INTRODUCTION - Free_1_

DESMOULINS-LEBEAULT François DEA 104

GUERMAS Lila Avril 2000

KHAROUBI Cécile

MATUCHANSKY Philippe

NGUYEN Vu Nhat

RAVISSE Aurélie









SEMINAIRE DE LECTURE









MODELES A VOLATILITE STOCHASTIQUE

&

NON NORMALITE DES RENDEMENTS



sous la direction du Pr. H. Geman









Université Paris IX Dauphine

Place du maréchal de Lattre de Tassigny

75116 Paris cedex

-2-









INTRODUCTION





Dans le cadre des modèles d‟options, de nombreux éléments mettent en cause

l‟utilisation du mouvement brownien géométrique et donc l‟utilisation de la loi

normale pour modéliser le rendement de l‟actif sous-jacent.



Le modèle de Black&Scholes, entre autres, possède de nombreux biais :le taux

d‟intérêt est constant, la volatilité est constante…Or, lorsque l‟on inverse la formule

de Black&Scholes pour obtenir la volatilité implicite de l‟option (à partir des prix de

marché), on constate que cette volatilité implicite n‟est pas constante. D‟une part elle

varie en fonction de la maturité de l‟option, nous obtenons donc une structure par

termes des volatilités. D‟autre part, elle varie en fonction du prix d‟exercice de

l‟option. La première constatation n‟est pas très gênante. Il suffirait de dire que la

volatilité est une fonction déterministe du temps. Cela complexifierait les calculs mais

nous pourrions nous en sortir. Ce qui, par contre est beaucoup plus gênant, c‟est

cette dépendance par rapport au prix d‟exercice. Ce phénomène est appelé « smile »

de volatilité.



Le smile de volatilité implique de l‟asymétrie sur la distribution de l‟actif sous-jacent

(skew) et l‟existence de queue épaisse dans la distribution (kurtosis).

Ainsi le modèle de Black&Scholes ne modélise pas assez bien les variations de

volatilité et l‟impact de ces variations sur le prix de l‟actif sous-jacent et donc sur le

prix de l‟option.





Une grande majorité des articles présentés dans ce séminaire partent de la même

idée. Il faut prendre des hypothèses plus réalistes sur la distribution de l‟actif sous-

jacent. Certains articles travailleront directement sur la distribution de l‟actif (3ème

partie) et d‟autres tenteront de définir une dynamique propre à la volatilité, la

rendant ainsi elle-même stochastique (1ère et 2ème parties).



Il convient alors de soulever dès à présent le problème majeur de l‟évaluation d‟actifs

quand la volatilité est stochastique. En effet, le nombre de source de risque est

supérieur au nombre d‟actifs négociés. Pour une même action nous avons le risque

propre de l‟action et le risque de volatilité (la volatilité n‟étant pas négociée sur les

marchés). Nous nous situons alors en marché incomplet. Il n‟existe alors plus une

unique probabilité risque-neutre mais une infinité. Il est donc impossible de donner

un prix unique à l‟option. Nous devrions obtenir une fourchette de prix. Alors

comment obtenir un prix non arbitrable si nous avons une fourchette de prix ?



Il convient donc d‟insister sur le problème de fond d‟évaluation en marché incomplet

qui est une hypothèse plus générale et beaucoup plus réaliste que la complétude des

marchés. Ce problème sera rapidement contourner dans les articles étudiés.

-3-





Enfin, l‟exposé sera composé de trois parties. Tout d‟abord nous présenterons les

principaux modèles à volatilités stochastiques sur actions et sur taux d‟intérêt.

Ensuite nous aborderons la modélisation de la non normalité des rendements.



Le temps ayant une importance capitale en finance, vous comprendrez la démarche

chronologique qui a été suivie ici.

-4-







PLAN





INTRODUCTION



PREAMBULE





I. Modèles à volatilité stochastique sur action et sur taux de change



1. Modèles de première génération (sans solution analytique)

a. Hull & White 1987

b. Melino & Turnbull 1990



2. Modèles de deuxième génération (avec solution analytique)

a. Heston 1993

b. Ball & Roma 1994



3. Modèles de troisième génération (avec sauts)

a. Ho,Perraudin & Sorensen 1996

b. Scott 1997



II. Modèles à volatilité stochastique sur taux d‟intérêt



1. Considérations générales sur les modèles de taux d‟intérêt

2. Longstaff & Schwartz 1992

3. Quelques critiques



III. Non normalité des rendements et méthodes économétriques



1. Stein & Stein 1991

2. Torben & Andersen 1996

3. Ane & Geman 1996

4. Madan, Carr, Chang 1998

5. Ritchken & Trevor 1999





CONCLUSION

BIBLIOGRAPHIE

ANNEXE : La méthode des moments généralisés

-5-







PREAMBULE





Comme nous l‟avons déjà énoncé dans l‟introduction, lorsque nous considérons la

volatilité comme étant une variable aléatoire définie par une dynamique

stochastique, nous sommes en présence d‟un cas d‟incomplétude des marchés.

Nous allons exposer ici les méthodes utilisées implicitement dans tous les articles qui

permettent d‟obtenir une EDP d‟évaluation faisant intervenir le prix de marché du

risque de volatilité.





A. Première méthode : L‟option à la monnaie





Nous devons faire l‟hypothèse qu‟il existe une option suffisamment négociée sur le

marché tel que son prix correspond à l‟intersection de l‟offre et de la demande. Cette

option peut alors être assimilée à un actif primitif.



Nous nous situons dans la problématique suivante : nous voulons évaluer une option

C(t, S, v) écrite sur l‟actif sous-jacent S, dont la volatilité v est stochastique. Sur le

marché est négocié une option C1 écrite sur le même sous-jacent que C mais avec

une maturité et/ou un prix d‟exercice différent.



Nous avons les dynamiques suivantes pour l‟action et la volatilité :



dS  Sdt  vSdw1

dv  p( S , v, t )dt  q( S , v, t )dw2

dw1 .dw2  dt



Le choix des fonctions p et q est crucial dans la modélisation de l‟évolution de la

volatilité. Toutefois, nous travaillerons ici dans le cas le plus général sans spécifier

ces fonctions.

Nous allons construire un portefeuille composé de l‟option que l‟on cherche à évaluer,

de l‟actif sous-jacent en quantité n, et de l‟option C1 en quantité n1.



  C  nS  n1C1



Nous étudions le rendement de ce portefeuille.



d   dC  ndS  n1 dC1 car le portefeuille doit être autofinançant.



En appliquant le lemme d‟Itô aux trois grandeurs composant le portefeuille, nous

obtenons :





C C C 1  ²C 1  ²C  ²C

dC  dt  dS  dv  (dS )²  (dv)²  (dS )(dv)

t S v 2 S ² 2 v ² Sv

-6-









idem pour C1

 C 1  ²C  ²C 1  ²C 

d  v²S ²  vqS  q² dt

 t 2 S ² Sv 2 v ² 



 C1 1  ²C1  ²C1 1  ²C1 

 n1   v²S ²  vqS  q² dt

 t 2 S ² vS 2 v ² 



C C1 C C1

(  n1  n )dS  (  n1 )dv

S S v v





Pour éliminer toute source de risque de ce portefeuille, il convient de définir n et n 1

ainsi :



C C1 C C1

(  n1  n )  0 et (  n1 )0

S S v v



Il ne nous reste donc que les termes en dt. De plus, le portefeuille n‟ayant plus de

composantes risquées, en l‟absence d‟opportunité d‟arbitrage, nous pouvons dire qu‟il

rapporte le taux sans risque. Nous obtenons finalement l‟équation suivante :





 C 1  ²C  ²C 1  ²C 

d  v²S ²  vqS  q² dt

 t 2 S ² Sv 2 v ² 



 C1 1  ²C1 C1 1  ²C1 

 n1   v²S ²  vqS  q² dt

 t 2 S ² v ² 2 Sv 



 r  dt  r(C  nS  n1C1 )dt





Nous avons ici une EDP qui est une fonction de deux variables alors que dans le

modèle de Black&Scholes, cette EDP n‟est fonction que d‟une seule variable.



En isolant les termes en C dans le membre de gauche et les termes en C1 dans le

membre de droite, nous pouvons réécrire l‟équation ainsi :







C 1  ²C  ²C 1  ²C C

 v²S ²  vqS²  q²  rS  rC

t 2 S ² Sv 2 v ² S

C

v

-7-





C1 1  ²C1  ²C1 1  ²C1 C1

 v²S ²  vqS²  q²  rS  rC1

 t 2 S ² Sv 2 v ² S

C1

v

Les deux options auront des pay-off différents puisque les maturités et les prix

d‟exercice différent. Ainsi, l‟égalité ci-dessus ne peut-être réalisée que si elle est

indépendante du type de contrat, de ces caractéristiques. Chaque coté de l‟égalité

peut être seulement fonction des variables indépendantes S, v et t.

Nous obtenons donc :





C 1  ²C  ²C 1  ²C C

 v²S ²  vqS²  q²  rS  rC

t 2 S ² Sv 2 v ² S  ( p  q)

C

v



 est appelé prix de marché du risque de volatilité et est supposé être constant.



C‟est cette équation qu‟utilise tous les articles sur les modèles à volatilité

stochastique. Nous estimions qu‟il pouvait être utile de rappeler comment cette EDP

est générée.





