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1.Daten_auswerten

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1.Daten_auswerten Powered By Docstoc
					                               Online-Kurs: Einsatz eines TKP im Stochastikunterricht
                                                                 Klasse 7: 1. Daten auswerten

1.1 Beispiel: Einsatz statistischer Maßzahlen

Aufgabenbeispiel "Betonwürfel": (aus Henze, N. (2008). Stochastik für Einsteiger (7. Aufl.). Wiesbaden: Vieweg Verlag S. 37)

                Die unten stehenden Werte sind Druckfestigkeiten (in 0,1 N/mm2), welche an 30 Betonwürfeln ermittelt wurden.


                           374             358             341             355              342             334                353       346           355           344
                           349             330             352             328              336             359                361       345           324           386
                           335             371             358             328              353             352                366       354           378           324



    !           Bestimmen Sie die Lage- und Streuungsmaße in der unten stehenden Tabelle mit Hilfe der statistischen Formeln.


    i           Tipp:
                Eine Aufzählung aller Formeln für diese statistischen Maßzahlen finden Sie unter Formeln > Mehr Funktionen > Statistisch . Die EXCEL-Hilfe (Taste F1 drücken)
                gibt Ihnen Auskunft darüber, was welche Formel genau berechnet!


                                  Lagemaße:                                Formeln:                Korrektur:
                Arithmetisches Mittel                                                                                    349.70 =MITTELWERT(C14:L16)
                Empirischer Median = Zentralwert                                                                         352.00 =MEDIAN(C14:L16)
                20%-getrimmtes /-gestutztes Mittel                                                                       349.04 =GESTUTZTMITTEL(C14:L16;0,2)
                Oberes Quartil                                                                                           358.00 =QUARTILE(C14:L16;3)
                                                                                                                         Lösung :
                Unteres Quartil                                                                                          337.25 =QUARTILE(C14:L16;1)
                90% - Quantil                                                                                            371.30 =QUANTIL(C14:L16;0,9)
                                                                                                                         Wenn Sie die Aufgaben erledigt haben, können Sie dieses
                              Streuungsmaße:                                                                             Textfeld löschen, die Formeln und Werte vergleichen und
                                                                                                                         eventuelle Probleme bei bestimmten Formeln
                Empirische Varianz                                                                                       254.91 =VARIANZ(C14:L16)
                                                                                                                         diskutieren.
                Empirische Standardabweichung                                                                             15.97 =STABW(C14:L16)
                Stichprobenspannweite                                                                                     62.00 =MAX(C14:L16)-MIN(C14:L16)
                Modalwert                                                                                                358.00 =MODALWERT(C14:L16)
                Quartilsabstand                                                                                           20.75 =QUARTILE(C14:L16;3)-QUARTILE(C14:L16;1)



   F            Genauere Erläuterungen zu den einzelnen statistischen Maßzahlen finden Sie im nächsten Tabellenblatt.
                      Online-Kurs: Einsatz eines TKP im Stochastikunterricht
                                                    Klasse 7: 1. Daten auswerten

1.2 Übersicht von Befehlen unterrichtsrelevanter statistischer Maßzahlen:

                           Lagemaße:                         Formeln

         Arithmetisches Mittel                      =MITTELWERT(C14:L16)
         Empirischer Median = Zentralwert           =MEDIAN(C14:L16)
         20%-getrimmtes /-gestutztes Mittel         =GESTUTZTMITTEL(C14:L16;0,2)
         Oberes Quartil                             =QUARTILE(C14:L16;3)
         Unteres Quartil                            =QUARTILE(C14:L16;1)
         90% - Quantil                              =QUANTIL(C14:L16;0,9)
                     Streuungsmaße:
         Empirische Varianz                         =VARIANZ(C14:L16)
         Empirische Standardabweichung              =STABW(C14:L16)
         Stichprobenspannweite                      =MAX(C14:L16)-MIN(C14:L16)
         Modalwert                                  =MODALWERT(C14:L16)
         Quartilsabstand                            =QUARTILE(C14:L16;3)-QUARTILE(C14:L16;1)




  i      Es gibt noch eine Vielzahl von weiteren Befehlen für andere Kenngrößen und Maßzahlen (z.B. Kovarianz, Korrelation,…), die Sie in der Registerkarte Formeln >
         Funktionsbibliothek > Mehr Funktionen > Statistisch einsehen können. Was eine Funktion genau berechnet, können Sie in der EXCEL-Hilfe (F1) recherchieren
         oder noch besser: Die Schüler selbst recherchieren lassen (siehe Bsp. Tabellenblatt 1).




