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					                    A propos de quelques satellites d’observation (6 points)

                      Pour cet exercice, l’usage de la calculatrice est interdit.
Jules Verne, dans « De la Terre à la Lune » (1865), fait allusion au « point neutre N », situé à
350 000 km du centre de la Terre, où les forces gravitationnelles exercées par la Terre et la Lune sur
un obus se compensent.

Le satellite SoHO (Solar and Heliospheric Observatory) fait partie d’un vaste programme
international de recherche sur les relations Terre-Soleil...... et met en oeuvre plusieurs satellites, de
nombreux télescopes, radars et instruments divers. Construit par l’ESA (Agence Spatiale
Européenne) sous maîtrise d’oeuvre Matra-Marconi Space, il a été lancé, en décembre 1995, par une
fusée américaine Atlas en direction du « point de Lagrange 1 », une zone située à 1,5 million de
kilomètres du centre de la Terre, où les forces d’attraction de notre globe et celles du Soleil
s’équilibrent.
       D’après un article extrait de la presse quotidienne

Quelques données :
On considère que la Terre, la Lune et le Soleil sont des corps à répartition sphérique de masse.
Distance moyenne Terre - Lune ou rayon de l’orbite lunaire : D  3,8  108 m
Distance moyenne Terre - Soleil ou rayon de l’orbite terrestre : D’  1,5  1011 m
Période de révolution de la Terre autour du Soleil : T  365 jours
On appelle MT , ML et MS les masses respectives de la Terre, de la Lune et du Soleil et on considère
que MT  (9)². ML ; MS  (580)² . MT
Constante de gravitation : G  6,7  10-11 N.m².kg-2


I. Étude du cas Terre - Lune

1. Donner l’expression vectorielle de la force gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet
ponctuel P de masse m situé à la distance dT du centre de la Terre et celle de la force gravitationnelle
exercée par la Lune sur ce même objet P, dL étant la distance de P au centre de la Lune. Reproduire le
schéma ci-dessous en le complétant.
                                           P


               .                                              .
       Terre                                           Lune


2. Montrer que le « point neutre N » auquel fait allusion Jules Verne est nécessairement situé, d’une
part sur la droite joignant le centre de la Terre et le centre de la Lune et, d’autre part entre ces deux
points.

3. Montrer que la distance d ( distance du centre de la Terre au « point neutre N ») est égale aux neuf
dixièmes de la distance Terre - Lune et retrouver ainsi la valeur annoncée par Jules Verne.

II. Étude du cas Soleil - Terre

1. On peut définir aussi un « point neutre N’ » dans le cas de la Terre et du Soleil. En faisant un
raisonnement analogue, on peut évaluer l’ordre de grandeur de la distance d’ (distance du centre de la
Terre au point neutre N’) dans le cas Terre- Soleil ; d’ est-elle de l’ordre de :

      8,7 1013 m          1,5 109 m         2,6 108 m      ?
2. En comparant d’ avec la position du « point de Lagrange 1 », peut-on considérer que celui-ci est un
point neutre ?

III. Étude d’un satellite du Soleil.

Considérons maintenant un satellite de masse m. Il évolue sur une orbite circulaire de centre O, centre
du Soleil, de rayon r. On veut étudier le mouvement de ce satellite.

1. Dans quel référentiel faut-il faire l’étude ?

2. Montrer que, si ce satellite n’est soumis qu’à la force gravitationnelle exercée par le Soleil, alors
son mouvement circulaire est uniforme. Établir l’expression de la valeur v de sa vitesse.

3. Établir l’expression de sa période en fonction de G, Ms et r.

IV. Cas du satellite SoHO.

SoHO est un satellite du Soleil tel qu’à chaque instant, le centre du Soleil, SoHO (assimilé à un point)
et le centre de la Terre sont alignés.