C 1  ²C  ² C 1  ²C C C

 v²S ²  qvS  q²  rS  ( p  q)  rC  0

t 2 S ² Sv 2 v ² S v





Cette méthode d‟obtention de l‟EDP est très critiquable. En effet, si l‟option à la

monnaie devient un actif primitif, alors il n‟est plus possible de lui appliquer le lemme

d‟Itô faisant intervenir le prix du sous-jacent. Cela n‟a plus aucun sens. Il faudrait

connaître sa dynamique propre, comme pour le sous-jacent. D‟autre part, on obtient

une EDP faisant intervenir le prix de l‟option à évaluer ainsi que le prix de l‟option à

la monnaie. Il est impossible de résoudre cette équation. Nous savons donc couvrir

mais pas évaluer l‟option avec une volatilité stochastique.





B. Deuxième méthode : La risque-neutralité en moyenne



Cela consiste à reproduire la théorie de Black&Scholes. On va construire un

portefeuille composé de l‟option à évaluer et du sous-jacent en quantité égale au

delta de l‟option. Or, ce portefeuille devient risqué en présence de volatilité

stochastique puisque la volatilité n‟est pas négociée sur les marchés. Il devient donc

impossible d‟obtenir un portefeuille risque-neutre. Toutefois, il est possible de

transposer la méthode utilisée pour traitée les coûts de transactions. Il faut pour cela

raisonner en risque-neutralité en moyenne. C‟est l‟espérance de rendement du

portefeuille qui doit rapporter le taux sans risque. On obtient alors une EDP

-8-





d‟évaluation mais on ne peut couvrir cette option car le risque de volatilité n‟est

pas négocié sur les marchés.





C. Troisième méthode : L‟utilisation de fonction d‟utilité



On ne sait plus valoriser en AOA car nous sommes en marché incomplet. Il faudrait

donc introduire des fonctions d‟utilité afin de tenir compte des préférences des

agents. Il est alors difficile d‟en déduire un résultat puisque il dépendra de la forme

de la fonction d‟utilité choisie.

-9-









PREMIERE PARTIE :



LES MODELES A VOLATILITE

STOCHASTIQUE SUR ACTIONS ET

DEVISES

- 10 -









I. LES MODELES SANS SOLUTION ANALYTIQUE





1) « The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities » by Hull

& White





L‟article est un des premiers à traiter le problème de pricing d‟option en

présence d‟une volatilité stochastique. Avec des arguments assez convaincants, les

auteurs ont réussi à démontrer le biais induit par la formule de Black Scholes, et à

expliquer l‟existence, dans la distribution des rendements, des queues épaisses et

d‟un aplatissement différent par rapport au cas de la normalité des rendements. Le

résultat principal de l‟article, en termes de pricing d‟option est une formule de pricing

sous forme d‟un développement limité sous certaines hypothèses simplificatrices

(surtout celle de la non corrélation entre le prix de l‟actif sous jacent et sa volatilité),

et une méthode Monté Carlo applicable dans un cas plus général ( lorsque le prix et

sa volatilité sont corrélés).



Néanmoins, si l‟article a le mérite de soulever une question importante, il n‟a pas,

pour autant, offert une réponse satisfaisante. L‟absence d‟actifs corrélés à la volatilité

de l‟actif sous jacent explique pourquoi le problème n‟a pas été résolu auparavant.

Mais cela explique aussi pourquoi les auteurs de cet article ont fait des hypothèses

très arbitraires et discutables sur la prime de risque de volatilité ( considérée comme

nulle ou, au mieux, constante dans le temps ). Dans l‟absolu, le prix de l‟option n‟est

pas indépendant de cette prime de risque, et donc de la probabilité corrigée du

risque choisie, ce qui signifie que le prix de l‟option est « viable » au sens de

Harrison–Kreps ( c‟est-à-dire qu‟il est compatible avec une certaine classe de

préférences) mais non déterminé par arbitrage [2]. Autrement dit, l‟impossibilité de

répliquer la volatilité et l‟incomplétude du marché ne sont pas résolues. Il y a plus de

sources de risque ( risque d‟action et risque de volatilité ) que d‟actif disponible

(action ). L‟option écrite sur un actif ayant une volatilité stochastique reste non

« atteignable » sous les hypothèses habituelles .







a. Hypothèses :







On considère un produit dérivé f écrit sur une action dont la dynamique du prix est

donné par :





dS .S.dt .S.dW (1)

dV VdtVdz (2)



où V=  2

- 11 -





La variable  peut dépendre de S, et t ;  et  peuvent être fonction de  et

t mais non de S. Le coefficient de corrélation de W et z est  (qui sera supposé nul

dans la suite, sauf indication contraire). On suppose que  est spécifié de telle sorte

que .V tende vers 0 quand V tend vers 0, afin d‟éviter la possibilité que V prenne

des valeurs négatives. Le taux d‟intérêt r est supposé constant ou du moins

déterministe.

b. Le modèle





L‟équation de Garman [3] (appliqué à deux variables d‟état : S un actif négocié et V,

non négociée) :





f 1  2 2 2 f 2 f 2 f  f f

  S 2 3S  2V 2 2 rf rS ( V (* r)) 2 (4)

t 2  S 2 SV V  S V





* étant le vecteur des rendements instantanés espérés du portefeuille de marché et

des portefeuilles les plus corrélés avec les variables d‟état, r est le vecteur du taux

sans risque, v le vecteur des coefficients de la régression du taux de rendement de

la volatilité sur les portefeuilles mentionnés ci-dessus.



Il est clair que (4) dépend de l‟aversion au risque de volatilité à travers la prime de

risque V (* r) . Le modèle suppose que V (* r) est nul, ce qui revient à dire que la

volatilité n‟est pas corrélée à la consommation agrégée, ou encore que les agents ne

sont pas adverses au risque de volatilité. Par conséquent, la volatilité n‟a pas de

risque systématique. Sous cette hypothèse (4) se récrit :





f 1  2 2 2 f 2 f 2 f  f f

  S 2 3S  2V 2 2 rf rS  2 (5)

t 2  S 2 SV V  S V







L‟EDP (4), à part sa forme particulière de la prime de risque, peut être déduite de

l‟AOA ( en construisant un portefeuille sans risque comportant l‟action S et deux ou

plusieurs actifs dérivés écrits sur S ). On démontre alors que la prime de risque lié à

la volatilité V V (*r) ne dépend pas d‟un actif dérivé particulier choisi. D‟une

autre manière, on peut retrouver cette EDP en faisant un changement de probabilité

( Girsanov) et en utilisant la formule de Feynman-Kac.



En effet, faisons le changement de probabilité (dans les processus stochastiques des

primes de risque, seule la dépendance du temps est explicitée par l‟indice u afin

d‟alléger la notation) :

- 12 -







dQ  T T T T T



expS (u)dW(u)V (u)dz(u) 1 S (u)2du 1 V (u)2duS (u)V (u)du (6)

dP  t t

2t 2t t 





(u)r

où S (u) est la prime de risque liée à l‟actif sous jacent

(u)

V (u) est la prime de risque liée à la volatilité, dépendant des préférences des

individus.

- 13 -





Sous la nouvelle probabilité corrigée du risque Q (correspondant à un choix

particulier de la prime de risque V (u) ), les processus du prix et de la volatilité

s‟écrivent





dS rSdt SdW (7)



dV VdtVd z (8)



où r est le taux d‟intérêt sans risque et    V  le drift corrigé de la prime de risque

de la volatilité. Le prix d‟un produit dérivé f écrit sur S satisfera :



f(St , t2,t)er(T t) EQ[f(ST ,T ,T)/ Ft ]

2 (9)



où f(ST , T ,T) représente le payoff terminal de f. Remarquons qu’il y a une

2





correspondance un à un entre prix possible de f et choix de V (u) ( donc de

Q, la probabilité corrigée du risque ). D‟après la formule de Feynman-Kac, f(.,.,.)

donné par (9) satisfait l‟EDP suivant, qui n‟est qu‟une autre écriture de (4) sans

préciser la prime de risque de volatilité:







1  2S 2  f 2 3S  f  2V 2  f rS f (  ) 2 f  f rf

2 2 2



2 S 2 SV V 2 

 S V

V t





L‟EDP (5) en découle de manière immédiate en choisissant une prime de risque de

volatilité V nulle.

On peut voir à travers (8) que le problème de l‟incomplétude du marché n‟est pas du

tout réglé. Il y a plus de sources de risque ( risque d‟action et risque de volatilité )

que d‟actif disponible (action ). L‟option reste un actif non « atteignable ». Le prix de

l‟option (un produit dérivé particulier ) n‟est pas indépendant de la prime de risque

V (u), et donc de la probabilité corrigée du risque choisie. Un prix peut être

compatible avec certaines préférences et ne pas l‟être avec d‟autres. En aucun cas,

ce prix n‟est déterminé par arbitrage [2]. La volatilité n‟étant pas négocié sur le

marché ni réplicable, il n‟y a pas de justification pour le choix d‟une probabilité

corrigée du risque Q et une prime de risque de volatilité particulières.



