 sin 2 x − 24 sin x cos x = p dapat diselesaikan, maka tentukan p !

    Jawab :
                                                         1 − cos 2 x
    10 sin 2 x − 24 sin x cos x = p ⇔ 10                             − 12 sin 2 x = p
                                                              2
    ⇔ − 5 cos 2 x − 12 sin 2 x + 5 = p
    Agar dapat diselesaikan maka : ymin ≤ p ≤ ymax
    - 25 + 144 + 5 ≤ p ≤                  25 + 144 + 5
    - 8 ≤ p ≤ 18

175. Jika h(x) = 2x + 1 dan ( fogoh)( x 2 ) = 8 x 2 + 2 maka tentukan nilai g − 1of − 1 (2)                                                  (         )
    Jawab :
    ( fogoh)( x 2 ) = 8 x 2 + 2 ⇒ ( fogoh)( x) = 8 x + 2
                                                                                                                                         x+ 2
     ( fog )(2 x + 1) = 4(2 x + 1) − 2 ⇒ ( fog )( x) = 4 x − 2 ⇒ ( fog ) − 1 ( x) =
                                                                                                                                          4
                                                              2+ 2
     ( fog ) − 1 (2) = ( g − 1of − 1 )(2) =                        =1
                                                               4

                lim  ax + b − x 3
176. Jika                      =   maka tentukan nilai a + b
                x→ 4     x− 4    4

    Jawab :
    ax + b − x bernilai 0 untuk x = 4
    Jadi 4a + b – 2 = 0 atau b = -4a + 2
    lim     ax + b − x 3 ⇒ lim         ax − 4a + 2 −                                                                  x       3
                         =                                                                                                =
     x→ 4        x− 4      4     x→ 4        x− 4                                                                             4
    lim     a ( x − 4)   x− 2 3
                       −       =
     x → 4 x− 4          x− 4    4
         1 3
    a − = ⇔ a = 1 ⇒ b = 2 − 4.1 = − 2
         4 4
    Jadi a + b = 1 + (-2) = -1

177. Tentukan luas persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah yang dibatasi
    kurva y = 1 x 2 dan
              6
    y=4 !

    Jawab :

                                                Y                                     y=          1
                                                                                                  6
                                                                                                      x2
                                                                                                           y=4

                                                                          ( x,   1
                                                                                 6
                                                                                     x2   )
                                                                                              X




     L = 2x 4 −  (   1
                     6
                         x2 = 8x −)                 1
                                                    3
                                                        x3
     L ' = 0 ⇒ 8 − x2 = 0 ⇒ x =                                   8

                    6
                     (
     Lmax = 2 8 4 − 1 ( 8 ) 2 =                     )        32
                                                              3
                                                                      2

178. Ditentukan P = 3 + 2 2               (              )   −1
                                                                  dan Q = 3 − 2 2     (                    )   −1
                                                                                                                    . Tentukan nilai (1 + P ) − 1 + (1 + Q ) − 1

    Jawab :
            (
     P = 3+ 2 2          )   −1
                                      =
                                                 1
                                                    .
                                                      3− 2 2
                                              3+ 2 2 3− 2 2
                                                             = 3− 2 2


            (
    Q = 3− 2 2           )   −1   1
                                      =
                                      .
                                        3+ 2 2
                              3− 2 2 3+ 2 2
                                                = 3+ 2 2

                                    1      1          1     1
     (1 + P ) − 1 + (1 + Q) − 1 =       +      =         +        =1
                                  1+ P 1+ Q 1+ 3 − 2 2 1+ 3 + 2 2
                                                       6+      2
179. Tentukan nilai
                                                       2+      3

    Jawab :
      6+ 2                            2                12 +        4                    2 3+ 2                                   2 3+ 2
                              .         =                                   =                                            =              = 2
            2+        3               2                4+ 2 3                               (       3+ 1         )   2
                                                                                                                                   3+ 1


180. Tentukan bentuk sederhana dari                                                                     4
                                                                                                                49 − 20 6

    Jawab :
    4
         49 − 20 6 =                                   (5 − 2 6 )               2
                                                                                        =           5− 2 6 =                                 (   3−       2   )   2
                                                                                                                                                                      =   3−       2

