Docstoc

15. Soal-soal Diferensial

Document Sample
15. Soal-soal Diferensial Powered By Docstoc
					           15. SOAL-SOAL DIFERENSIAL                                    EBTANAS1995
                                                                                                          1           lim f ( x + t ) − f ( x)
                                                                        3. Diketahui f(x) =                   , maka
                                                                                                         3x 2
                                                                                                                     t→0            t
EBTANAS2000                                                               adalah….
                                         3
1. Turunan pertama dari f(x) = 6x adalah f ′(x) = …
                                         2                                      −6                       −2           −1
                                                                          A.                        C.           E.
                                                                                x3                       3x           6x
          1              1         1         1          1
   A. 3x 2        B. 5x 2 C. 6x 2 D. 9x 2 E. 12x 2                              −2                        3
                                                                          C.                        D.
                                                                                3x 3                     2x 2
 jawab:

                  3                                                       Jawab:
    f(x) = 6x     2

               3     1                                                                         1    1
           3     −1                                                     Cara 1: f(x) =             = x −2
  f ′(x) = .6 x = 9x 2
               2
                                                                                              3x 2
                                                                                                    3
           2
                                                                                               1           −2
                                                                                     f ' (x) = . -2 x −3 =
 Jawabannya adalah D                                                                           3           3x 3

                                                                        Cara 2: Merupakan pembuktian dari:
EBTANAS1999
                                       1 2                                                lim f ( x + t ) − f ( x)
2. Turunan pertama f(x)= (2x -           ) adalah f ' (x) = ….           f ' (x) =
                                       x                                                 t→0            t

              2                   2                2                                   1         1
  A. 8x -               C. 8x +          E. 8x +                                               − 2
              x                   x                x3                         lim 3( x + t ) 2
                                                                                                3x
                                                                          =
                                                                            t →0            t
              1                   2
  B. 8x +             D. 8x -
              x                   x3                                             x 2 − (x + t)2          x 2 − ( x 2 + 2 xt + t 2 )
                                                                             lim 3( x + t ) 2 x 2    lim      3( x + t ) 2 x 2
  Jawab:                                                                  =                       =
                                                                            t→0         t           t→0              t
                  1 2
  f(x)=(2x -        )
                  x                                                                   − (2 xt + t 2 )
                                                                             lim 3( x 2 + 2 xt + t 2 ) x 2
                      1                                                   =
  f ' (x) = 2 (2x -     ) . (2 – (-x −2 ))                                  t→0             t
                      x
                                                                                      − t (2 x + t )
                 1        1                                                  lim 3( x + 2 x 3t + x 2 t 2 )
                                                                                                4
        = 2 (2x - ). (2 + 2 )                                             =
                  x       x                                                 t→0             t
                             2x 2    1
        = 2 (4x + {(            - )- 3 })                                        lim       − t (2 x + t )       1
                              2
                             x x     x                                    =                                   .
                                                                               t → 0 3( x + 2 x t + x t ) t
                                                                                         4        3       2 2


                      1            2
        = 2 (4x -       3
                          ) = 8x - 3                                            lim       − (2 x + t )
                      x            x                                      =
                                                                               t → 0 3( x + 2 x 3 t + x 2 t 2 )
                                                                                               4

jawabannya adalah D
                                                                                    − (2 x + 0)        − 2x  −2
                                                                          =                          =      = 3
                                                                               3( x + 2 x .0 + x .0)
                                                                                     4   3      2
                                                                                                       3x 4
                                                                                                             3x

                                                                        Jawabannya adalah C

                                                            www.matematika-sma.com - 1
EBTANAS1995                                                                                      (4 x − 1) + 2( x − 3)                     4x − 1 + 2x − 6
4. Turunan pertama dari fungsi f yang ditentukan oleh                                       =                      1
                                                                                                                                      =
                                                                                                                                                       4x − 1
                              5                                                                        (4 x − 1)   2

  f(x) = (2-3x)               3
                                   adalah f ' (x) = …..
                                                                                                 6x − 7
     5
                          5                                              2                  =
  A. (2-3x) 3                                          D. -5 (2-3x)      3                         4x − 1
     3
              8                                                          2
       3
  B. − (2-3x) 3                                        E. 5 (2-3x) 3                      Jawabannya adalah D
       8
            8      8
     3
  C. (2-3x) (2-3x) 3
            3                                                                             EBTANAS1999
     8                                                                                                                                     x2 + 6
                                                                                          6. Diketahui fungsi f(x) =
                                                                                                                                                   x
  jawab:                                                                                    Turunan pertama fungsi f(x) adalah f ′(x) = …
                              5
                                                                                                           6                               3    1
  f(x) = (2-3x) 3                                                                           A.        x+          x               D.         x+ 2                      x
                                                                                                           x2                              2   3x
                                      5
   '    5        −1
                                                                                                           3                               3    3
 f (x) = (2-3x) 3 . -3                                                                      B.        x−          x                   E.     x− 2                  x
        3                                                                                                  x2                              2   x
                                          2