Sous la probabilité corrigée du risque Q avec une prime de risque de volatilité nulle (

(5) prévaut), on obtient (9). Réécrivons-le pour un call européen en utilisant la loi

des espérances itérées :



f(St , t2,t)EQ[er(T t)(ST K) / Ft ]EQ[er(T t) EQ((ST K) /V )/ Ft ] (10)

où

- 14 -





T

V  1  2d représente la variance moyenne ( où la volatilité moyenne ). Pour

T t t

simplifier l‟écriture, l‟espérance conditionnelle a été exprimée seulement par rapport

à V . En toute rigueur, il faudrait conditionner simultanément par rapport à V et Ft .

Notons que (5) et les développements ci-dessous restent valides si l‟on fait

l‟hypothèse d‟ une prime de risque de volatilité constante. Il convient alors de

remplacer  dans les écritures par   V  V (* r) . Cependant, encore une fois,

le choix de cette prime de risque constante V V (* r) est totalement arbitraire.



Lemme important : Dans un monde neutre au risque où :



- la dynamique du prix de l‟action est donnée par (7) et (8) où dW et dz sont

indépendants ( = 0)



- le taux d‟intérêt r est constant, les coefficients  et  sont indépendants de S



alors la variable aléatoire ln (S(T)/S(0)) conditionnelle à V (et F0 ) suit une loi

normale de moyenne rT - V T/2 et de variance V T



où

T

V  1  2d

T0



Notons que ce résultat n‟est plus valide si dW et dz sont deux mouvements

Browniens corrélés ou dans un monde adverse au risque ( le drift du prix n‟est plus r

constant mais  éventuellement dépendant de V ).



Grâce à ce lemme, on identifie clairement l‟expression er(T t) EQ(f(ST ,T ,T)/V ) dans (10)

2





au prix de Black – Scholes ayant V comme volatilité (en terme de variance). D‟après

la formule de Black & Scholes, le prix du call noté C( V ) (pour une valeur donné de

V ) s‟écrit :



C(V)er(T t) EQ((ST K) /V )St N(d1 )Ker(T t) N(d2 )

où



log(St / K)(r V / 2)(T t)

d1 

V (T t)





d2 d1  V (T t)



La valeur du call est alors l‟espérance du prix de Black - Scholes C( V ) ci-dessus par

rapport à la distribution de la variance moyenne V

- 15 -











f(St , t2,t)EQ[er(T t) EQ((ST K) /V )/ Ft ]EQ C(V )/ Ft  (11)



Malheureusement, la loi de distribution de V n‟étant pas connue, il est impossible

de déduire de (11) une formule analytique du prix du call.

- 16 -









Remarquons simplement que:





- (11) est valide dans un monde neutre au risque mais également dans un

monde adverse au risque quand la volatilité est non corrélée à la

consommation agrégée, de sorte que la prime de risque V (* r) soit nulle.



- il est facile de démontrer que quand le call est à la monnaie, C(V ) est une

fonction concave E( C(V ) ) 0 et en dehors de la monnaie si  0 : le « vrai » prix d‟option est bien au-dessus de celui de B&S

pour les options très en dehors de la monnaie, et en-dessous pour les options à la

monnaie ou dans la monnaie (Figure 3). Le point de rencontre des deux prix se

trouve légèrement inférieur au prix à la monnaie (prix d‟exercice en cas où r=0) et le

biais de B&S a tendance à se réduire lorsque le prix du sous-jacent augmente.









Figure 3: Le prix de Black Scholes versus le « vrai » prix



Cas d’une corrélation positive entre le prix d’action et sa volatilité

Le prix de

Le « vrai » prix + B&S

de l’option _

K S

Cas d’une corrélation négative entre le prix d’action et sa volatilité

Le prix de

B&S + S

Le « vrai » prix _

de l’option K

Cas de non corrélation entre le prix d’action et sa volatilité



Le « vrai » prix +

de l’option _ _ S

K Le prix de

B&S

- 22 -









Puisque la variation du prix du sous-jacent est positivement corrélée à celle de

la volatilité, de forts prix sont associés à de fortes volatilités, la chance d‟une

variation fort positive du prix augmente avec le prix. Par conséquent, les prix très

élevés sont plus probables que dans le cas de fixité de la volatilité. De même, un

faible prix est associé à une faible volatilité et logiquement suivi par un autre prix

faible et pas trop éloigné du premier, les prix faibles jouent en quelque sorte une

« barrière absorbante ».( Quand le prix initial est faible, il y a plus de chance que le

prix terminal soit faible que le cas d‟une volatilité constante ). La distribution du prix

terminal du sous-jacent est plus déportée vers la droite que dans le cas gaussien

classique, d‟où un coefficient d‟asymétrie du rendement positif à la place de

zéro.(Figure 4)

- 23 -









 2ème cas :  0) et

1977-1978 ( 0





 Incorporation d‟information publique.



Il est important d‟incorporer dans le modèle des informations qui modifient le prix de

l‟actif mais qui sont immédiatement interprétées et connues de tous. Ces

informations publiques déplacent le prix d‟équilibre mais ne génèrent pas de

transactions informées. En supposant que ces informations arrivent sur le marché de

façon aléatoire mais avec un taux attendu proportionnel à l‟arrivé des autres

informations, ces informations vont se manifester par une nouvelle variable aléatoire

dans la description des rendements. On a donc :



Rt  K t1 2 Ot Z t  K t1 2 Lt

- 83 -





Où Ot est une variable aléatoire positive non dégénérée, i.i.d. avec une moyenne

(normalisée) de 1. Ot est indépendante de Zt (i.i.d. N(0, 1)). Il découle de cela que Lt

est i.i.d., de moyenne nulle et de variance unitaire. Cependant l‟aléa supplémentaire

lié aux informations publiques fait que la distribution est leptokurtique. La

décomposition entre Ot et Zt n‟est pas identifiable et on a donc un processus qui

n‟est plus conditionnellement normal. Ceci peut être très intéressant dans le cadre

d‟une modélisation avec volatilité stochastique lognormale.





c. Conclusions





L‟article contient de nombreux tests statistiques du modèle développé ci avant, qui

semble être relativement exact et qui s‟il est loin de rendre parfaitement les fait

empirique donne de biens meilleurs résultats que le MDH standard. Par ailleurs

l‟auteur après de nombreux test sur la volatilité d‟actions américaines, avec utilisation

de méthodes ARCH, GARCH etc. ainsi que la méthode de moments généralisée,

incite à distinguer trois processus d‟arrivées d‟informations sur les marchés.



Ces processus indépendants sont : l‟arrivée d‟information privée qui induit de la

volatilité et des volumes de transaction importants et persistants, l‟arrivée

d‟information immédiatement incorporée (nommée auparavant information publique)

et enfin des informations qui induisent des chocs de volatilité très peu persistant, et

parfois nuls mais entraînent des volumes très importants. Les informations de ce

type sont des événements du type publication de chiffres macroéconomiques ou bien

triple witching days.

- 84 -









3) “Stochastic Subordination” by H. Geman& T. Ane







Dans le modèle de Black-Scholes, le prix du sous-jacent suit un mouvement

brownien géométrique, et les rendements ne sont pas forcement normaux. Une des

faiblesses de ce modèle, est qu‟il suppose une volatilité constante, or on constate

que la volatilité implicite ne l‟est pas, et qu‟au contraire elle dépendait du temps, de

la maturité de l‟actif contingent et du prix d‟exercice, si l‟actif évalué est une option

(Smile de volatilité). Face à ce problème, la littérature propose trois solutions

possibles :



 L‟utilisation du Chaos (déterministe et non linéaire), qui n‟est d‟ailleurs pas

satisfaisant.

 L „introduction du processus non gaussien.

 Utilisation de la volatilité stochastique, en fixant une fourchette de valeurs ; on

observe que le modèle Black-scholes, fonctionne assez bien.



Au lieu d‟utiliser la volatilité stochastique, les auteurs proposent une «horloge

stochastique ».

L‟idée est de remplacer le temps opérationnel par un temps qui soit représenté par

processus stochastique.

Soient, (t) , le processus subordinateur (le temps économique), et X(s) le processus

subordonné, qui correspond au taux de rendement du titre, observé sur ce

«temps ».





a. Le Principe





Le mouvement Brownien géométrique ou standard, est toujours le même au cours

du temps, et les rendements ne sont pas forcement normaux.

Les auteurs vont donc, proposer une «correction » du temps, ce dernier va suivre un

mouvement stochastique, en faite, le processus (t), va être représenté par un

nombre de transactions ; (Clark utilise le volume), et X(s) suit une loi log-normale

dans le temps opérationnel.

Le choix du nombre de transactions n‟est pas innocent, car aucune hypothèse n „est

faite sur sa densité de probabilité (contrairement a Clark, qui suppose que le volume

suit une loi log-normale).



Volatilité stochastique :



L‟objectif de ce papier est de raisonner non plus en volatilité stochastique mais en

processus subordonné ou le temps suit un processus stochastique, c‟est à dire, que

l‟on va considérer le nombre de transactions sur le marché.

- 85 -





Les modèles a volatilité stochastique ne sont pas très satisfaisants, car il est

impossible de couvrir un portefeuille qui contient plus de sources de risque que

d‟actifs primitifs, autrement dit, le marché est incomplet.