 F       Im Folgenden finden Sie eine kurze Erläuterung zu den oben aufgeführten Maßzahlen. Hier erfahren Sie unter anderem im Punkt 5., weshalb die von EXCEL
         berechneten Quantile nicht mit den händisch ermittelten übereinstimmen. Außerdem wird zu jedem Befehl erläutert, wie die einzelnen Parameter und
         weitere Angaben in den Befehl zu integrieren sind.
    Lagemaße:
   Das Arithmetische Mittel
    Zur Bestimmung des arithmetischen Mittels kann der Befehl "MITTELWERT" verwendet werden. Er wird berechnet, indem eine Gruppe von Zahlen addiert und
    anschließend durch deren Anzahl dividiert wird.

    Beispiel:     1. Wert        2. Wert       3. Wert        4. Wert       5. Wert        6. Wert       Summe          Mittelwert    Formel
                  2              3             3              5             7              10            30             30/6 = 5        =MITTELWERT(D42:I42)



                                    Formel:     =MITTELWERT(D42:I42)
                                                                            Hier wird der Datenbereich (linke obere und rechte untere Zelle
                                                                            getrennt durch ":") oder die einzelnen Werte (getrennt durch ";")
                                                                            eingegeben.



   Der empirische Median (= Zentralwert)
    Zur Bestimmung des empirischen Medianes kann der Befehl "MEDIAN" verwendet werden. Formal ist der Median folgendermaßen definiert.




    Der Median ist der Wert, der eine geordneten Stichprobe in der Mitte teilt. Das heißt, dass die Werte einer Hälfte der Zahlen größer gleich und die Werte der
    anderen Hälfte kleiner gleich dem Median sind.


                                    Formel:     =MEDIAN(Zahl1;Zahl2;…)
                                                                            Hier wird der Datenbereich oder die einzelnen Werte
                                                                            eingegeben (vgl. arithm. Mittel).
F   Aus einer geordneten Stichprobe kann man den empirischen Median sehr leicht ablesen. Die Möglichkeit eine ungeordnete Stichprobe mit Hilfe von EXCEL zu
    ordnen, wurde bereits im Kapitel zur Klasse 6 besprochen (vgl. Klasse 6 > Daten sortieren ).



   Das getrimmte / gestutzte Mittel
    "GESTUTZTMITTEL" rundet die Anzahl der nicht berücksichtigten Datenpunkte auf das kleinste Vielfache von 2 ab. Ist Prozent = 0,1 (10 Prozent), so ergeben
    sich bei 30 Datenpunkten 3 auszuschließende Punkte. Aus Symmetriegründen lässt "GESTUTZTMITTEL" in diesem Fall den kleinsten und den größten Wert der
    Datenmenge (also nur 2 Werte) unberücksichtigt.

                                                                                            In der Klammer wird erst der Datenbereich und nach
                                    Formel:           =GESTUTZTMITTEL(D14:I14;α)
                                                                                            dem Strichpunkt Alpha (0 < α < 1) angegeben.




   Die Quartile:
    Zur Bestimmung der Quartile wird der Befehl "QUARTILE" verwendet. Dieser teilt die Grundgesamtheiten in einem bestimmten Verhältnis in
    zwei Gruppen. Das 0,25 Quartil beispielsweise teilt alle Werte folgendermaßen: Ein Viertel der Werte sind kleiner gleich dem 0,25 Quartil, drei
    Viertel der Werte sind größer gleich dem 0,25 Quartil. Es wird zwischen fünf verschiedenen Quartilen unterschieden:


                                                                             In der Klammer wird erst der Datenbereich und nach
                                    Formel:      =QUARTILE(D14:I14;1)
                                                                             dem ; die Art des Quartils angegeben.

                                Quartil-Arten:              0        =       Minimalwert
                                                            1        =       0,25 - Quartil = unteres Quartil
                                                            2        =       0,5 - Quartil = Median
                                                            3        =       0,75 - Quartil = oberes Quartil
                                                            4        =       Maximalwert
                …
                 Š
                 ˆ
                 ‡
                 †
    Die Quantile „

M
    Wie Sie vielleicht festgestellt haben stimmen die von EXCEL ermittelten Quantile oft nicht mit den händisch ermittelten überein. In der EXCEL Hilfe finden wir
                               dazu: "Ist Alpha kein Vielfaches von 1/(n - 1), interpoliert QUANTIL, um das Alpha-Quantil zu bestimmen. "

      "Die Berechnung des Quantils erfolgt in EXCEL mit Interpolation, allerdings wird nicht dokumentiert, wie interpoliert wird. Die Funktion zur
      Berechnung des Quantils sollte nur bei einem ausreichend großen Datensatz verwendet werden, weil in diesem Fall der Interpolationsfehler
        relativ gering ist. Bei Quantilen bzw. beim Modus können daher in EXCEL Ergebnisse auftreten, die von anders ermittelten Ergebnissen
      (händisch oder SPSS) abweichen. Die richtigen Modi lassen sich am besten aus der Häufigkeitstabelle ablesen, und die Quantile bei kleinen
                                                  Datensätzen (bis n=50) sollte man händisch ermitteln."