1. Quelle est la période de SoHO ?

2. En tenant compte de la question III. 3, peut-on dire que SoHO placé au point de Lagrange 1 n’est
soumis qu’à la force gravitationnelle exercée par le Soleil ? Justifier clairement la réponse.
                          Questions                                          Compétences
I.1. Donner l’expression vectorielle de la force               Connaître la loi de gravitation
gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet ponctuel P  (expression vectorielle), loi
de masse m situé à la distance dT du centre de la Terre et     universelle
celle de la force gravitationnelle exercée par la Lune sur ce  Être capable de déterminer si une
même objet P, dL étant la distance de P au centre de la Lune.  écriture est ou n’est pas homogène.
Reproduire le schéma ci-dessous en le complétant.              Savoir analyser, en termes
                                                               scientifiques, une illustration.
2. Montrer que le « point neutre N» auquel fait allusion       Savoir identifier, dans un document,
Jules Verne est nécessairement, d’une part situé sur la droite le domaine scientifique dans lequel
joignant le centre de la Terre et le centre de la Lune et,     se situent les phénomènes physiques
d’autre part entre ces deux points.                            ou chimiques décrits.
                                                               Maîtriser les outils mathématiques
                                                               nécessaires en physique-chimie et
                                                               compatibles avec le programme de
                                                               mathématiques de tronc commun en
                                                               terminale S.
                                                               Savoir utiliser les modèles et les lois
                                                               pour établir, grâce à une
                                                               démonstartion, les propriétés
                                                               relatives à une situation donnée.
                                                               Maîtriser les outils mathématiques
                                                               nécessaires en physique-chimie et
                                                               compatibles avec le programme de
3.Montrer que la distance d ( distance du centre de la Terre mathématiques de tronc commun en
au « point neutre N ») est égale aux neuf dixièmes de la       terminale S.
distance Terre - Lune et retrouver ainsi la valeur annoncée    Connaître des ordres de grandeurs
par Jules Verne.                                               précisés dans le programme, les
                                                               utiliser pour évaluer rapidement un
                                                               ordre de grandeur de la valeur du
                                                               paramètre étudié.
                                                               Être capable de déterminer si une
                                                               écriture est ou n’est pas homogène.

II. 1.On peut définir aussi un « point neutre N’ » dans le cas   Savoir identifier les paramètres
de la Terre et du Soleil. En faisant un raisonnement             jouant un rôle dans un phénomène
analogue, on peut évaluer l’ordre de grandeur de la distance     physique ou chimique.
d’ (distance du centre de la Terre au point neutre N’) dans le   Savoir prévoir l’évolution d’une
cas Terre- Soleil ; d’ est-elle de l’ordre de :                  situation lorsqu’on modifie l’un des
                                                                 paramètres.
                                                                 Savoir utiliser les modèles et les lois
    8,7 1013 m           1,5 109 m        2,6 108 m      ?    pour établir, grâce à une
                                                                 démonstration, les propriétés
                                                                 relatives à une situation donnée.
                                                                 Connaître des ordres de grandeurs
                                                                 précisés dans le programme, les
                                                                 utiliser pour évaluer rapidement un
                                                                 ordre de grandeur de la valeur d’un
                                                                 paramètre étudié.
2. En comparant d’ avec la position du « point de Lagrange       Savoir utiliser le vocabulaire
1 », peut-on considérer que celui-ci est un point neutre ?       scientifique pour définir ou préciser
                                                                 certains termes du document ou
                                                                 éventuellement les rectifier.
III. 1. Dans quel référentiel faut-il faire l’étude ?              Connaître la définition des
                                                                   référentiels géocentrique et
                                                                   héliocentrique, référentiels galiléens
                                                                   approchés.
2. Montrer que, si ce satellite n’est soumis qu’à la force         Savoir énoncer et mettre en oeuvre
gravitationnelle exercée par le Soleil, alors son mouvement dans le cadre des applications du
circulaire est uniforme. Etablir l’expression de la valeur v de programme la relation fondamentale
sa vitesse.                                                        de la dynamique
                                                                   Démontrer que dans
                                                                   l’approximation des trajectoires
3. Établir l’expression de sa période en fonction de G, Ms et circulaires, le mouvement d’un
r.                                                                 satellite, d’une planète est uniforme.
                                                                   Retrouver l’expression de sa vitesse,
                                                                   de sa période.
                                                                    Savoir identifier les paramètres
                                                                   jouant un rôle dans un phénomène
                                                                   physique ou chimique.
                                                                   Savoir associer un phénomène à un
                                                                   modèle descriptif ou à un modèle
                                                                   quantitatif.
                                                                   Savoir utiliser les modèles et les lois
                                                                   pour établir, grâce à une
                                                                   démonstration, les propriétés
                                                                   relatives à une situation donnée.
                                                                   Être capable de déterminer si une
                                                                   écriture est ou n’est pas homogène
IV. 1. Quelle est la période de SoHO ?                             Connaître les ordres de grandeurs
                                                                   précisés dans le programme, les
2. En tenant compte de la question III.3, peut-on dire que SoHO    utiliser pour évaluer rapidement un
placé au point de Lagrange 1 n’est soumis qu’à la force            ordre de grandeur de la valeur d’un
gravitationnelle exercé par le Soleil ? Justifier clairement votre
                                                                   paramètre étudié.
réponse.
                                                                   Savoir identifier les paramètres
                                                                   jouant un rôle dans un phénomène
                                                                   physique ou chimique.
                                                                   Savoir utiliser les modèles et les lois
                                                                   pour établir, grâce à une
                                                                   démonstartion, les propriétés
                                                                   relatives à une situation donnée.
                              Réponse attendue                                 Barème             Commentaires
I.1. D’après la loi de gravitation (Loi de Newton), la force gravitationnelle 0,25 (loi)
exercée par la Terre (corps supposé être à répartion sphérique de masse)
sur l’objet ponctuel P est égale à :