Modèle d‟évaluation :



Le modèle met en évidence l‟intuition de Clark, en prenant comme facteur, le nombre

de transactions, sans pour autant spécifier la loi suivie par ce dernier.

Le processus subordonné doit répondre à certaines conditions fondamentales, par

exemple il doit avoir une distribution a queue épaisse (leptokurtique), une variance

et les moments d‟ordre supérieur sont aléatoires, autrement dit, le processus doit

suivre une loi stable.

Si on définit le processus de rendement par le logarithme du ratio : Ps/Ps-1

Alors le processus : Xs –Xs-1, est le processus de rendement classique, sauf qu‟il est

observé sur des sou intervalles égaux.

Le processus correspondant au Xs –Xs-1 dans le temps opérationnel est noté :Q(t)

Quand le processus Q(t), est lui-même observé à des points discrets du temps

opérationnel ; on a la relation suinante :



Q (t )   t  X  ( t )







Pour pouvoir observer Q(t), il est nécessaire de déterminer les caractéristiques de

ainsi que de

La motivation des est d‟obtenir des rendements normaux, soit :





dX s   x dS   x dwsx

oupour : S   S

X s  X s   x ( S  S )   x ( ws  ws )

notons :  (t )   (t )   (t  1)

oncherche (t )telque :

X  (t )

 N (  x . (t ), x  (t ))

2



 (t )





A travers l‟observation du processus de rendement, (t) on pourra déterminer les

paramètres de cette loi normale, et le processus subordinateur (directeur) (t).

Si on suppose que(t) provient du processus subordonné qui suit une loi normale,

alors les mouvements conditionnels centrés de (t) peuvent être exprimés par

(X ;X²), et les moments centrés du processus directeur, sont les suivants :

- 86 -







E[X  (t ) ]   x .E[ (t )]

Var(X  (t ) )  m2 (X  (t ) )   x E ( (t ))   x Var( (t ))

2 2





m3 (X  (t ) )  3 x x Var( (t ))   x m3 ( (t ))

2 3





m4 (X  ( t ) )   x m4 ( (t ))  6 x  x m3 ( (t ))  6 x  x E ( (t ))Var( (t ))

4 2 2 2 2





 3 x [Var( (t ))  [ E ( (t ))]2 ]

2









On utilisant l‟estimation paramétrique pour calculer ces moments, on obtient 4

équations a 6 inconnus.



Grâce a la normalité conditionnelle de (t),on peut écrire :



E exp(X  (t ) )   E E (exp(X  (t ) ) /  (t ))

or :

 

E exp(X  (t ) )   E  exp (  x   2 x ) (t )    E (exp(A (t )))

 1 2

 

  2 

ou :

1 2 2

A   x   x

2





Afin d‟arriver à calculer les moments du processus directeur, on applique le

développement limité de cette dernière équation autour de l‟espérance du processus

directeur :





 A2 A3 

exp( A (t ))  exp( AE( (t )))  1  A( (t )  E ( (t )))  ( (t )  E ( (t )) 2 )  ( (t )  E ( (t ))3 )

 2 6 

4

A

 ( (t )  E ( (t )) 4 ]

24

alors :

AE (  ( t ))  A2 A3 A4 

E (exp( A (t )))  e  1  Var( (t ))  m3 ( (t ))  m4 ( (t ))

 2 6 24 





Pour n‟importe qu‟elle valeur de bêta, appelée « bêta j », le moment du processus

directeur puisse être approché par :









E exp( j X  ( t ) )  

1 n

 exp( j X  (t ) )

n j 1





S   E exp( j X  (t ) )   E exp( j X (t )  

k

2



j 1

- 87 -









La minimisation de cette dernière équation, nous permet d‟avoir les vrais

paramètres ;

C‟est à dire la somme de la différence entre la valeur observée des moments de la

fonction recherchée, et la valeur théorique.

Le choix des valeurs de bêta est crucial, la simulation exige que des petites et des

grandes valeurs de bêta soient utilisées.









Autre façon de faire, on peut minimiser :







  

S   E exp(  j X  ( t ) )   E exp(  j X  (t ) )   m4 (X  (t ) ) 

k

2 2



j 1









Analyse empirique :



Les tests empiriques vont permettre de vérifier le fonctionnement de cette méthode

pour les transactions sur le S&P 500, entre le 1/11/92 et 26/02/93,( les données sont

tick by tick).

Ensuite, ces données sont examinées pour des intervalles de temps, d‟une minute,

15 minutes, 1 heure, et 1 jour.





b. Les résultats





 Le prix a des variances différentes, la Kurtosis et Skewness, diffèrent selon la

période considérée.

 Les périodes supérieure a une minute, présentent un Skewness et une Kurtosis

négatifs.

 La période d‟une minute a un Skewness positif, mais un large Kurtosis.



Maintenant, considérons le nombre de transactions, on introduit pour cela une

nouvelle variable ,qui représente le nombre cumulatif de transactions en temps

économique. Cette variable est un indicateur du flux d‟information et est une bonne

variable d‟approximation du processus directeur, on définit le nombre de transactions

entre (t-1) et (t) par V(t).





Les données présentent d‟importants Skewness et Kurtosis dans la distribution, et

donc une déviation de la normalité.

- 88 -









Ayant montré la non-normalité des rendements, on voudrait récupérer une

distribution empirique, pour cela on utilisera une méthode de type noyau :





^ 1 n  x  Xi 

f ( x)   K

nh i 1  h 











Ou : n= nombre d‟observations

H= écart type

Xi= observations

K= espérance Kernel (noyau)









L‟idée est que la loi du processus subordonné sera représenté par un mélange de lois

1

K ( x)  ex

2

/2



2

normales,

sans pour autant connaître les paramètres ; le noyau sera donc :



Ce noyau assure le fait que f soit une courbe continue ayant des moments :







E (X  ( t ) ),Var(X  ( t ) ), m3 (X  ( t ) ), m4 (X  (t ) )

et :

1

1 1

 4 5  

hopt     n 5   106n 5

3

  Var(X  (t ) )









Résultats empiriques :



 Les moments du processus directeur, sur des valeurs supérieures a un,

correspondent parfaitement aux moments des nombres de transactions, sauf la

moyenne qui diffère significativement.

 Si pose hypothèse simplificatrice, que la distribution de probabilité est connue

grâce aux moments de tous les ordres, alors le nombre de transactions est un

bon proxy pour le processus directeur.

- 89 -





Le remplacement du temps opérationnel par le temps économique, dans la

modélisation mathématique, permet de corriger les lacunes causés par l‟utilisation de

la volatilité stochastique, et ce en rendant le marché complet.

La fonction f, vue plus haut, est un mélange de lois normales, qui permet la

simulation de n‟importe quel type de distribution ; l‟inconvénient, est que nous

perdons de la précision dans notre analyse, car nous ne prenons que « n » lois

normales et nous n'allons pas jusqu‟à l‟infini.

- 90 -





4) « The Variance Gamma Process and Option Pricing » by Dilip

B.Madan, Peter P.Carr, Eric C.Chang





L‟article s‟inscrit dans le courant de recherche sur le changement de temps. Le

modèle peut être vu comme un modèle de volatilité stochastique par référence au

temps ordinaire, même si la volatilité est constante par référence au temps

« économique ».



a. Hypothèses





- transactions en temps continu

- actifs négociés : une action et un instrument monétaire et les options de

toutes maturités et de tous strikes.

- taux d‟intérêt constant r





Cet article conduira à une formule de pricing d‟option fermée et résout deux

problèmes :



- fonction stochastique de la volatilité (t) de l‟action

- le smile de volatilité en tenant compte des kurtosis et skewness différents du

cas du mouvement brownien géométrique standard





b. Le modèle





G=(g(t), t[0,T], un processus à incréments indépendants suivant une loi de

gamma. g représente un temps « économique », ayant comme espérance t et

variance t. Cela signifie que l‟incrément g=g(t+h)-g(h) suit une loi de gamma

ayant la densité



h 1

g

g  exp( )

f h (g)  , g 0

h

  ( h )





Rappel : X suit une loi de gamma (r, ) si





r xr 1exp(r)

f(x) ,x0

(r)

où



(x) r xr 1exp(r)dx

0

- 91 -









E(X) r ,V(X) r2

 



Stabilité pour l‟addition : La somme des variables gamma indépendantes de

paramètres (,r1 ),(,r2 ),..( ,rn ) est une variable gamma de paramètres

(,r1  r2 .. rn ) .Par conséquent, g(t) suit une loi de gamma de moyenne t et de

variance t

 Construisons un processus (X(t)), appelé processus VG (variance gamma )composé

d‟un processus « directeur » suivant un mouvement brownien général et d‟un

processus de temps « économique » (g(t)).