                                                                                                                                                                               1       1
181. Diketahui x = 37 − 20 3 dan y = 37 + 20 3 . Tentukan nilai x − 2 + y − 2

    Jawab :
        −   1
                      −   1
                                           1    1                       x+                      y                37 − 20 3 +                            37 + 20 3
    x           + y               =           +    =                                                    =
                                                                                                                     (37 − 20 3 )(37 + 20 3 )
            2             2

                                            x    y                              xy

                                           37 − 2 300 + 37 + 2 300
                                  =
                                                  1369 − 1200

                                  =
                                           (   25 − 12              )   2
                                                                             +                  (   25 +                 12      )   2


                                                                            13
                                      25 − 12 +                             25 +                    12
                                  =
                                             13
                                    10
                                  =
                                    13

                                    (1 + ( ) ) (1 − ( ) )
                                                                                                                                         1                        1
                                                                                                                         x 2 −           2             y 2 −      2
                                                                                                                         y                             x
182. Tentukan bentuk sederhana dari
                                     (( ) − 1) (( ) + 1)
                                                                                                                                         1                    1
                                                                                                                x 2                  −           y 2      −
                                                                                                                                         2                    2
                                                                                                                y                                x

    Jawab :
    ( ) ( )
                                                                                                            1
                                                                                                        −
                                                                                                   
                          1                        1
        y2 + x2   −               x2 − y2      −              y2 + x2           x2 − y2                     2

            y2
                          2
                                      x2
                                                   2
                                                                  y2
                                                                            .       x2                                      −   1

                                                        =                                                      = (1) 2 = 1
    ( ) ( )
        x2 − y2
            y2
                  −   1
                      2           y2 + x2
                                      x2
                                               −   1
                                                   2      
                                                          
                                                               2
                                                              x − y
                                                                   x2
                                                                        2
                                                                            .
                                                                                y +x2

                                                                                     y2
                                                                                                2   
                                                                                                    
                                                                                                    


183. Suatu bilangan x terdiri dari dua angka. Jika bilangan itu ditambah dengan 45, didapat
    bilangan yang terdiri dari dua angka itu juga dalam urutan terbalik. Jika di antara angka
    puluhan dan angka satuan disisipkan angka nol maka diperoleh bilangan yang nilainya
    7 2 kali nilai bilangan x. Tentukan bilangan itu !
      3


    Jawab :
    Misal bilangan itu ab, maka :
    ab + 45 = ba atau 10a + b + 45 = 10b + a ⇔ a = b – 5 …… (1)
    a0b = 7 2 ab atau 100a + b = 23 (10a + b) ⇔ 7a = 2b ……. (2)
             3                    3
    Substitusi (1) ke (2) maka :
    7(b – 5) = 2b ⇔ b = 7 sehingga a = 7 – 5 = 2
    Jadi bilangan itu adalah 27.

184. Pada dasar sebuah tong terdapat 3 buah keran. Dari keadaan penuh dengan membuka
    keran pertama dan kedua saja, tong itu dapat dikosongkan dalam waktu 70 menit. Jika
    yang dibuka keran pertama dan ketiga saja, tong itu kosong dalam waktu 64 menit. Jika
    yang dibuka keran kedua dan ketiga, tong itu kosong dalam waktu 140 menit. Jika ketiga
    keran itu dibuka bersama, maka tentukan waktu yang dibutuhkan untuk mengosongkan
    tong !
    Jawab :
                  x
       v1 + v2 =
                 70
                  x
       v1 + v3 =
                 64
                   x
       v2 + v3 =
                 140
                         +
                          x                   x
    2 ( v1 + v2 + v3 ) =    ⇔ v1 + v2 + v3 =
                         30                  60
    Jadi jika ketiga keran dibuka membutuhkan waktu 60 menit.

185. Tentukan bentuk sederhana dari  1 +  3 +                                          13 + 4 3  2 
                                                                                                    1     1

                                                                                                      2

                                                                                                 

    Jawab :
           1+   3 + 13 + 2 12 =                                 1+       3 + 1+   12 =    1+    4+ 2 3 =      1+ 1+   3=   2+   3

       =    (   3
                2
                    +       1
                            2
                                )   2
                                        =           3
                                                    2
                                                        +   1
                                                            2
                                                                =    1
                                                                     2
                                                                         6+   1
                                                                              2
                                                                                  2

186.