            = - 5 (2-3x)                  3                                                                 1
                                                                                            C.        x−              x
                                                                                                           3x 2
  jawabannya adalah D                                                                       Jawab:

                                                                                                  u                        u ' v − v' u
                                                                                            y=             → y' =
UN2006                                                                                            v                             v2
                                                                     1
5. Turunan pertama dari y = (x-3)(4x-1) adalah….                     2
                                                                                                       x2 + 6
                                                                                            f(x) =
               2                               x−3                 2x − 5                                  x
  A.                              C.                         E.                                                                   1
             4x − 1                       2 4x − 1                2 4x − 1                                    1 −
                                                                                                     2 x. x − x 2 ( x 2 + 6)
                                                                                           f ' (x) =          2
            2x − 5                            6x − 7                                                         ( x )2
 B.                               D.
             4x − 1                           4x − 1                                                                      1 2
                                                                                                                              3
                                                                                                                                   −
                                                                                                                                                       1
                                                                                                       2.x. x −             x − 3x                     2

                                                                                                   =                      2
                                                                                                                            x
 Jawab:                                                                                                                                                3
                                                                                                                1                                  −
                                                                                                   =2       x -               x - 3x                   2

 y = u. v → y ' = u ' v + v ' u                                                                                 2

                                  1                                                                    3                  3
 y = (x-3)(4x-1)                  2                                                               =         x -
                                                                                                       2           x x
                              1                          1
                1      −
       '
 y = 1 .(4x-1) + (4x-1) 2 . 4 . (x-3)
                              2                                                                       3                   3                x
                2                                                                                =          x -(              .                )
                                                                                                      2               x x                  x
                      1
                                      2( x − 3)
           = (4x-1)   2
                              +                                                                       3               3 x     3                              3 x
                                                  1
                                                                                                 =          x -(           )=                          x -
                                      (4 x − 1)   2                                                   2                x 2
                                                                                                                              2                               x2

                                                                                           jawabannya adalah E
                                                                             www.matematika-sma.com - 2
EBTANAS1998
7. Diketahui fungsi f(x) = sin 2 (2x + 3) dan turunan               EBTANAS1986
                                                                    9. Persamaan garis singgung pada kurva
dari f adalah f ′. Maka f ′(x) = …
                                                                       x 2 - 4x – 2y – 1 = 0 di titik (1,- 2) adalah …
A. 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
                                                                      A. 3x+ y - 1 = 0
B. 2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
                                                                      B. 2x - y = 0
C. sin (2x + 3) cos (2x + 3)
                                                                      C. –x + 2y + 5 = 0
D. –2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
                                                                      D. x + y + 1 = 0
E. –4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
                                                                      E. x – y – 3 = 0
Jawab:
                                                                      jawab:
                                                                      Persamaan garis singgung
. y = sin n f(x) → y ' = n sin n −1 f(x). cos f(x) . f ' (x)          y – b = m(x –a)