X t gt W(gt )



Ce processus possède 3 paramètres  la volatilité du mouvement brownien,  son

drift et  la variance instantanée du temps économique. Conditionnellement par

rapport à g , X suit une loi normale d‟espérance g et de variance  2 g et donc de la

densité donnée par



1 exp( (X g) )

2

f g (X)

 2g 2 2 g



La densité de X est alors



h 1

g

(X g)2 g exp( )

  



f(X)  f g (X)ft (g)dg   1 exp( ) dg

0  2g

2 2 g h

0   ( h )





La fonction caractéristique de X(t) est

t /

 

(u) E(exp( iuX(t))  1

 1iu  2u 2 / 2 



 





c. Premier résultat important





Après certains calculs on obtient les moments centrés de X(t) :



E(X(t))t

E(( X(t) E(X(t))) 2)( 2  2)t

E((X(t) E(X(t))) 3)(2 3 2 3 2)t

- 92 -





E(( X(t) E(X(t))) 4)(3 4 12  2 2 2 6 4 3)t (3 4 6 2 2 3 4 2)t 2



Si  = 0 alors





3(1 )

m4

(m2)² t



Ce ratio est supérieur à 3, le kurtosis d‟une variable de la loi normale. /t (ou 

quand t = 1 ) mesure donc le pourcentage d‟excès de kurtosis.

D‟autre part, le signe de m3 , le skewness est celui de . Si  = 0 alors il n‟y a pas de

skewness comme dans le cas de mouvement brownien géométrique de Black &

Scholes.

Ce qui est intéressant dans cette modélisation est qu‟en considérant (X(t)) comme un

processus du rendement d‟une action , on peut totalement contrôler son skewness et

son kurtosis grâce aux nouveaux paramètres , à coté de  . De ce point de vue,

l‟hypothèse de B&S sur le processus de prix n‟est qu‟un cas particulier ( = 0 ).





d. Deuxième résultat important :le pricing avec le processus

VG





Remplaçons le mouvement brownien géométrique (dans le processus de prix

d‟action) par le processus VG



S(t)S(0)exp( mt  X t t)



Choisissons

  1 ln(1  2 / 2)





alors m est le taux de rendement « moyen » comme  l‟était sous l‟hypothèse de

B&S. C‟est-à-dire que :



EP(S(t))  S(0)exp( mt )



Dans le modèle de B&S :



S(t)S(0)exp((  2 /2)t Wt )

et

EP(S(t)) S(0)exp( t)





Pour évaluer un call, on part de l‟observation que X(t), conditionnel par rapport à g,

est une variable d‟une loi normale. On peut calculer le prix d‟un call européen

conditionnel à g grâce à la formule de B&S, puis intégrer en fonction de g. Ce qui est

- 93 -





impressionnant est qu‟au prix des calculs assez long, on obtient une solution

fermée qui fait intervenir les fonctions connues (fonction Bessel modifiée de seconde

sorte, fonction hypergéométrique dégénérée). La solution ressemble à celle de B&S

qui peut être d‟ailleurs vue comme un cas particulier



 1c1   1c2 

c(S(0);K,t)S(0) d

 ,(  s)  , t  K exp(rt) d

  ,  , t 

  1c1     1c2  



où



 S(0)  t  1c 

d 1 ln

 K rt  ln 1 

s    1c2 



s 



1  

2



 2



(  s)2  2

  2 , s,c1  ,c2 

 2 2



 est une fonction définie ( de manière assez complexe ) à partir des fonction de

Bessel modifiée de seconde sorte et des fonction hypergéométrique dégénérées.

Quelques commentaires :





- Dans la formule obtenue, il y a deux probabilités qui peuvent s‟interpréter

comme dans le cas de B&S comme le probabilité que l‟option finit dans la

monnaie ( la première est toutefois normalisée par le processus de prix ).



- La formule se rend compte des faits bien observés : skewness négatif ( 0).



- Quand  tend vers 0, la formule ci-dessus tend vers la formule de B&S

classique

- 94 -





5) « Pricing options Under generalized garch and Stochastic

Volatility Processes » by P. Ritchken & R. Trevor







Ce papier développe un algorithme pour évaluer les options européennes et

américaines, sous le processus discret, GARCH (General Autoregressive Conditionally

Heteroskedastic process).

On montrera que cet algorithme est facilement utilisable pour valoriser les options,

sous le processus GARCH avec les différents models de volatilité stochastique.

Ces models d‟évaluation, intéressent plus particulièrement les empiristes, qui

comparent les différentes structures GARCH dans les dynamiques du rendement des

actifs, et qui voudraient incorporer l‟information issue de l‟existence des prix

d‟options. Ce papier intéresse également les chercheurs qui ont pour but la

comparaison des différents models de volatilité stochastique.



Dans un premier temps, on verra le model d‟évaluation des options par le processus

GARCH (DUAN 95), et le problème causé par path dependence dans le model

GARCH.

Dans un second temps, on appliquera l‟algorithme á l‟évaluation des contrats

d‟options, ensuite, on étudiera l‟extension de l‟algorithme pour approximer les models

GARCH généralisés, qui convergent vers des models de diffusion utilisés par HULL et

WHITE (87), HESTON (93), STEIN et STEIN (91),SCOTT (87)…etc.

Cette partie de l‟analyse montre que l‟évaluation des options sous les différents

models á volatilité stochastique, est assez efficace en utilisant les models GARCH.

Finalement, on étudiera la porté empirique de ces models.





a. Le modèle GARCH





Soit St le prix d‟actif en date t, et soit ht la variance conditionnelle au logarithme du

rendement sur la période (t, t+1), la dynamique du prix est supposée suivre la

dynamique suivante :





s  1

ln  t 1   r f   ht  ht  ht v t 1

 s 

 t  2

ht 1   0   1 ht   2 ht ( v t 1  c ) 2





Où Vt+1, est lécart-type ; le taux sans risque est noté rf, l‟unique prime de risque

pour le titre

Est lambda, le paramètre positif c représente la corrélation négative entre le

rendement et la volatilité observée sur le marché. Pour que la volatilité conditionnelle

reste positive, il faut que 0, 1, 2 soient positifs.

- 95 -





DUAN (95), étudie l‟évaluation des options, quand le prix du sous-jacent suit ces

deux processus, il définit ainsi ces derniers sous la probabilité risque neutre :



s  1

ln  t 1   r f  ht  ht  t 1

 s 

 t  2

ht 1   0   1 ht   2 ht ( t 1  c * ) 2



Où (t+1) est l‟écart type conditionnel á l‟information en t, sous la probabilité Q ; et,

ces deux équations ont 5 inconnues 0, 1, 2 , c, et la variance initiale : h0.

La plupart des outils utilisés pour évaluer les options européennes sous ces

processus, sont les simulations de Monte Carlo, en revanche l'utilisation de cette

dernière pour le pricing des options américaines présente encore certaines

imperfections.





b. L‟existence de Path-dependance dans la méthode GARCH







L‟évaluation des options sous les processus GARCH, en utilisant l‟algorithme, est

difficile á réaliser, á cause de PATH DEPENDENCE, qui mène á une explosion du

nombre d‟états.

Pour illustrer ces propos, supposons que l‟on utilise le model de Bernoulli pour

évaluer l‟écart type des équations (3) et (4), après une période, il y a deux prix et

deux variances différentes ; et après deux périodes on aura 4 prix d‟actifs avec 4

variances, ainsi plus le nombre de périodes augmente, plus le prix et les variances

évoluent de façon exponentielle.

La construction d‟un algorithme pourrait être une solution á ce problème, car il évite

cette expansion du nombre d‟états.

On commence tout d‟abord par approximer – sur une période- l‟écart type pour une

loi log-normale, de l‟équation (3) par un écart type discret.

Soit :



y t  ln st









E t  y t 1   y t  r f 

1

ht

2

Var  y t 1   ht

Vu de t le logarithme du prix suit une loi normale, avec les moments conditionnels :





Cette approximation par une variable aléatoire discrète permet d‟avoir 2n+1 valeurs

dans l‟algorithme, par exemple si n=1, on obtient un arbre trimonial. Cet algorithme

- 96 -





présente la propriété selon laquelle l‟espérance et la variance conditionnelles d‟une

période, correspondent aux vraies valeurs des équations (5) et (6).

Dans le model Binomial d‟un processus de Wiener, si les deux premiers moments de

l‟arbre sont égaux aux vais moments, alors la magnitude des sauts est déterminée

par la volatilité.

Dans le processus GARCH, la volatilité avec le temps, ainsi les sauts dans l‟arbre sont

très différents, et les valeurs ne sont pas séparées par un nombre fixe.

Pour le cas dégénéré, où la volatilité est constante et n=1, l‟algorithme se réduit au

model trimonial de Kamrad et Ritchken (91), de plus pour une volatilité constante et

n>1, les sauts sont identiques.









Construction de l‟algorithme :



Soit  une constante qui définit l‟intervalle entre les logarithmes des prix de la grille ;

on a en fait, 2n+1 points, avec des espérances et des variances définies par les

équations (5)et (6).

La distance entre les différents logarithmes de prix est déterminée par  et n tel

que :







n 

n





Soit  le plus petit multiple qui permet á l‟espérance et á la variance, de la période

suivante, d‟atteindre les vraies valeurs ; et assure le faite que les probabilités des

2n+1 points soient comprises entre 0 et1.  dépend de gamma.

Supposons maintenant, qu'a la date t, le logarithme du prix est Y ta, et la variance





y ta1  y ta  J n



hta1   0   1 hta   2 hta  ta1  c * 

2









 a





j n  r f  hta / 2 

t 1

hta

conditionnelle est h ta , on a donc :







j  0,1,2,...., n.