                        C                               B


                        A                           O



    Diameter lingkaran adalah 5,5 cm dan OB = 2,3 cm. Tentukan panjang AB !

    Jawab :
    AB = OC = ½. 5,5 = 2,75 cm




187.        C


                                                            Diketahui AP = 5 dan BP = 5 2
                                                            Tentukan panjang PQ !
           Q                            P


            B                                               A

    Jawab :
       AB =         52 + 5 2(               )   2
                                                    = 5 3
       ∆ APB ~ ∆ BQP
       AB BP   5 3 5 2         10 3
         =   ⇒     =    ⇔ PQ =
       PB PQ   5 2   PQ          3

188.
                                A                                         Jika AB = OB maka tentukan sudut BTC !
             B                   T O                          D
                           
                      40



                                         C

    Jawab :
    Segitiga AOB sama sisi, jadi ∠ AOB = 60
    ∠ ACB = 1 .∠ AOB = 1 .60 = 30
              2         2

     ∠ BTC = 180 − (40 + 30)  = 110

                                                                  13 + 2     13 − 2
189. Tentukan bentuk sederhana dari                                      −
                                                                  13 − 2     13 + 2

    Jawab :
             13 + 2 13 + 2                           13 − 2 13 − 2      17 + 4 3      17 − 4 3
                   .       −                               .       =             −
             13 − 2 13 + 2                           13 + 2 13 − 2          9             9
     =   1
         3
                 17 + 2 52 −             1
                                         3
                                              17 − 2 52
     =   1
         3
             (   13 +           ) (
                               4 −   1
                                     3
                                              13 −    4   )
         4
     =
         3

                        1 + cos A − cos B + cos C
190. Buktikan                                     = cot 1 C tan 1 B
                        1 + cos A + cos B − cos C       2       2



    Jawab :
     1 − 2 sin 1 ( A + B) sin 1 ( A − B ) + 2 cos 2 1 C − 1
               2              2                     2

    1 + 2 cos 2 ( A + B ) cos 2 ( A − B ) − 1 + 2 sin 2 1 C
               1               1
                                                        2

         − 2 sin 1 ( A + B ) sin 1 ( A − B ) + 2 sin 2 1 ( A + B )
     =            2               2                    2

          2 cos 1 ( A + B ) cos 1 ( A − B ) + 2 cos 2 1 ( A + B )
                2               2                     2




       2 sin 1 ( A + B) (sin 1 ( A + B ) − sin 1 ( A − B ))
     =       2                 2               2

       2 cos 2 ( A + B ) ( cos 2 ( A + B) + cos 1 ( A − B) )
             1                 1
                                                2

         cos 1 C (2 cos 1 A sin 1 B )
     =       2            2      2

         sin 1 C ( 2 cos 1 A cos 1 B )
             2           2       2

     = cot 1 C tan 1 B
           2       2


                                3                  A    5A
191. Jika cos A =                 maka tentukan sin sin
                                4                  2     2

    Jawab :
       A    5A
    sin sin    = − 1 (cos 3 A − cos 2 A) = − 1 ((4 cos3 A − 3 cos A) − (2 cos 2 A − 1))
                   2                         2
       2     2
                         27      3         9
               = − 1 ((4. − 3. ) − (2. − 1))
                   2
                         54      4        16
                 11
               =
                 32

                  (
192. Dari 1 + x 5 + x 7              )   20
                                              diketahui koefisien x18 adalah m dan koefisien x17 adalah n. Tentukan
nilai m + n !
   Jawab :
       (
    1 + x5 + x7      )   20
                                (      (     ))
                              = 1 + x5 x 2 + 1    20


                                                                                             (       )
       = 1 + C120 x 5 ( x 2 + 1) + C2 x10 ( x 2 + 1) 2 + C320 x15 ( x 2 + 1) 3+ ....... + x100 x 2 + 1
                                    20                                                                   20


   C320 x15 ( x 2 + 1) 3= 1140 x15 ( x 6 + 3x 4 + 3x 2 + 1)
   jadi m = 0 dan n = 1140 x 3 = 3420
   Sehingga m + n = 0 + 3420 = 3420

193.

								
To top