f(x) = sin 2 (2x + 3)                                                 Diketahui a = 1 dan b = -2
f ' x) = 2 sin (2x+3) . cos(2x+3) . 2
                                                                      x 2 - 4x – 2y – 1 = 0
       = 4 sin (2x+3) . cos(2x+3)                                     2y = x 2 - 4x – 1
                                                                              1           1
jawabannya adalah A                                                    y = x 2 - 2x –
                                                                              2           2
EBTANAS1997
                                                                      m(gradien) = y ' = x - 2 (di titik (1,-2)   x=1 )
8. Turunan pertama fungsi f(x) = cos 3 (3-2x) adalah f ' (x) =….
                                                                                        = 1 - 2 = -1
                                                                      persamaan garis singgungya adalah :
  A.    -3 cos 2 (3-2x) sin (3-2x)                                    y – (- 2) =-1 (x – 1)
  B.    3 cos 2 (3-2x) sin (3-2)                                      y + 2 = - x + 1 ⇔ x + y +1 = 0
  C.    -6 cos (3-2x) sin (3-2x)                                      jawabannya adalah D
  D.    -3 cos (3-2x) sin (6-4x)
  E.    3 cos (3-2x) sin (6-4x)                                     EBTANAS2000
                                                                    10. Garis singgung pada kurva x 2 – y + 2x – 3 = 0
  Jawab:
                                                                    yang tegak lurus pada garis x – 2y + 3 = 0 mempunyai
  y = cos n f(x) → y ' =- n cos n −1 f(x). sin f(x) f ' (x)         persamaan …
f(x) = cos 3 (3-2x)
f ' (x) = - 3 cos 2 (3-2x) . sin (3-2x) . -2                        A. y + 2x + 7 = 0
       = 6 cos 2 (3-2x) . sin (3-2x)                                B. y + 2x + 3 = 0
                                                                    C. y + 2x + 4 = 0
        (jawabannya tidak ada yang cocok ya!!!)                     D. y + 2x – 7 = 0
                                                                    E. y + 2x – 3 = 0
Ingat rumus trigonometri:
sin 2A = 2 sin A cosA                                               jawab:

terapkan dalam soal ini :                                           x 2 – y + 2x – 3 = 0 → y = x 2 + 2x – 3

f ' (x) = 6 cos 2 (3-2x) . sin (3-2x)                               Persamaan garis x – 2y + 3 = 0 → 2y = x + 3
                                                                                                          1     3
                                                                                                      y= x+
        = 6. cos (3-2x) . cos (3-2x) sin (3-2x)                                                           2     2

       = 3. ( 2 sin (3-2x). cos (3-2x) ) . cos (3-2x)                                                   1
                                                                                        didapat m 1 =
                                                                                                        2
       = 3 (sin 2 (3-2x) ) . cos (3-2x)

       = 3 sin (6-4x) .cos (3-2x) = 3 cos (3-2x) sin (6-4x)

Jawabannya adalah E
                                                        www.matematika-sma.com - 3
garis singgung tegak lurus maka :                              EBTANAS2003
                                                               12. Fungsi f(x) = x 3 + 3x 2 – 9x – 7 turun pada interval ..
m 1 . m 2 = -1
1                                                                 A. 1 < x < 3
    . m 2 = -1   m 2 = -2                                         B. –1 < x < 3
2
                                                                  C. –3 < x < 1
                                                                  D. x < –3 atau x > 1
kurva y = x 2 + 2x – 3
                                                                  E. x < –1 atau x > 3
      y ' = 2x + 2 = m 2 = -2
           2x + 2 = -2                                         Jawab :
           2x = -4
            x = -2                                             fungsi turun jika f ' (x) < 0

jika x = -2 maka y = (-2) 2 + 2 . (-2) – 3                     f(x) = x 3 + 3x 2 – 9x – 7
                       =4–4–3
                                                               f ' (x) = 3x 2 + 6x – 9
                       = -3
                                                                       = x 2 + 2x – 3
didapat (x 1 , y 1 ) = (-2,-3)
sehingga garis singgungnya adalah:                              ⇔ (x + 3 ) (x -1 )
                                                                     x 1 = -3, x 2 = 1
y - y1 = m 2 ( x - x1)
                                                                               + + -- - - - - - -- + +
  y +3 = -2 ( x + 2)
                                                                             • • • • • • • • •
  y + 3 = -2x – 4                                                                  -3         0 1
     y = -2x - 7 ⇔ y + 2x – 7 = 0                                    '
                                                               jika f (x) < 0 maka f(x) turun (bertanda -)
                                                               yaitu x > -3 dan x < 1
jawabannya adalah D
                                                               dapat ditulis dengan         -3< x < 1
EBTANAS1991
11. Fungsi f yang dirumuskan dengan
                                                               jawabannya adalah C
f(x) = x 3 + 3x 2 – 9x – 1 naik dalam interval …
                                                               EBTANAS2000
A. x < –3 atau x > 1
                                                               13. Nilai maksimum fungsi f(x) = x 4 – 12x pada
B. x < –1 atau x > 1
                                                               interval –3 ≤ x ≤ 1 adalah …
C. –3 < x < 1
D. –1 < x < 1
                                                               A. 16      B. 9    C. 0       D. -9      E. -16
E. x < –3 atau x > –1
                                                               Jawab:
Jawab:
                                                               Tentukan nilai stasioner yaitu f ' (a) = 0
f(x) = x 3 + 3x 2 – 9x – 1
f ' (x) = 3x 2 + 6x – 9
                                                               f(x) = x 4 – 12x
       = x 2 + 2x – 3
                                                               f ' (x) = 4x 3 -12x
  ⇔ (x + 3 ) (x -1 )                                                 ⇔ x 3 - 3x
      x 1 = -3, x 2 = 1                                              ⇔ x (x 2 - 3)
                + + -- - - - - - -- + +                              ⇔ x (x - 3 ) ( x + 3 ) = 0
              • • • • • • • • •                                           -- ++        --     ++
                    -3         0 1                                             •     •     •
      '
jika f (x) >0 maka f(x) naik (bertanda +)                                     - 3    0      3
yaitu x < -3 atau x > 1                                                             max min