Ce dernier a une espérance nulle et une variance unitaire ;

 est choisi tel que :

- 97 -









hta

  1  





Dans ce papier on considère :





  h0a



On divise le temps en n intervalles, la probabilité de distribution des Yt+1

conditionnellement á Yt et á Ht, sont donnés par :







Pr ob yta1  yta  j n  p j  

p j    n, j u j m j d puju p m p djd

jm



ju , jm , jd



ju , j m , j d  0, tel  que : ju  j m  j d  n, , , j  ju  j d



L‟expression entre parenthèses définit le coefficient trimonial :

n!

( j u ! j m ! j d !)



Et les probabilités trimoniales sont :







Pu 

hta



r f 

 hta / 2 1 / n

2  2 2

n 2 n

hta

Pm  1 

 2 n

2









Pd 

hta



r f 

 hta / 2 1 / n

2  2 2

n 2 n





La proposition suivante décrit le comportement de ce processus discret, qui est

donné par les équations (7) á (14) :



1- La distribution de la variable aléatoire Yt+1, a pour espérance :



rf  hta / 2



Et comme variance :

- 98 -









hta



2- La variable aléatoire discrète  ta1 ,a une espérance nulle, une variance égale á

l‟unité, et converge un écart type continu quand n tend vers l‟infini, de même Yt+1

converge vers une distribution normale lorsque n tend vers l‟infini.



3- Le processus décrit par les équations (7) á (9), converge vers le processus

GARCH donné par les équations (3) et (4), quand n tend vers l‟infini.

Cette proposition nous fournit l‟outil de passage d‟un état discret á un état continu.









c. Exemple





Supposons que le prix du sous-jacent suit un processus GARCH, comme dans les

équations (3) et (4), (sous la probabilité risque neutre), on retient le cas de n=1.

Supposons également, que le prix du sous-jacent en 0 est S=1000,

rf  0;   0;  0  0.000006575

1  0.90;  2  0.04; c  0

h0  0.0001096

 1    h0  0.0105

y 0  ln s0  6.9078

a









Figure 1 S

13.4

ln S 13.4

12.2 11.7

12.2 11.7



12.2

10.9 10.5

10.9 10.5

10.5

13.4

10.1

- 99 -







10.9 10.5 10.9

10.9 10.5 10.1 10.6

9.77





11.7

12.2 10.1

10.9 10.5

10.9

12.2

10.5



10.9

10.9 13.4

10.9









Le nombre du dessus correspond á la valeur maximale, et celui du dessous, á

la valeur minimale.









Explications du schéma :



Soit ( t, i.) un nœud de l‟arbre, où t représente la date, et i. le niveau, i. compte le

nombre de sauts depuis la date 0, autrement dit, si y ta représente le logarithme

du prix á ce nœud, alors :



y ta i   y 0   i



Pour construire cet algorithme, on commence par utiliser l‟équation (10) pour

calculer  au nœud initial, avec :

  h0

et :   1



L‟équation (7) est utilisée pour trouver les trois prix d‟action successifs, pour

chacun des 3 sauts ; l‟équation (9) sert au calcul du  ta1 ,et la (8) est utilisée de la

variance de la prochaine période.

Notons, qu‟après une période, il y a 3 états avec des prix et des variances

différentes, les probabilités associées peuvent être obtenues en utilisant les

équations (11) jusqu‟à (14).

Cet exemple illustre 2 propriétés de l‟algorithme :

- 100 -









 Malgré le fait que les variances soient PATH DEPENDENT pour n donné, on

est capables de fixer gamma, qui sépare les logarithmes des prix á chaque

période, par conséquent le nombre possible des prix d‟actions croit

linéairement avec le nombre de périodes ; cette agréable propriété est

devenue possible grâce á la proposition 1.



 Á chaque nœud, il existe plusieurs volatilités, en général le nombre des

volatilités dépend des différentes trajectoires qui mènent á ce nœud. Le prix

d‟option dépend de la volatilité, alors á chaque nœud il y a autant de prix

différents que de trajectoires, comme le nombre de ces dernières évolue de

façon exponentielle, il est impossible d‟avoir toutes les volatilités á chaque

nœud.



Pour résoudre ce problème de PATH DEPENDENCE, on ne considère que les valeurs

minimales et maximales. K est le nombre des différentes variances á chaque nœud.

Soient h tm in (i ) et htm ax (i ) représentent le minimum et le maximum au nœud (t,i.), les

prix d‟option á ce nœud sont calculés pour K niveaux de variances, du plus bas au

plus haut.



hta i, k 



Représente le kéme niveau de la variance au nœud (t,i.), avec : k=1,….,K.

Où :



hta i, k   htmin i    t i k  1

htmax i   htmin i 

et :  t i  

k 1

Cette dernière équation traduit la distance constante entre les différentes variances

au nœud (t,i.), le nombre total des combinaisons entre les prix d‟action et les

variances á la période t, est égale au nombre des différentes valeurs de Yt, multipliés

par K.

Puisque K est constant, on aura toujours une PATH DEPENDENCE ; lorsque K et n

tendent vers l‟infini, notre processus converge vers le processus GARCH. Grâce á

dernier les valeurs extrêmes sont déterminées de façon unique, ainsi pour atteindre

les valeurs initiales on procède par une dynamique forward.





d. Pricing d‟options





Les prix d‟option peuvent être évalués par l‟algorithme en utilisant la procédure de

« backward recursion », cette méthode a été utilisée par Hull & White (93) dans

l‟évaluation de certaines options exotiques, par Ritchken, Sankara Subramanian et

Vijh (93) dans l‟évaluation des options américaines….etc.

- 101 -





Á chaque nœud on évalue les prix d‟option pour les K niveaux, du minimum au

maximum, on commence par déterminer le vecteur des prix d‟options des K niveaux

pour chaque nœud terminal.

Soit :

c ta i, k 





Le prix d‟option au nœud (t,i.) ; (k=1,….,K), quand le prix du sous-jacent est S ta (i )e

Yt









, et la variance hta (i, k ) .

La condition bornée pour un call avec un srike X, en date T est :



a



cT i,1  c1a i,2  .......  cT i, K   Max 0, sT i   X

a a



Pour établir le prix de l‟option de date 0, on procède par "recursion".

Considérons le nœud (t,i.) en date t, et supposons que le prix d‟option Ct(i.,k)

correspondant á la variance : ht(i.,k), est á calculer, on utilise la proposition1 pour le

calcul des 2n+1 nœuds par "recursion", autrement dit, on calcul  par l‟équation

(10) ; les équations (8) et (9) sont utilisées pour le calcul de la variance en (t+1)

pour chacun des nœuds, cette dernière est définit par :





 

h max  j    0  1 hta  j, k    2 hta i, k  j n  r f  hta i, k  / 2 / hta i, k   c * 

2









On utilise les équations (11) á (14) pour calculer les probabilités pour les 2n+1

nœuds successifs, et les actualiser au taux sans risque pour obtenir les prix des

options.

Cette équation représente la valeur d‟une option non "exerceable", ou C int erp ( j ) est

le prix d‟option obtenu par une interpolation linéaire parmi les K niveaux, et

C tastop (i  k ) la valeur "exercable" de l‟actif contingent, pour un call américain avec un

prix d‟exercice X, et qui s‟écrit :



 

Ctastop (i, k )  Max S ta (i)  X ,0 d ' ou :



Cta (i, k )  Max Ctastop (i, k ), Ctago (i, k ) 



Le prix final obtenu par récurrence est Co(0,1).



Exemple :

Reprenons l‟arbre précédant, avec n=1, T=3 et K=3, le minimum, la moyenne, et le

maximum des variance sont représentés sur la figure 2, ou l‟on évalue le prix d‟un

call américain a la monnaie, le maximum et le minimum des variances sont illustrés

dans la colonne de gauche (les mêmes valeurs que la figure 1), la colonne de droite

contient les valeurs des options correspondants a ces minimum et maximum des

variances. On remarque qu‟en T=3, les valeurs des options a chaque nœud sont

identiques, ceci est aux caractéristiques des options européennes(expiration en T).

- 102 -



13.48 53.74

53.74



13.48 53.74



Figure 2









12.29 31.90 11.71 31.90

31.90 31.90

12.29 31.90 11.71 31.90







12.28 21.16

21.16

10.57 21.16







13.46 10.52

10.57 10.52 10.52

10.96 12.02 10.52

12.02 10.13 10.52

10.53 10.52

10.96 12.02

10.96 2.62 10.60 0.00

10.96 6.63 10.52 5.25 5.04 0.00

6.63 5.25

10.13 4.84 9.77 0.00

10.96 6.63 10.52 5.25



12.27 1.46 11.70 0.00

10.95 1.30 1.35 0.00

1.30

10.52 0.00 10.12 0.00

10.95 1.30





12.27 0.00

10.95 0.00 0.00

0.00

10.51 0.00

10.95 0.00



10.51

13.44 0.00

0.00

0.00



10.95 0.00



e. les

L‟évaluation sous le processus GARCH généralisé et 0.00

processus de diffusion 0.00



0.00



Il a été montré que certains processus GARCH pouvaient être utilisés pour converger

vers certains modèles de diffusion avec une volatilité stochastique ; NELSON (90) a

- 103 -





montré par exemple que les modèles exponentiels et GARCH linéaire, convergent

rapidement vers des modèles a volatilité stochastique.

