Rectas e planos
Dois pontos distintos do plano ou do
espaço definem uma recta
Modos de definir um plano
Um plano fica definido por:
• Um ponto e uma recta que não o contenha
• Duas rectas paralelas mas não coincidentes
• Duas rectas concorrentes
Definições (rectas):
Paralelismo:
No espaço duas rectas são paralelas se
satisfazem as seguintes condições:
- são complanares
- não têm nenhum ponto comum, ou são
coincidentes
Definições (rectas):
Perpendicularidade:
No espaço duas rectas são perpendiculares
se por um ponto qualquer é possível traçar
duas rectas perpendiculares, paralelas às
duas rectas dadas
Perpendicularidade:
No espaço duas rectas são perpendiculares se por um ponto qualquer é
possível traçar duas rectas perpendiculares paralelas às duas rectas dadas
Definição de perpendicularidade entre rectas:
2 rectas são _|_s se por um ponto qualquer (B) for
possível traçar 2 rectas _|_s (BC_|_BA) paralelas às
rectas dadas( BC//FG e BA//DC)
D C
A
B
H G
E F
Propriedades:
1- Duas rectas paralelas (//s)a uma terceira são
paralelas entre si
2- Dadas duas rectas //s, todo o plano que
intersecta uma, intersecta a outra
3- Se duas rectas são _|_s, toda a recta paralela
a uma é _|_ à outra
4- Se duas rectas são //s, toda a recta _|_ a uma
é _|_ à outra
1- Duas rectas paralelas (//s)a uma terceira são paralelas entre si
2 rectas paralelas a uma terceira são paralelas entre si
DC // EF porque
DC // AB
EF // AB
D C
A
B
H G
E F
2- Dadas duas rectas //s, todo o plano que intersecta uma,
intersecta a outra
Dadas 2 rectas paralelas, todo o plano que intersecta uma intersecta outra
DC // EF o plano BCGF
intersecta DC em C e EF
em F
D C
A
B
H G
E F
3- Se duas rectas são _|_s, toda a recta paralela a uma é _|_ à outra
Se 2 rectas são _|_ s, toda a recta paralela a uma é _|_ à outra
Paralelismo:
D C
DC_|_ FG , então A
B
HG // DC e HG_|_FG
ou
BC // FG e BC _|_DC
H G
E F
4- Se duas rectas são //s, toda a recta _|_ a uma é _|_ à outra
Se 2 rectas são paralelas, todo a recta _|_ a uma é _|_ à outra
DC // EF então
BC _|_ DC e BC _|_ EF
D C
A
B
H G
E F
Definições (recta e plano):
• Uma recta é paralela a um plano se não é
secante ao plano
Perpendicularidade:
• Uma recta é perpendicular a um plano se é
perpendicular a todas as rectas do plano
Perpendicularidade:
Uma recta é perpendicular a um plano se é perpendicular a todas as
rectas do plano
Definição de perpendicularidade entre recta e plano:
1 recta é _|_ a um plano se é _|_ a todas as rectas do
plano
DC _| _ ao plano BCGF pq
é _|_ a todas rectas do
plano (CG, FG,FB e BC)
D C
A
B
H G
E F
Propriedades:
1- Critério de paralelismo entre recta e plano:
Se existir, num plano, uma recta paralela a uma
recta dada, que não está contida nesse plano, a
recta e o plano são paralelos
2- Dadas duas rectas não complanares, existe um e
um só plano que contém uma e é paralelo à outra
3- Critério de perpendicularidade entre recta e
plano: Se uma recta é perpendicular a duas rectas
concorrentes de um plano, então a recta é
perpendicular ao plano.
Critério de paralelismo entre recta e plano :
1- Se existir, num plano, uma recta paralela a uma recta dada, que não
está contida nesse plano, a recta e o plano são paralelos
Critério de paralelismo entre recta e plano:
Uma recta exterior a um plano é paralela a esse plano, se for paralela a
uma recta contida no plano
AD não pertence ao plano BCF
mas BC // AD, logo AD// BCF
D C
A
B
H G
E F
2- Dadas duas rectas não complanares, existe um e um só plano que contém
uma e é paralelo à outra
Dadas duas rectas não complanares, existe um e um só plano
que contém uma e é paralelo à outra
AD e CG são não complanares,
existe o plano BCF que contém
CG e é // AD
D C
A
B
H G
E F
3- Critério de perpendicularidade entre recta e plano:
Se uma recta é perpendicular a duas rectas concorrentes de um plano, então a recta é
perpendicular ao plano.
Critério de perpendicularidade entre recta e plano:
Se uma recta é _|_ a duas rectas concorrentes de um plano,
então a recta é _|_ ao plano
Se DC _|_CG e DC_|_BC
então DC _|_BCGF
D C
A
B
H G
E F
Definições (planos):
Paralelismo:
Dois planos são paralelos se não são secantes
Perpendicularidade:
Dois planos a e b são perpendiculares se em
a existe uma recta perpendicular a b e se
em b existe uma recta perpendicular a a
Perpendicularidade:
Dois planos a e b são perpendiculares se em a existe uma recta perpendicular
a b e se em b existe uma recta perpendicular a a
Definição de perpendicularidade entre dois planos:
Dois planos são _|_s se em cada um deles existir uma
recta _|_ ao outro plano
ABD _|_ BCF porque
DC _|_ BCF e BF_|_ABD
D C
A
B
H G
E F
Propriedades:
Critério de paralelismo entre planos
1- Se duas rectas concorrentes de um plano
são paralelas a outro plano, então os planos
são paralelos
2- Existe um só plano que passa por um ponto
dado e é paralelo a um plano dado
Critério de paralelismo entre planos
1- Se duas rectas concorrentes de um plano são paralelas a outro plano, então os
planos são paralelos
Critério de paralelismo entre planos:
Se duas rectas concorrentes de um plano são //s a outro plano,
então os planos são //s.
Se AD e DC são concorrentes e //s a EFGH
então ABCD//EFGH
D C
A
B
H G
E F
2- Existe um só plano que passa por um ponto dado e é
paralelo a um plano dado
Existe um só plano que passa por um ponto dado e
é paralelo a um plano dado.
Pelo ponto dado D só passa o plano ADE
que é paralelo ao plano BCF
D C
A
B
H G
E F
Propriedades (cont.):
3- Se um plano intersecta dois planos, as
rectas de intersecção são paralelas
4- Critério de perpendicularidade entre planos:
Se num plano existe uma recta perpendicular a
outro plano, então os planos são perpendiculares
3- Se um plano intersecta dois planos, as rectas de intersecção
são paralelas
Se um plano (amarelo) intersecta dois planos
paralelos (azuis) então as rectas de intersecção
são paralelas.
D C
A
B
H G
E F
4- Critério de perpendicularidade entre planos:
Se num plano existe uma recta perpendicular a outro plano, então os planos são
perpendiculares
Critério de perpendicularidade entre planos:
Se num plano existe uma recta _| _ a outro plano,
então os planos são _|_ s.
Se DC _|_CG e DC_|_BC
D C
então DC _|_BCGF, logo
o plano ABCD_|_BCGF
A
B
H G
E F