              [aus Duller, C. (2006). Einführung in die Statistik mit EXCEL und SPSS. Ein anwendungsorientiertes Lehr- und Arbeitsbuch mit 25 Tabellen. Heidelberg: Physica-Verl. S. 106]




F   Eine Möglichkeit Quantile einfacher zu berechnen bietet EXCEL mit seiner Funktion "Daten sortieren", denn von einer geordneten Stichprobe kann man die
    Quantile dann einfach ablesen (vgl.Klasse 6 > Daten sortieren ). Wenn Sie den Befehl "QUANTILE" dennoch verwenden möchten sieht die Formel
    folgendermaßen aus:

                                                                                                    In der Klammer wird erst der Datenbereich und nach
                                           Formel:          =QUANTIL(D14:I14;α)
                                                                                                    dem ; Alpha mit 0 < α < 1 angegeben.




    Streuungsmaße:
   Die empirische Varianz
    Zur Bestimmung der empirischen Varianz der Daten wird der Befehl "VARIANZ" verwendet.

                                       Formel:              =VARIANZ(D14:I14)
                          Š
                           ˆ
                           ‡
                           †
                           …
    Die Standardabweichung „

    Zur Bestimmung der Standardabweichung kann der Befehl "STABW" benutzt werden.

                                Formel:       =STABW(D14:I14)




                                                                        Š
                                                                         ˆ
                                                                         ‡
                                                                         †
                                                                         …
    Die Stichprobenspannweite (=Stichprobenmaximum - Stichprobenminimum) „
    Da sich die Stichprobenspannweite aus dem kleinsten Wert, also dem Minimum (=MIN(D14:I14)) und dem größten Wert (=MAX(D14:I14)) der
    Datenreihe berechnet, nutzen wir zur Ermittlung der Stichprobenspannweite die unten stehende Formel:


                                   Formel:     =MAX(D14:I14)-MIN(D14:I14)




                 Š
                  ˆ
                  ‡
                  †
                  …
    Der Modalwert „
    Um den am häufigsten vorkommenden Wert, den Modalwert zu bestimmen wird der Befehl "MODALWERT" benutzt.


                                   Formel:    =MODALWERT(D14:I14)




                      „
                       Š
                       ˆ
                       ‡
                       †
                       …
    Der Quartilsabstand„
    Der Quartilsabstand berechnet sich durch Subtraktion des unteren Quartils vom oberen Quartil.


                                                   Formel: =QUARTILE(D14:I14;3)-QUARTILE(D14:I14;1)
                           Online-Kurs: Einsatz eines TKP im Stochastikunterricht
                                                       Klasse 7: 1. Daten auswerten

1.3 Visualisierung der Lage- & Streuungsmaße:
Das folgende Diagramm zeigt eine Möglichkeit zur Darstellung der ermittelten Lage- & Streuungsmaße. Es basiert auf den Daten des vorangegangenen
Beispiels "Betonwürfel".



                                            Veranschaulichung der Lage- & Streuungsmaße
   1



   0
       320                 330                  340                      350                 360                   370                    380                   390

  -1



             Datenpunkte                               Oberes Quartil                              Medianabweichung
             Median                                    Unteres Quartil




  F          Mehr zur Erstellung von Diagrammen erfahren Sie in der nächsten Lektion Diagramme erstellen & manipulieren . Hier erfahren Sie ebenfalls, wie Sie das obige
             Diagramm selbst erstellen können.
                 
             Diagramm
          Rang            Werte
           1               324      0
           2               324    0.2
           3               328      0
           4               328    0.2
           5               330      0
           6               334      0
           7               335      0
           8               336    0.2
           9               341      0
           10              342      0
           11              344      0
           12              345      0
           13              346      0
           14              349      0
           15              352    0.4
           16              352    0.2
           17              353      0
           18              353    0.2
           19              354      0
           20              355      0
           21              355    0.2
           22              358    0.4
           23              358    0.2
           24              359      0
           25              361      0
           26              366      0
           27              371      0
           28              374      0
           29              378      0
           30              386      0
Median                     352      0
Unteres Quartil            336      0
Oberes Quartil             358      0
   Medianabweichung
  (oberster & unterster   342.5    0
          Wert            361.5    0
Medianabweichung
Betrag                     9.5     0

				
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posted:10/26/2011
language:German
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