Jawabannya adalah A                                                Jika x < - 3       -.-.-= -
                                                                      - 3<x<0         -.-.+=+
                                                                       0<x< 3          +. - . + = -
                                                                       x>     3        +. + . + = +

                                                   www.matematika-sma.com - 4
terlihat pada grafik garis nilai max jika x = 0
(interval –3 ≤ x ≤ 1)                                         A. 16m       B. 18m      C. 20m D. 22m E. 24m

sehingga nilai maksimumnya :                                  jawab:
f(x) = x 4 – 12x
f(0) = 0 – 0 = 0                                              Luas = L = p l + p . l = 2 p. l
                                                              Panjang kawat = 120 m
jawabannya adalah C
                                                              120 = 3. p + 4. l
EBTANAS2000                                                   3p = 120 – 4. l
14. Nilai minimum fungsi f(x) = x 3 - 27x pada interval                 4
                                                               p = 40 - . l
    -1 ≤ x ≤ 4 adalah….                                                 3

   A. 26    B. 0 C. -26 D. -46         E. -54                                  4
                                                              L = 2. l (40 -     .l)
                                                                               3
   jawab:
                                                                            8      2
                                                                = 80 l -      .l
 f(x) = x 3 - 27x                                                           3
 f ' (x) = 3x 2 - 27
                                                              Luas maksimum jika L ' = 0
      ⇔ x2 - 9
      ⇔ (x – 3 ) (x + 3) = 0
                                                                            8      2
           x = 3 ; x = -3                                     L = 80 l -      .l
      +++        ----        +++                                            3
             •             •
            -3             3                                               16
                                                              L ' = 80 -      .l=0
           max            min                                               3

nilai minimum jika nilai x = 3                                  16
                                                                   l = 80
(interval -1 ≤ x ≤ 4)                                            3
                                                                      240
sehingga nilai minimumnya adalah:                                 l=      = 15
                                                                      16
f(x) = x 3 - 27x
f(3) = 3 3 - 27. 3                                              agar luas maksimum maka p =
     = 27 - 81                                                             4
     = -54                                                       p = 40 - . l
                                                                           3
                                                                            4
jawabannya adalah E                                                = 40 -     . 15
                                                                            3
                                                                   = 40 -20 = 20 m
UN2005
15. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka                  Jawabannya adalah C
seperti pada gambar. Agar luasnya maksimum, panjang
kerangka(p) tersebut, adalah :                                UN2005
                                                              16. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang
                                                              dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya per jam
                                                                             120
                                                              (4x - 800 +        ) ratus ribu rupiah . Agar biaya
                                   l                                          x
                                                              minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam
                                                              waktu ........
                                   l
                                                              A . 40 jam
               p                                              B . 60 jam
                                                              C . 100 jam
                                                              D . 120 jam
                                                              E . 150 jam
                                                  www.matematika-sma.com - 5
Jawab:
                                     120
Diketahui biaya perjam = (4x - 800 +     )
                                      x
ditanya = waktu pengerjaan agar biaya minimum ?

Waktu pengerjaan = x

Biaya Produksi (B) = Biaya perjam . waktu pengerjaan
                                 120
                   = (4x - 800 +      ).x
                                   x
                   = 4x 2 - 800 x + 120

agar biaya minimum maka B ' = 0

B ' = 8 x – 800 = 0
    8x = 800
     x = 100 jam

jawabannya adalah C




                                            www.matematika-sma.com - 6

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:228
posted:10/23/2011
language:Indonesian
pages:6