La relation entre le processus GARCH et les modèles de diffusion, permet au modèle

GARCH d‟avoir les outils statistiques pour estimer les paramètres des processus de

diffusion.

DUAN (97), soutient l‟idée selon laquelle, les nombreuses techniques d‟évaluation des

options, qui utilisent les processus de diffusion, doivent être utilisées pour

l‟évaluation d‟option même si le modèle GARCH est la méthode la plus utilisée.

Dans cette section, nous allons montrer que l‟inverse est aussi vrai, autrement dit,

l‟évaluation d‟option sous les processus de diffusion peut être complétée, par la

convergence des processus GARCH vers les diffusions, ensuite l‟évaluation des

contrats sous ces processus, et ce, en modifiant l‟algorithme développé plus haut.

Notre raisonnement consiste à utiliser le modèle NGARCH, et le processus de la

variance conditionnelle, ainsi que le processus utilisé par HULL & WHITE (87) dans

leur modèle de volatilité stochastique.



On divise chaque période en « m » parties .

Soit, Yt le logarithme du prix en début de la -iéme sous- période, et soit ht la

variance de cette sous période ; on suppose que Y0 et h0 sont donnés, les

dynamiques sont les suivantes :







Yt 1  Yt  (r f   ht  ht / 2)t  ht . tVt 1

ht 1  ht   0 .t  ht [  1   2 q  1]t  ht  2 t [(Vt 1  c) 2  q]

ou : q  (1  c 2 ),Vt : t  1,2,......





Sont les séquences indépendantes de variables aléatoires normales centrées

réduites.



Notons que quand delta t=m=1, on retrouve le modèle GARCH vu ci-dessus.

Sous la probabilité risque neutre les équations deviennent :





dyt  (r f  ht / 2)dt  ht .dZ1 (t )

dht  [  0  ( 1   2 q  1  2 2 c)ht ]dt  2c 2 ht dZ1 (t )  2  2 ht dZ 2 (t )

ou : dZ1 (t ), dZ 2 (t )



Sont deux processus de WIENER indépendants.

L‟évaluation des contrats se fait grâce à l‟utilisation de ces deux différentielles

stochastiques.

La démarche consiste en la modification des équations (7) a (9), pour obtenir les

équations (26) et (27).

- 104 -





Dans la section II, on avait utilisé le modèle GARCH dans l‟algorithme, en

divisant le jour en « n » sous périodes, ou sur chacune la variance est identique ; ici,

chaque « m » sous- période a une volatilité différente ; on divise les « m »sous-

périodes (a leur tour) en « n » autres sous- intervalles a volatilité identiques,

et l‟évaluation se fait par des distributions trimoniales., ainsi, on obtient un

algorithme du logarithme du prix, avec 2n+1 points, ou les deux premiers moments

convergent vers les vraies valeurs conditionnelles.

Quand m augmente, delta t converge vers 0, le processus GARCH généralisé

converge vers un processus de diffusion. Alors l‟algorithme utilisé pour l‟évaluation

sous le processus discret GARCH est facilement modifié pour évaluer les options sous

le processus GARCH généralisé et donc sous le processus de diffusion .

Le tableau ci-dessous, illustre les prix des options a la monnaie en utilisant

l‟algorithme pour n=1 et K=20.



Tableau 1









Trading Periods per Day

(M)



Maturité

Diffusion

(jours) 1 2 3 4

5 Limit



2 0.589 0.617 0.603 0.598

0.595 0.580,0.591

5 0.909 0.939 0.932 0.933

0.931 0.922,0.939

10 1.312 1,318 1.315 1.315

1.315 1.313,1.338

20 1.857 1.859 1.860 1.860

1.860 1.854,1.890

50 2.942 2.943 2.943 2.942

2.942 2.932,2.989

100 4.165 4.165 4.165 4.164

4.163 4.149,4.231

200 5.893 5.893 5.893 5.893

5.893 5.804,5.922





On remarque que les prix convergent très rapidement.

Le tableau 2, compare les prix d‟option en se basant sur le prix d‟exercice et la

maturité, avec :n=1 et K=20, et ce, pour des contrats a maturité inférieure a 20

- 105 -





jours et m =4 ; pour des termes plus longs, m=1, les résultats obtenus sont

satisfaisants, car ils appartiennent à l‟intervalle de confiance.









Tableau 2









STRIKE



Maturité

(jours) 95.0 97.5 100.0 102.5

105.0





2 5.000 2.523 0.598 0.028

0.000

(5.000,5.000) (2.507,2.525) (0.580,0.591) (0.028,0.031)

(0.000,0.00)

5 5.011 2.665 0.933 0.178

0.016

(5.000,5.013) (2.642,2.668) (0.922,0.939) (0.174,0.182)

(0.016,0.01)

10 5.085 2.917 1.315 0.443

0.107

(5.061,5.101) (2.902,2.936) (1.313,1.338) (0.440,0.455)

(0.104,0.11)

20 5.314 3.366 1.857 0.900

0.371

(5.294,5.347) (3.339,3.385) (1.854,1.890) (0.890,0.915)

(0.363,0.37)

50 6.039 4.332 2.942 1.901

1.160

(6.025,6.102) (4.316,4.383) (2.932,2.989) (1.888,1.935)

(1.150,1.18)

100 7.043 5.489 4.165 3.090

2.232

- 106 -









L‟algorithme est facilement utilisable pour évaluer les options sous un grand nombre

de variété de modèles a volatilité stochastique, par exemple, NELSON (90)et DUAN

(97), avaient utilisé tous les modèles á volatilité stochastique de la littérature, avec

un grand nombre de processus GARCH généralisés, la probabilité risque neutre

permet d‟évaluer les options comme étant l‟espérance du "pay off" terminal

actualisés.



Le tableau 3, expose des exemples de nombreux modèles á volatilité stochastique, et

les processus GARCH généralisés :



L’algorithme peut être simplement modifié :

Pour le modèle GARCH pur, on ne remplace que la variance dans l’équation

(8) par la variance adéquate, pour les modèles de diffusion, on ne

remplace que la variance appropriée dans l’équation (27).









Tableau 3: quelques modeles GARCH généralisés et leur diffusion



Modeles GARCH généralisés



Linear:Bollerslev(1986)

ht 1  ht   0 t  (1   2  1)ht t   2 ht (vt21  1) t





Glosten, Jagannathan, and Runkle (93)





ht 1 ht   0 t  (  1   2   3 / 2  1)ht t

1

  2 ht (vt21  1) t   3 ht (max( 0,vt 1 ) 2  t

2





Nonlinear Asymmetric: Engel and Ng (93)

- 107 -









ht 1  ht   0 t  (  1   2 (1  c 2 )  1)ht t

  2 ht ((vt 1  c) 2  (1  c 2 )) t









Exponential: Nelson (91)





ln ht 1  ln ht  (  0   1  1   4 (2 / 2  1)   5 (1 / 2  1))t

 (  1  1) ln ht t

  4 ( vt 1  2 / 2 ) t   5 (max(0,vt 1 )  1 / 2 ) t

ht 1  ht  (  0   1  1   4 (2 / 2  1)   5 (1 / 2  1)) / 2t

 (  1  1) ht t   4 ( vt 1  2 / 2 ) / 2 t

  5 (max(0,vt 1 )  1 / 2 ) / 2 t





Volatility stochastic:



dht   0 dt  (1   2  1)ht dt  2 2 ht dw2 (t )





Hull & white (87):







dht   0 dt  1   2   3 / 2  1)ht dt   3 2 /  ht dw1 (t )

 2  22  (5  8) /(4 )  32  2  2  3 ht dw2 (t )



Hull & white (87)



dht   0 dt  (1   2 (1  c 2 )  1)ht dt  2c 2 ht dw1 (t )  2 2 ht dw2 (t )



Wiggins (87)





d ln ht  (  0  1  1   4 (2 / 2  1)   5 (1 / 2  1))dt

 ( 1  1) ln ht dt   5 / 2dw1 (t )

  4   5 / 2 (  2) /  dw2 (t )









Scott (87), stein and stein (91), and Heston (93):

- 108 -









d ln ht  (  0  1  1   4 (2 / 2  1)   5 (1 / 2  1))dt

 ( 1  1) ln ht dt   5 / 2dw1 (t )

  4   5 / 2 (  2) /  dw2 (t )









f. Conclusion





Ce papier a exposé un algorithme qui permet l‟évaluation des options, ou le sous-

jacent suit un grand nombre de processus GARCH et de processus de volatilité

stochastique.

L‟algorithme est décrit en détail pour le modèle NGARCH, il est par la suite étendu

aux autres modèles GARCH, ou la variance est une fonction prévisible.

L‟algorithme diffère des arbres classiques d‟évaluation d‟option, car le vecteur des

prix d‟options dépend de chaque prix du sous-jacent dans l‟arbre, dans ce cas

l‟évaluation est différente, en effet, l‟algorithme est non seulement utile pour

l‟évaluation des contrats américains, mais aussi européens.

Ces processus sont importants car ils convergent vers un grand nombre de familles

de processus a volatilité stochastique.

E n général l‟algorithme est facilement modifiable pour évaluer des actifs contingents

ou la dynamique du sous-jacent suit un grand nombre de processus stochastiques.

Il est aussi possible d‟évaluer des processus statistiques pour les modèles GARCH,

afin d‟estimer les paramètres de nombreux processus a volatilité stochastique.