                 M .m 
      FT / P = - G T . u
                   dT ²
            
            u vecteur unitaire

                                                            P                        0,25
                                                      FT / P FL / P                    (schéma)
                                                                       
                             u                                          u'
           Terre                                                       Lune

Pour la force gravitationnelle exercée par la Lune (corps supposé être à
répartion sphérique de masse) sur l’objet :                                            0,25
               M .m 
   FL / P = - G L 2 . u'
                dL
           
           u' vecteur unitaire
 2. D’après la définition du point neutre les deux forces gravitationnelles
exercées sur l’objet, doivent être opposées, (même direction, même valeur              0,25
et sens contraire).


                                                        N
                                                                                O’
                   O     u                                            u'
                                                                                  ’
                                                    FT / P FL / P

Les trois points O, O’, N doivent être alignés, et N doit être entre O et O’.

 3.
                 m
          G. MT .2 = G. M'LN.m
             ON         O 2

                                                                                       0,5
                          M L .m
          G. MdT2.m = G. ( Dd )2

                            
          MT  (9)².ML  . Dd d        2 = (9)².                         
                                                    d > 0 et D-d > 0  Dd d = 9.
                                                                        

          d  10 D
               9

     d  10  3,8108 m
          9
                                                                                       0,25
Cela correspond environ à 350 000 km
II.1 Même raisonnement

                         M .m
       G. MdT'2.m = G. ( D Sd ') 2

                                 
          MS  (580)².MT  . D'd 'd '
                                        2 = ( 580 )².
                                                 1
                                                            d’ > 0 et D’-d’ > 0
                                                                                       0,5

              
   D'd 'd ' = 580
      
                1
                      . d’  580 D’
                               1

    d’  2,6  108 m

 . 2. d’ < 1,5  109 m c’est à dire dix fois plus petit que la distance donnée
dans le texte pour le point de Lagrange 1.                                     0,25
III. 1. Référentiel héliocentrique.                                                 0,25
     2. On étudie le mouvement du satellite (point matériel) dans ce
référentiel, galiléen. Le vecteur accélération vérifie le théorème du centre
                               
d’inertie :  F ap = m. a  t                                                       0,25
La seule force appliquée est la force gravitationnelle exercée par le soleil.
                  Ms. m 
D’après I   F= - G 2 .u
                    OM
                     
                     
                                                  Ms. m                          0,25(fig)
                  F                          -G        . u = m. a   t
                    n                             OM
                                                      2

                  u
                                       M s.  
                                   - G 2 .u = a  t                                 0,25
                                       r
                                              
                    On considère la base (  , n ). La trajectoire étant un
                                                               
cercle, quelle que soit la position M du satellite on a : n = - u                               On accepte tout autre
           M s.                                                                             démonstration du
   a = G 2 . n donc a est colinéaire à n  t                                                    moment qu’elle est
             r
                                 dv                                                          rigoureuse
D’autre part, dans cette base a = dtt  + vr² n
                     dv t                                                           0,5
Par identification    dt
                                =0       d’où vt = Cte le mouvement est uniforme.
                         Ms.                            GM s
On en déduit a =     G          2
                                    .=   v²
                                         r     v=       r                          0,25
                            r
  3. La période de révolution T’ du satellite est le temps mis par le satellite
pour faire un tour et ce d’un mouvement uniforme.
       r
                                                                                0,5
T’ = 2v                      4
                      T’² = GM² .r3
                                          S



IV. 1. D’après l’hypothèse, la période de SoHO T s est égale à la période       0,25
de révolution de la Terre autour du Soleil soit environ 365 jours.
2. D’après III.3. la période de révolution T’ d’un satellite soumis à la seule
force gravitationnelle exercée par le Soleil ne dépend que du rayon r de        0,5
l’orbite ( T² = K . r3 ). Le rayon de la trajectoire de SoHO devrait être
égal à celui de l’orbite de la Terre soit D’ ; ce n’est pas le cas, donc il y a
au moins une autre force à considérer.

				
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posted:10/23/2011
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