La plupart des tentatives empiriques de cet algorithme étaient réussies,. Par exemple

DUAN(96), montre comment le modèle d‟évaluation d‟option :GARCH, peut être

utilisé pour expliquer le seuil de volatilité.

- 109 -





CONCLUSION





Nous avons essayé de dresser un panorama assez large des différents modèles à

volatilité stochastique. Nous voudrions évoquer ici quelques thèmes supplémentaires

qui auraient leur place dans une étude sur la volatilité, afin d‟élargir le champs de

vision du problème.



Tout d‟abord, les modèles présentés ici avaient pour but de rendre compte des effets

de skewness et kurtosis que ne modélise pas le modèle de Black&Scholes. Toutefois,

il est possible de regarder à un niveau supérieur si d‟autres problèmes de

modélisation subsistent. Il semble qu‟il existe d‟autres types de violations des

relations fondamentales entre les prix de marchés des options et l‟évolution du sous-

jacent. Pour cela, je citerai un papier très intéressant co-écrit par Bakshi, Cao et

Chen (BCC1998) pas encore publié. La plupart des modèles d‟options font les

hypothèses suivantes :



- Le call est une fonction strictement croissante du sous-jacent

- Le call est parfaitement corrélé au sous-jacent

- Les options sont des actifs redondants (hypothèse de complétude).



BCC ont montré, à l‟aide d‟une étude empirique très pointue, que ces propriétés

n‟étaient pas validées sur les marchés. Par exemple, quand le prix du sous-jacent

augmente, le prix du call diminue et le prix du put augmente.

Alors qu‟en conclure ? Faut-il rejeter tous les modèles d‟évaluation d‟option connu et

utilisé jusqu‟à ce jour ? Il s‟agit peut-être de la « fameuse » option à la monnaie

utilisée dans les modèles présentés dans ce séminaire. Ou alors est-ce uniquement

les biais générés pas l‟utilisation de modèles qui stipulent la complétude des marchés

sur des marchés incomplets ? La réponse reste incertaine et la recherche ouverte.





D‟autre part, nous avons vu qu‟il était possible de combiner les difficultés afin

d‟obtenir un modèle avec des taux d‟intérêt stochastiques, et de la volatilité

stochastique modélisée par un processus à saut. Toutefois, il convient de ce

demander si cette combinaison de difficultés, qui trouve une justification théorique,

ne perd pas de sens d‟un point de vue plus pratique. On ne sait pas comment et

combien chaque généralisation améliore l‟évaluation et la couverture d‟options.

Toujours les mêmes auteurs, BCC4 , ont étudié différents modèles de pricing et ont

comparé la « tractabilité » de chacun des modèles. Les conclusions de leur article

sont surprenantes.

En effet, utiliser un modèle à volatilité stochastique avec des sauts donne de mauvais

résultats aussi bien en terme de pricing que de couverture. Par contre si l‟on prend

l‟une au l‟autre de ces caractéristiques et que l‟on rajoute des taux d‟intérêt

stochastiques, cela donne de meilleur résultats en terme d‟évaluation mais de moins

bon résultats en terme de couverture. Les meilleurs résultats en couverture sont

obtenus avec le modèle où seule la volatilité est stochastique.



4

Journal of Finance, 1997

- 110 -









Enfin, il est bon de rappeler que toute cette famille de modèles s‟inscrit dans une

littérature sur la volatilité bien plus importante. Il faut bien comprendre qu‟il n‟existe

pas qu‟une seule alternative pour prendre en compte la volatilité. D‟autres concepts

et types de modélisation ont leur justification. Il existe par exemple des modèles de

surface de volatilité locale faisant intervenir le concept de volatilité forward. On peut

également trouver des modèles à temps discret développé par Derman et Kani qui

envisagent d‟utiliser un arbre binomial tenant compte de la volatilité qui varierait en

fonction du temps et du niveau du strike. Il peut alors s‟agir d‟une bonne méthode

pour évaluer des produits exotiques.



Enfin, il y a le modèle de volatilité incertaine développé par El Karoui, Jeanblanc et

Shreve. Le principe est simple. On suppose que la volatilité est comprise entre deux

bornes. On en déduit une EDP non linéaire que l‟on résout par des méthodes

numériques. Les résultats sont très proches de ceux de Black&Scholes. Cela montre

la robustesse de ce modèle, qui malgré tous ces défauts reste le modèle le plus

utilisé par les professionnels.



Pour terminer, nous reviendrons sur une explication communément admise. La

présence du smile (quand la volatilité est constante) ou d‟autres violations des

hypothèses théoriques (BCC98) sont souvent expliqués par l‟aversion pour le risque

des agents. Or, tous les calculs ont été effectué sous la probabilité risque-neutre. Il

semble donc paradoxale de revenir sur l‟aversion pour le risque des individus pour

expliquer ce phénomène.



Deux remarques sont alors possibles :



- La probabilité risque-neutre utilisée n‟est pas la bonne puisqu‟elle n‟intègre

pas tous les risques et notamment, le risque de volatilité.

- Cette remarque est logique. En effet, l‟évaluation se fait en marché incomplet.

Il convient alors de comprendre que les techniques présentées en préambule

pour se ramener au pricing en absence d‟opportunité d‟arbitrage par la

probabilité risque-neutre en marché complet, sont donc arbitraires et

purement artificielles.

- 111 -





ANNEXE :





PRESENTATION RAPIDE DE LA METHODE DES MOMENTS GENERALISEE

(Hansen, 1982)







Objectif de la méthode :

La méthode des moments généralisée permet d‟estimer les paramètres de la loi

suivie par une variable, grâce aux observations dont on dispose sur cette même

variable. Il s‟agit d‟une méthode non paramétrique, qui fait appel à la spécification de

certains moments de la variable et non à la spécification de l‟ensemble de la densité.



Application au cas de la prévision des rentabilités :



 Posons :



Rt = 0 + 1 z1,t-1 + 2 z2,t-1 + … + ut Où ut est un terme d‟erreur

(1)



Dans ce cadre là, on souhaite :



E [ Rt / zt-1 ] = zt-1 .  et E [ ut / zt-1 ] = 0

 E [ ut . zt-1 / zt-1 ] = 0

 E [ ut . zt-1 ] = 0 (2) ( car E [ E (x/y) ] = E [ x

])





(2) est une condition de moment qui permet juste d‟identifier les paramètres  de

l‟équation (1).





 Si l‟on dispose d‟un échantillon de n observations { Rt ; zt-1 ; t = 1 … n }, on peut

alors obtenir les paramètres recherchés en résolvant le système suivant :



n



 (R

t 2

t   0   1 z1,t 1   2 z 2,t 1  ...) * z j ,t 1  0 pour tout j





 Le système est dit « suridentifié » car nous disposons de plus de conditions à

satisfaire que d‟inconnues. Le système n‟admet donc plus une solution unique mais

un système qui est falsifiable par des tests statistiques. Un compromis doit être établi

entre les diverses équations dont aucune n‟aura en définitive le membre de droite

exactement réduit à zéro. Les écarts doivent être incorporés dans une fonction

objectif et l‟on choisira la valeur des paramètres de manière à minimiser cette

fonction objectif. La méthode G.M.M. pondère les écarts des diverses équations les

- 112 -





uns par rapport aux autres pour donner moins de poids aux écarts dont la

variance est plus forte.









 Hansen, en 1982, a démontré que la fonction objectif ainsi construite a une

distribution de probabilité qui s‟approche de la distribution du Khi-Deux, quand le

nombre d‟observations tend vers l‟infini. Quand la taille de l‟échantillon est

suffisamment élevée, ce résultat va nous permettre de réaliser des tests

d‟hypothèses statistiques. En particulier, le niveau du Khi-Deux indique si l‟on doit

rejeter les restrictions suridentifiantes décrites ci-dessus.



Rappelons que la distribution du Khi-Deux est celle d‟une variable aléatoire qui

serait la somme d‟un certain nombre de carrés de variables normales. Le nombre de

carrés inclus dans la définition s‟appelle le nombre de degré de liberté et la

distribution diffère justement selon le nombre de degrés de liberté.



Dans la méthode des moments généralisée, le test sur les conditions

suridentifiantes doit être réalisé avec un nombre de degrés de liberté égal au nombre

de restrictions suridentifiantes ; soit le nombre total de conditions de moment moins

le nombre de paramètres à estimer.





Cas général



 Ecriture de la loi dont on cherche à estimer les paramètres

 Ecriture des conditions de moments que les paramètres doivent vérifier

 Ecriture de la fonction objectif

 Tests statistiques sur les conditions suridentifiantes





Conclusion



En conclusion, la méthode des moments généralisée est une méthode

économétrique non-paramétrique qui permet une meilleure précision dans

l‟estimation des paramètre que des méthodes traditionnellement utilisées, lorsque les

tests sur les conditions suridentifiantes sont bien vérifiés.

- 113 -







BIBLIOGRAPHIE



Bakshi G., Cao C., Chen Z. :« Empirical Performance of Alternative Option Pricing

Models » Journal of Finance n°5, december 1997



Bakshi G., Cao C., Chen Z. « Do Call Prices and the Underlying Stock Always Move in

the Same Direction ? » non publié, august 1998



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